1、直线直线 2x+3y1 的倾斜角是 （用反三角函数表示） 6 （4 分）关于 x、y 的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则 m+n 7 （4 分）已知， 与 的夹角为，则 在 上的投影为 8 （4 分）某程序框图，该程序执行后输出的 W 9 （4 分）已知两条直线 l1：ax2y30，l2：4x+6y10若 l1的一个法向量恰为 l2 的一个方向向量，则 a 10 （4 分）已知梯形 ABCD，ABCD，设，向量的起点和终点分别是 A、B、C、 第 2 页（共 17 页） D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量 ，都可以唯一表示为、的线性组合， 那么的个数为 11 （4
2、 分）设，O 为坐标原点，An是函数图象上横坐标为 n（nN*） 的点，向量和的夹角为 n，则满足 tan1+tan2+tan3+tann的最 大正整数是 12 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i（i1，2，3，4，5，6）取遍1 时， |1+2+3+4+5+6|的最大值是 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 4 分，共分，共 16 分）分） 13（4 分） 已知， 则是 A， B， C 三点构成三角形的 （ ） A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 14 （4 分）数列an中，则数列an的极限值（ ） A等于
3、0 B等于 1 C等于 0 或 1 D不存在 15 （4 分）已知无穷等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且，下列条件中 使得恒成立的是（ ） Aa10，0.8q0.9 Ba10，0.9q0.8 Ca10，0.7q0.8 Da10，0.8q0.7 16 （4 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且M 为ABC 内部的一点，且 a+b+c ，若，则 x+y 的最大值为（ ） A B C D 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）用行列式解关于 x、y 的方程组： 18 （8 分）已知向量的夹角为 60，且
4、，设， 第 3 页（共 17 页） （1）试用 t 来表示的值； （2）若 与 的夹角为钝角，试求实数 t 的取值范围 19 （8 分）已知直线 l：kxy+1+2k0（kR） （1）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； （2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设AOB 的 面积为 S，求 S 的最小值及此时 l 的方程 20 （ 6分 ） 已 知 一 非 零 向 量 列满 足 ：， （1）证明：是等比数列； （2）设 n是，的夹角（n2） ，bn2nn1，Snb1+b2+bn，求 Sn； （3）设，问数列cn中是否存在最小项？若存在，
5、求出最小值； 若不存在，请说明理由 21 （8 分）在平面直角坐标系中，函数 f（x）1x2在第一象限内的图象如图所示，试做 如下操作：把 x 轴上的区间0，1等分成 n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形， 使矩形的右端点落在函数 f（x）1x2的图象上若用 ak（1kn，kN）表示第 k 个矩形的面积，Sn表示这 n 个叫矩形的面积总和 （1）求 ak的表达式； （2）利用数学归纳法证明，并求出 Sn的表达式 （3）求的值，并说明的几何意义 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年上海市青浦区高二（上）期中数学试卷学年上海市青浦区高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参
6、考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 48 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）分） 1 （4 分）计算： 3 【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可 【解答】解：3 故答案为：3 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查，基础题 2 （4 分）在三阶行列式中，元素6 的代数余子式为 4 【分析】利用代数余子式即可得出 【解答】解：元素6 的代数余子式为4 故答案为：4 【点评】本题考查了代数余子式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3 （4 分）已知，则的单位向
