1、下面四个命题：a，b 是两个相等的实数，则（ab）+（a+b）i 是纯虚数； 任何两个复数不能比较大小；z1，z2C，且 z12+z220，则 z1z20；两个共轭 虚数的差为纯虚数其中正确的序号为： 6 （3 分）已知点 A 为双曲线 x2y21 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右支上，ABC 是等边三角形，则ABC 的面积是 7 （3 分）直线 l 经过点 P（2，1） ，且点 A（1，2）到 l 的距离为 1，则直线 l 的方 程为 8 （3 分）直线 y2k 与曲线 9k2x2+y218k2|x|（kR，k0）的公共点的个数为 9 （3 分）当实数 a，b 变化时，两直线 l1：
2、 （2a+b）x+（a+b）y+（ab）0 与 12：m2x+2y+n 0 都通过一个定点，则点（m，n）所在曲线的方程为 10 （3 分）动点 P 到点 F（1，0）的距离比到它到 y 轴的距离大 1，动点 P 的轨迹方程 是 11 （3 分）椭圆+y21 的一个焦点是 F，动点 P 是椭圆上的点，以线段 PF 为直径的圆 始终与一定圆相切，则定圆的方程是 12 （3 分）若实数 x，y 满足 x42，则 x 的取值范围是 二、选择题：二、选择题： 13 （3 分）已知平面直角坐标系内的两个向量 （1，2） ， （m，3m2） ，且平面内 的任一向量 都可以唯一的表示成 + （， 为实数）
3、，则 m 的取值范围是 （ ） A （，2） B （2，+） C （，+） D （，2）（2，+） 第 2 页（共 17 页） 14 （3 分）椭圆 C：+1 与直线 1： （2m+1）x+（m+1）y7m+4，mR 的交点情况 是（ ） A没有交点 B有一个交点 C有两个交点 D由 m 的取值而确定 15 （3 分）过点 P（1，1）作直线与双曲线交于 A、B 两点，使点 P 为 AB 中点， 则这样的直线（ ） A存在一条，且方程为 2xy10 B存在无数条 C存在两条，方程为 2x（y+1）0 D不存在 16 （3 分） （理）已知圆心为 O， 半径为 1 的圆上有不同的三个点 A、 B
4、、C， 其中， 存在实数 ， 满足，则实数 ， 的关系为（ ） A2+21 B C1 D+1 三、解答题三、解答题 17已知 xR，设 zlog2（3+x）+ilog2（3x） ，当 x 为何值时： （1）在复平面上 z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上 z 对应的点在直线 x+y20 上 18已知直线 l 与抛物线 y22px（p0）交于两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （1）求证：若直线 l 过该抛物线的焦点，则 y1y2p2； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断 19 （1）若圆 C 的方程是 x2+y2r2，求证：过圆 C 上一点 M（x0，y0）的切线
5、方程为 x0x+y0y r2 （2）若圆 C 的方程是（xa）2+（yb）2r2，则过圆 C 上一点 M（x0，y0）的切线方 程为 ，并证明你的结论 20已知双曲线的两焦点为 F1，F2，P 为动点，若 PF1+PF24 （）求动点 P 的轨迹 E 方程； 第 3 页（共 17 页） （）若 A1（2，0） ，A2（2，0） ，M（1，0） ，设直线 l 过点 M，且与轨迹 E 交于 R、 Q 两点，直线 A1R 与 A2Q 交于点 S试问：当直线 l 在变化时，点 S 是否恒在一条定直 线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由 21已知椭圆 E 两个焦点 F1（
6、1，0） ，F2（1，0） ，并经过点（，） （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 M，N 为椭圆 E 上关于 x 轴对称的不同两点，A（x1，0） ，B（x2，0）为 x 轴上 两点，且 x1x22，证明：直线 AM，NB 的交点 P 仍在椭圆 E 上 （3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）直线的倾斜角范围是 0，） 【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可 【
7、解答】解：直线的倾斜角的范围是0，） ， 故答案为：0，） 【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握 2 （3 分）方程+1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其焦点坐标是 （0，） 【分析】由题意可得椭圆的长半轴长的平方，及短半轴长的平方，进而求出 c 的值，可 得焦点坐标 【解答】解：由题意可得 a2m，b24，所以 c2a2b2m4，所以 c， 故答案为： （0，） 【点评】考查椭圆的性质，属于基础题 3 （3 分）抛物线 yax2（a0）的焦点坐标是 （0，） 【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标 【解答】解：当 a0 时，整理抛物线方程得
