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2019-2020学年广东省梅州市五华县高三(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、复数 z 满足 iz1+2i,则在复平面内 z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分)下列命题中真命题的是( ) A命题:若 x21,则 x1 或 x1 的逆否命题为:若 x1 且 x1,则 x21 B “am2bm2”是“ab”的充要条件 C若 pq 为假命题,则 p,q 均为假命题 D对于实数 x,y,p:x+y8,q:x2 或 y6,则 p 是 q 的必要不充分条件 4 (5 分)已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a6,3a4,a5成等 差数列,则的值为( ) A3 B9 C10 D13 5(5 分) 已知抛物线 y

2、x2的焦点与椭圆1 的一个焦点重合, 则 m 的值为 ( ) A B C D 6 (5 分)函数的大致图象是( ) A B 第 2 页(共 25 页) C D 7 (5 分)要得到函数的图象,只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象( ) A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 8 (5 分) 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀 2 个小灯,另一种是大 灯下缀 4 个小灯,大灯共 360 个,小灯共 1200 个若在这座楼阁的灯球中,随机选取两 个大灯球

3、,则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( ) A B C D 9 (5 分)设 alog23,blog34,clog58,则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 10 (5 分)函数 f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,f(3)0,则不等式 xf (x)0 的解集为( ) A (3,0)(3,+) B (,3)(0,3) C (,3)(3,+) D (3,0)(0,3) 11 (5 分)直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且与抛物线交于 A,B 两点,若线段 AF,BF 的长分别为 m,n,则 4m+n 的最小值是( ) A10 B9 C8 D7 12(5分)

4、 已知某几何体的三视图如图所示, 若该几何体的外接球体积为, 则 h ( ) 第 3 页(共 25 页) A B2 C2 D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知向量,若,则实数 k 14 (5 分)二项式()5的展开式中常数项为 (用数字作答) 15 (5 分)设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a11, (n+1)an+1(n1)Sn,则 Sn 16 (5 分)在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择

5、一家, 且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有 (填具体数字) 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题,考生根据要求作答为选考题,考生根据要求作答 17 (12 分)在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且(a+b+c) (a+bc)3ab ()求角 C 的值; ()若 c2,且ABC 为锐角三角形,求 a+b 的取值范围 18 (12 分)在某区“创文明城区” (简称“创城

6、” )活动中,教委对本区 A,B,C,D 四所 高中校按各校人数分层抽样调查,将调查情况进行整理后制成如表: 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城”活动中 参与的人数 40 10 9 15 (注:参与率是指:一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值) 第 4 页(共 25 页) 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的 ()若该区共 2000 名高中学生,估计 A 学校参与“创城”活动的人数; ()在随机抽查的 100 名高中学生中,从 A,C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生,求恰有 1 人参与“创城”活动的概率; ()若将表中的参与率

7、视为概率,从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人,求这 3 人参与 “创城”活动人数的分布列及数学期望 19 (12 分) 已知四棱锥中 PABCD, 底面 ABCD 为菱形, ABC60, PA平面 ABCD, E、M 分别是 BC、PD 上的中点,直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为,点 F 在 PC 上移动 ()证明:无论点 F 在 PC 上如何移动,都有平面 AEF平面 PAD ()求点 F 恰为 PC 的中点时,二面角 CAFE 的余弦值 20 (12 分)已知椭圆的离心率为,M 是椭圆 C 的上顶点, F1,F2是椭圆 C 的焦点,MF1F2的周长是 6 ()求椭圆 C 的

8、标准方程; ()过动点 P(1,t)作直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|PA|PB|,过 P 作直线 l,使 l 与直线 AB 垂直,证明:直线 l 恒过定点,并求此定点的坐标 21 (12 分)已知函数 f(x)x28x+alnx(aR) ()当 x1 时,f(x)取得极值,求 a 的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点; ()当函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1x2) ,且 x11 时,总有t(4+3x1 x12)成立,求 t 的取值范围 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 第 5 页(共 25 页) 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线

9、C1的参数方程为, ( 为参数) 已知点 Q(4,0) ,点 P 是曲线l上任意一点,点 M 为 PQ 的中点,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程; (2)已知直线 l:ykx 与曲线 C2交于 A,B 两点,若3,求 k 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|ax+1|+|2x1| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3 的解集; (2)若 0a2,且对任意 xR,恒成立,求 a 的最小值 第 6 页(共 25 页) 2019-2020 学年广东省梅州市五华县高三 (上) 期末数学试卷 (理学年广东

