1、如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 P 在大圆上，PA 与小圆相切于 点 A，Q 为小圆上的点，则的取值范围是 9 （3 分）已知平面上三个不同的单位向量 ， ， 满足 ，若 为平面内的 任意单位向量，则|+|2|+3|的最大值为 10 （3 分）在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题 第 2 页（共 22 页） 中正确的是 （写出所有正确命题的编号） 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果 k 与 b 都是无理数，则直线 ykx+b 不经过任何整点 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点 直线 y
2、kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 二二.选择题选择题 11 （3 分）已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，O 为ABC 内一点，若分 别 满足下列四个条件： a+b+c tanA+tanB+tanC sin2A+sin2B+sin2C + 则点 O 分别为ABC 的（ ） A外心、内心、垂心、重心 B内心、外心、垂心、重心 C垂心、内心、重心、外心 D内心、垂心、外心、重心 12 （3 分）如图，在同一平面内，点 P 位于两平行直线 l1、l2同侧，且 P 到 l1，l2的距离分 别为 1，3，点 M，N 分别在
3、 l1，l2上，|+|8，则的最大值为（ ） A15 B12 C10 D9 13 （3 分）如图所示，BAC，圆 M 与 AB，AC 分别相切于点 D，E，AD1，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且（x，yR） ，则 x+y 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C D 14 （3 分）已知点 M（a，b）与点 N（0，1）在直线 3x4y+50 的两侧，给出以下结 论： 3a4b+50； 当 a0 时，a+b 有最小值，无最大值； a2+b21； 当 a0 且 a1 时，的取值范围是（，）（，+） 正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 15 （3 分）在边长为 1
4、 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分 别为、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、若 m、M 分别为（+） （+）的最小值、最大值，其中i， j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则 m、M 满足（ ） Am0，M0 Bm0，M0 Cm0，M0 Dm0，M0 三三.解答题解答题 16已知直线 l： （2a+b）x+（a+b）y+ab0 及点 P（3，4） （1）证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标 （2）当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程 17如图所示，PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中PAQ120，为了
5、营造更加优美的 旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC， 其中 AB 是宽长廊，造价是 800 元/米；AC 是窄长廊，造价是 400 元/米；两段长廊的总 造价为 120 万元，同时在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水 上直线通道 AD（平台大小忽略不计） ，水上通道的造价是 1000 元/米 第 4 页（共 22 页） （1）若规划在三角形 ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC 的面积最大，那么 AB 和 AC 的长度分别为多少米？ （2）在（1）的条件下，建直线通道 AD 还需要多少钱？ 18定义“
6、矩阵”的一种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的 变换下成点设矩阵 A （1）已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为，试求点 P 的坐标； （2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？若 存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由 19小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当 P、A、B 三点共线，O 为直线外一点，且时，x+y1（如图 1）第二天， 小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答 （1）当 x+y1 或 x+y1 时，O、P 两点的位置与 AB 所在直线之间存在什么关系？写出 你的结
7、论，并说明理由 （2）如图 2，射线 OMAB，点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的区域内 （不含边界）运动，且，求实数 x 的取值范围，并求当时，实数 y 的 取值范围 （3）过 O 作 AB 的平行线，延长 AO、BO，将平面分成如图 3 所示的六个区域，且 ，请分别写出点 P 在每个区域内运动（不含边界）时，实数 x，y 应满足 的条件 （不必证明） 第 5 页（共 22 页） 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）11 月月 月考数学试卷月考数学试卷 参考答案与试题解析
