1、天津耀华滨海学校 2020 届高三统练（3） 第1页（共4页） 天津耀华滨海学校 2020 届高三统练（3） 数学试卷（20200408） 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 集合 |lg0Mxx=， 2 |4Nx x=，则MN =（ ） A.1 (，)2 B.1 ，)2 C.1 (，2 D.1 ，2 2. 设函数( )cossin (f xxbx b=+为常数） ，则“0b =”是“( )f x为偶函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.
2、 下面不等式成立的是（ ） A. 322 log 2log 3log 5 B.3log5log2log 223 C.5log2log3log 232 D.2log5log3log 322 4. 将函数sin(2) 3 yx =图象上的点( 4 P ，) t向左平移(0)s s 个单位长度得到点 P ，若 P 位于函 数sin2yx=的图象上，则（ ） A. 1 2 t =，s的最小值为 6 B. 3 2 t =，s的最小值为 6 C. 1 2 t =，s的最小值为 3 D. 3 2 t =，s的最小值为 3 5. 已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱（底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱）
3、的各顶点 均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. 32 3 B.4 C.2 D. 4 3 6. 过三点(1A，3)，(4B，2)，(1C，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN =（ ） A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 7. 若正数x、y满足35xyxy+=，则34xy+的最小值是（ ） A. 24 5 B. 28 5 C.5 D.6 8. 已知抛物线 2 4yx=的焦点为F， 准线为l.若l与双曲线 22 22 1(0 xy a ab =，0)b 的两条渐近线分 别交于点A和点B，且4ABOF=（O为原点） ，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 9. 已知
4、aR，设函数 2 221 ( ) ln1 xaxax f x xaxx + = .若关于x的不等式( )0f x 在R上恒成立，则 a的取值范围为（ ） A.0，1 B.0，2 C.0， e D.1， e 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10. 复数(1 2 )(3)zii=+，其中i为虚数单位，则z的实部是_. 11. 在二项式 9 ( 2) x+的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_. 12. 设数列 n a满足 1 1a =，且 * 1 1() nn aannN + =+，则数列 1 n a 前 10 项的和为_. 13. 设曲线 x ye=在
5、点(0，1)处的切线与曲线 1 (0)yx x =上点P处的切线垂直，则P的坐标为_. 天津耀华滨海学校 2020 届高三统练（3） 第2页（共4页） 14. （2015 上海理，12）赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片 中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元） ；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将 这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元） 若随机变量 1 和 2 分别表示赌 客在一局赌博中的赌金和奖金，则 12 EE=_（元）. 15. （2007 天津理，15）如图，在ABC中，120BAC=，2AB =，1AC
6、=，D是边BC上一点， 2DCBD=，则ADBC =_ 天津耀华滨海学校 2020 届高三统练（3） 第3页（共4页） 三、解答题：本大题共 2 小题，共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分 12 分） （2015 湖南理，19）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA=，且B为钝 角. 证明： 2 BA =； 求sinsinAC+的取值范围. 天津耀华滨海学校 2020 届高三统练（3） 第4页（共4页） 17. （本小题满分 13 分） 设 1 F、 2 F分别是椭圆 2 2 1 4 x y+=的左、右焦点. 若P是该椭圆上的一个动
7、点，求 12 PF PF的最大值和最小值； 设过定点(0M，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原 点） ，求直线l的斜率k的取值范围. 第1页（第 7 页） 天津耀华滨海学校 2020 届高三统练（3） 数学参考答案与解析（20200408） 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 集合 |lg0Mxx=， 2 |4Nx x=，则MN =（ ） A.1 (，)2 B.1 ，)2 C.1 (，2 D.1 ，2 【答案】C 【解析】 |lg0 |1Mxxx x=， 2 |4 | 2
8、2Nx xxx= ， |12MNxx=，故选：C. 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础. 2. 设函数( )cossin (f xxbx b=+为常数） ，则“0b =”是“( )f x为偶函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】求出( )f x为偶函数的等价条件即可得出结果. ( )cossinf xxbx=+为偶函数xR ，()( )cos()sin()cossinfxf xxbxxbx=+=+ cossincossinsin00xbxxbxbxb=+=， “0b =”是“( )f x为偶函数”的
