1、第 1 页（共 11 页） 天津耀华滨海学校 20192020 学年度第二学期统练（8） 高三年级 数学试卷 考试时间：2020 年 5 月 9 日 10:4512：15 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 若集合A 1，1，B 0，2，则集合 | z zxy，xA，yB中的元素的 个数为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 2. 设R，则“ 1212 ”是“ 1 sin 2 ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设01a，则（ ） A. 2
2、 2 loglogaa B. 22 loglogaa C. 2 2 loglogaa D. 2 2 loglogaa 4. 直线2550xy被圆 22 240xyxy截得的弦长为（ ） A.1 B.2 C.4 D.4 6 5. 若将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 （ ） A.() 26 k xkZ B.() 26 k xkZ C.() 212 k xkZ D.() 212 k xkZ 6. 已知 0 (M x， 0) y是双曲线C： 2 2 1 2 x y上的一点， 1 F、 2 F是C上的两个焦点，若 12 0MF MF，则 0 y的取值范围是（
3、 ） A. 3 ( 3 ， 3) 3 B. 3 ( 6 ， 3) 6 C. 2 2 ( 3 ， 2 2 ) 3 D. 2 3 ( 3 ， 2 3) 3 7. 已知0x ，0y ，228xyxy，则2xy的最小值是（ ） A.3 B.4 C. 9 2 D. 11 2 8. 若函数( )lnf xkxx在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是（ ） A.(，2 B.(，1 C.2，) D.1，) 9. 如图，在ABC中， 3 BAC ，2ADDB，P为CD上一点，且满足 1 2 APmACAB，若ABC的面积为2 3，则AP的最小值为（ ） 第 2 页（共 11 页） A.2 B.3 C.3 D
4、. 4 3 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10. 复数 22 1 i i _. 11. 5 (2)x的展开式中， 2 x的系数等于_（用数字作答）. 12. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形， 侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的 体积为_. 13. 已知函数 2 ( )1f xxmx，若对于任意xm，1m，都有( )0f x 成立，则实 数m的取值范围是_. 14. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线 2 ( b yaxa x ，b为常数）过点(2P，5)，且该 曲线在点P处的切线与直
5、线7230xy平行，则ab的值是_. 15. 设函数 3 3 ( ) 2 xxxa f x xxa . 若0a ，则( )f x的最大值为_； 若( )f x无最大值，则实数a的取值范围是_. 三、解答题：本大题共 3 小题，共 45 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分 14 分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知 tan()2 4 A . 求 2 sin2 sin2cos A AA 的值； 若 4 B ，3a ，求ABC的面积. 第 3 页（共 11 页） 17. （本小题满分 15 分） 设椭圆中心在坐标原点，(2A，0)，(0B，1)
6、是它的两个顶点， 直线(0)ykx k与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点 若6EDDF，求k的值； 求四边形AEBF面积的最大值. 18. （本小题满分 16 分）已知公比为q的等比数列 n a是递减数列，且满足 123 13 9 aaa， 123 1 27 a a a . 求数列 n a的通项公式； 求数列(21) n na的前n项和 n S； 若 (1) (21)(21) n n na b nn ，求数列 n b的前n项和 n T. 第 4 页（共 11 页） 天津耀华滨海学校 20192020 学年度第二学期统练（8） 高三年级 数学参考答案与解析 一、选择题：本大题共 9 小题，
7、每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 19. 若集合A 1，1，B 0，2，则集合 | z zxy，xA，yB中的元素的 个数为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【解析】集合A 1，1，B 0，2，101 ，101，121 ，123， | z zxy，xA， 1yB ，1，3， 集合 | z zxy，xA，yB中的元素的个数为 3. 【点评】本题考查集合的概念，考查集合中元素的性质，属于基础题. 20. 设R，则“ 1212 ”是“ 1 sin 2 ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充
8、分也不必要条件 【答案】A 【解析】0 12121212126 ， 17 sin22 266 kk ，kZ， 显然 |0 6 xx 7 |22 66 xkxk ，kZ， 可得“ 1212 ”是“ 1 sin 2 ”的充分不必要条件.故选：A. 【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法 和正确解不等式是解题的关键，属于基础题. 21. 设01a，则（ ） A. 2 2 loglogaa B. 22 loglogaa C. 2 2 loglogaa D. 2 2 loglogaa 【答案】B 【解析】01a， 2 01aaa， 在 A 中， 2 2 loglog
9、aa，故 A 错误；在 B 中， 22 loglogaa，故 B 正确； 在 C 中， 2 2 loglogaa，故 C 错误；在 D 中， 2 2 loglogaa，故 D 错误. 【点评】本题考查命题真假的判断，考对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题. 22. 直线2550xy被圆 22 240xyxy截得的弦长为（ ） A.1 B.2 C.4 D.4 6 【答案】C 【解析】由 22 240xyxy，得 22 (1)(2)5xy， 圆的圆心坐标是(1C，2)，半径5r . 第 5 页（共 11 页） 圆心C到直线2550xy的距离为 22 |1
