1、黑龙江省黑龙江省 2020 届高三理科届高三理科 5 月数学模拟试卷月数学模拟试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1若集合 Mx|x2，Nx|x26，则 MN（ ） A(6，2) B(， 6) C （，2） D(， 6) (2，6) 2设 z2+（3i）2，则 =（ ） A6+10i B610i C10+6i D106i 3已知 P 为椭圆 2 3 + 2 2 =1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1
2、F2 的面积为（ ） A2 B4 C2 D2 2 来源:. 4 2020 年 1 月， 某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 5若函数 f（x）3x+log2（x2） ，则(5) + (10 3 ) =（ ） A24 B25 C26 D27 6函数 f（x）|1+2sin2x|的最小正周期为（
3、） A 2 B C3 2 D2 7在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ，则 =（ ） A 4 5 + B4 5 C + 4 5 D 3 4 + 8已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且10= 26，若 mS32S8+S24，则 m（ ） A 7 15 B1 2 C 8 15 D 7 16 9已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右顶点为 A，直线 = 3 2 ( + )与 C 的一条 渐近线在第一象限相交于点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 10已知函数() = 2 4 + 1， 0 2 2，0， ，若关于 x 的方程() 2)
4、() ) = 0恰 有 5 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A （1，2） B （2，5）1 C1，5 D2，5）1 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A25 4 B64 3 C25 D32 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足(1 2) = 1 2 ，() + 40，其中 f（x）为 f（x） 的导函数，则不等式 f（sinx）cos2x0 的解集为（ ） A 3 + 2， 3 + 2， B 6 + 2， 6 + 2， C 3 + 2， 2 3 + 2， D 6 + 2， 5 6 + 2， 二、填空题：本大题共二、填空题
5、：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13( 1 3 )20的展开式的第 2 项的系数为 14设 x，y 满足约束条件 + 1 0 + + 1 0 3 0 ，则当 z2x+y 取得最大值时，y 15在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BC 的中点，若 BD1与该正四棱柱的每个面所 成角都相等，则异面直线 C1E 与 BD1所成角的余弦值为 16定义 p（n）为正整数 n 的各位数字中不同数字的个数，例如 p（555）1，p（93）2， p（1714）3在等差数列an中，a29，a1025，则 a
6、n ，数列p（an）的 前 100 项和为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求 作答 （一）必考题：共作答 （一）必考题：共 60 分分 17设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，
7、求ABD 的面积 18甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的 2 倍，丙的命中率等于 甲与乙的命中率之和若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率 为 0.18 （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为 X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA底面 ABCD （1）证明：平面 PBD平面 PAC （2）若BAD60，且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为27 7 ，求PCA 的大小 20设抛物线 y22px（p0
8、）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若( 2 ，)，且 l 的斜率为1，当 Pl 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示） ，并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 21已知函数 f（x）ex 12lnx+x （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）（x2）33（x2） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方
9、程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 + 27 = 6( + 2) （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程） ； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x5|2x+1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 xR，任意 tR 恒成立，求 m 的取 值范围 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题