8、参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）直线 l：5x12y+50 的单位方向向量为 （，） ， （，） 【分析】取直线 l：5x12y+50 的方向向量为（12，5） ，即可求出直线的单位方向向 量 【解答】解：取直线 l：5x12y+50 的方向向量为（12，5） ， 则该直线的单位方向向量为（，） ， （，） ， 故答案为： （，） ， （，） 【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 2 （3 分） 已知， 且 与 的夹角为锐角， 则实数 k 的取值范围是 （ ，2）（2，） 【分析】根据两向量的夹角为锐角知 0 且 、 不共线，
9、由此求出 k 的取值范围 【解答】解：，且 与 的夹角为锐角， 12k0，解得 k， 又 、 不共线，k2， 实数 k 的取值范围是（，2）（2，） 故答案为： （，2）（2，） 【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题，是基础题 3 （3 分）若直线 l 过点，且与直线的夹角为，则直线 l 的方程是 x2，或 x+y10 第 7 页（共 22 页） 【分析】先求出直线 m 的倾斜角，再根据直线 l 和直线 m 夹角为，可得直线 l 的倾斜 角，进而得到直线 l 的斜率，从而求得直线 l 的方程 【解答】解：直线 l 过点，且与直线的夹角为， 且直线 m 的斜率为，即直线 m 的倾斜角
10、为， 设直直线 l 的倾斜角为 ，则 +，或 +（）， 故直线 m 的斜率不存在，或直线 m 的斜率为 tantan， 故直线 l 的方程为 x2， 或 y（x+2） ， 即直线 l 的方程为 x2， 或 x+y 10， 故答案为：x2，或 x+y10 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题 4 （3 分）若直线 l：ykx与直线 2x+3y60 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜 角的取值范围是 【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的 坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于 0，联立得到关于 k 的不等式组，求出
11、不 等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k，根据正切 函数图象得到倾斜角的范围 【解答】解：联立两直线方程得：， 将代入得：x，把代入，求得 y， 所以两直线的交点坐标为（ ，） ， 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ，且， 解得：k， 设直线 l 的倾斜角为 ，则 tan，所以 （ ，） 故答案为： 【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点， 第 8 页（共 22 页） 掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题 5 （3 分）已知直线 l：xy10，l1：2xy20若直线 l2与 l1关于 l 对称，则 l2的 方
12、程为 x2y10 【分析】先解方程组得 l 与 l1的交点（1，0）也在 l2上，然后在 l1上去一点（2，2） ，则 该点关于 l 的对称点（3，1）也在 l2上，用两点式即可求得 l2的方程 【解答】解：联立解得，所以三条直线的交点为（1，0） 在 l1上取点（2，2） ，依题意该点关于 l 的对称点（3，1）在 l2上 由两点式得 l2的方程为，化简得 x2y10 故答案为：x2y10 【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题 6 （3 分）函数的最小值为 【分析】利用函数的表达式，转化为 x 轴上的点与（1，3） ， （0，1）距离和的最小值 【解答】解：函数+， 就是 x
13、轴上的点与（1，3）以及（0，1）距离之和的最小值， 可得最小值为： 故答案为： 【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用 7 （3 分）在ABC 中，D、E 分别是 AB，AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若ABC 的面积为 1，则+ 2 的最小值为 【分析】由三角形的面积公式，SABC2SMBC，则 SMBC，根据三角形的面积公式 及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则+ 2，利用导数求得函数的单调性， 即可求得则+ 2 的最小值； 第 9 页（共 22 页） 方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得+ 2 的最小值 【解答】解：D、E 是 AB、AC 的中点，
14、A 到 BC 的距离点 A 到 BC 的距离的一半， SABC2SMBC，而ABC 的面积 1，则MBC 的面积 SMBC， SMBC丨 MB 丨丨 MC 丨 sinBMC， 丨 MB 丨丨 MC 丨 丨 MB 丨丨 MC 丨 cosBMC 由余弦定理，丨 BC 丨 2丨 BM 丨2+丨 CM 丨22 丨 BM 丨丨 CM 丨 cosBMC， 显然，BM、CM 都是正数， 丨 BM 丨 2+丨 CM 丨22 丨 BM 丨丨 CM 丨， 丨BC丨 2丨BM丨2+丨CM丨22丨 BM 丨丨CM丨 cosBMC2 2 + 2 +22， 方法一：令 y，则 y，令 y0，则 cosBMC， 此时函数在
15、（0，）上单调减，在（，1）上单调增， cosBMC时，取得最小值为， + 2 的最小值是， 方法二：令 y，则 ysinBMC+cosBMC2，则sin（BMC+） 2，tan， 则 sin（BMC+）1，解得：y， + 2 的最小值是， 故答案为： 第 10 页（共 22 页） 【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 8 （3 分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 P 在大圆上，PA 与小圆相切于 点 A，Q 为小圆上的点，则的取值范围是 3，3+ 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设 Q（cos，sin
