1、湖南省长望浏宁四县湖南省长望浏宁四县（区、市区、市）2020 届高三届高三 4 月联考月联考 数学数学（理科理科）试题试题 第第 I 卷卷（选择题选择题 共共 60 分分） 一一、选择题选择题：共共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知复数z满足(1)|3|i zi，i 为虚数单位，则z等于（ ） A1 i B1 i C 11 22 i D 11 22 i 2设 |1Ax x， 2 |20Bx xx，则() RA B（ ） A1|x x B1|1xx C1|1xx D
2、2|1xx 3唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河” 诗中隐含着一个有 趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回 到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 22 1xy，若将军从点 2,0A 处出发，河岸线所在直线方程为3xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则 “将军饮马”的最短总路程为（ ） A101 B2 21 C2 2 D10 4在航天员进行一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编
3、排方法共有（ ） A34 种 B48 种 C96 种 D144 种 5函数tan()(14) 42 x yx 的图象如下图所示，A 为图象与 x 轴的交点，过点 A 的直线 l 与函数的 图象交于 B，C 两点，则()OBOCOA（ ） A8 B4 C4 D8 6已知直线 m，n 和平面, a na，则“/ /mn”是“/ /ma”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7阅读上面程序框图，如果输出的函数值在区间 1 1 , 4 2 内，则输入的实数 x 的取值范围是（ ） A(, 2 B2, 1 C1,2 D2, 8已知函数 sinfxAx ， （0
4、A，0， 2 ）的部分图象如上图所示，则使 0faxfax成立的 a 的最小正值为（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 9已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线均与圆 22 650xyx相切，且双曲线的右 焦点为该圆的圆心，则 C 的离心率为（ ） A 6 3 B 6 2 C 3 5 5 D 5 2 10意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55， 即 121FF， * 12 (,)3F nF nF nnnN，此数列在现代物理 “准晶体结构” 、化学等都有着广泛的应用若此数列被 2 整除
5、后的余数构成一个新数列, n a则数列 n a的前 2019 项的和为（ ） A672 B673 C1346 D2019 11已知( )fx为函数 f x的导函数，且 21 1 ( )(0)(1) 2 x f xxfxfe ，若 2 1 ( )( ) 2 g xf xxx， 方程0g axx有且只有一个根，则 a 的取值范围是（ ） A 1 e B 1 (, e C 1 (0, e D 1 (2, 0 e 12已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC是等腰直角三角形，1ABAC，SA 为 球 O 的直径，且6,SA 则此棱锥的体积为（ ） A 5 6 B 3 3 C 2
6、3 D 1 3 第第 II 卷卷（非选择题非选择题 共共 90 分分） 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共共 20 分分 13已知等差数列 n a的公差 d 不为 0，且 124 ,a a a成等比数列，则 1 a d 的值为_ 14甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任 一局甲胜的概率为 p，若甲赢得比赛的概率为 q，则qp取得最大值时p _ 15已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为 F， 0 (1,)Py是抛物线上一点，过点 P 向抛物线 C 的准线引 垂线，垂足为 D，若PDF为等边三
7、角形，则p _ 16若函数 2 1 ( )ln2 2 f xaxxbx在区间1,2上单调递增，则4ab的最小值是_ 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第题为必考题，每个试题考生都必须第题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答；第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 （本小题满分 12 分） ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知22cosabcB，3c （1）求角 C； （2）延长线段 AC 到点 D，使CDCB，求
8、ABD周长的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 底面 ABCD，PAAB，E 为线段 PB 的中 点，F 为线段 BC 上的动点 （1）求证：平面AEF 平面 PBC （2）试确定点 F 的位置，使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为30 19 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为,0F c，下顶点 为 P，过点(0, ) 2 b M的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点 （1）当直线 l 平行于 x 轴时，P，F，A 三点