10、省梅州市五华县高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x22x30,Bx|y,则 AB 等于( ) A (1,3) B0,3) C0,+) D (1,+) 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 Ax|x22x30x|1x3, Bx|yx|x0, ABx|x1(1,+) 故选:D 【点评】本题考查并

11、集的求法,考查并集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2 (5 分)复数 z 满足 iz1+2i,则在复平面内 z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 的坐标得答案 【解答】解:由 iz1+2i,得 z, 在复平面内 z 对应的点的坐标为(2,1) ,位于第四象限 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题 3 (5 分)下列命题中真命题的是( ) A命题:若 x21,则 x1 或 x1 的逆否命题为:若 x1 且 x1,则 x21 B

12、 “am2bm2”是“ab”的充要条件 C若 pq 为假命题,则 p,q 均为假命题 D对于实数 x,y,p:x+y8,q:x2 或 y6,则 p 是 q 的必要不充分条件 【分析】由原命题的逆否命题和 p 或 q 的否定,可判断 A,由充要条件的定义和 m 是否 第 7 页(共 25 页) 为零,可判断 B,由 pq 的真值表判断 C,由充要条件定义判断 D 【解答】解:命题:若 x21,则 x1 或 x1 的逆否命题为:若 x1 且 x1,则 x21,故 A 正确; 若“am2bm2”当 m0 时,可得“ab” , 若“ab” ,当 m0 时“am2bm2”不成立,故 B 错误; 根据真值

13、表可知,p 或 q 有一个是假命题则 pq 为假命题,故 C 错误; p:x+y8,q:x2 或 y6,利用逆否命题,由 x2 且 y6,可得 x+y8 而 x+y8 推不出 x2 且 y6,故 p 是 q 的充分不必要条件,故 D 错误 故选:A 【点评】本题考查了逆否命题的应用,以及命题的真假性属于基础题 4 (5 分)已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a6,3a4,a5成等 差数列,则的值为( ) A3 B9 C10 D13 【分析】设各项均为正数的等比数列an的公比为 q0,由 a6,3a4,a5成等差数列, 可得 6a4a6a5,6a4a4(q2q) ,化

14、为 q2q60,q0解得 q,再利用求和公 式即可得出 【解答】解:设各项均为正数的等比数列an的公比为 q0,满足 a6,3a4,a5成等 差数列, 6a4a6a5,6a4a4(q2q) ,q2q60,q0 解得 q3 则32+110 故选:C 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题 5(5 分) 已知抛物线 yx2的焦点与椭圆1 的一个焦点重合, 则 m 的值为 ( ) 第 8 页(共 25 页) A B C D 【分析】通过抛物线的表达式可知椭圆的一个焦点,利用长半轴长、短半轴长及半焦距 之间的关系计算即得结论 【解答】解:抛物线

15、 yx2的焦点为(0,) , m2, m+2, 故选:C 【点评】本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于基础题 6 (5 分)函数的大致图象是( ) A B C D 【分析】判断函数的奇偶性,以及函数值的符号,以及极限思想进行判断即可 【解答】解:f(x)f(x) ,即函数是奇函数,图象关于原点对称,排除 B, 当 x0 时,f(x)0,排除 D, 当 x+,f(x)+0,排除 C, 故选:A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数奇偶性,函数值的符号以及极 限思想是解决本题的关键 7 (5 分)要得到函数的图象,只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象( ) 第 9

16、 页(共 25 页) A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果 【解答】解:因为,所以将其图象向左平移个单 位长度, 可得, 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,平移变换的应用,主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 8 (5 分) 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀 2 个小灯,另一种是大 灯下缀 4 个小灯,大灯共 360 个,小灯共 1200 个

17、若在这座楼阁的灯球中,随机选取两 个大灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( ) A B C D 【分析】设大灯下缀 2 个小灯的大灯有 x 个,则大灯下缀 4 个小灯有 360x 个,列出方 程 2x+4(360x)1200,求出大灯下缀 2 个小灯的大灯有 120 个,则大灯下缀 4 个小 灯有 240 个在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球,基本事件总数 n64620, 至少有一个灯球是大灯下缀4 个小灯包含的基本事件个数m57480, 由此能求出至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率 【解答】解:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种, 一种是大灯下缀 2