8、x2y，p 焦点坐标为 （0，） 当 a0 时，同样可得 故答案为： （0，） 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质属基础题 4 （3 分）经过原点及复数i 对应点的直线的倾斜角为 【分析】先求出复数i 对应点的坐标，再求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜 角 【解答】解：复数i 对应点的坐标为（，1） ， 第 5 页（共 17 页） 则经过原点及复数i 对应点的直线的斜率 k， 直线的倾斜角为为 故答案为： 【点评】本题考查了复数的几何意义和直线的倾斜角，属基础题 5 （3 分）下面四个命题：a，b 是两个相等的实数，则（ab）+（a+b）i 是纯虚数； 任何两个复数不能比较
9、大小；z1，z2C，且 z12+z220，则 z1z20；两个共轭 虚数的差为纯虚数其中正确的序号为： 【分析】对于找出反例即可判断，根据复数的性质可判断 【解答】解：若 ab0，则（ab）+（a+b）i 是 0，为实数，即错误； 复数分为实数和虚数，而任意实数都可以比较大小，虚数是不可以比较大小的，即 错误； 若 z11i，z21+i，则，但 z1z2，即错误； （b0） ，则（b0）是纯虚数，即正确 故答案为： 【点评】本题考查复数的概念与性质，属于基础题 6 （3 分）已知点 A 为双曲线 x2y21 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右支上，ABC 是等边三角形，则ABC 的面积是
10、 【分析】先求出双曲线 x2y21 的左顶点为 A（1，0） ，根据双曲线的对称性，设出 B（x1，y1） ，C（x1，y1）的坐标，根据，ABC 是等边三角形得： （x1+1）2+y12（ y1y1）2，求出 x1和 y1的值，由此得出三个顶点的坐标，从而可以算出面积 【解答】解：双曲线 x2y21 的左顶点为 A（1，0） ，根据双曲线的对称性， 可设 B（x1，y1） ，C（x1，y1） 由ABC 是等边三角形ABBC，得： （x1+1）2+y12（y1y1）2， 又 x12y121， x12x120，x11 或 x12 右支的特点是 x0， 所以 x12，从而 y1， 第 6 页（共
11、17 页） 由此 A（1，0） ，B（2，） ，C（2，） ， 可以算出面积：S32+（）2 故答案为： 【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算 求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 7 （3 分）直线 l 经过点 P（2，1） ，且点 A（1，2）到 l 的距离为 1，则直线 l 的方 程为 x2 或 4x+3y+50 【分析】当直线 l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出 l 的方程为 4x+3y+50；当直线与 x 轴垂直时，l 方程为 x2 也符合题意由此即可得到此直线 l 的方程 【解答】解：设直线 l 的方程为
12、y1k（x+2） ，即 kxy+2k+10 点 A（1，2）到 l 的距离为 1， 1，解之得 k， 得 l 的方程为 4x+3y+50 当直线与 x 轴垂直时，方程为 x2，点 A（1，2）到 l 的距离为 1， 直线 l 的方程的方程为 x2 或 4x+3y+50 故答案为：x2 或 4x+3y+50 【点评】本题求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线 l 方程，着重考查了直线的 方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题 8 （3 分）直线 y2k 与曲线 9k2x2+y218k2|x|（kR，k0）的公共点的个数为 4 【分析】 联立直线方程和曲线方程， 消去 y， 可得 x 的方程
13、， 解方程即可判断公共点个数 【解答】解：联立直线 y2k 与曲线 9k2x2+y218k2|x|（kR，k0） ， 可得 9k2x2+4k218k2|x|， 由 k0 化为 9x218|x|+40， 即为 9|x|218|x|+40， 解得|x|或， 即有四个解： （，2k） ， （，2k） ， 可得直线和曲线的交点个数为 4 第 7 页（共 17 页） 故答案为：4 【点评】本题考查直线和曲线的交点个数，注意运用方程思想，考查化简运算能力，属 于基础题 9 （3 分）当实数 a，b 变化时，两直线 l1： （2a+b）x+（a+b）y+（ab）0 与 12：m2x+2y+n 0 都通过一个