16、） ，A（0，1） ，取 P（， 1） ， 利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设 Q（cos，sin） ，A（0，1） ， 则 P（，1） ，不妨取 P（，1） ， 则（，0） ，（cos+，sin+1） ， （cos+）cos+3； 又 cos1，1， 3cos+33+， 即的取值范围是3，3+ 故答案为：3，3+ 第 11 页（共 22 页） 【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想，是基础题 9 （3 分）已知平面上三个不同的单位向量 ， ， 满足 ，若 为平面内的 任意单位向量，则|+|2|
17、+3|的最大值为 【 分 析 】 柯 西 不 等 式 可 得 ：（ |+|2|+3| ） 2 （ 12+22+32） （|2+|2+3|2） 14（ （|2+|2+|2） ，再根据向量的数量积公式计算即可 【解答】解：由柯西不等式可得： （ |+|2|+3|） 2 （12+22+32） （|2+|2+|2） 14（ （|2+|2+|2） ， 由于 ， 与 ， 与 的夹角为， 下面求|2+|2+|2， 由于|2|2， 不妨将 换成 ，设 与 夹角为 ， 则|2+|2+|2cos2（）+cos2（）+cos2（）+ +cos（）+cos（22）+cos（2） +cos（2）+cos2+cos（2）
18、 +（cos2+sin2+cos2cos2sin2） 第 12 页（共 22 页） ， （|+|2|+3|）21421 |+|2|+3|的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题 10 （3 分）在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题 中正确的是 （写出所有正确命题的编号） 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果 k 与 b 都是无理数，则直线 ykx+b 不经过任何整点 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点 直线 ykx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是
19、：k 与 b 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 【分析】举例说明命题是真命题；举反例说明命题是假命题；假设直线 l 过两个 不同的整点，设直线 l 为 ykx，把两整点的坐标代入直线 l 的方程，两式相减得到两整 点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上，利用同样的方法，得到直线 l 经过无 穷多个整点，得到命题为真命题；当 k，b 都为有理数时，ykx+b 可能不经过整点， 例如 k，b，说明是假命题 【解答】解：令 yx+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题正确； 若 k，b，则直线 yx+经过（1，0） ，命题错误； 设 ykx 为过原点的直线，若此直线 l 过不同的整点
20、（x1，y1）和（x2，y2） ， 把两点代入直线 l 方程得：y1kx1，y2kx2， 两式相减得：y1y2k（x1x2） ， 则（x1x2，y1y2）也在直线 ykx 上且为整点， 通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点，则正确； 当 k，b 都为有理数时，ykx+b 可能不经过整点，例如 k，b，故不正确； 令直线 yx 恰经过整点（0，0） ，命题正确 综上，命题正确的序号有： 故答案为： 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，说明一个命题为假命题，只需举一反例即可， 要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明， 考查学生对题中新定义的理解能力， 是
21、中档题 二二.选择题选择题 11 （3 分）已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，O 为ABC 内一点，若分 别 满足下列四个条件： a+b+c tanA+tanB+tanC sin2A+sin2B+sin2C + 则点 O 分别为ABC 的（ ） A外心、内心、垂心、重心 B内心、外心、垂心、重心 C垂心、内心、重心、外心 D内心、垂心、外心、重心 【分析】先考虑直角三角形 ABC，可令 a3，b4，c5，可得 A（0，4） ，B（3，0） ， C （0， 0） ， 设 O （m， n） ， 由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断 为三角形的内心、外心和重心；
22、考虑等腰三角形 ABC，底角为 30，设 C（1，） ， B（2，0） ，A（0，0） ，O（x，y） ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断为三 角形的垂心 【解答】解：先考虑直角三角形 ABC，可令 a3，b4，c5， 可得 A（0，4） ，B（3，0） ，C（0，0） ，设 O（m，n） ， a+b+c ，即为 3（m，4n）+4（3m，n）+5（m，n）（0， 0） ， 即有12m+120，12n+120，解得 mn1， 即有 O 到 x，y 轴的距离为 1，O 在角 BCA 的平分线上，且到 AB 的距离也为 1， 则 O 为ABC 的内心； sin2A+sin2B+sin2C
23、， 第 14 页（共 22 页） 即为（m，4n）+（3m，n）+0（m，n）（0，0） ， 可得 32m0，42n0，解得 m，n2， 由|OA|OB|OC|，故 O 为ABC 的外心； + ，可得（m，4n）+（3m，n）+（m，n）（0，0） ， 即为 33m0，43n0，解得 m1，n， 由 AC 的中点 D 为（0，2） ，|DB|，|OB|，即 O 分中线 DB 比为 2：3， 故 O 为ABC 的重心； 考虑等腰三角形 ABC，底角为 30， 设 C（1，） ，B（2，0） ，A（0，0） ，O（x，y） ， tanA+tanB+tanC ， 即为（x，y）+（2x，y）+（1x
