1、已知集合 Ax|x2，Bx|log3x1，则 AB（ ） Ax|x3 Bx|x1 Cx|0x2 Dx|0x1 2 （5 分）若 1+ai（b+i） （1+i） （a，bR，i 为虚数单位） ，则复数 a+bi 在复平面内对应 的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 4 （5 分）如图，在边长为 4 的正方形内有区域 A（阴影部分所示） ，现从整个图形中随机 取一点，若此点取自区域 A 外的概率为 0.4，则区域 A 的面积为（ ） A4 B9 C9.6 D6.4 5 （5 分）已知角 的终边在第一象限，且 t
2、an2，则 sin2（ ） A B C D 6 （5 分）已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（ ） 第 2 页（共 23 页） A2 B C D 7 （5 分）已知曲线 f（x）x2lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 yx2+m 相切，则 m （ ） A B C D 8 （5 分）若直线 l：axby+20（a0，b0）被圆 x2+y2+2x4y+10 截得的弦长为 4， 则当取最小值直线 l 的斜率为（ ） A2 B C D 9 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 BC1上运动，则下列判断中 正确的是（ ） 平面 PB1D平面 ACD；
3、A1P平面 ACD1； 异面直线 A1P 与 AD1所成角的取值范围是； 三棱锥 D1APC 的体积不变 A B C D 10 （5 分）已知 P 为双曲线 C：（a，b0）上一点，F1，F2分别为 C 的左右 第 3 页（共 23 页） 焦点，PF2F1F2，若PF1F2的外接圆面积与其内切圆面积之比为 25：4，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B2 C或 D2 或 3 11 （5 分）设ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其外接圆半径为 2，且有 ，则三角形的面积为（ ） A B C或 D或 12 （5 分）已知函数有两个极值点，则实数 m 的取值范围 为（ ） A B C D
4、 （0，+） 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知，则向量 在 的方向上的投影为 14 （5 分）函数的部分图象如图所示，若 f（4） f（6）1，且，则 f（2019） 15 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，若 zx+2y+3 的最小值为4，则实 数 a 16 （5 分） 已知函数 f （x） a （x2+2x） +2x+1+2 x1 （aR） 有唯一零点， 则 f （a） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，共题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解
5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，a13， （1）求数列an的前 n 项和为 Sn； （2）令，求数列bn的前 n 项和 Tn 第 4 页（共 23 页） 18如图，在四棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，点 M 是 SD 的 中点，ANSC，且交 SC 于点 N，SAAD （1）求证：SCMN； （2）若 SA2，求三棱锥 MANC 的体积 19某电视台制作了一套励志节目，内容是由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们碎玉 生活和生命的感悟，给予青年现实的讨论和心灵的滋养，同时也在讨论中国青年的社会 问题，受到青年
6、观众的喜爱为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了 A，B 两个地区共 100 名观众，得到如下的 22 列联表： 非常满意 满意 合计 A x 15 B y z 合计 已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，该观众为“满意”的概率为 0.35，且 7x 6y （1）完成上述表格，并根据表格判断是否有 95%d 把握认为观众的满意度与所在地区有 关系？ （2）现从被调查的 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，求抽取 A， B 地区“满意”的观众的人数各是多少？ （3）在（2）抽取的“满意”的观众中，随机选出 2 人进行座谈，求至多有 1 名是 A 地 区
7、观众的概率 附：，na+b+c+d P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 第 5 页（共 23 页） 20已知抛物线 C：y2px（p0）的焦点 F 与椭圆：的右焦点重合，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H，试问是否存在 ，使得（R） ，且 |HA|2+|HB|240 都成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由 21设函数 f（x）lnx，g（x）ex（e 为自然对数的底数） （1）证明：； （2）若对x0，+） ，都有 g（x）g（x）ax
8、（aR） ，求实数 a 的取值范围 22在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建 立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 （1cos2）mcos（m0） ，倾斜角为 的直线 l 过在平面直角坐标坐标为（2，4）的点 P，且直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点 （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）若，求 m 的值 23已知函数 f（x）|x2a|+|x+3|（aR） ，g（x）|x3|+1 （1）解不等式|g（x）|3； （2）若对任意 x1R，都有 x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取值范围 第 6