14、定点，则点（m，n）所在曲线的方程为 n2m26 【分析】l1的方程化为（2x+y+1）a+（x+y1）b0，求出定点坐标，由 l2过定点，代 入 l2化简求解即可 【解答】解：直线 l1： （2a+b）x+（a+b）y+（ab）0，l1的方程化为（2x+y+1）a+（x+y 1）b0， 令，解得， 所以定点的坐标为（2，3） 由 l2过定点（2，3） ，代入 m2x+2y+n0 得2m2+n+60， 点（m，n）所在曲线 C 的方程为：n2m26 故答案为：n2m26 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线过定点问题，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 10 （3 分）动点 P
15、到点 F（1，0）的距离比到它到 y 轴的距离大 1，动点 P 的轨迹方程是 y24x 【分析】将距离大于 1 转化为距离相等，当点不在直线上时，由抛物线的定义可得为抛 物线，点在直线上时为射线； 【解答】解：由题意可知：动点 P 到 F（1，0）的距离等于其到直线 x1 的距离， 由抛物线的定义可知动点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x 故答案为：y24x 【点评】本题考查轨迹方程的求法，抛物线定义的应用，属于基础题 11 （3 分）椭圆+y21 的一个焦点是 F，动点 P 是椭圆上的点，以线段 PF 为直径的圆 始终与一定圆相切，则定圆的方程是 x2+y24 【分析】由题意可得 M，O
16、分别为 PF，FF的中点，所以可得中位线 MOPF，再由 椭圆的性质转化为到另一个焦点的距离， 由圆心距加半径为定值 2， 所以只有当定圆的半 径为 2 时可得两个圆相切 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：由题意可得 a24，所以 a2，设 F 为椭圆的右焦点（，0） ，设左焦点 F，则由题意的定义可得 PF+PF2a4， 所以以线段 PF 为直径的圆 M 的半径 rPF，定圆的半径为 R，因为|MO|PF| （4|PF|）2|PF|2r，所以|MO|+r2， 即圆心距加动圆的半径为定值 2，所以当原点为定圆圆心，以 R2 时，定圆始终与圆 M 相切，并且是内切 所以定圆的方程为：x2+
17、y24， 故答案为：x2+y24 【点评】考查椭圆的性质，属于中档题 12 （3 分）若实数 x，y 满足 x42，则 x 的取值范围是 4，200 【分析】本题可以采用代数法和几何法，通过换元，数形结合，分类讨论求解变量 x 的 取值范围 【解答】解：方法一： 【几何法】 当 x0 时，解得 y0，符合题意，当 x0 时，解答如下： 令 t（0，原方程可化为：2t+， 记函数 f（t）2t+，g（t），t（0， 这两个函数都是关于 t 的函数，其中 x 为参数， f（t）的图象为直线，且斜率为定值2， g（t）的图象为四分之一圆，半径为为， 问题等价为，在第一象限 f（t） ，g（t）两图象
18、有公共点， 当直线与圆相切时，由 dr 解得 x20， 当直线过的点 A（0，）在圆上的点（0，）处时， 即，解得 x4， 因此，要使直线与圆有公共点，x4，20， 综合以上分析得，x4，200 方法二： 【代数法】 令 t（0，原方程可化为：x4t2， 第 9 页（共 17 页） 因为 xyxt20，所以 xt20， 两边平方并整理得，20t28xt+x24x0（*） ， 这是一个关于 t 的一元二次方程，则方程（*）有两个非负数跟， ，解得，x4，200 故答案为：4，200 【点评】本题主要考查了函数与方程的相互转换，一元二次方程实根的判断，考查了分 类讨论与数形结合的解题思想，属于难题
19、 二、选择题：二、选择题： 13 （3 分）已知平面直角坐标系内的两个向量 （1，2） ， （m，3m2） ，且平面内 的任一向量 都可以唯一的表示成 + （， 为实数） ，则 m 的取值范围是 （ ） A （，2） B （2，+） C （，+） D （，2）（2，+） 【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量 、 不共线，则平面内的任一向量 都 可以用向量 、 来线性表示，即存在唯一的实数对 、，使 + 成立根据此理 论，结合已知条件，只需向量 、 不共线即可，因此不难求出实数 m 的取值范围 【解答】解：根据题意，向量 、 是不共线的向量 第 10 页（共 17 页） （1，2） ， （
20、m，3m2） 由向量 、 不共线 解之得 m2 所以实数 m 的取值范围是m|mR 且 m2 故选：D 【点评】本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共 线的充要条件等知识点，属于基础题 14 （3 分）椭圆 C：+1 与直线 1： （2m+1）x+（m+1）y7m+4，mR 的交点情况 是（ ） A没有交点 B有一个交点 C有两个交点 D由 m 的取值而确定 【分析】先求出直线过定点（3，1） ，再判断点（3，1）在椭圆内部，所以直线与椭圆一 定有 2 个交点 【解答】解：直线 1： （2m+1）x+（m+1）y7m+4， （2x+y7）mxy+4， 令得：， 直
