1、20202020 年高考（理科）数学（年高考（理科）数学（4 4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1. 已知全集UR，集合 2 |3130Axxx，|31 x By y，则 U AC B （ ） A. 13 1, 3 B. 0,1 C. 13 1, 3 D. 0,1 2. 若复数z满足42 3zii ，则在复平面内复数z所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田中有如下两个问题： 三三今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ 三四又有宛田，下周九十九步，径五十一
2、步.问为田几何？ 翻译为：三三现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步.问这块田面积是多少？ 三四又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步.问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是（ ） A. 问题三三中扇形的面积为 240 平方步 B. 问题三四中扇形的面积为 5049 4 平方步 C. 问题三三中扇形的面积为 60 平方步 D. 问题三四中扇形的面积为 5049 2 平方步 4. 运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为 2 时，输出的S的值为-20，则判断框中可以填（ ） A. 3?k B. 4?k C. 5?k D. 6?k 5. 已知正项数列 n a的首项为 1， 2 n
3、a 是公差为 3 的等差数列， 则使得6 n a 成立的n的最小值为 （ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 6. 若函数 2 4mxf xn的大致图象如图所示，则（ ） A. 0m，01n B. 0m，1n C. 0m，01n D. 0m，1n 7. 在三棱柱 111 ABCABC中，已知ABAC， 1 AA 平面 111 ABC，则下列选项中，能使异面直线 1 BC与 1 AC相互垂直的条件为（ ） A. 1 45ACA B. 45ACA C. 四边形 11 ABB A为正方形 D. 四边形 11 BCC B为正方形 8. 已知非零实数m，n满足 22 mmnn，则下列结论
4、错误的是（ ） A. lnlnmn B. 11 mn C. sinsinmmnn D. 22 mn 9. 若首项为 2 3 的数列 n a满足 11 2 21 nnnn na aaa ，则 1232020 aaaa（ ） A. 8080 4041 B. 4078 4040 C. 4040 4041 D. 4039 4040 10. 已知函数 2sin22cos2f xxx，则下列说法正确的是（ ） A. 函数 f x在 3 , 4 上单调递减 B. 将函数 f x的图象向左平移 5 8 个单位长度后关于y轴对称 C. 77 88 fxfx D. 当 , 2 x 时， 2, 2f x 11. 在
5、正方形ABCD中，已知2AB ， 01BEBC，01DFDC， BEDFEF，若AE AF x ，则x的取值范围为（ ） A. ,82 1 B. ,82 1 C. ,821 D. ,821 12. 过双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点F作直线l， 且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直， 垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若OAB的内切圆的半径为 31 2 a ， 则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 3 3 B. 31 C. 4 3 3 D. 2 3 3 或 2 二、填空题（共 4 小题） 13. 6 2 1 2 x x 的展开式中， 2 1 x
6、 项的系数为 . 14. 若直线 9yxa 与曲线 3 3yxx相切，则a . 15. 某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为 1 4 ，乙完成任务的概率为 1 2 ，丙、丁完成任务的概率均为 2 3 ，若四人完成任务与否相互独立，则至少 2 人完成任务的概率为 . 16. 已知抛物线C： 2 8yx的焦点为F，直线 1 l， 2 l，过点F且与抛物线C分别交于点M，N和点P， Q，弦MN和PQ的中点分别为D，E，若 12 ll，则下列结论正确的是 . MNPQ的最小值为 32； 以M，N，P，Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为 128； 直线DE过定点6,0；
7、 焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点. 三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2 22 22cos 1 babC cbca ，2 7a . （1）求ABC外接圆的面积； （2）若8b c ，求ABC的面积. 18. 如图，四棱锥SABCD中，二面角SABD为直二面角，E为线段SB的中点， 3390DABCBAASBABS ， 1 tan 2 ASD，4AB . （1）求证：平面DAE 平面SBC； （2）求二面角CAED的大小. 19. 2019年11月份， 全国工业生产者出厂价格同比下
8、降1.4%， 环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后， 决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了 2019 年 110 月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如表： x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26 （1）计算x，y的值； （2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度； （3）求y与x的线性回归方程y bxa ，并推测当产量
9、为 3.2 万件时销售额为多少.（该问中运算结果保 留两位小数） 附：回归直线方程y bxa 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， aybx ； 相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy . 参考数据： 10 22 1 100.85 i i xx ， 10 22 1 101.04 i i yy ， 1.22b . 20. 已知斜率存在且不为 0 的直线l过点1,0D，设直线l与椭圆C： 22 1 42 xy 交于A，B两点，椭圆 C的左顶点为P. （1）若PAB的面积为 3 30 8 ，求直
10、线l的方程； （2）若直线PA，PB分别交直线3x 于点M，N，且MR RN ，记直线AB，RD的斜率分别为k， k.探究：k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数 2 84 x f xexx. （1）求函数 f x的单调区间； （2）若关于x的不等式 2 84 sin 4 x exx mmx 在0,上恒成立，且0m，求实数m的取值范 围. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 xt yt （t为参数），曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y （为参数），曲线 1 C与x轴交于O，A两点.