9、页（共 23 页） 2018-2019 学年广西百色市高三 （上）学年广西百色市高三 （上） 12 月调研数学试卷 （文科）月调研数学试卷 （文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x2，Bx|log3x1，则 AB（ ） Ax|x3 Bx|x1 Cx|0x2 Dx|0x1 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：因为集合 Ax|
10、x2， Bx|log3x1x|0x3， 所以 ABx|0x2 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）若 1+ai（b+i） （1+i） （a，bR，i 为虚数单位） ，则复数 a+bi 在复平面内对应 的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简等式右边，再由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：由 1+ai（b+i） （1+i）（b1）+（b+1）i， 得，即 a3，b2， 复数 a+bi 在复平面内对应的点的坐标为（3，2）
11、 ，所在的象限是第一象限， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）函数的图象大致为（ ） 第 7 页（共 23 页） A B C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，可以分式函数的性质进行判断即可 【解答】解：由题意可知函数 f（x）的定义域为x|x0， 因为， 所以函数 f（x）为奇函数，故排除 D， 又因为，函数在（0，+）上单调递减， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性的性质和分式的性质是 解决本题的关键 4 （5 分）如图，在边长为 4 的正方形内有区域 A（阴影部分所示）
12、 ，现从整个图形中随机 取一点，若此点取自区域 A 外的概率为 0.4，则区域 A 的面积为（ ） A4 B9 C9.6 D6.4 【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求区域 A 的面积的估计值 【解答】解：设区域 A 的面积约为 S， 根据题意有：， 解得 S9.6， 第 8 页（共 23 页） 故选：C 【点评】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知角 的终边在第一象限，且 tan2，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin，cos 的值，进而根据二倍角的 正弦函数公式即可求解 【解答】解：由题意
13、sin0，cos0， 由解得， 所以， 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数 化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 6 （5 分）已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（ ） A2 B C D 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 【解答】解：如图所示，该几何体的表面积等于其侧面积与底面积之和， 即， 故选：D 第 9 页（共 23 页） 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键 7 （5 分）已知曲线 f（x）x2lnx 在点（1，1）处的切线与曲线
14、yx2+m 相切，则 m （ ） A B C D 【分析】求出 f（x）x2lnx 的导数为，得到切线斜率，然后求解切线方 程，由于切线与曲线 yx2+m 相切，设切点（x0，y0） ，得到，然后转化求解即 可 【解答】解：f（x）x2lnx 的导数为，曲线 f（x）x2lnx 在 x1 处 的切线斜率为 k1， 则曲线 f（x）x2lnx 在点（1，1）处的切线方程为 y1（x1） ，即 x+y20 由于切线与曲线 yx2+m 相切， 设切点（x0，y0） ，因为 y2x，所以 k2x01，得到， 代入切线方程 x+y20，得到， 故切点坐标为，切点满足曲线 yx2+m， 解得， 故选：A
15、【点评】本题考查切线方程的求法，函数的导数的应用，是基本知识的考查 8 （5 分）若直线 l：axby+20（a0，b0）被圆 x2+y2+2x4y+10 截得的弦长为 4， 则当取最小值直线 l 的斜率为（ ） A2 B C D 【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线 axby+20（a0，b0）上，推出 a+2b2，利用基本不等式转化求解取最小值时，直线的斜率即可 【解答】解：圆 x2+y2+2x4y+10，即（x+1）2+（y2）24， 第 10 页（共 23 页） 表示以 M（1，2）为圆心，以 2 为半径的圆， 由题意可得圆心在直线 axby+20（a0，b0）上， 故a2b+2
16、0，即 a+2b2， ， 当且仅当，即 a2b 时，等号成立， 此时直线 l 的斜率为 2， 故选：A 【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及 计算能力 9 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 BC1上运动，则下列判断中 正确的是（ ） 平面 PB1D平面 ACD； A1P平面 ACD1； 异面直线 A1P 与 AD1所成角的取值范围是； 三棱锥 D1APC 的体积不变 A B C D 【分析】 根据平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直，可判断正确 证明平面 BA1C1