7、量为 （，） 【分析】先求出（1，2） ，由此能求出的单位向量 【解答】解：， （10，8）（9，6）（1，2） ， 的单位向量为：（1，2）（，） 故答案为： （，） 【点评】本题考查向量的单位向量的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4 （4 分）已知ABC 的三个顶点的坐标分别为（2，1） 、 （3，4） 、 （1，1） ，则ABC 第 5 页（共 17 页） 的重心坐标为 （，） 【分析】设出三角形三个顶点的坐标，根据所给的三边的中点坐标和中点的坐标公式， 得到六个关系式，把含有相同变量的三个关系式相加，得到三个顶点的坐标之和，即出 现了重心的坐标的表示
8、式，得到结果即可 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， 则 重心坐标为（，） 故答案为： （，） 【点评】本题考查三角形的重心坐标公式，本题解题时看起来比较复杂，但是在解题过 程中注意观察出现的结果，不用求出三个顶点的坐标，而是以整体形势来处理 5 （4 分）直线直线 2x+3y1 的倾斜角是 arctan （用反三角函数表示） 【分析】先求直线 2x+3y10 的斜率，进而转化为倾斜角， 【解答】解：直线 2x+3y10 的斜率为 k，倾斜角为 ，所以 tan， 则 arctan， 故答案为：arctan 【点评】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，
9、考查计算能力 6 （4 分）关于 x、y 的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则 m+n 2 第 6 页（共 17 页） 【分析】由题意 x3，y1，从而，由此能求出 m+n 的值 【解答】解：关于 x、y 的二元线性方程组的增广矩阵经过变换， 最后得到的矩阵为， x3，y1， ，解得 m1，n3， m+n1+32 故答案为：2 【点评】本题考查代数式求值，考查线性方程组的增广矩阵等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 7 （4 分）已知， 与 的夹角为，则 在 上的投影为 1 【分析】根据条件可求出，从而可得出 在 方向上的投影为 【解答】解：， 在 上的投影为 故答案
10、为：1 【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量投影的计算公式，考查了计算能力， 属于基础题 8 （4 分）某程序框图，该程序执行后输出的 W 22 第 7 页（共 17 页） 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是利用循环累加，并将最后累加器及循环变量的值的和输出，模拟程序的运行， 用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： T S 是否继续循环 循环前 1 0/ 第一圈 1 1 是 第二圈 3 8 是 第三圈 5 17 否 循环后 WS+T5+1722 故最后输出的结果为：
11、22 故答案为：22 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 其处理方法是： ：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算 的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数 据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 9 （4 分）已知两条直线 l1：ax2y30，l2：4x+6y10若 l1的一个法向量恰为 l2 的一个方向向量，则 a 3 第 8 页（共 17 页） 【分析】由两条直线的 l1的一个法向量恰为 l2的一个方向向量，得出两直线垂直，然后 再根据两条直线垂直，
12、斜率乘积为1，求出 a 值 【解答】解：l1的一个法向量恰为 l2的一个方向向量， l1l2 直线 l1的斜率为 k1，直线 l1的斜率为 k2， 由 k1k21，得 a3 故答案为：3 【点评】本题考查斜率都存在的两条直线垂直的性质，以及直线的一般式方程与直线的 垂直关系 10 （4 分）已知梯形 ABCD，ABCD，设，向量的起点和终点分别是 A、B、C、 D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量 ，都可以唯一表示为、的线性组合， 那么的个数为 8 【分析】根据题意可知，不共线，然后从 A，B 中选一个点，从 C，D 中选一个 点，从而得出的个数为 【解答】解：据题意知与不平行， 则从 A
13、，B 中选一个点，从 C，D 中选一个点，的个数共：个 故答案为：8 【点评】考查平面向量基本定理，向量平行的定义，以及组合数公式 11 （4 分）设，O 为坐标原点，An是函数图象上横坐标为 n（nN*） 的点，向量和的夹角为 n，则满足 tan1+tan2+tan3+tann的最 大正整数是 3 【分析】由题意可得（n，n（）n+） ，tann（）n+（）n+ ，由数列的分组求和、裂项相消求和，构造函数，判断出符合条件的最大整数 n 的值 第 9 页（共 17 页） 【解答】解：（n，n（）n+） ， tann（）n+（）n+， 可得 tan1+tan2+tann（+）+（1+） +12，