10、12255 |5 1 5 12 d ， 直线直线2550xy被圆 22 240xyxy截得的弦长为 22 2 ( 5)14. 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关 系，是基础题. 23. 若将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 （ ） A.() 26 k xkZ B.() 26 k xkZ C.() 212 k xkZ D.() 212 k xkZ 【答案】B 【解析】将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度，得到 2sin2()2sin(2) 126 yxx ， 由2() 62 xkkZ 得：()
11、26 k xkZ ， 即平移后的图象的对称轴方程为() 26 k xkZ ，故选 B. 【点评】本题考查函数sin()(0yAxA，0)的图象的变换规律的应用及正弦函 数的对称性质，属于中档题. 24. 已知 0 (M x， 0) y是双曲线C： 2 2 1 2 x y上的一点， 1 F、 2 F是C上的两个焦点，若 12 0MF MF，则 0 y的取值范围是（ ） A. 3 ( 3 ， 3) 3 B. 3 ( 6 ， 3) 6 C. 2 2 ( 3 ， 2 2 ) 3 D. 2 3 ( 3 ， 2 3) 3 【答案】A 【解析】 120 (3MF MFx ， 00 ) ( 3yx， 222
12、0000 )3310yxyy ， 0 33 33 y.故选 A. 【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基 础. 25. 已知0x ，0y ，228xyxy，则2xy的最小值是（ ） A.3 B.4 C. 9 2 D. 11 2 【答案】B 【解析】0x ，0y ，22 2xyxy，即 2 (2 ) 2 4 xy xy . 又228xyxy，28(2 )xyxy，即 2 (2 ) 8(2 ) 4 xy xy 整理得 2 (2 )4(2 )320xyxy 第 6 页（共 11 页） 即(24)(28)0xyxy，又20xy，24xy. 【点评】此题主要考查基本
13、不等式的用法，对于不等式2abab在求最大值最小值的 问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意. 26. 若函数( )lnf xkxx在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是（ ） A.(，2 B.(，1 C.2，) D.1，) 【答案】D 【解析】( )lnfxkxx， 函数( )lnf xkxx在区间(1，)上单调递增， ( )0fx在区间(1，)上恒成立， 即 1 k x . 1 y x 在区间(1，)上单调递减，(1x ，)， 1 1 x ，1k ，即k的取值范 围是1，). 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中 档题. 27. 如图，在ABC中
14、， 3 BAC ，2ADDB，P为CD上一点，且满足 1 2 APmACAB，若ABC的面积为2 3，则AP的最小值为（ ） A.2 B.3 C.3 D. 4 3 【答案】B 【解答】2ADDB， 3 2 ABAD， 13 24 APmACABmACAD. 又P为CD上一点， 3 1 4 m ，即 1 4 m ， 11 42 APACAB， 222111 1644 APACABAC AB 11 2cos 843 AC ABAC AB 3 8 AC AB， 1 sin2 3 23 ABC SAC AB ，8AC AB ， 23 83 8 AP ，3AP ， 即AP的最小值为3，故选 B. 【点评
15、】此题考查了向量之间的转化，数量积，向量的模，不等式等，综合性较强，难 度适中. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 28. 复数 22 1 i i _. 【答案】2i 第 7 页（共 11 页） 【解析】复数 22(22 )(1)2( 2 ) 2 1(1)(1)2 iiii i iii . 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题. 29. 5 (2)x的展开式中， 2 x的系数等于_（用数字作答）. 【答案】80 【解析】 5 (2)x的展开式的通项公式为 5 15 2 rrr r TC x ， 令52r，求得3r ，可得展开式中 2
16、x项的系数为 33 52 80C. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，求展开式中某项的系数，属于基础题. 30. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形， 侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的 体积为_. 【答案】 4 【解析】由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为 2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：该四棱锥的高为 2， 由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， 由圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于 1，即半径等于 1 2 ； 由相似比可得圆柱的高为该四棱
17、锥高的一半， 则该圆柱的体积为： 2 1 ( )1 24 VSh . 【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题. 31. 已知函数 2 ( )1f xxmx，若对于任意xm，1m，都有( )0f x 成立，则实 数m的取值范围是_. 【答案】 2 ( 2 ，0) 【解析】二次函数 2 ( )1f xxmx的图象开口向上， 对于任意xm，1m， 都有( )0f x 成立， 只需 2 2 ( )210 (1)(1)(1)10 f mm f mmm m ， 即 22 22 (23)0 m mm ，解得 2 0 2 m. 【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了
18、转化的数学思想，属于基础题. 32. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线 2 ( b yaxa x ，b为常数）过点(2P，5)，且该 曲线在点P处的切线与直线7230xy平行，则ab的值是_. 【答案】3 【解析】曲线 2 b yax x 过点(2P，5)，45 2 b a ， 第 8 页（共 11 页） 曲线在点P处的切线与直线7230xy平行， 2 7 | 2 x y ，即 7 4 42 b a . 即 45 2 7 4 42 b a b a ，解得 1 2 a b ，故3ab . 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到 2 |5 x y ，且 2 7