17、平面 ACD1从而由线面平行的定义可得 A1P平面 ACD1，可判断正 确 分别找到当当 P 与线段 BC1的端点重合时，A1P 与 ad1所成角取得最小值，当 P 与线 段 BC1的中点重合时，A1P 与 AD1所成角取得最大值，可求得范围 第 11 页（共 23 页） 由图得 【解答】解：连接 DB1，根据正方体的性质，有 DB1平面 ACD1，DB1平面 PB1D，从 而可以证明平面 PB1D平面 ACD1，正确； 连接 A1B，A1C1容易证明平面 BA1C1平面 ACD1从而由线面平行的定义可得 A1P平 面 ACD1，正确； ，因为 C 到面 AD1P 的距离不变，且三角形 AD1
18、Pd 面积不变，所以 三棱锥 AD1PC 的体积不变，正确； 当 P 与线段 BC1的端点重合时，A1P 与 ad1所成角取得最小值，当 P 与线段 BC1的中 点重合时， A1P与AD1所成角取得最大值， 故A1P与A1D所成角的范围是， 错误正确， 故选：B 【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线 的判断，基本知识与定理的灵活运用 10 （5 分）已知 P 为双曲线 C：（a，b0）上一点，F1，F2分别为 C 的左右 焦点，PF2F1F2，若PF1F2的外接圆面积与其内切圆面积之比为 25：4，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B2 C或 D2 或
19、 3 【分析】通过 PF2F1F2，PF1F2为直角三角形，故外心在斜边中线上求出外接圆半 径，设内切圆半径为 r，根据三角形的面积公式转化求解即可 【解答】解：由于PF1F2为直角三角形，故外心在斜边中线上 由于，所以，故外接圆半径为 第 12 页（共 23 页） 设内切圆半径为 r，根据三角形的面积公式，有， 解得， 由题意两圆半径比为 5：2，故，化简得（e+1） （e2） （e3）0， 解得 e2 或 e3， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能 力 11 （5 分）设ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其外接圆半径为 2，且有
20、 ，则三角形的面积为（ ） A B C或 D或 【分析】利用等差数列求出所在的内角 B，通过两角和与差的三角函数求解 A，然后转化 求解三角形的面积 【解答】解：ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，则 A+C2B，A+B+C， 所以 B，则， 所以， 所以， 整理得， 则或，sin（A）， 因为，解得或 当时，； 当 A时， 故选：C 【点评】本题考查数列在三角形的应用，三角形的解法，两角和与差的三角函数，考查 转化思想以及计算能力 12 （5 分）已知函数有两个极值点，则实数 m 的取值范围 第 13 页（共 23 页） 为（ ） A B C D （0，+） 【分析】求出函数的定义域
21、，函数的导数，求出函数的极值点，以及函数的单调性，结 合函数的最值，求解 m 的范围即可 【解答】解：函数 f（x）的定义域为 R，f（x）x+（m+1）ex 因为函数 f（x）有两个极值点，所以 f（x）x+（m+1）ex有两个不同的零点， 故关于 x 的方程有两个不同的解， 令，则， 当 x（，1）时，g（x）0， 当 x（1，+）时，g（x）0，所以函数在区间（，1）上单调递增， 在区间（1，+）上单调递减， 又当 x时，g（x）； 当 x+时，g（x）0，且，故， 所以， 故选：B 【点评】本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性的应用，考查转化思想以 及计算能力 二、填空题（每
22、题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知，则向量 在 的方向上的投影为 【分析】直接利用向量的数量积，转化求解向量 在 的方向上的投影 【解答】解：因为， 所以向量 在 的方向上的投影 故答案为： 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 14 （5 分）函数的部分图象如图所示，若 f（4） 第 14 页（共 23 页） f（6）1，且，则 f（2019） 1 【分析】由 f（x）的部分图象求出周期 T、 和 、A 的值，写出函数解析式，再计算 f （2019）的值 【解答】解：由 f
23、（x）Asin（x+）的部分图象知， f（4）f（6）1，得周期 T2（64）4， 所以； 又，所以； 又，所以； 又 f（4）1，所以， 解得， 所以； 所以 f（2019） 故答案为：1 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题 15 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，若 zx+2y+3 的最小值为4，则实 数 a 11 【分析】利用目标函数的最小值，结合约束条件的可行域，求解最优解，然后求解 a 的 值 【解答】解：zx+2y+3 的最小值为4，即 zx+2y 的最小值为7，如图所示，当直线 经过点 C 时取到最小值， 第 15 页（共 23 页） 由解得点，
24、所以， 解得 a11 故答案为：11 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 16 （5 分） 已知函数 f （x） a （x2+2x） +2x+1+2 x1 （aR） 有唯一零点， 则 f （a） 【分析】 判断函数 yx2+2x 与 y2x+1+2 x1 的图象的对称性， 结合函数的对称性进行判 断即可 【解答】解：yx2+2x 与 y2x+1+2 x1 的图象均关于直线 x1 对称， yf（x）的图象关于直线 x1 对称， f（x）的唯一零点必为1， f（1）0，a2， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数