18、 个小灯, 另一种是大灯下缀 4 个小灯, 大灯共 360 个, 小灯共 1200 个 大灯下缀 2 个小灯的大灯有 x 个,则大灯下缀 4 个小灯有 360x 个, 则 2x+4(360x)1200, 解得 x120,即大灯下缀 2 个小灯的大灯有 120 个,则大灯下缀 4 个小灯有 240 个 在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球, 第 10 页(共 25 页) 基本事件总数 n64620, 至少有一个灯球是大灯下缀4 个小灯包含的基本事件个数m57480, 则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 p 故选:A 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概率、排列组合的性质等基础知识,

19、考查运算 求解能力,是基础题 9 (5 分)设 alog23,blog34,clog58,则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】结合对数的换底公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可 【解答】解:log34log2764,log58log2564, log6427log64250,即 log34log58,即 bc, log23log49log48, log58,log85log840, ,即 log58log48log49, 即 ca, 综上 acb, 故选:B 【点评】本题主要考查对数值的大小比较,结合对数的换底公式进行转化是解决本题的 关键 10 (5 分)函数 f(

20、x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,f(3)0,则不等式 xf (x)0 的解集为( ) A (3,0)(3,+) B (,3)(0,3) C (,3)(3,+) D (3,0)(0,3) 【分析】根据题意,由奇函数的性质可得 f(3)0,结合函数的单调性可得在(0,3) 第 11 页(共 25 页) 上,f(x)0,在(3,+)上,f(x)0,又由 f(x)为奇函数,则在(3,0)上, f(x)0,在(,3)上,f(x)0,又由 xf(x)0或, 分析可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x)为奇函数,则 f(3)f(3)0, 函数 f(x)在(0,+)内是增函数,且 f(3)0,

21、在(0,3)上,f(x)0,在(3,+)上,f(x)0, 又由 f(x)为奇函数,则在(3,0)上,f(x)0,在(,3)上,f(x)0, xf(x)0或,则有3x0 或 0x3, 即不等式的解集为(3,0)(0,3) ; 故选:D 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是分析得到关于 x 的不等式, 属于基础题 11 (5 分)直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且与抛物线交于 A,B 两点,若线段 AF,BF 的长分别为 m,n,则 4m+n 的最小值是( ) A10 B9 C8 D7 【分析】先画出抛物线,作出辅助线,利用三角形相似得出关于 m、n 的式子,化简得到

22、,则 4m+n(4m+n) 1(4m+n) () ,从而利用基本不等式求出最小值 【解答】解:抛物线 y24x 的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x1, 如图所示,过 B 点作 BDAD,作 AMMN,BNMN, 由抛物线的定义可得 AMAFm,BNBFn, ADmn,EF2n, ,化简得:, 4m+n(4m+n) 1(4m+n) () 2+59, 当且仅当 n2m 时等号成立 所以 4m+n 的最小值为 9 第 12 页(共 25 页) 故选:B 【点评】本题考查了抛物线的性质,基本不等式的性质及运算,找出 m 与 n 的关系是关 键,属于中档题 12(5分) 已知某几何体的三视图如图所示

23、, 若该几何体的外接球体积为, 则 h ( ) A B2 C2 D 【分析】由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的一个侧棱与底面垂直,画出其直观图, 根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形,通过外接球的体积,求出半径,然后求解棱 锥的高 h, 【解答】解:由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的一个侧面与底面垂直,其直观图 如图: O 为 AC 的中点, 正视图和俯视图都是等腰直角三角形,FO底面 ABC, OBOCOA1,几何体的外接球的球心为 E 是ACD 的外心,半径为 r,该几何体 的外接球体积为, 第 13 页(共 25 页) 外接球的体积 Vr3r2, h2 故选:B 【点评】本题考查了由

24、三视图求几何体外接球的体积,解题的关键是根据三视图判断几 何体的性质,求得外接球的半径 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知向量,若,则实数 k 【分析】根据向量平行的充要条件可得关于 k 的方程,解出即可 【解答】解:由,得 1(k6)9k0,解得 k, 故答案为: 【点评】本题考查向量共线的充要条件,若,则 x1y2x2y10 14 (5 分)二项式()5的展开式中常数项为 10 (用数字作答) 【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求 得展开式中的常数项的值

