1、数列an的通项公式是 an，前 n 项和为 Sn， 计算（1）； （2）Sn 18 （10 分）已知线性方程组 （1）写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； （2）运用矩阵变换求解方程组 19 （10 分）已知| |2，| |3，且向量 与 的夹角为，求|3 2 | 20（10 分） 已知是平面内两个不共线的非零向量， ，且 A，E，C 三点共线 （1）求实数 的值； （2）已知（2，1） ，（2，2） ，点 D（3，5） ，若 A，B，C，D 四点按逆时 第 3 页（共 15 页） 针顺序构成平行四边形，求点 A 的坐标 21 （14 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且（nN*） （）求数
2、列an的通项公式； （）设，数列cn的前 n 项和为 Tn，求使不等式 Tn 对一切 nN*都成立的最大正整数 k 的值； （）设 f（n）是否存在 mN*，使得 f（m+15）5f （m）成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 15 页） 2018-2019 学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 题，满分题，满分 36 分）分） 1 （3 分）计算： 3 【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可 【解答】解：（3+）3
3、 故答案为：3 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查 2 （3 分）行列式中 c2的代数余子式是 【分析】利用行列式的代数余子式的定义直接求解 【解答】解：行列式中 c2的代数余子式是： （1）2+3 故答案为： 【点评】本题考查行列式的代数余子式的求法，考查行列式的代数余子式的定义等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 3 （3 分）已知向量 （2，3） ， （2，1） ，则 在 方向上的投影等于 【分析】根据投影的定义，应用公式| |cos ， 求解 【解答】解：根据投影的定义可得： 在 方向上的投影为| |cos ， 故答案为： 【点评】本题主要考查向量投影的定
4、义，要求熟练应用公式 第 5 页（共 15 页） 4 （3 分）用对角线法则计算行列式： 40 【分析】利用行列式展开对角线法则直接求解 【解答】解： ：311+03（2）+（2）23（2）1（ 2）20133340 故答案为：40 【点评】本题考查三阶行列式的展开式的求法，考查行列式展开对角线法则等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 5 （3 分）数列an中，a18，a42，且满足 an+22an+1+an0，数列an的递推公式是 an 【分析】由题意可得 an+2an+1an+1ana4a3a3a2a2a1，即数列an为 首项为 8 的等差数列，运用等差数列的通项公式可得公差，即可得到
5、所求递推式 【解答】解：数列an中，a18，a42，且满足 an+22an+1+an0， 即有 an+2an+1an+1ana4a3a3a2a2a1， 即数列an为首项为 8 的等差数列， 则公差 d2， 则数列an的递推公式是 an， 故答案为：an 【点评】本题考查数列的递推式，注意运用等差数列的性质，考查化简整理能力，属于 基础题 6 （3 分）关于 x、y 的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则二阶行列式 1 【分析】先由矩阵为 ，对应的方程为：，再由题意得：关于 x、y 的二元 线性方程组的解为：，从而求得 m，n 的值，最后利用行列式的计算法则求解即可 第 6
6、页（共 15 页） 【解答】解：矩阵为 ，对应的方程组为：， 由题意得：关于 x、y 的二元线性方程组的解为：， 则二阶行列式2mn1 故答案为：1 【点评】本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，解答的关键是对增广矩阵的理解，利用 方程组同解解决问题 7 （3 分）设是平面直角坐标系内 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且 ，则ABC 面积的值等于 5 【分析】由题意，是平面直角坐标系内 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且 ，可得由三角形面积公式知，可 先由公式 cosBAC 求出两向量夹角余弦， 再求出 sinBAC，代入面积公 式 SABCsinBAC，即可求出三角形的面积 【解答】解：由题
7、意知 又 cosBAC， sinBAC 又 SABCsinBAC255 故答案为 5 【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查了向量坐标的定义，向量夹角的坐标表示， 向量模的坐标表示，同角三角函数关系，三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握三角 形的面积公式 SABCsinBAC，由公式确定出解题的方向先求出两向量 的夹角由题设条件得出两向量的坐标是本题的难点，理解向量坐标表示的定义是突破 难点的关键 第 7 页（共 15 页） 8 （3 分）用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1） ”时，由 nk（k1） 不等式成立，推证 nk+1 时，左边应增加的项数共 2 项 ； 【分析】分别写出 nk