10、，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1若集合 Mx|x2，Nx|x26，则 MN（ ） A(6，2) B(， 6) C （，2） D(， 6) (2，6) 求出集合 M，N，由此能求出 MN 集合 Mx|x2，Nx|x26， = (， 6) (6，+ )， = (， 6) 故选：B 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2设 z2+（3i）2，则 =（ ） A6+10i B610i C10+6i D106i 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 因为
11、 z2+86i106i， 所以 =10+6i 故选：C 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3已知 P 为椭圆 2 3 + 2 2 =1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1F2 的面积为（ ） A2 B4 C2 D22 根据方程可得到 b，c 的值，进而可求出面积 根据条件可得 b22，c2321，则 b= 2，c1， 则PF1F2的面积= 1 2 2cbbc= 2， 故选：C 本题考查椭圆的性质，考查焦点三角形的面积，属于 基础题 4 2020 年 1 月， 某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的 70
12、 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 利用平均值的定义求解 因为 = 22+34+58+610+716+916+1010+124 70 7， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 7 天， 故选：B 本题主要考查了平均值的概念，是基础题 5若函数 f（x）3x+log2（x2） ，则(5) + (10 3 ) =（ ） A24 B25 C26 D27 直接把变
13、量代入解析式，再结合对数的运算性质即可求解 因为 f（x）3x+log2（x2） ， (5) = 15 + 23，(10 3 ) = 10 + 2 4 3， 所以(5) + (10 2 ) = 25 + 24 = 27 故选：D 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6函数 f（x）|1+2sin2x|的最小正周期为（ ） A 2 B C3 2 D2 直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的图象的变换的应用求出结果 设函数 g（x）sin2x，则函数的最小正周期为2 2 = ， 所以函数 f（x）|1+2sin2x|的图象相当于函数的图象把 x 轴下面的翻上去
14、，所以函数的 图象的翻折没有影响函数的的最小正周期， 故最小正周期为 故选：B 本题考查的知识要点：三角函数的图象的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ，则 =（ ） A 4 5 + B4 5 C + 4 5 D 3 4 + 直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果 在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ， 所以 = 4 5 ，则 = + = + 4 5 = 4 5 + 故选：A 本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力，属于基础题型 8
15、已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且10= 26，若 mS32S8+S24，则 m（ ） A 7 15 B1 2 C 8 15 D 7 16 根据题意，由等比数列的通项公式可得 q4= 10 6 = 2，进而结合等比数列的前 n 项和公 式可得 m 1(132) 1 = 1(18) 1 + 1(124) 1 ，解可得 m 的值，即可得答案 根据题意，等比数列an中10= 26，则 q4= 10 6 = 2，则有 q82； 若 mS32S8+S24，则有 m 1(132) 1 = 1(18) 1 + 1(124) 1 ， 变形可得：m（116）（12）+（18） ，即 15m8，解可得 m
16、= 8 15； 故选：C 本题考查等比数列的前 n 项和公式，关键是求出 q 的值，属于基础题来源:学。科。网 Z。X。X。K 9已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右顶点为 A，直线 = 3 2 ( + )与 C 的一条 渐近线在第一象限相交于点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 利用已知条件列出方程组，求出 a，b 关系式，然后求解双曲线的离心率即可 依题意，联立 = ， = ， = 3 2 ( + )， ， 得 = 3，即 b23a2，所以 c2a23a2，即 c24a2， 所以 = = 2 故选：C 本题考查双曲线的简单性质的应
17、用，是基本知识的考查，基础题 10已知函数() = 2 4 + 1， 0 2 2，0， ，若关于 x 的方程() 2)() ) = 0恰 有 5 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A （1，2） B （2，5）1 C1，5 D2，5）1 化简方程，求出函数的值，画出函数的图象，利用数形结合，求解函数的实数根，推出 m 的范围即可 函数() = 2 4 + 1， 0 2 2，0， ，关于 x 的方程() 2)() ) = 0可得：2f2 （x）（2m+1）f（x）+m2f（x）1f（x）m0 可得 f（x）= 1 2或 f（x）m作 出函数 yf（x）的图象，如图所示：方程 f（x）=