19、| 2 x y ，是解题的关键. 33. 设函数 3 3 ( ) 2 xxxa f x xxa . 若0a ，则( )f x的最大值为_； 若( )f x无最大值，则实数a的取值范围是_. 【答案】2；(，1). 【解析】若0a ，则 3 30 ( ) 20 xxx f x xx ，则 2 330 ( ) 20 xx fx x ， 当1x 时，( )0fx， 此时函数为增函数， 当1x 时，( )0fx， 此时函数为减函数， 故当1x 时，( )f x取得最大值为 2. 2 33 ( ) 2 xxa fx xa ，令( )0fx，则1x . 若( )f x无最大值，则 3 1 23 a aaa
20、 或 3 1 23 22 a aaa a ，解得：(a ，1). 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档. 三、解答题：本大题共 3 小题，共 45 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 34. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知tan()2 4 A . 求 2 sin2 sin2cos A AA 的值； 若 4 B ，3a ，求ABC的面积. 【答案】 2 5 ；9. 【解析】tan()2 4 A ， tantan 4 2 1tantan 4 A A ， 即 1tan 2 1tan A A ，解得 1 tan 3 A ， 2
21、 sin2 sin2cos A AA 2 2sincos 2sincoscos AA AAA 2tan 2tan1 A A 2 5 . 第 9 页（共 11 页） 1 tan 3 A ，(0A，)， sin1 cos3 A A ，即cos3sinAA， 把cos3sinAA代入 22 sincos1AA可得 10 sin 10 A（舍负） ， 3 10 cos 10 A. 又由3a ， 4 B 及正弦定理 sinsin ab AB ，可得 2 3 sin 2 3 5 sin10 10 aB b A ， 又 1023 1022 5 sinsin()sin()sincoscossin 444102
22、1025 CABAAA ， ABC的面积为 112 5 sin3 3 59 225 SabC . 【点评】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用， 同时考查了运算求解能力，属于中档题. 35. 设椭圆中心在坐标原点，(2A，0)，(0B，1)是它的两个顶点，直线(0)ykx k与 AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点 若6EDDF，求k的值； 求四边形AEBF面积的最大值. 【答案】 2 3 k 或 3 8 k ；2 2. 【解析】依题设得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. 直线AB，EF的方程分别为22xy，(0)ykx k 如图，设 0 (D x， 0)
23、kx， 1 (E x， 1) kx， 2 (F x， 2) kx，其中 12 xx， 且 1 x， 2 x满足方程 22 (14)4kx， 故 21 2 2 14 xx k 由6EDDF知 0120 6()xxxx，得 0212 2 1510 (6) 77 7 14 xxxx k ； 由D在AB上知 00 22xkx，得 0 2 12 x k 所以 2 210 12 7 14 k k ， 化简得 2 242560kk， 第 10 页（共 11 页） 解得 2 3 k 或 3 8 k . 由题设，| 1BO ，| 2AO .由知， 1 (E x， 1) kx， 2 (F x， 2) kx， 不妨
24、设 11 ykx， 22 ykx，由得 2 0x ，根据E与F关于原点对称可知 21 0yy ， 故四边形AEBF的面积为 OBEOBFOAEOAF SSSSS 1221 1111 | ()| () 2222 OBxOBxOAyOAy 2121 11 |()|() 22 OBxxOAyy 22 2xy 22222 22222222 (2)442(4)2 2xyxyx yxy， 当 22 2xy时，上式取等号所以S的最大值为2 2. 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线的综合问题是支撑 圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解 题途径
25、其运算量繁简差别很大. 36. 已知公比为q的等比数列 n a是递减数列，且满足 123 13 9 aaa， 123 1 27 a a a . 求数列 n a的通项公式； 求数列(21) n na的前n项和 n S； 若 (1) (21)(21) n n na b nn ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】 1 1 3 n n a ； 1 1 3 3 n n n S ； 1 31 44(21)3nn . 【解析】由 123 1 27 a a a 及等比数列性质得 3 2 1 27 a ，即 2 1 3 a ， 由 123 13 9 aaa得 13 10 9 aa. 由 2 13 1
26、3 10 9 a aa 得 1 2 11 1 3 10 9 a q aa q ， 2 110 3 q q ，即 2 31030qq，解得3q ，或 1 3 q . 当3q 时， 1 1 9 a ；当 1 3 q 时， 1 1a . n a是递减数列， 1 1a ， 1 3 q ， 数列 n a的通项公式为 1 1 3 n n a . 第 11 页（共 11 页） 由知 1 21 (21) 3 n n n na ， 012 135 333 n S 21 2321 33 nn nn ， 123 1135 3333 n S 1 2321 33 nn nn ， 12 222 1 333 n S 1 1 21 1( ) 2212122 33 12 1 3333 1 3 n nnnn nnn ， 1 1 3 3 n n n S . 11 (1)1311 () (21)(21)(21)(21)34 (21)3(21)3 n n nnn nan b nnnnnn ， 12n Tbb n b 2 3111 (1 43 33 352 11 113131 )(1) (21)3(21)34(21)344(21)3 nnnn nnnn .