9、充分必要条件.故选：C. 【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基 础题. 3. 下面不等式成立的是（ ） A. 322 log 2log 3log 5 B.3log5log2log 223 C.5log2log3log 232 D.2log5log3log 322 【答案】A 【解答】 33222 log 2log 31log 2log 3log 5= =，故选：A. 【点评】本题主要考查对数函数的单调性问题. 4. 将函数sin(2) 3 yx =图象上的点( 4 P ，) t向左平移(0)s s 个单位长度得到点 P ，若 P 位于函 数
10、sin2yx=的图象上，则（ ） A. 1 2 t =，s的最小值为 6 B. 3 2 t =，s的最小值为 6 C. 1 2 t =，s的最小值为 3 D. 3 2 t =，s的最小值为 3 【答案】A 【解析】点( 4 P ，) t在函数sin(2) 3 yx =的图象上， 1 sin(2)sin 4362 t =. 将函数sin(2) 3 yx =图象上的点P向左平移s个单位，得到( 4 Ps ， 1) 2 点， 若 P 位于函数sin2yx=的图象上，则 1 sin(2 )cos2 22 ss =，则22 3 sk = +，kZ， 则 6 sk = +，kZ，由0s 得：当0k =时，
11、s的最小值为 6 ，故选：A. 【点评】本题考查的知识点是函数sin()(0yAxA=+，0)的图象和性质，难度中档. 5. 已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱（底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱）的各顶点 均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. 32 3 B.4 C.2 D. 4 3 第2页（第 7 页） 【答案】D 【解析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径1R =， 最后根据球的体积公式，可算出此球的体积 正四棱柱的底面边长为 1，侧棱长为2， 正四棱柱体对角线的长为1 1 22+ += 又正四棱柱的顶点在同一球面上， 正四棱柱体对角
12、线恰好是球的一条直径，得球半径1R = 根据球的体积公式，得此球的体积为 3 44 33 VR=故选：D. 【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方 体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题. 6. 过三点(1A，3)，(4B，2)，(1C，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN =（ ） A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 【答案】C 【解析】设圆的方程为 22 0xyDxEyF+=，则 1930 164420 14970 DEF DEF DEF += += += ， 解得2D = ，4E =，20F = ，即圆的方程为 22 242
13、00xyxy+=， 令0x =，可得 2 4200yy+=，解得22 6y = ，| 4 6MN =.故选：C. 【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键. 7. 若正数x、y满足35xyxy+=，则34xy+的最小值是（ ） A. 24 5 B. 28 5 C.5 D.6 【答案】C 【解析】正数x，y满足35xyxy+=， 31 1 55xy += 319412313123 34()(34 )25 555555555 yxyx xyxy xyxyxy +=+=+= 当且仅当 123 55 31 1 55 yx xy xy = += ，即 1 1 2 x y = =
14、时取等号， 345xy+，即34xy+的最小值是 5.故选：C. 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解析本题的关键是由已知变形，然后 进行“1”的代换，属于基础题. 8. 已知抛物线 2 4yx=的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 22 22 1(0 xy a ab =，b 0)的两条渐近线分别 交于点A和点B，且4(ABOF O=为原点） ，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 【答案】D 【解析】抛物线 2 4yx=的焦点为F，准线为l.(1F，0)，准线l的方程为1x = . 双曲线 22 22 1(0 xy a ab =，b 0)的两条渐近线
15、分别为 b yx a = . 把1x = 代入 b yx a = ，可得 b y a = ，从而 2b AB a =. 4(ABOF O=为原点） ， 第3页（第 7 页） 2 4 b a =，即2ba=， 22 5caba=+=，双曲线的离心率为5 c e a =. 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想，是中档题. 9. 已知aR，设函数 2 221 ( ) ln1 xaxax f x xaxx + = .若关于x的不等式( )0f x 在R上恒成立，则a的取 值范围为（ ） A.0，1 B.0，1 C.0， e D
16、.1， e 【答案】C 【分析】分 2 段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得 解法一： （排除法）当ae=时， 2 221 ( ) ln1 xexex f x xexx + = ，当1x 时， 22 ( )()2f xxeee=+在(， 1上单调递减，从而( )(1)10f xf= ，当1x 时，( )1 exe fx xx = =，易得( )f x在(1，) e上递减，在 (e，)+上递增，从而( )( )0f xf e=.因此，ae=满足题意，排除 A、B. 当0a =时， 2 1 ( ) 1 xx f x xx = ，显然满足( )0f x 在R上恒成立，排除 D，故选 C.