18、1 2只有一个实数根，所以方程 f（x） m 有 2 个实数根，故 m 的取值范围：2，5）1 故选：D 本题考查函数与方程的应用，分段函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查数 形结合以及计算能力，是难题 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A25 4 B64 3 C25 D32 由三视图还原原几何体，可知该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三 角形，PA底面 ABC，找出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积 公式得答案 由三视图还原原几何体如图， 该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为
19、2 的等边三角形， PA底面 ABC， 设底面三角形 ABC 的外心为 G， 过 G 作底面的垂线 GO， 且使 GO= 1 2AP 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，连接 OB， GB= 23 3 ，OG2，三棱锥外接球的半径 ROB=4 + (2 3 3 )2= 43 3 该几何体外接球的表面积为 4 (4 3 3 )2= 64 3 故选：B 本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积的求法，是中档题 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足(1 2) = 1 2 ，() + 40，其中 f（x）为 f（x） 的导函数，则不等式 f（sinx）cos2x0 的解集为（
20、） A 3 + 2， 3 + 2， B 6 + 2， 6 + 2， C 3 + 2， 2 3 + 2， D 6 + 2， 5 6 + 2， 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得 到结论 设 g（x）f（x）+2x21， g（x）f（x）+4x0 在 R 上恒成立， g（x）在 R 上单调递增，不等式 f（sinx）cos2xf（sinx）+2sin2x1，且 g（1 2） 0， 不等式 f（sinx）cos2x0 g（sinx）g（1 2） ， sinx 1 2， 6 +2kxx 5 6 + 2，kZ 故选：D 本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数
21、的奇偶性与单调性的应用，结合已知条 件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13( 1 3 )20的展开式的第 2 项的系数为 20 由题意利用二项式展开式的通项公式，求出展开式的第 2 项的系数 ( 1 3 )20的展开式的第 2 项的系数为20 1 (1) = 20， 故答案为：20 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于 基础题 14设 x，y 满足约束条件 + 1 0 + + 1 0
22、3 0 ，则当 z2x+y 取得最大值时，y 4 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z，当直线 y2x+z 经过 A 点时，直线 y2x+z的截距最大，此时 z 最大， A（3，4） ， 则 z2x+y23+410， 此时 y4 故答案为：4 本题主要考查线性规划的应用，作出图象，利用目标函数的几何意义利用平移法是解决 本题的关键 15在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BC 的中点，若 BD1与该正四棱柱的每个面所 成角都相等，则异面直线 C1E 与 BD1所成角
23、的余弦值为 15 5 推丑陋同该正四棱柱为正方体，取 B1C1的中点 F，连结 BF，D1F，BD1，则FBD1是 异面直线 C1E 与 BD1所成角，由此能求出异面直线 C1E 与 BD1所成角的余弦值 BD1与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 该正四棱柱为正方体， 取 B1C1的中点 F，连结 BF，D1F，BD1， 则FBD1是异面直线 C1E 与 BD1所成角， 设 AB2，则 BFD1F= 5，BD123， cosFBD1= 5+125 2235 = 15 5 异面直线 C1E 与 BD1所成角的余弦值为 15 5 故答案为： 15 5 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法， 考查空
24、间中线线、 线面、 面面间的位置关系， 考查化归与转化思想，是中档题 16定义 p（n）为正整数 n 的各位数字中不同数字的个数，例如 p（555）1，p（93）2， p（1714）3在等差数列an中，a29，a1025，则 an 2n+5 ，数列p（an） 的前 100 项和为 227 在等差数列an中，a29，a1025，公差 d2，利用通项公式可得 an可得 a17，a100 205an为奇数，通过分类讨论：p（an）1p（an）2p（an）3即可得出 在等差数列an中，a29，a1025，公差 d= 259 102 =2，an9+2（n2）2n+5 a17，a100205 an为奇数，
