1、直线 x+2y+10 与直线 3x+6y100 的位置关系是（ ） A相交 B重合 C平行 D垂直 14 （3 分）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） Ax2y2 Byx Cy|x| Dx+y0 第 2 页（共 15 页） 15 （3 分）已知数列an满足 an，则an（ ） A1 B0 C1 或 0 D不存在 16 （3 分）已知ABC 中，A，ABAC1当每个 i， （i1，2，3）取遍1 时， |1+2+3|的取值不可能是（ ） A0 B1 C2 D2 三、简答题（三、简答题（8+10+10+12+12） 17 （8 分）已知二元一次方程组无解，求 k 的值： 18 （10 分）等
2、差数列an中，若 a33，a69， （1）求等差数列an的通项公式和前 n 项和 Sn （2）求 19 （10 分）已知ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（4，1） ，C（3，6） （1）求 BC 边上的中线所在直线的一般式方程 （2）求ABC 的面积 20 （12 分）如图，已知点 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，线段 DE 经过点 G，并 绕点 G 转动，分别交边 AB、AC 于点 D、E；设，其中 0m1，0 n1 （1）求表达式的值，并说明理由； （2）求ADE 面积的最大和最小值，并指出相应的 m、n 的值 21 （12 分）已知直线 x+y+20 与圆心为坐
3、标原点的圆 O 相切 （1）求圆 O 的方程； （2）过点 P（2，2）的直线与圆 O 交于 A，B 两点，若弦长|AB|，求直线 AB 的 第 3 页（共 15 页） 斜率的值； （3）过点 Q（1，1）作两条相异直线分别与圆 O 相交于 M，N，且直线 QM 和直线 QN 的倾斜角互补，试着判断向量和是否共线？请说明理由 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每题一、填空题（每题 3 分）分） 1 （3 分）写出方程组的增广矩阵 【分析】利用增广矩阵
4、的定义即可得出 【解答】解：方程组的增广矩阵为， 故答案为： 【点评】本题考查了增广矩阵的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 （3 分）已知 （1，0） ， （2，4） ，则| + | 5 【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出 【解答】解：（1，0）+（2，4）（3，4） 5 故答案为：5 【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题 3 （3 分） 1 【分析】对同时除以 3n，然后求出极限即可 【解答】解：1 故答案为：1 【点评】本题考查了数列的极限，考查了转化思想，属基础题 4 （3 分）直线 xmy+40 的倾斜角为，则 m 的值是 1 【分析】
5、利用斜率设计公司即可得出 第 5 页（共 15 页） 【解答】解：由题意可得：tan，解得 m1 故答案为：1 【点评】本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5 （3 分）已知点 A （1，2） ，B （3，0） ， 则线段 AB 的垂直平分线的方程是 xy10 【分析】 设点 P （x， y） 为线段 AB 的垂直平分线上的任意一点 可得： ，化简即可得出 【解答】解：设点 P（x，y）为线段 AB 的垂直平分线上的任意一点 则， 化为：xy10 故答案为：xy10 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间的距离公式式，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题
6、6（3分） 直线l的一个方向向量 （1， 2） ， 则l与直线xy0的夹角大小为 arctan （用 反三角函数表示） 【分析】直线 l 的一个方向向量 （1，2） ，可得斜率 k2，倾斜角为 ，tan2直 线 xy0 的斜率为 1，倾斜角为可得 l 与直线 xy0 的夹角 满足：tantan （） ，即可得出 【解答】解：直线 l 的一个方向向量 （1，2） ，可得斜率 k2，倾斜角为 ，则 tan 2 直线 xy0 的斜率为 1，倾斜角为 则 l 与直线 xy0 的夹角 满足： tantan （） l 与直线 xy0 的夹角大小为 arctan 故答案为：arctan 【点评】本题考查了直
7、线倾斜角与斜率的关系、和差公式，考查了推理能力与计算能力， 第 6 页（共 15 页） 属于基础题 7 （3 分）向量（k，12） ，（1，2） ，（3，4） ，若 A、B、C 三点共线，则 k 11 【分析】求出，由 A、B、C 三点共线，向量与共线， 得出结论 【解答】解：向量（k，12） ，（1，2） ，（3，4） ， 则， 若 A、B、C 三点共线，向量与共线， 则 2（k1）20， 得 k11， 故答案为：11 【点评】考查平行向量的定理，中档题 8 （3 分）无穷等比数列an各项和 S 的值为 2，公比 q0，则首项 a1的取值范围是 （2， 4） 【分析】由无穷等比数列an的各项