25、的对称性是解决本题的 关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，共题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，a13， （1）求数列an的前 n 项和为 Sn； 第 16 页（共 23 页） （2）令，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由，推出数列是首项为 3，公差为 1 的等 差数列，然后求解通项公式得到 （2）当 n2 时，anSnSn12n+1，求出数列的通项公式，化简，通过错 位相减法求解数列的和即可 【解答】解： （1）由，得， 又，所以数列是首项为 3，公
26、差为 1 的等差数列， 所以，即 （2）当 n2 时，anSnSn12n+1， 又 a1也符合上式，所以 an2n+1（nN*） 所以， 所以， ， ，得 ， 故 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力， 是中档题 18如图，在四棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，点 M 是 SD 的 中点，ANSC，且交 SC 于点 N，SAAD （1）求证：SCMN； （2）若 SA2，求三棱锥 MANC 的体积 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1）由已知利用线面垂直的判定可得 DC平面 SAD，得到 AMDC再由已 知得到 A
27、MSD，可得 AM平面 SDC，从而得到 SCAM，结合 SCAN，利用线面垂 直的判定可得 SC平面 AMN则 SCMN； （2）由已知求解三角形得到 AN，进一步求得 CN，得到，然后利用等积法求三 棱锥 MANC 的体积 【解答】 （1）证明：由已知，得 DCSA，DCDA， 又 SADAA，SA，DA平面 SAD， DC平面 SAD， AM平面 SAD，AMDC 又SAAD，M 是 SD 的中点，AMSD， 又 AMDC，SDDCD，DC平面 SDC， AM平面 SDC， 又 SC平面 SDC，SCAM 由已知 SCAN，则 SC平面 AMN MN平面 AMN，SCMN； （2）解：由
28、题意可知，在 RtSAC 中， 由 SAACSCAN，可得， 则， 故 三 棱 锥M ANC的 体 积 第 18 页（共 23 页） 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间 想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 19某电视台制作了一套励志节目，内容是由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们碎玉 生活和生命的感悟，给予青年现实的讨论和心灵的滋养，同时也在讨论中国青年的社会 问题，受到青年观众的喜爱为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了 A，B 两个地区共 100 名观众，得到如下的 22 列联表： 非常满意 满意 合计 A x
29、15 B y z 合计 已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，该观众为“满意”的概率为 0.35，且 7x 6y （1）完成上述表格，并根据表格判断是否有 95%d 把握认为观众的满意度与所在地区有 关系？ （2）现从被调查的 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，求抽取 A， B 地区“满意”的观众的人数各是多少？ （3）在（2）抽取的“满意”的观众中，随机选出 2 人进行座谈，求至多有 1 名是 A 地 区观众的概率 附：，na+b+c+d P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）根据题意
30、，由概率的性质可得，解可得 z 的值，即可得 x+y 65，又由 7x6y，解可得 x、y 的值，据此可以完成 22 列联表，计算 k 的值，据此分 第 19 页（共 23 页） 析可得答案； （2）根据题意，由分层抽样的定义分析可得答案； （3）根据题意，所抽取的 A 地区的“满意”观众记为 a，b，c，所抽取的 B 地区的“满 意”观众记为 1，2，3，4；由列举法分析“随机选出 2 人进行座谈”和“至多有 1 名是 A 地区观众”的基本事件数目，由古典概型公式计算可得答案 【解答】解： （1）根据题意，在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，该观众为“满意” 的概率为 0.35，
31、则有，所以 z20， 所以 x+y65，因为 7x6y，所以 x30，y35， 非常满意 满意 合计 A 30 15 45 B 35 20 55 合计 65 35 100 则有， 所以没有 95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系 （2）根据题意，现从被调查的 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查， 应抽取 A 地区的“满意”观众， 抽取 B 地区的“满意”观众 （3）所抽取的 A 地区的“满意”观众记为 a，b，c，所抽取的 B 地区的“满意”观众记 为 1，2，3，4， 则随机选出 2 人的不同选法有（a，b） ， （a，c） ， （a，1） ， （a，2） ，
32、 （a，3） ， （a，4） ， （b， c） ， （b，1） ， （b，2） ， （b，3） ， （b，4） ， （c，1） ， （c，2） ， （c，3） ， （c，4） ， （1，2） ， （1， 3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4）共 21 个结果， 两个都是 A 地区的结果有 3 个，所以至多有 1 名是 A 地区结果有 18 个， 故其概率 【点评】本题考查独立性检验的应用，涉及古典概型的计算，属于基础题 第 20 页（共 23 页） 20已知抛物线 C：y2px（p0）的焦点 F 与椭圆：的右焦点重合，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两