17、解法 2： （分离变量）当1x =时，(1)12210faa= += 成立； 当1x 时， 2 2 ( )2202 1 x f xxaxaa x =+ 恒成立， 令 2222 (11)(1)2(1)1 ( ) 1111 xxxxx g x xxxx + = = = 11 (12)(2 (1)2)0 11 xx xx = + = ， 2( )0 max ag x=，0a . 当1x 时，( )ln0 ln x f xxaxa x =恒成立， 令( ) ln x h x x =，则 22 1 ln ln1 ( ) (ln )(ln ) xx x x h x xx =， 当xe时，( )0h x，(
18、 )h x递增， 当1xe时，( )0h x，( )h x递减， xe=时，( )h x取得最小值( )h ee=， ( )minah xe=， 综上a的取值范围是0， e.故选：C. 【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10. 复数(1 2 )(3)zii=+，其中i为虚数单位，则z的实部是_. 【答案】5 【解析】 2 (12 )(3)36235255ziiiiiii=+= +=+=+，则z的实部是 5. 【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 11. 在二项式 9 ( 2)x+的展开式
19、中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_. 【答案】16 2，5. 【解析】二项式 9 ( 2) x+的展开式的通项为 9 9 2 199 ( 2)2 r rrrrr r TCxC x + = 由0r =，得常数项是 1 16 2T =； 当r =1，3，5，7，9 时，系数为有理数， 系数为有理数的项的个数是 5 个. 第4页（第 7 页） 【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题. 12. 设数列 n a满足 1 1a =，且 * 1 1() nn aannN + =+，则数列 1 n a 前 10 项的和为_. 【答案】 20 11 【解析】数列 n a
20、满足 1 1a =，且 * 1 1() nn aannN + =+， 由累加法可得，当2n时， 11 () nnn aaaa =+ 3221 ()()aaaan+=+ (1)(2) 32 2 nn+ + +=， 即 2 (1)(2) 1 22 n nnnn a + =+ =， 当1n =时，上式也成立， * (1) () 2 n n n anN + =， 1211 2() (1)1 n an nnn = + . 数列 1 n a 的前n项的和 111 2(1)() 223 n S =+ 11 () 1nn + + 1 2(1) 1n = + 2 1 n n = + 数列 1 n a 的前 10
21、 项的和为 20 11 . 【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、 “裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题. 13. 设曲线 x ye=在点(0，1)处的切线与曲线 1 (0)yx x =上点P处的切线垂直，则P的坐标为_. 【答案】(1，1) 【解析】 x ye=， x ye = ， 0 0 |1 x ye = =. 曲线 x ye=在点(0，1)处的切线与曲线 1 (0)yx x =上点P处的切线垂直， 曲线 1 (0)yx x =在点P处的切线斜率为1. 又 2 1 y x = ，设点 0 (P x， 0) y，则 2 0 1 1 x = ，
22、解得 0 1x = ，0x ， 0 1x =， 0 1y =， 即点(1P，1). 【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用. 14. 赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将 卡片上的数字作为其赌金（单位：元） ；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之 差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元） 若随机变量 1 和 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌 金和奖金，则 12 EE=_（元）. 【答案】0.2 【解析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论 赌金 1 的分布列为 1 1 2 3 4 5 P
23、 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 所以 1 1 (12345)3 5 E=+=. 下面来求奖金 2 的分布列为： 若两张卡片上数字之差的绝对值为 1，则有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，4 种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为 2，则有(1，3)，(2，4)，(3，5)，3 种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为 3，则有(1，4)，(2，5)，2 种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为 4，则有(1，5)，1 种， 第5页（第 7 页） 则 2 2 5 42 (1.4) 5 P C =， 2 2 5 33 (2.8) 10 P C =， 2 2 5 21 (4.2) 5