9、共线，且 3 3 2 PA ，求椭圆 C 的方程； （2）当椭圆 C 的离心率为何值时，对任意的动直线 l，总有PAPB? 20 （本小题满分 12 分） 绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村 游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金 额分组如下：0,20，20,40，100,120，得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代 表） （2）若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果
10、达人”填写下面列联表，并根据列 联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计 （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案 方案一：每满 80 元可立减 10 元； 方案二：金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 1 2 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元，你打算购买 12 斤水果，请从实际付 款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案 附：参考公式和数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd
11、 临界值表 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 2 0 P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 21 （本小题满分 12 分） 设函数 2 1 ( )ln(2) 2 f xxax （1）讨论 f x的单调性； （2）当1a 时，若不等式 2 1 ( )0 2 x exf xm恒成立，求整数 m 的最大值 （二二）选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l
12、的参数方程为 2 3 2 2 1 2 xt yt （t 为参数） ，在以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为4cos6sin （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线l交于点 M，N，点 A 的坐标为3,1，求AMAN 23 （本小题满分 10 分） 已知函数 2f xx （1）解不等式 216f xfx； （2）对10,0abab及任意实数 x，不等式 41 ()()f xmfx ab 恒成立，求实数 m 的 取值范围 2020 年长望浏宁四县年长望浏宁四县（市区市区）高三联考理科数学试卷高三联考理科数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试
13、题解析 一、选择题一、选择题（共共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A C D D B B C C D D 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 题号 13 14 15 16 答案 1 33 6 2 3 4 三、解答题三、解答题 （一一）必考题：必考题：1721 题为必考题，每题题为必考题，每题 12 分共分共 60 分分 17 （满分
14、 12 分） 【解答】 （1）根据余弦定理得 222 22 2 acb abc ac ， 整理得： 222 abcab ， 由余弦定理可得 222 1 2 c 22 os abcab abab C 由于,()CO，可得 2 3 C （2）由于 2 3 C ，即 3 BCD ，又CDCB， 可得BCD为等边三角形，可得BDCDa， 所以ABD的周长23Lab， 由正弦定理 sinsin 3 i3s 2 2 nAB c C ab ， 所以：2sinaA，2sinbB， 因为： 3 AB ，又(0,) 3 B ，可得 1 cos( ,1) 2 B， 所以2424sin()2 3 sinsinsinA
15、BabBB 31 4()22 3 22 cossinsincosBBBB， 所以2( 3,2 3)ab， 所以周长23Lab的取值范围是(2 3,3 3) 18 （满分 12 分） 【解答】解法一： （1）因为PA 底面 ABCD，BC 平面 ABCD， 所以PABC 因为 ABCD 为正方形，所以ABBC， 又因为PAABA，所以BC 平面 PAB 因为AE 平面 PAB，所以AEBC 因为PAAB，E 为线段 PB 的中点， 所以AEPB， 又因为PBBCB，所以AE 平面 PBC， 又因为AE 平面 AEF，所以平面AEF 平面 PBC （2）因为PA 底面 ABCD，ABAD， 以 A
16、 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 的方向为 x 轴，y 轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系Axyz， 设正方形 ABCD 的边长为 2， 则0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，0,2,0D，)(0,0,2P，1,0,1E， 所以(1,0,1)AE ，(2,2, 2)PC ，(0,2, 2)PD 设点 F 的坐标为()(2, ,0 0)2，所以(2, ,0)AF 设 111 ,nx y z为平面 AEF 的法向量 则 0 0 n AE n AF ，所以 11 11 0 20 xz xy 取 1 2y ，则,2(),n 设 222 ,mxy z为平面 PCD 的法向量，
17、则 0 0 m PC m PD ，所以 222 22 0 0 xyz yz ， 取 2 1y ，则0,11m 而 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为30， 所以 2 |2|3 |cos30 | | |2 224 m n mn 1，故当点 F 为 BC 中点时，平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为30 解法二： （1）因为PA 底面 ABCD，PA平面 PAB， 所以平面PAB 底面 ABCD 又平面PAB底面ABCDAB， BCAB，BC 平面 ABCD， 所以BC 平面 PAB 因为AE 平面 PAB，所以AEBC 因为PAAB，E 为线段 PB 的中点，所以AEPB 因为P