11、以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系. （1）求直线l的普通方程及曲线 1 C的极坐标方程； （2）若直线l与曲线 2 C： 2 4yx在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P在曲线 1 C上，求 PN的最小值. 选修 4-5：不等式选讲 23.（1）已知x，y，z均为正数，且 1 8 64 xyz ，求证：82 82 8227xyz； （2）已知实数m，n满足1m， 1 2 n ，求证： 2222 24142m nmnm nmn . 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的） 1-5：BA
12、BCC 6-10：BACCC 11-12：AD 1.【分析】根据二次不等式的求法先求出集合A，结合指数函数的性质可求B，进而可求. 解：依题意得， 2 |3130|3130Axxxx xx 13 |0 3 xx ， |31|1 x By yy y， 则|1 U C By y， 所以 0,1 U AC B ， 故选：B. 2.【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案. 解：依题意得， 3(3)(42 )1264211 42(42 )(42 )2022 iiiii zi iii ， 故在复平面内复数z所对应的点为 1 1 , 2 2 ，该点位于第一象限， 故选：A
13、. 3.【分析】利用扇形面积计算公式即可得出. 解：依题意，问题三三中扇形的面积为 1116 30120 222 lr 平方步， 问题三四中扇形的面积为 11515049 99 2224 lr 平方步. 故选：B. 4.【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意a的值正负交替.只需逐次循环，直到得到20s ，根 据k的值判断. 解：运行该程序，第一次循环，2S ，2a ，2k ；第二次循环6S ，2a，3k ；第三次循 环，12S ，2a ，4k ；第四次循环，20S ，2a，5k ，此时输出S的值，观察可知，仅 选项 C 符合题意， 故选：C. 5.【分析】依题意得， 2 1 3132 n
14、 ann ，从而32 n an.令326n，得 38 3 n ，由此能 求出使得6 n a 成立的n的最小值. 解：正项数列 n a的首项为 1， 2 n a 是公差为 3 的等差数列， 依题意得， 2 1 3132 n ann ， 故32 n an.令326n，得3236n ，解得 38 3 n ， * nN，使得 6 n a 成立的n的最小值为 13， 故选：C. 6.【分析】通过函数值为 0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项 AD，通过0m，利用函数 的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项 C，即可. 解：令 0f x ，即4mxn，则 4 logmxn，即 4 1 logx
15、n m ， 由图可知， 4 1 log0n m ，故0m时1n ，0m时01n，排除 A、D； 当0m时，易知4mxy 是减函数，且当x 时，0y 则 2 f xn，C 明显不合题意，排除 C， 故选：B. 7. 【分析】 推导出 1 AAAB，ABAC， 从而AB 平面 11 CC A， 进而 1 ABAC.当异面直线 1 BC与 1 AC 相互垂直时，可得 1 AC 平面 1 ABC，从而 11 ACAC，四边形 11 ACC A为正方形，进而 1 45ACA， 当 1 45ACA时，可得 11 BCAC. 解：如图，因为 1 AA 平面 111 ABC，所以 1 AAAB， 又ABAC，
16、 1 AAACA，所以AB 平面 11 CC A， 因为 1 AC 平面 11 ACC A，所以 1 ABAC. 当异面直线 1 BC与 1 AC相互垂直时，由 1 ABBCB，可得 1 AC 平面 1 ABC， 因为 1 AC 平面 1 ABC，所以 11 ACAC， 所以四边形 11 ACC A为正方形，所以 1 45ACA， 反之亦然，即当 1 45ACA时，可得 11 BCAC， 故选：A. 8.【分析】由非零实数m，n满足 22 mmnn，可得 33 0mn，0mn，进而判断出结论. 解：因为非零实数m，n满足 22 mmnn，所以 33 0mn，所以0mn， 所以lnlnmn， 1