25、an7，9，11，33，55，77，99，111 时，p（an）1 an101，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181， 191，199 时，p（an）2 在an中，小于 100 的项共有 47 项，这 47 项中满足 p（an）2 的共有 47740 项， 故数列p（an）的前 100 项和为：18+2（40+17）+3（10084017）227 故答案为：2n+5，227 本题考查了等差数列的通项公式、 新定义、 分类讨论方法， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题
26、，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求 作答 （一）必考题：共作答 （一）必考题：共 60 分分 17设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，求ABD 的面积 （1） 利用正弦定理化角， 然后由三角函数值相等得到角之间的关系， 即可求出
27、 A 是直角； （2） 先在DBC 中利用余弦定理求出 C 角， 然后再在直角三角形 ABC 中求出 AB， AC， 则面积可求 解（1）由正弦定理 acosBbcosA+c 化为： sinAcosBsinBcosA+sinC， sinAcosBsinBcosAsinC，sin（AB）sinC， AB（，） ，C（0，） ， ABC 或 ABC（舍） AB+C， = 2即ABC 是直角三角形 （2） 在 RtBCD 中， CD3， BD5， BC6， 由余弦定理得 = 2+22 2 = 5 9 = 214 9 = = 10 3 ，ADACCD= 1 3，又 = = 414 3 = 1 2 =
28、214 9 本题考查正余弦定理、三角函数的定义及三角恒等变换等知识方法要注意对这种多个 三角形的解三角形问题，先将条件集中在一个三角形中挖掘隐含条件同时考查了学生 的逻辑推理、数学运算以及直观想象等数学核心素养 18甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的 2 倍，丙的命中率等于 甲与乙的命中率之和若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率 为 0.18 （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为 X，求 X 的分布列及数学期望 （1）设甲的命中率为 p，则根据题意可得，p2p0.18，求出
29、即可； （2）根据题意，X 可能取得值为 0，1，2，3，求出 X 的分布列和数学期望，得出答案 （1）设甲的命中率为 p，则根据题意可得，p2p0.18， p0.3， 故甲乙丙投篮的命中率分别为 0.3，0.6，0.9； （2）根据题意，X 可能取得值为 0，1，2，3， 则 P（X0）（10.3）（10.6）（10.9）0.028， P（X1）0.3（10.6）（10.9）+（10.3）0.6（10.9）+（10.3） （10.6）0.90.306， P（X2）0.30.6（10.9）+（10.3）0.60.9+0.3（10.6）0.90.504， P（X3）0.30.60.90.162，
30、 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.028 0.306 0.504 0.162 EX00.028+10.306+20.504+30.1621.8 本题考察了离散型随机变量的分布列和数学期望，考察运算能力，中档题 19如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA底面 ABCD （1）证明：平面 PBD平面 PAC （2）若BAD60，且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为27 7 ，求PCA 的大小 （1）证明 BDACPABD推出 BD平面 PAC即可证明平面 PBD平面 PAC （2） 设 AC 与 BD 交于点 O， 以 O 为坐标原点，
31、 建立空间直角坐标系 Oxyz， 如图所示， 求出平面 PAB 的法向量，平面 PCD 的法向量，设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角 为 ，通过空间向量的数量积求解即可 （1）证明：因为底面 ABCD 为菱形， 所以 BDAC 因为 PA底面 ABCD， 所以 PABD 又 ACPAA，所以 BD平面 PAC 因为 BD平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAC （2）解：设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图 所示， 设 AB2，PAt（t0） ， 则(3，0，)，(3，0，0)，(0，1，0)，(0， 1，0)，(3，0，0)，
32、则 = (0，0， )， = = (3，1，0)， = (3， 1， ) 设平面 PAB 的法向量为 = (，)，则 = = 0， = 3 + = 0， 令 x1，得 = (1， 3，0) 设平面 PCD 的法向量为 = (，)，则 = 3 = 0， = 3 + = 0， 令 xt，得 = (， 3，23) 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 ，则 = | | | |= 4 242+12 = 27 7 ， 解得 t2，则 = 23 = 3 3 ，故PCA30 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面 角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，考