18、BBCB，所以AE 平面 PBC 又因为AE 平面 AEF， 所以平面AEF 平面 PBC （2）同解法一 19 （满分 12 分） 【解答】 解： （1）当直线l与 x 轴平行时，即上 1 : 2 l xb， 如图，作ADx轴交 x 轴于点 D， 则根据 1 2 ADFDAF OPOFPF ，可得 31 (,) 22 Acb， 且 22 3333 3 2222 PAPFcba， 解得3a ， 又因为 A 在椭圆上，所以 22 22 91 44 1 cb ab ， 解得 22 1 1 3 ca 所以 2 3 12b ， 所以椭圆 C 的方程为 22 1 32 xy ； （2）当直线 l 平行于
19、 x 轴时， 由PAPB，得 33 22 1 33 22 PAPB bb KK aa 22 3ab，又 222 abc， 22 23ac， 2 2 3 e ， 0,1e， 6 3 e 当直线 l 不平行于 x 轴时，下面证明当 6 3 e ，总有PAPB， 事实上，由知椭圆可化为 22 22 1 3 xy bb ， 222 33xyb， 直线 l 的方程为 2 b ykx， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 222 2 33 b ykx xyb ，得 222 9 1330 4 kxkbxb， 12 2 3 13 kb xx k ， 2 12 2 9 4 13 b x x k 11
20、,PAx yb， 22 ,PBxyb 1212 PA PBx xybyb 1212 33 22 bb x xkxkx 22 1212 39 1 24 kb kx xxxb 2 22 22 9 339 4 1 132134 b kbkb kb kk 22 222 2 9 13 999 4 0 13444 bk bbb k PAPB， 综上，当椭圆 C 的离心率为 6 3 时，对任意的动直线 l，总有PAPB 20 （满分 12 分） 【解答】 （1）10 0.00530 0.007550 0.01070 0.012590 0.010 110 0.005x 2062 估计今年 7 月份游客人均购买
21、水果的金额为 62 元 （2）列联表如下： 水果达人 非水果达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 又 2 2 100(10 302040) 4.7613.841 50 50 30 70 K ， 因此有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系 （3）若选方案一：则需付款10 12 10110元； 若选方案二：设付款 X 元，则 X 可能取值为 84，96，108，120 3 3 3 11 (84) 28 P XC ， 2 2 3 113 (96) 228 P XC 2 1 3 113 (108) 228 P XC ， 3 0 3 11 (120) 2
22、8 P XC 所以 1331 ()8496108120102 8888 E X 因为102110，所以选择方案二更划算 21 （满分 12 分） 【解答】 （1）由 2 2 ( )(2) 2 xxa fxx x ， 设 2 ( )2(2)g xxxa x ，易知：对称轴1x 0 时，即1a 时， 0fx， 所以， f x在( 2,) 0 时，即1a 时，由 0g x 得 1 11xa ， 2 11xa i） 1 ( 2)0 a g 时，即0a 时，易知： f x在 2 2,x， 2 (),x ii） 1 ( 2)0 a g 时，即01a时， 易知： f x在 1 2,x， 2, x ；在 12
23、 ,x x； 综上所述：略 （2）由条件，即不等式ln2 x exm恒成立， 设( )ln(2)(2) x h xexx ，则 min ( ( )h xm 由 1 ( )(2) 2 x h xex x ，易知： h x在2, 又 1 ( 1)10he ， 1 (0)0 2 h ， 所以，存在唯一的 0 1,0x ， 使得 0 0 0 1 ()0 2 x h xe x 且 0 1,xx 时， 0h x， h x ； 0, xx时， 0h x， h x ， 0 min00 ( ( )ln2 x h xh xex 由代换可得 min000 00 11 ( ( )22 22 h xh xxx xx 又
24、 0 ( 1,0)x ， 0 2(1,2)x ， 又易知： 1 yt t 在(1,2) ，所以， 0 1 ()(0, ) 2 h x， 又 0 h xm且 m 为整数所以 m 的最大值为 0 （二二）选考题：选考题：2223 题为选考题，每题题为选考题，每题 10 分，从中选做一题，如果两题都做，只按第一题计分分，从中选做一题，如果两题都做，只按第一题计分 22 （满分 10 分） 【解答】 （1）曲线 C 的方程4cos6sin， 2 4 cos6 sin， 22 46xyxy， 即曲线 C 的直角坐标方程为： 22 (2)(3)13xy （2）把直线 2 3 2 : 2 1 2 xt l
25、yt 代入曲线 C 得 22 22 (1)( 2)13 22 tt ， 整理得， 2 3 280tt 2 ( 3 2)320 ， 设 1 t， 2 t为方程的两个实数根， 则 12 3 2tt， 1 2 8t t ， 1 t， 2 t为异号， 又点3,1A在直线 l 上， 1212 |AMANtttt 2 121 2 4505 2ttt t 23 （满分 10 分） （1） 33 ,0.5 ( )(21) |2|21|1,0.52 33,2 xx f xfxxxxx xx ， 当 1 2 x 时，由336x，解得1x ； 当 1 2 2 x时，16x 不成立； 当2x 时，由336x ，解得3x ， 所以不等式 6f x 的解集为(, 13,) （2）1,0aba b， 4144 ()()5529 bab a ab ababab ， 对于x R，恒成立等价于： 对x R，|2|2| 9xmx ， 即 max |2|2|9xmx ， |2|2| |(2)(2)| | 4|xmxxmxm ， 949m ，135m