17、1 mn ， 22 mn，所以选项 A、B、D 均正确； 对于选项 C，当 2 m ， 4 n 时，sinsin 2244 ，所以选项 C 错误. 故选：C. 9.【分析】先根据 11 2 21 nnnn na aaa ，推得 1 11 42 nn n aa ，再令n取1n可得新等式，两等 式再结合叠加法求出数列 n a的通项，即可求解结论. 解：依题意得0 n a ，由 11 2 21 nnnn na aaa ， 可得 1 11 42 nn n aa ， 则 1 11 42 nn n aa ， 12 11 46 nn n aa ， 21 11 6 aa ， 以上式子左右两边分别相加可得 1
18、11(642)(1) 2 n nn aa ， 即 2 11(21)(21) 2 22 n nn n a ， 即 211 (21)(21)2121 n a nnnn ， 故 1232020 11111 1 33540394041 aaaa 14040 1 40414041 ， 故选：C. 10.【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果. 解：依题意得， 2sin22cos22sin 2 4 f xxxx ，故函数 f x在 3 , 4 上先减后增， 故 A 错误； 因为将函数 f x的图象向左平移 5 8 个单位长度后其图象对应的函数解析式为 5 ( )2sin
19、 22sin(2)2sin2 44 g xxxx ，函数 g x的图象关于原点对称，故 B 错误； 因为 773 2sin 22sin2 8842 f ，所以 7 8 x 是函数 f x图象的一条对称轴，即 77 88 fxfx ，故 C 正确； 当, 2 x 时， 95 2, 444 x ，则 2,2f x ，故 D 错误. 综上所述， 故选：C. 11. 【分析】 可以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴， 建立平面直角坐标系， 并设 2,Em， ,2F n，从而得出2AE AFmn.根据BEDFEF即可得出 22 (2)(2)mnnm， 进而可得出 2 432mn，从而得出42
20、1mn，从而得出821AE AF，这样即可得 出x的范围. 解：以A为坐标原点，线段AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设2,Em，,2F n，则2AE AFmn， 由BEDFEF，得 22 (2)(2)mnnm，化简可得 42mnmn， 2 42() 2 mn mn ，故 2 432mn，因为0m，0n，故42 1mn，当且仅当 221mn时等号成立， 2821AE AFmn，故x的取值范围为 ,82 1 . 故选：A. 12.【分析】分两种情况讨论A，B在y轴的同侧和两侧，可得圆心M在AOB的角平分线上，过M作 垂直于OA，AF的垂线，由题意可得四边形MTAN
21、为正方形，再由题意可得FAb，所以OAa，由 题意可得NA，ON的值，求出外接圆的半径，由题意可得a，b的关系求出离心率. 【解答】解（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限. 如图，设OAB内切圆的圆心为M，则M在AOB的平分线Ox上， 过点M分别作MNOA于N，MTAB于T， 由FAOA得四边形MTAN为正方形， 由焦点到渐近线的距离为b得FAb， 又O Fc ， 所以OAa ， 又 31 2 NAMNa ，所以 33 2 NOa ， 所以 3 tan 3 MNb AOF aNO ，从而可得 2 2 3 1 3 b e a . （2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知FA
22、b，OFc，OAa， 所以OAB的内切圆半径为 31 22 ABOAOB a ， 所以23OBABaa， 又因为 22 2 OBABa，所以3ABa，2OBa， 所以60BOA，60AOF，则tan603 b a ，从而可得 2 12 b e a . 综上，双曲线C的离心率为 2 3 3 或 2. 故选：D. 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 240 14. -16 或 16 15. 53 72 16. 13.【分析】先求其通项公式，再令x的指数为-2 求出r即可求解结论. 解：依题意可得， 6 2 1 2 x x 的展开式的通项为 5 6 3 6 2 166