14、 由题意可得 2，即为+， 函数 g（n）+（nN*）为减函数， g（1）1，g（2）+，g（3）+，g（4）+， 故最大整数 n 的值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出 tann的表达式，以及熟练掌握数列求和的技巧 12 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i（i1，2，3，4，5，6）取遍1 时， |1+2+3+4+5+6|的最大值是 2 【 分 析 】 由 题 意 可 得 得+， 0 ， 化 简 |1+2+3+4+5+6| ，由于 i（i1，2，3，4，5， 6）取遍1，由完全平方数的最值，可得所求最值 【
15、解答】解：正方形 ABCD 的边长为 1，可得+， 0， |1+2+3+4+5+6|1+234+5（） +6 （）|（13+56）+（24+5+6）| ， 由于 i（i1，2，3，4，5，6）取遍1， 第 10 页（共 17 页） 由 13+56，24+5+6的最大值为 4，可取 21，41，561，11， 31， 可得所求最大值为 2 故答案为：2 【点评】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查 化简运算能力，属于中档题 二二.选选择题（本大题共择题（本大题共 4 题，每题题，每题 4 分，共分，共 16 分）分） 13（4 分） 已知， 则是 A， B， C
16、三点构成三角形的 （ ） A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 【分析】根据向量加法的三角形法则证明必要性成立，由特殊情况，反之不成立，得出 结论 【解答】解：由向量加法的三角形法则得，当 A、B、C 三点构成三角形时， 有成立，即必要分性成立； 当时，三点共线或 A、B、C 三点能构成三角形， 则充分性不成立 故选：C 【点评】本题考查了向量加法的三角形法则以及充要条件的判断，可以利用特殊情况进 行判断充分性和必要性是否成立，中档题 14 （4 分）数列an中，则数列an的极限值（ ） A等于 0 B等于 1 C等于 0 或 1 D不存在 第 11 页（共
17、17 页） 【分析】因为 n，所以，所以，由此可求出数列 an的极限值 【解答】解：， 故选：B 【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意公式的选取和运用 15 （4 分）已知无穷等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且，下列条件中 使得恒成立的是（ ） Aa10，0.8q0.9 Ba10，0.9q0.8 Ca10，0.7q0.8 Da10，0.8q0.7 【分析】无穷等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且，0|q| 1，下列条件中使得恒成立，即，化为：a1（2 3qn）0 验证即可得出 【解答】解：无穷等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且，0 |q|1，
18、下列条件中使得恒成立，即，化为：a1（23qn） 0 a10，可得 23qn0，解得 1qn，即因此 A，C 不正确 a10，可得 23qn0，解得1qn，q0，因此 B 不正确，D 正确 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、极限运算性质、不等式的解法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第 12 页（共 17 页） 16 （4 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且M 为ABC 内部的一点，且 a+b+c ，若，则 x+y 的最大值为（ ） A B C D 【分析】把已知等式中向量用表示后可求得 x，y，由余弦定理得 a，b，c 的关系，求
19、出的最值，再由不等式性质得结论 【解答】解：a+b+c ， ， ， 又， ， ， 由余弦定理可得， 由（当且仅当bc时取等号）可知， ， ， ，即 x+y 的最大值是 故选：A 【点评】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值，解题关键是 由平面向量基本定理把 x，y 用 a，b，c 表示出来 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）用行列式解关于 x、y 的方程组： 【分析】计算 D，讨论 D0 时方程组有唯一的解，D0 时方程组无解或有无数 第 13 页（共 17 页） 个解 【解答】解：关于 x，y 的方程组， Dm21