8、和 nk+1 时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的 项数 【解答】解：nk 时，左边1+， 当 nk+1 时，左边1+ 左边增加的项数为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题 9（3 分） 已知数列an是无穷等比数列， 其前 n 项和是 Sn， 若 a1+a22， a3+a41， 则 的值为 4 【分析】利用当等比数列an的公比 q 满足 0|q|1 时，则0，即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a1+a22，a3+a41， ，解得 a142，q，或 a14+2，q 当 a142，q， 4 0， 4 a14+2，q 4 0， 第 8 页（
9、共 15 页） 4 故答案为：4 【点评】熟练掌握：满足 0|q|1 时，0 是解题的关键 10 （3 分）已知直角三角形 ABC 中，A（2，2） ，B（m，3） ，C（3，7） ，那 么 m 2 或 7 【分析】根据即可得出，而，从而得 出，解出 m 即可 【解答】解：； ABBC； ； ； 解得 m2，或 7 故答案为：2 或 7 【点评】考查向量垂直的充要条件，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标 运算 11 （3 分）（） 【分析】运用等差数列的求和公式和0，结合极限的运算性质可得所求值 【解答】解：（） （）0 故答案为： 【点评】本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的
10、求和公式和重要数列的极限， 考查运算能力，属于基础题 12 （3 分）设点 A（2，2） ，B（4，1） ，在 x 轴上求一点 P，使最小，此时APB 第 9 页（共 15 页） arccos 【分析】设 P（x，0） ，得出关于 x 的二次函数，从而可求出最小时的 P 点坐标，再根据平面向量的夹角公式得出APB 【解答】解：设 P（x，0） ，则（x2，2） ，（x4，1） ， （x2） （x4）+2x26x+10（x3）2+1 当 x3 时，取得最小值 此时，（1，2） ，（1，1） ， cosAPB APBarccos 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题 二、
11、选择题（每小题二、选择题（每小题 3 分，共分，共 4 题，满分题，满分 12 分）分） 13 （3 分）下列命题正确的是（ ） A单位向量都相等 B若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 C若| + | |，则 0 D若 与 都是单位向量，则 1 【分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除 【解答】解：向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故 A 不对； B 选项对三个非零向量是正确的，若 是零向量时，若 与 共线， 与 共线，则 与 共 线不一定成立 当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故 C 选项是正确的 若 与 都是单位向量，则
12、 1 不一定成立，当两者垂直时，内积为零 第 10 页（共 15 页） 故选：C 【点评】本题考点是向量的共线与相等，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要 对相关的概念熟练掌握才能正确作答 14 （3 分）在等比数列an中，若 a4，a8是方程 x24x+30 的两根，则 a6的值是（ ） A B C D3 【分析】解方程可得 a4和 a8，可得 a62a4a8，解之由 a4，a6同号可得 【解答】解：解方程 x24x+30 可得 x1，或 x3 故 a41，a83，或 a43，a81 故 a62a4a83，故 a6， 又 a52a4a6，0，即 a4，a6同号， 又 a40，故 a6 故
13、选：C 【点评】本题考查等比数列的性质，隔项同号是解决问题的关键，属中档题 15 （3 分）已知 （5，4） ， （3，2） ，则与 2 3 平行的单位向量为（ ） A （，） B （，）或（，） C （，）或（，） D （，） 【分析】先求出 2 3 的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向 量的坐标 【解答】解： （5，4） ， （3，2） ， 2 3 （1，2） ， ， 则与 2 3 平行的单位向量为（2 3 ）， 化简得， 故选：B 【点评】本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识 第 11 页（共 15 页） 16 （3 分）已知等比数列an的公比为