21、线 l 过定点（3，1） ， 又，点（3，1）在椭圆内， 直线 l 与椭圆有 2 个交点， 故选：C 【点评】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题 15 （3 分）过点 P（1，1）作直线与双曲线交于 A、B 两点，使点 P 为 AB 中点， 则这样的直线（ ） A存在一条，且方程为 2xy10 B存在无数条 C存在两条，方程为 2x（y+1）0 第 11 页（共 17 页） D不存在 【分析】利用平方差法：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入双曲线方程然后作差，由中 点坐标公式及斜率公式可求得直线 l 的斜率，再用点斜式即可求得直线方程，然后再检 验直线与曲线方程联立的方
22、程的解的存在的情况 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x22，y1+y22， 则 x121，x221， 两式相减得（x1x2） （x1+x2）（y1y2） （y1+y2）0， ， 即 kAB2， 故所求直线方程为 y12（x1） ，即 2xy10 联立可得 2x24x+30，但此方程没有实数解 故这样的直线不存在 故选：D 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题， 往往考虑利用“平方差法”加以解决但是一定要检验所求直线与椭圆的方程的解的存 在情况 16 （3 分） （理）已知圆心为 O， 半径为 1 的圆上有不同的三个点 A
23、、 B、C， 其中， 存在实数 ， 满足，则实数 ， 的关系为（ ） A2+21 B C1 D+1 【分析】由题意可得|1，且，再把 ，平方 可得结论 【解答】解：由题意可得|1，且 ，即 ，平方可得 12+2， 故选：A 【点评】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转 化在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多， 第 12 页（共 17 页） 属于基础题 三、解答题三、解答题 17已知 xR，设 zlog2（3+x）+ilog2（3x） ，当 x 为何值时： （1）在复平面上 z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上 z 对应的
24、点在直线 x+y20 上 【分析】 （1）利用复数的几何意义，列出不等式，即可求出 x 的取值范围； （2）利用复数的几何意义以及对数的运算性质，即可求解 【解答】解： （1）由题意可知：，即， 解得：3x2； （2）由题意可知：log2（3+x）+log2（3x）20， log2（3+x） （3x）20， ， ， 9x24，x25， 又，即3x3， 【点评】本题主要考查了复数的几何意义，是基础题 18已知直线 l 与抛物线 y22px（p0）交于两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （1）求证：若直线 l 过该抛物线的焦点，则 y1y2p2； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明
25、你的判断 【分析】 （1）设直线 l：xky+，联立解方程组，根据韦达定理求出即可； （2）逆命题：若 y1y2p2，直线 l 过该抛物线的焦点，联立解方程组，根据韦达定理 求出 m，得出结论 【解答】解： （1）已知直线 l 与抛物线 y22px（p0）交于两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 若直线 l 过该抛物线的焦点 F（，0） ，设直线 l：xky+， 第 13 页（共 17 页） 由，得 y22kyp20，； 综上，命题成立； （2）逆命题：若 y1y2p2，直线 l 过该抛物线的焦点 证明如下：设直线 xky+m， 由，得 y22ky2pm0， 4k2+4m20，y1y
26、22pm， 又 y1y2p2，故 m 所以直线 l 过该抛物线的焦点 【点评】考查直线和抛物线的位置关系，中档题 19 （1）若圆 C 的方程是 x2+y2r2，求证：过圆 C 上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0x+y0y r2 （2）若圆 C 的方程是（xa）2+（yb）2r2，则过圆 C 上一点 M（x0，y0）的切线方 程为 （xa） （x0a）+（yb） （y0b）r2 ，并证明你的结论 【分析】 （1）根据题意，已知切点 M 的坐标，即可得 kMC，由直线垂直的性质可得切线 的斜率，进而分析可得答案； （2）根据题意，结合切点的坐标可得 kMC，由直线垂直的性质可得切线的斜率
27、，由直线 的点斜式方程分析可得答案 【解答】解： （1）证明：圆 C 的方程是 x2+y2r2，其圆心为 C，坐标为（0，0） ， 则 kMC，则切线的斜率 k， 则切线的方程为： （yy0）（xx0） ，变形可得 x0x+y0yr2， 即可得证明； （2）根据题意，过圆 C 上一点 M（x0，y0）的切线方程为（xa） （x0a）+（yb） （y0 b）r2， 证明：圆 C 的方程是（xa）2+（yb）2r2，其圆心坐标为（a，b） ， 第 14 页（共 17 页） 则 kMC，则切线的斜率 k， 则切线的方程为：（yy0） （xx0） ， 即 （yb+by0）（y0b） （xa+a+x0）