8、和为 4 得，2，|q|1 且 q0，从而可得 a1的范围 【解答】解：由题意可得，1q0 a12（1q） 2a14 故答案为： （2，4） 【点评】本题主要考查了等比数列的前 n 项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|1 且 q0 时前 n 项和的极限， 解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前 n 项和的极限 存在则可得|q|1 且 q0，这也是考生常会漏掉的知识点 9 （3 分）已知点 P（4，1） ，点 Q 的坐标（x，y）满足2，则点 P 与点 Q 距离的最 小值为 【分析】 由和行列式的性质得 2xy20， 利用点到直线的距离公式能求出点 P 与点 Q 距离的最小值 第 7 页
9、（共 15 页） 【解答】解：点 P（4，1） ，点 Q 的坐标（x，y）满足2， 2xy20， 点 P 与点 Q 距离的最小值为： d 故答案为： 【点评】本题考查两点间距离的最小值的求法，考查行列式性质、点到直线距离公式等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 10 （3 分）已知 A（2，0） ，点 P 为曲线 x2+y21 上一个动点，O 为原点，则的取 值范围是 2，6 【分析】设出 P 的坐标求出以及的坐标；代入数量积，结合圆上的点满足的条件即 可求解 【解答】解：设 P（x，y） ； 则（2，0） ，（x+2，y） ； 2（x+2） ； 点 P 为曲线 x2+y21 上一个动点；
10、 1x1； 2（x+2）2，6； 即的取值范围是2，6； 故答案为2，6 【点评】本题考查了数量积运算性质以及圆上的点的范围，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 11 （3 分）已知ABC 满足+，则BAC 为 60 【分析】根据题设，利用平面向量基本定理，作出图形，再利用余弦定理得解 【解答】解：如图，设，则， 第 8 页（共 15 页） 在ACD 中，由余弦定理有， 故ACD120， BACBAC60 故答案为：60 【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合运用，解题的关键是理解表示与 同 向的单位向量，属于基础题 12 （3 分）若实数 x，y 满足 x2+y21，则的取值范围为 4
11、，6 【分析】直接利用换元法的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求 出结果 【解答】解：实数 x，y 满足 x2+y21，设单位圆上的任一点的坐标 M（cos，sin） ， 所以令 tcos2+sin26cos8sin+25262610sin （+） 当 sin（+）1 时，tmin16， 当 sin（+）1 时，tmax36， 所以 故的取值范围为4，6 故答案为：4，6 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 二、选择题（每题二、选择题（每题 3 分）分） 13 （3 分）直线 x
12、+2y+10 与直线 3x+6y100 的位置关系是（ ） A相交 B重合 C平行 D垂直 【分析】利用两条直线相互平行的判定方法即可得出 第 9 页（共 15 页） 【解答】解：两条直线的斜率分别为：， 两条直线平行 故选：C 【点评】本题考查了两条直线相互平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 14 （3 分）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） Ax2y2 Byx Cy|x| Dx+y0 【分析】设到两坐标轴距离相等的点的坐标为（x，y） ，所以|x|y|，从而得到 x2y2 【解答】解：设到两坐标轴距离相等的点的坐标为（x，y） ， |x|y|， x2y2，
13、故选：A 【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，是中档题 15 （3 分）已知数列an满足 an，则an（ ） A1 B0 C1 或 0 D不存在 【分析】根据条件可知an，然后求出其极限 【解答】解：an，an0 故选：B 【点评】本题考查了数列极限的求法，属基础题 16 （3 分）已知ABC 中，A，ABAC1当每个 i， （i1，2，3）取遍1 时， |1+2+3|的取值不可能是（ ） A0 B1 C2 D2 【分析】如图所示，建立直角坐标系可得 1+2+3（12，23） 于 是|1+2+3|通过分类讨论即可得出 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系 第 10 页（共 15 页） A（0，
14、0） ，B（1，0） ，C（0，1） ， （1，0） ，（1，1） ，（0，1） ， 1+2+3（12，23） |1+2+3| 当 1+30 时，|1+2+3|2 当 1+32 时，|1+2+3|2或 0 当 1+32 时，|1+2+3|2或 0 综上可得：|1+2+3|2或 0 或 2 不可能为 1 故选：B 【点评】本题考查了平面向量坐标运算性质、数量积运算性质、分类讨论方法，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 三、简答题（三、简答题（8+10+10+12+12） 17 （8 分）已知二元一次方程组无解，求 k 的值： 【分析】由，解得：k经过验证即可得出 【解答】解：由，解得：k 经