33、点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H，试问是否存在 ，使得（R） ，且 |HA|2+|HB|240 都成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用椭圆：求出 F（1，0） ，得到 p4，然后求解抛物线方程 （2）设 l：xty+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立方程消去 x，通过韦达定 理以及，结合|HA|2+|HB|240 转化求解即可 【解答】解： （1）依题意，椭圆：中，a24，b23， 得 c2a2b21，则 F（1，0） ，得，即 p4 故抛物线 C 的方程为 y24x （2）设 l：xty+1，A（
34、x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程消去 x，得 y24y40， 且，又，则（1x1，y1）（x21，y2） ，即 y1y2，代 入 得， 消去 y2得，易得 H（1，0） ， 则 （t2+1） （16t2+8）+4t4t+816t4+40t2+16 第 21 页（共 23 页） 由 16t4+40t2+1640， 解得或 t23（舍） ，将代入，解得 故存在实数满足题意 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及抛物线方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联 立，运用韦达定理，向量的共线，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查设而不求 思想方法的应用，属于难题 21设函数 f（x）lnx，g（
35、x）ex（e 为自然对数的底数） （1）证明：； （2）若对x0，+） ，都有 g（x）g（x）ax（aR） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1） 构造函数， 求出其最小值大于等于 0， 即得证； （2）构造函数 h（x）g（x）g（x）ax，分 a2 及 a2 讨论得出结论 【解答】解： （1）证明：令， ，由 F（x）0xe， F（x）在（0，e）上单调递减，在e，+）上单调递增， F（x）minF（e）0， F（x）0，即成立 （2）记 h（x）g（x）g（x）axexe xax， h（x）0 在0，+）恒成立， h（x）ex+e xa， h（x）在0，+）上单调递增，又 h（0）
36、2a， 当 a2 时，h（x）0， h（x）在（0，+）上单调递增， h（x）h（0）0， 即 g（x）g（x）ax，满足题意； 当 a2 时，h（x）在0，+）上单调递增，又 h（x）min2a0， t（0，+） ，使得当 x（0，t）时，h（t）0， 此时 h（x）在（0，t）上单调递减， 当 x（0，t）时，h（x）h（0）0 这与 h（x）0 在0，+）恒成立矛盾， 第 22 页（共 23 页） a2 【点评】本题考查利用导数证明不等式，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻 辑推理能力及转化思想，构造函数思想，属于中档题 22在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极
37、轴且取相同的单位长度建 立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 （1cos2）mcos（m0） ，倾斜角为 的直线 l 过在平面直角坐标坐标为（2，4）的点 P，且直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点 （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）若，求 m 的值 【分析】 （1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果 （2）根据（1）的结论，再利用一元二次方程的应用求出结果 【解答】解： （1）由 （1cos2）mcos（m0） ，得 2sin2mcos（m0） ， 曲线 C 的直角坐标方程为 y2mx 直线 l 的倾斜角为且过点 P，直线 l
38、 的参数方程为（tR，t 为参数） （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y2mx， 得，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则有 ，|PA|PB|AB|2，又 m0，即 ， 2（8+m）220（8+m） ，m2+6m160，解得 m2 或 m8（舍去） ， m 的值为 2 【点评】本题考查的知识要点：主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于 基础题型 23已知函数 f（x）|x2a|+|x+3|（aR） ，g（x）|x3|+1 （1）解不等式|g（x）|3； （2）若对任意 x1R，都有 x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取值范围
39、第 23 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据|g（x）|3，可得|x3|2，然后直接解绝对值不等式即可； （2）由条件可得y|yf（x）y|yg（x），再根据 f（x）|x2a|+|x+3|2a+3|，g （x）|x3|+11，可得|2a+3|1，解绝对值不等式可得 a 的取值范围 【解答】解： （1）由|x3|+1|3，得|x3|+13|x3|2x32 或 x32， 得 x5 或 x1，不等式的解集为x|x5 或 x1 （2）对任意 x1R，都有 x2R，使得 f（x1）g（x2）成立， y|yf（x）y|yg（x）， 又 f（x）|x2a|+|x+3|（x2a）（x+3）|2a+3|，g（x）|x3|+11， |2a+3|1，解得 a1 或 a2， 实数 a 的取值范围为（，21，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了转化思想，属中 档题