25、【解答】解:二项式()5的展开式的通项公式为 Tr+1 (1)r, 令0,求得 r3,可得展开式中常数项为10, 故答案为:10 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公 第 14 页(共 25 页) 式,属于基础题 15 (5 分) 设 Sn是数列an的前 n 项和, 且 a11, (n+1) an+1 (n1) Sn, 则 Sn 【分析】由题意可得,nSn是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,写出等比数列的通 项公式得答案 【解答】解:由(n+1)an+1(n1)Sn, 得(n+1) (Sn+1Sn)(n1)Sn, (n+1)Sn+12nSn, 则

26、, nSn是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 则, 故答案为: 【点评】本题考查数列递推式,考查等比关系的确定,训练了等比数列通项公式的求法, 是中档题 16 (5 分)在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家, 且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有 150 (填具体数字) 【分析】解:根据题意,分 2 步进行分析:,将五个参会国的人员分成 3 组,将 分好的三组对应三个酒店,由分步计数原理计算可得答案 【解答】解:根据题意,分 2 步进行分析: ,将五个参

27、会国的人员分成 3 组, 若分为 1、2、2 的三组,有15 种分组方法; 若分为 1、1、3 的三组,有10 种分组方法; 则一共有 15+1025 种分组方法; ,将分好的三组对应三个酒店,有 A336 种情况, 第 15 页(共 25 页) 则有 256150 种安排方法; 故答案为:150 【点评】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题,考

28、生根据要求作答为选考题,考生根据要求作答 17 (12 分)在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且(a+b+c) (a+bc)3ab ()求角 C 的值; ()若 c2,且ABC 为锐角三角形,求 a+b 的取值范围 【分析】 ()化简(a+b+c) (a+bc)3ab,利用余弦定理求得 C 的值; ()由正弦定理求出 a+b 的解析式,利用三角恒等变换化简,根据题意求出 A 的取值 范围,从而求出 a+b 的取值范围 【解答】解: ()ABC 中, (a+b+c) (a+bc)3ab, a2+b2c2ab, 由余弦定理得,cosC; 又C(0,) , C; ()由 c2,

29、C,根据正弦定理得, , a+b(sinA+sinB) sinA+sin(A) 2sinA+2cosA 4sin(A+) ; 又ABC 为锐角三角形, , 第 16 页(共 25 页) 解得A; A+, 24sin(A+)4, 综上,a+b 的取值范围是(2,4 【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题,是中档题 18 (12 分)在某区“创文明城区” (简称“创城” )活动中,教委对本区 A,B,C,D 四所 高中校按各校人数分层抽样调查,将调查情况进行整理后制成如表: 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城”活动中 参与的人数 40 10 9 15

30、(注:参与率是指:一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值) 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的 ()若该区共 2000 名高中学生,估计 A 学校参与“创城”活动的人数; ()在随机抽查的 100 名高中学生中,从 A,C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生,求恰有 1 人参与“创城”活动的概率; ()若将表中的参与率视为概率,从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人,求这 3 人参与 “创城”活动人数的分布列及数学期望 【分析】 ()由分层抽样性质估计 A 学校参与“创城”活动的人数 ()设事件 A 表示“抽取 A 校高中学生,且这名学生参与创城活动” ,事

31、件 C 表 示“抽取 C 校高中学生,且这名学生参与创城活动” ,则从 A,C 两学校抽出的高中 学生中各随机抽取 1 名学生,恰有 1 人参与“创城”活动的概率:PP(A +)P (A)P( )+P( )P(C) ,由此能求出结果 ()将表中的参与率视为概率,从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人,这 3 人参与“创 城”活动人数 XB(3,) ,由此能求出这 3 人参与“创城”活动人数的分布列及数学 期望 【解答】解: ()该区共 2000 名高中学生, 由分层抽样性质估计 A 学校参与“创城”活动的人数为: 第 17 页(共 25 页) 2000800 ()设事件 A 表示“抽取 A 校