20、， 当 Dm210，即 m1 且 m1 时， x， y； 方程组有唯一的解； 当 Dm210，即 m1 或 m1 时， 若 m1，则原方程组无解； 若 m1，则原方程组有无数个解 【点评】本题考查了二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用问题，是基础题 18 （8 分）已知向量的夹角为 60，且，设， （1）试用 t 来表示的值； （2）若 与 的夹角为钝角，试求实数 t 的取值范围 【分析】 （1）根据已知中，结合向量的夹角为 60，代入 向量数量积公式，即可表示出结论； （2）若 与 的的夹角为钝角，于是且 与 不平行，根据（1）中结论，构造关于 t 的不 等式组，解不等式组，即可得到实
21、数 t 的取值范围 【解答】解（1）， 3t+（6t）23t+（6t）242t2； （3）夹角为钝角，于是0 且 与 的不平行 其中0t1，而 t6， 于是实数 t 的取值范围是 t（，6）（6，1） 【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，熟 第 14 页（共 17 页） 练掌握平面向量的数量积公式，是解答本题的关键， （2）中易忽略 t6 时，向量 与 反向的情况，而错解为（，1） 19 （8 分）已知直线 l：kxy+1+2k0（kR） （1）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； （2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于
22、点 B，O 为坐标原点，设AOB 的 面积为 S，求 S 的最小值及此时 l 的方程 【分析】 （1）可求得直线 l 的方程及直线 l 在 y 轴上的截距，依题意，从而可 解得 k 的取值范围； （2）依题意可求得 A（，0） ，B（0，1+2k） ，S（4k+4） ，利用基本不等 式即可求得答案 【解答】解： （1）直线 l 的方程可化为：ykx+2k+1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1， 要使直线 l 不经过第四象限，则，解得 k 的取值范围是：k0（5 分） （2）依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为：，在 y 轴上的截距为 1+2k， A（，0） ，B（0，1+2k） ，
23、又0 且 1+2k0， k0，故 S|OA|OB|（1+2k）（4k+4）（4+4）4，当且 仅当 4k，即 k时取等号， 故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x2y+40（10 分） 【点评】本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形 的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题 20 （ 6分 ） 已 知 一 非 零 向 量 列满 足 ：， （1）证明：是等比数列； （2）设 n是，的夹角（n2） ，bn2nn1，Snb1+b2+bn，求 Sn； （3）设，问数列cn中是否存在最小项？若存在，求出最小值； 若不存在，请说明理由 第 15 页（共 17 页）
24、 【分析】 （1）先利用向量模的计算公式得出的表达式，发现， 再利用等比数列的定义即可判定； （2）根据向量夹角公式可得，从而 bn2nn1，再结合分组求和法 即可得到 Sn； （3）结合（1）可知，cn，假设 cn是最小项，则 cncn+1且 cncn1，从 而求出 n 的值，进而得解 【解答】解： （1） ， 又， 数列是以为首项，为公比的等比数列 （ 2 ） （ xn1 yn1， xn1+yn1） ， ， bn2nn1， Snb1+b2+bn （3）假设存在最小项，不妨设为 cn， ， ， 由 cncn+1得，即， ， 第 16 页（共 17 页） n 为正整数，n5， 同理，由 cnc
25、n1得， n 为正整数，n5， 综上所述，n5 故存在最小项，最小项为 【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，涉及平面向量的坐标运算、等比数列的定 义、分组求和法等，略有综合性，考查了学生灵活运用知识的能力和计算能力，属于中 档题 21 （8 分）在平面直角坐标系中，函数 f（x）1x2在第一象限内的图象如图所示，试做 如下操作：把 x 轴上的区间0，1等分成 n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形， 使矩形的右端点落在函数 f（x）1x2的图象上若用 ak（1kn，kN）表示第 k 个矩形的面积，Sn表示这 n 个叫矩形的面积总和 （1）求 ak的表达式； （2）利用数学归纳法证明，并
26、求出 Sn的表达式 （3）求的值，并说明的几何意义 【分析】 （1）第 k 个矩形的高为，然后直接求出第 k 个矩形的面积； （ 2 ） 先 用 数 学 归 纳 法 证 明， 然 后 由 求出 Sn （3）先由求出极限，然后说明的几何意义即 可 第 17 页（共 17 页） 【解答】解： （1）由题意第 k 个矩形的高是， ； （2） （i）当 n1 时，命题成立， （ii）设 nk 时命题成立，即， 则 nk+1 时， ， nk+1 时命题成立， 综上，nN*时，命题为真，即， （3） 的几何意义表示函数 y1x2的图象与 x 轴，及直线 x0 和 x1 所围曲线梯 形的面积 【点评】本题考查数学归纳法和数列的极限，考查差了极限思想和转化思想，属难题