23、2 1 221 r r r r rrr r TCxCx x ， 令 5 32 2 r ，解得2r ， 故 2 1 x 项的系数为 2 24 6 2115 16240C . 故答案为：240. 14.【分析】 先根据导数的几何意义求出切点的横坐标，然后点入曲线方程求出切点坐标，再代入切线求出a 的值. 解：设切点坐标为 00 ,x y，由 2 33yx，得切线斜率 2 0 33kx，故 2 0 339x ，解得 0 2x ，故 切点为2,2或2, 2，分别代入9yxa中，可得16a 或16a . 故答案为：-16 或 16. 15.【分析】先求出 4 个人都没有完成任务的概率和 4 个人中有 3
24、 个没有完成任务的概率，由此利用对立事 件概率计算公式能求出至少 2 人完成任务的概率. 解：4 个人都没有完成任务的概率为 31111 423324 ， 4 个人中有 3 个没有完成任务的概率为： 1 2 1111311131212 4233423342339 C， 故至少 2 人完成任务的概率为 1253 1 24972 . 故答案为： 53 72 . 16.【分析】直接利用直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，两点间的距离 公式的应用求出结果. 解：依题意得直线 1 l， 2 l的斜率均存在，且2,0F，设 11 ,M x y， 22 ,N x y，直线 1 l：
25、2yk x， 联立方程，得 2 2 8 yk x yx 整理可得 2222 4840k xkxk ， 所以 2 12 2 48k xx k ， 则 12 2 8 48MNxx k ， 以 1 k 代替k可得， 2 8 8PQk ， 2 2 8 88816 1632MNPQk k ，当且仅当1k 时取 等号，所以正确； 四边形的面积 2 2 11 322128 2 SMNPQk k ，当且仅当1k 时取等号，所以正确； 因为 2 44 2,D kk ， 2 24, 4Ekk， 所以直线DE的方程为 22 2 44 2244424kykkxk kk ，即 2 610k xky， 恒过定点6,0，故
26、正确； 若点F为弦MN的三等分点， 不妨设 2NFFM ， 则 2211 2,22 ,xyxy， 所以 21 224xx， 即 12 26xx，又 12 4x x ， 解得 1 1 2 2 x y （舍去）或 2 2 1 4 x y ， 代入 2 12 2 48k xx k ，得 2 2k ，与两直线垂直矛盾，故错误. 综上所述， 故答案为：. 三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【分析】 （1）利用正弦定理，两角和的正弦函数结合sin0B，可求cosA的值，结合范围0,A， 可求A的值，进而利用正弦定理可求ABC外接圆的半径，进而可求ABC
27、外接圆的面积. （2）由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 解：（1）依题意得： 222 22cos 1 babC cbca ， 故： 222 2coscos 2 cos abcCaC bc bcaA ， 则：2 coscoscosbA cAaC， 所以：2sincossincossincossinBAACCAA C，即：2sincossinBAB， 因为：sin0B， 所以： 1 cos 2 A ， 因为：0,A， 所以： 3 A ， 所以： 2 74 7 2 sin33 2 a R A （R为ABC外接圆的半径），则： 2 7 3 R ， 故ABC外接圆的面积
28、 2 28 3 SR. （2）由 3 A .及余弦定理得： 2 222 2cos3abcbcAbcbc， 又 2 7a ，8b c ， 所以： 2 2 2 783bc，解得：12bc . 故 1 sin3 3 2 ABC SbcA . 18.【分析】 （1）根据条件利用面面垂直性质得到ADAB，线面垂直定理等即可证明AD 平面SAB， 进而得到ADBS，从而BS 平面DAE，平面DAE 平面SBC. （2）建立如图所示直角坐标系，求出平面CAE的法向量，平面DAE的一个法向量为，利用二面角公式结 合图形即可求出二面角 解：（1）二面角SABD为直二面角， 平面SAB平面ABCD， 90DAB，