14、 q，其前 n 项的和 Sn，若集合 MS|S， q1，则 M 等于（ ） A0 B0，1 C1， D0， 【分析】 当q1时， Snna1， S2n2na1， 即可得出 当q1时， Sn， 可得对 q 分类讨论即可得出 【解答】解：当 q1 时，Snna1，S2n2na1， 当 q1 时，Sn， S， 当 q1 时，S0 当 0|q|1 时，S1 当 q1 时，S0 综上可得：集合 M0，1， 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的性质及其前 n 项和公式、数列极限性质，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 52 分，解答要有详细的论
15、证过程与运算步骤）分，解答要有详细的论证过程与运算步骤） 17 （8 分）数列an的通项公式是 an，前 n 项和为 Sn， 第 12 页（共 15 页） 计算（1）； （2）Sn 【分析】 （1）利用通项公式与极限的定义即可得出 （2）利用等比数列的求和公式可得 n2 时，Sn+0+化简利用极 限的定义即可得出 【解答】解： （1）n2，0 （2）n2 时，Sn+0+ Sn 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、极限的定义，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 18 （10 分）已知线性方程组 （1）写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； （2）运用矩阵变换求解方程组 【分析】 （1）
16、由线性方程组，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵 （2） 由， 能求出方程组的解 【解答】解： （1）线性方程组 方程组的系数矩阵为， 增广矩阵为4 分 （2）， 第 13 页（共 15 页） ， 【点评】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组， 考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （10 分）已知| |2，| |3，且向量 与 的夹角为，求|3 2 | 【分析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答 【解答】解：|3 2 |236+361236； |3 2 |6 【点评】本题考查了平面向量的模的计算；一般的，利用
17、向量的平方与模的平方相等解 答 20（10 分） 已知是平面内两个不共线的非零向量， ，且 A，E，C 三点共线 （1）求实数 的值； （2）已知（2，1） ，（2，2） ，点 D（3，5） ，若 A，B，C，D 四点按逆时 针顺序构成平行四边形，求点 A 的坐标 【分析】 （1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出 的值，得到本题结论， （2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到 A 点的坐标，即本题答案 【解答】解： （1）+（2+）+（+）+（1+） A，E，C 三点共线， 存在实数 k，使得k， 第 14 页（共 15 页） 即+（1+）k（2+） ， 得（1+2k）（k1
18、） ，是平面内两个不共线的非零向量， ，解得 k， （2）+3 （6，3）+（1，1）（7，2） A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， 设 A（x，y） ，则（3x，5y） ， （7，2） ， ，解得，即点 A 的坐标为（10，7） 【点评】本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题 21 （14 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且（nN*） （）求数列an的通项公式； （）设，数列cn的前 n 项和为 Tn，求使不等式 Tn 对一切 nN*都成立的最大正整数 k 的值； （）设 f（n）是否存在 mN*，使得 f（m+15）5f （m）成立？若存在，求出
19、 m 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （I）利用当 n1 时，a1S1，当 n2 时，anSnSn1即可得出； （II）利用“裂项求和”即可得出 Tn，再利用其单调性即可得出 k 的最大值； （III）利用（I）求出 f（n） ，再对 m 分为奇数和偶数讨论即可得出 【解答】解： （I）当 n1 时，6 当 n2 时，anSnSn1n+5 此式对于 n1 时也成立 第 15 页（共 15 页） 因此 （II）， Tn Tn+1Tn，数列单调递增， （Tn）minT1令，解得 k671，kmax670 （III）f（n）， （1）当 m 为奇数时，m+15 为偶数，3m+475m+25，解得 m11 （2）当 m 为偶数时，m+15 为奇数，m+2015m+10，解得（舍去） 综上可知：存在唯一的正整数 m11，使得 f（m+15）5f（m）成立 【点评】熟练掌握“利用当 n1 时，a1S1，当 n2 时，anSnSn1即可得出 an” 、 “裂项求和” 、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键