32、高中学生,且这名学生参与创城活动” , 事件 C 表示“抽取 C 校高中学生,且这名学生参与创城活动” , 则从 A,C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生, 恰有 1 人参与“创城”活动的概率: PP(A +)P(A)P( )+P( )P(C) ()将表中的参与率视为概率,从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人, 这 3 人参与“创城”活动人数 XB(3,) , P(X0), P(X1), P(X2), P(X3), X 的分布列为: X 0 1 2 3 P XB(3,) ,E(X)3 【点评】本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查二项 分布、相互独立事件

33、概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力, 是中档题 19 (12 分) 已知四棱锥中 PABCD, 底面 ABCD 为菱形, ABC60, PA平面 ABCD, E、M 分别是 BC、PD 上的中点,直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为,点 F 在 PC 上移动 ()证明:无论点 F 在 PC 上如何移动,都有平面 AEF平面 PAD ()求点 F 恰为 PC 的中点时,二面角 CAFE 的余弦值 第 18 页(共 25 页) 【分析】 ()推导出 AEPA,AEAD,从而 AE平面 PAD,由此能证明无论点 F 在 PC 上如何移动,都有平面 AEF平面 PAD (

34、)以 A 为原点,AE 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出二面角 CAFE 的余弦值 【解答】证明: ()四棱锥中 PABCD,底面 ABCD 为菱形,ABC60,PA 平面 ABCD, E、M 分别是 BC、PD 上的中点, AEPA,AEAD, PAADA,AE平面 PAD, 点 F 在 PC 上移动,AE平面 AEF, 无论点 F 在 PC 上如何移动,都有平面 AEF平面 PAD 解: ()直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为,点 F 恰为 PC 的中点时, 以 A 为原点,AE 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴

35、,建立空间直角坐标系, 设 AB2,APx,则 E(,0,0) ,M(0,1,) , () ,平面 PAD 的法向量 (1,0,0) , |cos|, 解得 xAP2, C(,1,0) ,A(0,0,0) ,P(0,0,2) ,E(,0,0) ,F() , () ,() ,() , 设平面 ACF 的法向量 (x,y,z) , 第 19 页(共 25 页) 则,取 x1,得 (1,0) , 设平面 AEF 的法向量 (x,y,z) , 则,取 y2,得 (0,2,1) , 设二面角 CAFE 的平面角为 , 则 cos 二面角 CAFE 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的

36、余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20 (12 分)已知椭圆的离心率为,M 是椭圆 C 的上顶点, F1,F2是椭圆 C 的焦点,MF1F2的周长是 6 ()求椭圆 C 的标准方程; ()过动点 P(1,t)作直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|PA|PB|,过 P 作直线 l,使 l 与直线 AB 垂直,证明:直线 l 恒过定点,并求此定点的坐标 【分析】 (I)根据椭圆的离心率以及过点,建立方程组即可求椭圆 C 的方程; ()设出直线 MN 的斜率和方程,联立直线方程和椭圆方程,根据中点弦的性质进行 第 20 页(共 25 页)

37、 求解即可 【解答】解: ()由于 M 是椭圆 C 的上顶点,由题意得 2a+2c6, 又椭圆离心率为,即, 解得 a2,c1 又 b2a2c23, 所以椭圆 C 的标准方程 证明: ()当直线 AB 斜率存在,设 AB 的直线方程为 ytk(x1) , 联立,得(3+4k2)x2+8k(tk)x+4(tk)2120, 由题意,0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 因为|PA|PB|,所以 P 是 AB 的中点 即 ,得,4kt+30 又 lAB,且 k0,l 的斜率为, 直线 l 的方程为 把代入可得: 所以直线 l 恒过定点 当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 的方程

38、为 x1, 此时直线 l 为 x 轴,也过 综上所述直线 l 恒过点 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用,联立方程转化为一元二次方 程,根据根与系数之间的关系是解决本题的关键 21 (12 分)已知函数 f(x)x28x+alnx(aR) ()当 x1 时,f(x)取得极值,求 a 的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点; 第 21 页(共 25 页) ()当函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1x2) ,且 x11 时,总有t(4+3x1 x12)成立,求 t 的取值范围 【分析】 ()求出函数的导数,求出 a 的值,得到函数的单调区间,求出函数的极值点 即可; ()