29、 ADAB， 平面ABCD平面SABAB，AD 平面ABCD， AD 平面SAB，又BS 平面SAB，ADBS， ASBABS， ASAB， 又E为BS的中点， AEBS， 又ADAEA， BS 平面DAE， BS 平面SBC， 平面DAE 平面SBC. （2）如图，连接CA，CE，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系Axyz， 1 tan 2 ASD，2AD ， 0,0,0A，0,4,0B，0,4,2C，2 3, 2,0S，3,1,0E， 0,4,2AC ，3,1,0AE ， 设平面CAE的法向量为, ,nx y z，则 0 0 n AC n AE 即 420 30 xz xy ，
30、 令1x ，则3y ， 2 3z ， 1,3,2 3n 是平面CAE的一个法向量， SB平面DAE， 平面DAE的一个法向量为2 3,6,0SB ， 2 36 31 cos, 24 4 3 n SB n SB nSB ， 由图可知二面角CAED的平面角为锐角， 故二面角CAED的大小为60. 19.【分析】（1）直接求解x，和y，即计算样本中心点， （2）根据相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 求值，即可判断y与x之间的相关程度； （3）根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论. 解：（1）依题意 10 1 2.445 i i x
31、 x x ， 10 1 4.731 10 i i y y . （2）依题意， 10 1010 1 22 11 ii i ii ii xxyy r xxyy 10 2 2 1 10 2 2 1 10 0.85 1.220.997 1.04 10 i i i i xx b yy ， 因为0.9970.75， 所以y与x之间具有很强的相关性. （3）由 4.731 1.22 2.445 1.75aybx ， 所以所求回归直线方程为 1.221.75yx ， 故当3.2x时， 1.22 3.2 1.755.65y . 20.【分析】 （1）先用分割法表示出PAB的面积即 PABPDAPDB SSS ，
32、从而得到 30 4 AB yy； 设直线l的方程为1xmy，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理可用含m的式子表示出 AB yy，从 而建立关于m的方程，解之即可； （2） 直线l的方程为1yk x， 设 11 ,1A x k x ， 22 ,1B x k x ， 然后分别表示出直线PA和PB 的方程，令3x ，可分别求得M、N两点的坐标，因为MR RN ，于是可以用含k， 1 x， 2 x的式子表 示出点R的坐标，将直线l的方程与椭圆的方程联立，把由韦达定理得到的等式代入R的纵坐标化简可得 5 3 R y k ，在表示出 k，有 5 5 3 3 16 k k k ，故而可得解. 解：（1）设,
33、 AA A xy，, BB B xy. 因为1,0D，椭圆C的左顶点为2,0P ，所以3PD ， 故 33 30 28 PABPDAPDBAB SSSyy ， 故 30 4 AB yy， 设直线l的方程为1xmy， 联立 22 1 1 42 xmy xy ，整理得 22 2230mymy ， 所以 2 2 2 AB m yy m ， 2 3 2 AB y y m ， 故 2 4 ABABAB yyyyy y 22 2 4122 30 24 mm m ，解得 2 6m ，6m ， 故直线l的方程为610xy 或610xy . （2）由题意得，直线l的方程为1yk x，设 11 ,1A x k x
34、 ， 22 ,1B x k x ， 联立 22 1 1 42 yk x xy ，整理得 2222 214240kxk xk， 则 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 24 21 k x x k ， 又2,0P ，所以直线PA的方程为 1 1 1 (2) 2 k x yx x ， 令3x ，解得 1 1 51 3, 2 x x k M ， 同理可得， 2 2 51 3, 2 x x k N ， 设, RR R xy， 因为MR RN ，所以3 R x ， 12 12 115 222 R xxk y xx ， 将代入上式并化简可得 5 3 R y k ， 所以 5 5 3 3