24、P C =， 2 2 5 11 (5.6) 10 P C =， 从而奖金 2 的分布列为： 2 1.4 2.8 4.2 5.6 P 2 5 3 10 1 5 1 10 所以 2 2311 1.42.84.25.62.8 510510 E=+=， 则 12 32.80.2EE=元，故答案为：0.2. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本 题的关键. 15. 如图，在ABC中，120BAC=，2AB =，1AC =，D是边BC上一点，2DCBD=，则AD BC =_ 【答案】 8 3 【解析】解法一（基底法） ：选定基向量AB，AC，由图及题意
25、得BCACAB=， 112 333 ADABBCACAB=+=+. 2212121 () () 33333 AD BCACABACABACABAC AB=+=+ 22 12118 121 2() 33323 =+ = . 解法二（定义） ：由题意可得 222 2cos7BCABACABACBAC=+=，7BC =. 222 4715 cos 22272 7 ABBCAC B ABBC + = ， 22 13 2cos 3 ADABBDABBDB=+ =， 又 222 8 cos 291 BDADAB ADB BDAD + = ， 8 cos 3 AD BCADBCADB= . 解法三（坐标法）
26、 ：以A为坐标原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系， 则(0A，0)，(2B，0)， 1 ( 2 C ， 3) 2 ， 7 (6D， 3) 6 从而 7 (6AD =， 3) 6 ， 5 ( 2 BC = ， 3) 2 ， 75338 62623 AD BC= += . 【点评】本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重 视. 三、解答题：本大题共 2 小题，共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA=，且B为钝角. 证明： 2 BA =； 求sinsinAC+的取值范围.
27、【答案】见解析； 2 ( 2 ， 9 8 第6页（第 7 页） 【解析】由tanabA=和正弦定理可得 sinsin cossin AaA AbB =， sincosBA=，即sinsin() 2 BA =+ 又B为钝角，且( 22 A +，)， 2 BA =+，即 2 BA =； 由知()()20 22 CABAAA =+=+=， (0A，) 4 ，sinsinsinsin(2 ) 2 ACAA +=+ 2 sincos2sin12sinAAAA=+=+ 2 19 2(sin) 48 A= +， (0A，) 4 ， 2 0sin 2 A， 由二次函数可知 2 2199 2(sin) 2488
28、 A + sinsinAC+的取值范围为 2 ( 2 ， 9 8 . 【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题. 17. 设 1 F、 2 F分别是椭圆 2 2 1 4 x y+=的左、右焦点. 若P是该椭圆上的一个动点，求 12 PF PF的最大值和最小值； 设过定点(0M，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原 点） ，求直线l的斜率k的取值范围. 【答案】最大值为 1，最小值为2； 3 2 2 k 或 3 2 2 k. 【解析】由题意易知2a =，1b =，3c =， 1( 3F ，0)， 2( 3 F，0). 设(P
29、 x，)y，则 2 2 1 4 x y+=，即 2 2 1 4 x y = ， 12 (3PF PFx= ，) ( 3yx， 2 2222 1 )313(38) 44 x yxyxx=+=+ =， 2x ，2， 故当0x =，即点P为椭圆短轴端点时， 12 PF PF有最小值2， 当2x = ，即点P为椭圆长轴端点时， 12 PF PF有最大值 1. 显然直线0x =不满足题设条件， 可设直线l：2ykx=+， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 2 2 1 4 ykx x y =+ += ，消去y，整理得： 22 1 ()430 4 kxkx+= 12 2 4
30、1 4 k xx k += + ， 12 2 3 1 4 x x k = + ， 由 222 1 (4 )4() 3430 4 kkk =+=得： 3 2 k 或 3 2 k ， 又0090cos000A BA BOA OB 第7页（第 7 页） 1212 0OA OBx xy y=+ 又 1212 (2)(2)y ykxkx=+ 2 1 212 2 ()4k x xk xx=+ 222 222 381 4 111 444 kkk kkk + =+= + 2 22 31 0 11 44 k kk + + + ，即 2 4k ，解得22k 故由、得： 3 2 2 k 或 3 2 2 k. 【点评】本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及 推理计算能力本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理.