24、，y）（0，0） ， 可得x+0，y+10，解得 x1，y， 即 O（1，） ，由 OCAB，kOAkBC （）1，即有 OABC， 故 O 为ABC 的垂心 故选：D 【点评】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属 第 15 页（共 22 页） 于难题 12 （3 分）如图，在同一平面内，点 P 位于两平行直线 l1、l2同侧，且 P 到 l1，l2的距离分 别为 1，3，点 M，N 分别在 l1，l2上，|+|8，则的最大值为（ ） A15 B12 C10 D9 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量、，根据|+|8 求出的 解析式，再求其最大值 【解答】
25、解：由点 P 位于两平行直线 l1，l2的同侧，且 A 到 l1，l2的距离分别为 1，3， 可得平行线 l1、l2间的距离为 2； 以直线 l2为 x 轴，以过点 P 且与直线 l2垂直的直线为 y 轴 建立坐标系，如图所示： 由题意可得点 P（0，1） ，直线 l1的方程为 y2， 设点 M（a，0） 、点 N（b，2） ， （a，1） 、（b，3） ， +（a+b，4） ； |+|8， （a+b）2+1664， a+b4，或 a+b4； 当 a+b4时，ab+3a（4a）+3a2+4a+3， 它的最大值为+42+315； 当 a+b3 时，ab+3a（4a）+3a24a+3， 它的最大值
26、为4（2）+315； 综上可得，的最大值为 15 第 16 页（共 22 页） 故选：A 【点评】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，是综合 题 13 （3 分）如图所示，BAC，圆 M 与 AB，AC 分别相切于点 D，E，AD1，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且（x，yR） ，则 x+y 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】连接 MA，MD，求出圆 M 的半径 MD 和 MA，得出 AP 的最值，根据等边三角 形的性质即可得出 x+y 的最值 【解答】解：连接 MA，MD，则MAD，MDAD， AD1，MD，MA2， 点 P 是圆 M 及其内部任意一
27、点， 2AP2+，且当 A，P，M 三点共线时，x+y 取得最值， 当 AP 取得最大值时，以 AP 为对角线，以 AB，AC 为邻边方向作平行四边形 AA1PB1， 则APB1和APA1是等边三角形，AB1AA1AP2+， xy2+， x+y 的最大值为 4+2， 同理可求出 x+y 的最小值为 42 故选：B 第 17 页（共 22 页） 【点评】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题 14 （3 分）已知点 M（a，b）与点 N（0，1）在直线 3x4y+50 的两侧，给出以下结 论： 3a4b+50； 当 a0 时，a+b 有最小值，无最大值； a2+b21； 当 a0 且 a1 时
28、，的取值范围是（，）（，+） 正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据点 M（a，b）与点 N（1，0）在直线 3x4y+50 的两侧，可以画出点 M （a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的 几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论 【解答】解：点 M（a，b）与点 N（0，1）在直线 3x4y+50 的两侧， （3a4b+5） （30+4+5）0，即 3a4b+50，故错误； 当 a0 时，a+b，a+b 即无最小值，也无最大值，故错误； 设原点到直线 3x4y+50 的距离为 d，则 d，则 a2+b24，故正
29、确； 当 a0 且 a1 时，表示点 M（a，b）与 P（1，1）连线的斜率 当 a0，b时，又直线 3x4y+50 的斜率为， 故的取值范围为（，）（，+） ，故正确 正确命题的个数是 2 个 第 18 页（共 22 页） 故选：B 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，线性规划的简单应用，考查数学 转化思想方法，是中档题 15 （3 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分 别为、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、若 m、M 分别为（+） （+）的最小值、最大值，其中i， j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，
30、3，4，5，则 m、M 满足（ ） Am0，M0 Bm0，M0 Cm0，M0 Dm0，M0 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等 于 0，从而可结论 【解答】解：由题意，以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、， 利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于 0， m、M 分别为（+） （+）的最小值、最大值， m0，M0 故选：D 【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量 积的正负是关键 三三.解答题解答题 16已知直线 l： （2a+b）x+（a+b）y+ab0 及点 P（