15、过验证满足题意 k时方程组无解 【点评】本题考查了方程组无解与斜率、截距之间的关系，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 第 11 页（共 15 页） 18 （10 分）等差数列an中，若 a33，a69， （1）求等差数列an的通项公式和前 n 项和 Sn （2）求 【分析】 （1）根据 a33，a69 可求出公差 d，然后直接写出通项公式和前 n 项和公式； （2）由（1）知 an2n3，然后代入求出极限即可 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d a33，a69，a6a33d6，d2， ana3+（n3）d2n3， （2）由（1）知，an2n3， 【点评】本题考查了求等差数列通
16、项公式和前 n 项和，数列极限的求法，考查了转化思 想，属中档题 19 （10 分）已知ABC 的三个顶点分别为 A（1，2） ，B（4，1） ，C（3，6） （1）求 BC 边上的中线所在直线的一般式方程 （2）求ABC 的面积 【分析】 （1）B（4，1） ，C（3，6） 可得：BC 边上的中点：D（，） 可得中线所 在直线的点斜式：y2（x1） 化为一般式 （2）|AB|，利用点斜式可得直线 AB 的方程：x+3y70利用定点直线的距离 公式可得点 C 到直线 AB 的距离 d即可得出ABC 的面积 S 【解答】解： （1）B（4，1） ，C（3，6） 可得：BC 边上的中点：D（，）
17、第 12 页（共 15 页） 可得中线所在直线的一般式方程：y2（x1） 化为：3x5y+70 （2）|AB|， 直线 AB 的方程为：y2（x1） ，化为：x+3y70 点 C 到直线 AB 的距离 d ABC 的面积 S7 【点评】本题考查了点斜式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两点之间的距离公 式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 20 （12 分）如图，已知点 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，线段 DE 经过点 G，并 绕点 G 转动，分别交边 AB、AC 于点 D、E；设，其中 0m1，0 n1 （1）求表达式的值，并说明理由； （2）求ADE 面积的最大和最小
18、值，并指出相应的 m、n 的值 【分析】 （1）将向量用向量表达，由 D、G、E 三点共线，即可得到 m 和 n 的关系 （2）由三角形面积公式，SADEmn，由（1）可知3，由消元法 n， 转化为 m 的函数求最值即可 【解答】解： （1）如图延长 AG 交 BC 与 F，G 为ABC 的中心 F 为 BC 的中点，则有 ， 第 13 页（共 15 页） 即 D、G、E 三点共线 故3 （2）ABC 是边长为 1 的正三角形， |AD|m，|AE|nSADEmn 由3，0m1，0n1 n，即 SADEmn 设 tm则 mt+（） SADEmn（t+） 易知在为减函数，在为增函数 t，即，时，
19、f（t）取得最小值， 即 SADE取得最小值 又， f（t）取得最大值是， 则 SADE取得最大值，此时或 【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等 方法 21 （12 分）已知直线 x+y+20 与圆心为坐标原点的圆 O 相切 第 14 页（共 15 页） （1）求圆 O 的方程； （2）过点 P（2，2）的直线与圆 O 交于 A，B 两点，若弦长|AB|，求直线 AB 的 斜率的值； （3）过点 Q（1，1）作两条相异直线分别与圆 O 相交于 M，N，且直线 QM 和直线 QN 的倾斜角互补，试着判断向量和是否共线？请说明理由 【分析】 （1） 由直线
20、x+y+20 与圆心为坐标原点的圆 O 相切 求出圆半径 r， 由此能求出圆 O 的方程 （2）设直线 AB 的斜率为 k则直线 AB 的方程为 y2k（x2） ，即 kxy2k+20， 圆心 O（0，0）到直线的距离为 d，由弦长|AB|，能求出 k （3）设 QM：y1k1（x1） ，则 QN：y1k1（x1） ，由，得 （1+）x2+2k1（1k1）x+（1k1）220从而同理可得 ，由此能求出向量和共线 【解答】解： （1）直线 x+y+20 与圆心为坐标原点的圆 O 相切 圆半径 r， 圆 O 的方程为 x2+y22 （2）设直线 AB 的斜率为 k则直线 AB 的方程为 y2k（x
21、2） ，即 kxy2k+20， 圆心 O（0，0）到直线的距离为 d， 弦长|AB|，（）2（）2+（）2， 解得 k2 或 k （3）向量和共线，理由如下： 由题意知，直线 QM 和直线 QN 的斜率存在，且互为相反数， 故可设 QM：y1k1（x1） ，则 QN：y1k1（x1） ， 第 15 页（共 15 页） 由，得（1+）x2+2k1（1k1）x+（1k1）220 点 Q 的横坐标 x1 一定是该方程的解，故可得 同理可得， kMN1kOQ ， 向量和共线 【点评】本题考查圆的方程、直线的斜率的求法，考查两向量是否共线的判断与求法， 考查直线方程、圆、点到直线距离公式、直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题