35、16 k k k ， 故 5 6 k k ，为定值. 21.【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知单调性. （2）令0x时求出1m，然后求在1m时，m的取值范围，分离参数求最值，求出m. 【解答】解（1）依题意，xR， 22 8428104 xx fxexxxexx ， 令 0fx ，即 2 1040xx，解得 1084 521 2 x ， 故当, 521x 时， 0fx ， 当521, 521x 时， 0fx ， 当521,x 时， 0fx ， 故函数 f x的单调递增区间为, 521 和521, ，单调递减区间为 521, 521 . 注： 521
36、， 521 处写成闭区间也给分. （2）令 2 84 sin 4 x exx g xmmx ， 由题意得，当0x时， 010gm ，则有1m. 下面证当1m时，对任意0x，都有 0g x . 由于xR时，1 sin0x，当1m时，则有 2 1 211 sin 4 x g xexxx . 故只需证明对任意0x，都有 2 1 211 sin0 4 x exxx . 易知 sinh xxx在0,上单调递增， 所以当0x时， 00h xh，即sinxx， 所以11 sinxx ，则 22 11 211 sin211 44 xx exxxexxx ， 设 2 1 211 4 x F xexxx ，0x，
37、则 2 15 11 42 x Fxexx . 当0x时，1 x e ， 2 15 11 42 xx ， 所以 0Fx ，所以 F x在0,上单调递增， 所以当0x时， 00F xF， 所以对任意0x，都有 2 1 211 sin0 4 x exxx . 所以当1m时，对任意0x，都有 2 84 sin 4 x exx mmx ， 故实数m的取值范围为1,. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用直线和曲线的位置关系的应用，建立等量关系求出结果. 解： （1） 由直线l的参数方程为 2 2 xt y
38、t （t为参数） ， 转换为直角坐标方程24xy， 即24 0xy， 所以直线l的普通方程为240xy. 由曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y （为参数），转换为直角坐标方程 2 2 11xy，即 22 20xyx， 将cosx， 222 xy代入上式，可得 2 2 cos0，即 2cos ， 所以曲线 1 C的极坐标方程为2cos. （2）由 2 240 4 xy yx 解得 1 2 x y 或 4 4 x y ，所以4,4M， 由（1）可得2,0A，因为线段MA的中点为N，所以3,2N， 由（1）可知曲线 1 C表示圆，其圆心为 1 1,0C，半径1r ， 所以 22 1
39、 3 1202 2C Nr ， 因为点P在曲线 1 C上，所以 1 min 2 21PNC Nr. 选修 4-5：不等式选讲 23.【分析】（1）先利用均值不等式可得 3 826xx ，同理可得 3 826yy， 3 826zz ，以上三 式相乘可得 3 828282216xyzxyz，结合 1 8 64 xyz 得证； （2）利用分析法，即证1 21 210mnmn，而1m， 1 2 n ，则10m ，210n ， 210mn ，由此容易得证. 【解答】证明：（1）由题可得 33 8281 13 81 16xxxx ，当且仅当 1 8 x 时取等号； 同理可得 3 826yy， 3 826zz ， 故 3 828282216xyzxyz，当且仅当 1 8 xyz时取等号， 因为 1 8 64 xyz ， 所以82 82 8227xyz，当且仅当 1 8 xyz时取等号. （2）要证 2222 24142m nmnm nmn ，即证 2222 442210m nmnnm nm ， 即证 2 4122110mnmmnnmm ，即证 2 142210mmnmnn， 即证 1221210mmnnn ，即证1 21 210mnmn， 因为1m， 1 2 n ，所以10m ，210n ，210mn ， 所以1 21 210mnmn，所以 2222 24142m nmnm nmn .