33、查空间想象能力以及计算能力 20设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若( 2 ，)，且 l 的斜率为1，当 Pl 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示） ，并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 （1） 当直线 l 的斜率不存在时， 判断是否满足题意； 设其方程为 = ( 2)( 0) 联 立直线与抛物线方程，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，通过韦达定理以及抛物线的性质， 求解即可 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1） ，N（x2，y2）
34、 直线代入抛物线方程，利 用韦达定理以及判别式，转化求解 kPM+kPN0，说明直线 PM，PN 的斜率互补，从而 MPN 的平分线始终与 y 轴平行 （1）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 = 2，代入抛物线方程可得 y 2p2，即 yp， 所以|MN|2p， 但|MN|3p，故直线 l 的斜率存在，设其方程为 = ( 2)( 0) 由 = ( 2)， 2= 2， 得22 (2 + 2) + 22 4 = 0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则1+ 2= 2+2 2 ， 所以| = | + | = 1+ 2 + 2+ 2 = 1+ 2+ = 2+2 2 + = 3
35、， 解得 = 2，所以直线 l 的斜率为2 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 得 x2（2m+2p）x+m20， 则1+ 2= 2 + 2，12= 2 由（2m+2p）24m20，得 2又 2 + ，所以 3 2 ， 从而 l 在 y 轴上的截距的取值范围为( 2 ， 3 2 ) (3 2 ，+ )+ = 1 1 2 + 2 2 2 = (1)(2 2)+(2)(1 2) (1 2)(2 2) = (1+)(2 2)+(2+)(1 2) (1 2)(2 2) = 212+( 2)(1+2)() (1 2)(2 2) = 22+( 2)(2+2)() (
36、1 2)(2 2) = 0， 所以直线 PM，PN 的斜率互补， 从而MPN 的平分线始终与 y 轴平行 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的方程的求法以及简单性质的应 用，考查分析问题解决问题的能力，是难题 21已知函数 f（x）ex 12lnx+x （1）求 f（x）的单调区间；来源:学科网 （2）证明：f（x）（x2）33（x2） （1）求导，令 f（x）0，求得单调减区间，令 f（x）0，求得单调增区间； （2）当 0x3 时，易得 f（x）（x2）33（x2） ，当 x3 时，通过多次求导， 进而判断函数单调性，由此求得最值，由此即可得证 （1）f（x）的定义域为（0，
37、+） ，() = 1 2 + 1， 易知() = 1 2 + 1在（0，+）上单调递增，且 f（1）0， 令 f（x）0，解得 0x1，则 f（x）的单调递减区间为（0，1） ； 令 f（x）0，解得 x1，则 f（x）的单调递增区间为（1，+） ； （2）证明：设 g（x）（x2）33（x2） （x0） ，g（x）3（x1） （x3） ， 令 g（x）0，解得 1x3，令 g（x）0，解得 0x1 或 x3， 当 x1 时，g（x）取得极大值，且极大值为 2， 由（1）知，f（x）minf（1）2，故当 0x3 时，f（x）（x2）33（x2） ， 设 h （x） f （x） g （x） e
38、x 12lnx （x2）3+4x6 （x3） ， 则() = 1 2 3( 2)2+ 4， 设() =()，() = 1+ 2 2 6( 2)，设() = ()，() = 1 4 3 6， 易知 q（x）在（3，+）上单调递增，则()(3) = 2 4 27 60，则 q（x） 在（3，+）上单调递增， 从而()(3) = 2+ 2 9 60，则 h（x）在（3，+）上单调递增， 所以()(3) = 2+ 1 30，则 h（x）在（3，+）上单调递增， 于是 h（x）h（3）e2+52ln30，故当 x3 时，f（x）（x2）33（x2） ； 综上，f（x）（x2）33（x2） 本题主要考查利
39、用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，多次求导进而判断函数 单调性，进一步求得最值是证明的关键，属于中档题目 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从第分请考生从第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 + 27 = 6( + 2) （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程） ； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个
40、公共点，求 k 的取值范围 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 （1）曲线 E 的极坐标方程为 + 27 = 6( + 2)转换为直角坐标方程为 x2+y2 6x12y+270，整理得（x3）2+（y6）218 （2）易知曲线 E 过定点 M（3，0）其图象关于直线 x3 对称的“V”字形 由于曲线 E 是以（3，6）为圆心 32为半径的圆， 所以 k0，来源:学#科#网 当 x3 时，曲线 C 的方程为 ykx3k，即 kxy3k0， 则圆心（3，6）到直线的距离 d= |363| 1+2 = 6 1+2 32， 解得 k21，由于 k0，来源:学,科,网 所以 k1 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距 离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4