31、3，4） （1）证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标 （2）当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程 第 19 页（共 22 页） 【分析】 （1）直线 l 方程化成 a（2x+y+1）+b（x+y1）0，再联解关于 x、y 的方程组 ，即可得到直线 l 经过的定点坐标； （2）设直线 l 经过的定点为 A，由平面几何知识，得到当 PAl 时，点 P 到直线 l 的距 离最大因此算出直线 PA 的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线 l 的斜率，即可 求出此时直线 l 的方程 【解答】解： （1）直线 l 方程可化为：a（2x+y+1）+b（x+y1）0 由，解得 x2 且
32、 y3， 直线恒 l 过定点 A，其坐标为（2，3） （2）直线恒 l 过定点 A（2，3） 当点 P 在直线 l 上的射影点恰好是 A 时， 即 PAl 时，点 P 到直线 l 的距离最大 PA 的斜率 kPA 直线 l 的斜率 k5 由此可得点 P 到直线 l 的距离最大时， 直线 l 的方程为 y35（x+2） ，即 5x+y+70 【点评】本题给出直线经过定点，求直线外一点 P 到直线的距离最大时直线的方程着 重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题 17如图所示，PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中PAQ120，为了营造更加优美的 旅游环境，旅游区管委员会决
33、定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC， 其中 AB 是宽长廊，造价是 800 元/米；AC 是窄长廊，造价是 400 元/米；两段长廊的总 造价为 120 万元，同时在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水 上直线通道 AD（平台大小忽略不计） ，水上通道的造价是 1000 元/米 （1）若规划在三角形 ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC 的面积最大，那么 AB 和 AC 的长度分别为多少米？ （2）在（1）的条件下，建直线通道 AD 还需要多少钱？ 第 20 页（共 22 页） 【分析】 （1）设 ABxm，ACym，则 800
34、x+400y1200000，即 2x+y3000，表示面积， 利用基本不等式，可得结论； （2）利用向量方法，求出 AD，即可得出结论 【解答】解： （1）设 ABxm，ACym，则 800x+400y1200000，即 2x+y3000， SABC281250m3， 当且仅当 2xy，即 x750m，y1500m 时等号成立， ABC 的面积最大，那么 AB 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米； （2）在（1）的条件下，+， 250000， |500， 1000500500000 元，即建直线通道 AD 还需要 50 万元 【点评】本题考查三角形中面积的求法，考查向量知识的运
35、用，考查化简整理的运算能 力，属于中档题 18定义“矩阵”的一种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的 变换下成点设矩阵 A （1）已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为，试求点 P 的坐标； （2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？若 存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由 【分析】 （1）设 P（x，y） ，由题意，得出关于 x，y 的方程，解之即得 P 点的坐标； （2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：ykx+b （k0） ，该直线上的任一点 M（x，y） ，经变换后得到的点 N（）仍在
36、 该直线上，再结合求方程的解即可求得 k，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不 存在；否则存在 第 21 页（共 22 页） 【解答】解： （1）设 P（x，y） 由题意，有， 即 P 点的坐标为 （2）假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件， 所以设直线方程为：ykx+b（k0） 因为该直线上的任一点 M（x，y） ，经变换后得到的点 N（）仍在该直 线上 所以 即，其中 ykx+b（k0） 代入得对任意的 xR 恒成立 解之得 故直线方程为或 【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算 求解能力与转化思想属于中档题 19小郭是一位热爱
37、临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当 P、A、B 三点共线，O 为直线外一点，且时，x+y1（如图 1）第二天， 小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答 （1）当 x+y1 或 x+y1 时，O、P 两点的位置与 AB 所在直线之间存在什么关系？写出 你的结论，并说明理由 （2）如图 2，射线 OMAB，点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的区域内 （不含边界）运动，且，求实数 x 的取值范围，并求当时，实数 y 的 取值范围 （3）过 O 作 AB 的平行线，延长 AO、BO，将平面分成如图 3 所示的六个区域，且 ，请分别写出点 P 在每个区域内运动（不含边界）时，实数 x，y 应满足 第 22 页（共 22 页） 的条件 （不必证明） 【分析】运用平面向量基本定理和三点共线的结论可解决此问题 【解答】 （1）由题意知，若 x+y1，则 O、P 异侧；若 x+y1，则 O、P 同侧； （2）根据题意得，x0；x时，数形结合得 （3）由题知：；：；：；：；：； ： 【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用