39、求出函数极值点,问题转化为2lnx1+0,根据 0x11 时, 0.1x12 时,0即 h(x)2lnx+(0x2) ,通过讨论 t 的范围求出函数的单调性,从而确定 t 的范围即可 【解答】解: (I)f(x)2x8+, (x0) ,当 x1 时,f(x)取得极值, f(1)28+a0,解得 a6, 此时,f(x)x28+6lnx,f(x)2x8+, 令 f(x)0,解得:x3 或 x1,令 f(x)0,解得:1x3, 故 f(x)在(0,1)递增,在(1,3)递减,在(3,+)递增, 故 x1 是极大值点; (II)当函数 f(x)在(0,+)内有两个极值点 x1,x2(x1x2)且 x1

40、1 时, 则 u(x)2x28x+a0 在(0,+)上有两个不等正根 ,0a8 x1+x24,x1x2,0x1x2, x24x1,a2x1x22x1(4x1) ,可得 0x12 t(4+3x1x )成立,即t(4x1) (x1+1) , 即t(x1+1) ,即t(x1+1)0, 即2lnx1+0,且 0x11 时,0 第 22 页(共 25 页) 1x12 时,0即 h(x)2lnx+(0x2) h(x) (0x2) , t0 时,h(x)0h(x)在(0,2)上为增函数,且 h(1)0, x(1,2)时,h(x)0,不合题意舍去 t0 时,h(x)0同不合题意舍去 t0 时, (i)0 时,

41、解得 t1,h(x)0, 在(0,2)内函数 h(x)为减函数,且 h(1)0,可得:0x1 时,h(x)0 1x2 时,h(x)0, 2lnx+0 成立 (ii)0 时,1t0,h(x)分子中的二次函数对称轴 x1,开口向下, 且函数值2(t+1)0,即 amin,2, 则 x(1,a)时,h(x)0,h(x)为增函数,h(1)0,h(x)0,故舍去 综上可得:t 的取值范围是 t1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分

42、)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为, ( 为参数) 已知点 Q(4,0) ,点 P 是曲线l上任意一点,点 M 为 PQ 的中点,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程; (2)已知直线 l:ykx 与曲线 C2交于 A,B 两点,若3,求 k 的值 【分析】 (1)消去 得曲线 C1的普通方程为:x2+y24;设出 M 的坐标后利用中点公式 得到 P 的坐标后代入 C1德轨迹 C2的直角坐标方程,再化成极坐标方程; (2) 如图: 取 AB 的中点 M, 连 CM, CA, 在两个直角三角形中, 根据勾股定理解得 CM

43、, OM 后可得斜率 【解答】解: (1)消去 得曲线 C1的普通方程为:x2+y24, 第 23 页(共 25 页) 设 M(x,y)则 P(2x4,2y)在曲线 C1上,所以 (2x4)2+(2y)24,即(x2) 2+y21,即 x2+y24x+30, C2轨迹的极坐标方程为:24cos+30 (2)当 k0 时,如图:取 AB 的中点 M,连 CM,CA, 在直角三角形 CMA 中,CM2CA2(AB)21AB2, 在直角三角形 CMO 中,CM2OC2OM24(AB)24AB2, 由得 AB,OM,CM, k 当 k0 时,同理可得 k 综上得 k 【点评】本题考查了参数方程化成普通

44、方程,属中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|ax+1|+|2x1| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3 的解集; (2)若 0a2,且对任意 xR,恒成立,求 a 的最小值 【分析】 (1)a1 时,f(x)|x+1|+|2x1|; 解法一,作函数 f(x)的图象,利用图象可以求得 f(x)3 的解集; 解法二,利用分段讨论法去掉绝对值,再求出不等式 f(x)3 的解集; 第 24 页(共 25 页) (2)由 0a2,利用分段讨论法去掉绝对值,判断 f(x)的单调性, 从而求出 f(x)的最小值与对应 a 的最小值 【解答】解: (1)当 a1 时,f(x)|x+1|+|2x1|, 即; 解法一:作函数 f(x)|x+1|+|2x1|的图象,它与直线 y3 的交点为 A(1,3) ,B (1,3) , 如图所示; 所以,f(x)3 的解集为(,1)(1,+) ; 解法二:原不等式 f(x)3 等价于或或, 解得:x1 或无解或 x1, 所以,f(x)3 的解集为(,1)(1,+) ; (2)由 0a2,得,a+20,且 a20; 所以 f(x)|ax+1|+|2x1|,