28、 （x0a） ， 则有（yb） （y0b）+（xa） （x0a）（x0a）2+（y0b）2， 变形可得： （xa） （x0a）+（yb） （y0b）r2， 即可得证明 【点评】本题考查圆的切线方程，涉及直线方程的计算，属于基础题 20已知双曲线的两焦点为 F1，F2，P 为动点，若 PF1+PF24 （）求动点 P 的轨迹 E 方程； （）若 A1（2，0） ，A2（2，0） ，M（1，0） ，设直线 l 过点 M，且与轨迹 E 交于 R、 Q 两点，直线 A1R 与 A2Q 交于点 S试问：当直线 l 在变化时，点 S 是否恒在一条定直 线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不
29、是，请说明理由 【分析】 （I）根据双曲线的方程为：y21，则|FF2|2 ，|PF1|+|PF2|4|FF2|， 由此知点 P 的轨迹 E 是以 F1，F2为焦点且长轴长为 4 的椭圆，并能求出其方程 （II）对于存在性问题，可先假设存在，假设存在满足条件的直线 l 在变化时，点 S 是否 恒在一条定直线上，设直线 a 的方程为 xmy+1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用条件即可求得直线的方程，若出 现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在 【解答】解： （）由题意知：， 又PF1+PF24， 动点 P（x，y）必在以 F1，F
30、2为焦点，长轴长为 4 的椭圆，a2， 又，b2a2c21 椭圆 C 的方程为 （）由题意，可设直线 l 为：xmy+1 取 m0，得，直线 A1R 的方程是，5 第 15 页（共 17 页） 直线 A2Q 的方程是，交点为 若，由对称性可知交点为 若点 S 在同一条直线上，则直线只能为：x4 以下证明对于任意的 m，直线 A1R 与直线 A2Q 的交点 S 均在直线：x4 上 事实上，由，得（my+1）2+4y24，即（m2+4）y2+2my30， 记 R（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 设 A1R 与交于点 S0（4，y0） ，由，得 设 A2Q 与交于点 S0 （4，y 0 ）
31、，由 ，得 ， y0y0 ，即 S 0与 S0 重合， 这说明，当 m 变化时，点 S 恒在定直线：x4 上 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及 直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化 21已知椭圆 E 两个焦点 F1（1，0） ，F2（1，0） ，并经过点（，） （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 M，N 为椭圆 E 上关于 x 轴对称的不同两点，A（x1，0） ，B（x2，0）为 x 轴上 两点，且 x1x22，证明：直线 AM，NB 的交点 P 仍在椭圆 E 上 第 16 页（共 17 页） （3）你能否将（2）推广到一般椭圆
32、中？写出你的结论即可 【分析】 （1）根据题意设椭圆 E 的标准方程为： （ab0） ，列出方程组， 解出 a，b，c 的值，即可求出椭圆 E 的标准方程； （2）设 M（m，n）N（m，n） ，P（x0，y0） ，则直线 AM 的方程为：y（mx1）n（x x1） ，直线 BN 的方程为：y（mx2）n（xx2） ，把交点 P（x0， y0）代入， 整理得，所以直线 AM，NB 的交点 P 仍在椭圆 E 上； （3）若椭圆标准方程为：，M，N 为椭圆上关于 x 轴对称的不同两点，A（x1， 0） ，B（x2，0）为 x 轴上两点，且 x1x2a2，则直线 AM，NB 的交点 P 仍在椭圆 E
33、 上 【解答】解： （1）根据题意设椭圆 E 的标准方程为： （ab0） ， ，解得：， 椭圆 E 的标准方程为：； （2）设 M（m，n）N（m，n） ，P（x0，y0） ， 则直线 AM 的方程为：y（mx1）n（xx1） ， 直线 BN 的方程为：y（mx2）n（xx2） ， 把交点 P（x0，y0）代入， 整理得： （y0n）x1my0nx0， （y0+n）x2my0+nx0， 与两边分别相乘得：， 又， ， 直线 AM，NB 的交点 P 仍在椭圆 E 上； 第 17 页（共 17 页） （3）若椭圆标准方程为：， M，N 为椭圆上关于 x 轴对称的不同两点，A（x1，0） ，B（x2，0）为 x 轴上两点，且 x1x2 a2，则直线 AM，NB 的交点 P 仍在椭圆 E 上 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题
