1、正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则的值为 5 （3 分）椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，它的一个焦点为（，0） ，则椭圆的标准方程 是 6 （3 分）已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是，则该正四棱锥的全面积为 7 （3 分）双曲线1（a0）的一条渐近线方程为 y2x，则 a 的值为 8（3分） 点P是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1棱A1B1上的动点， 则四棱锥PABC1D1 的体积为 9 （3 分）已知椭圆+1（m0）和曲线1（n0）有相同的焦点 F1、 F2，点 P 为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是 10 （3 分）正方形铁片的边长为 4c
2、m，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径圆弧，剪下 一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积 等于 cm3 11 （3 分）在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P 分别是正方形 ABCD、正 方形 BB1C1C 和正方形 ABB1A1的中心，则过点 M、N、P 的平面截正方体的截面面积 为 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，C 为直线 y5 上的动点，以 C 为圆心的圆 C 截 y 轴所得的弦长恒为 6，过原点 O 作圆 C 的一条切线，切点为 P，则点 P 到直线 3x+4y 250 的距离的最小值为 二、选择题（本大题共二
3、、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）直线 m平面 ，下面判断错误的是（ ） 第 2 页（共 20 页） A若直线 nm，则 n B若直线 n，则 nm C若直线 n，则 nm D若直线 nm，则 n 14 （3 分）已知直线 l：2xy+20 被双曲线 C：x21 截得的线段长等于 3，下 面哪一条直线被双曲线 C 所截得的弦长不等于 3（ ） Al：2yx+20 Bl：2xy+20 Cl：2x+y+20 Dl：2xy20 15 （3 分）有一把三角尺 ABC，A30，C90，把边 BC 放置在桌面上，当三角 尺与桌面所在的平面成 60的
4、时候，AB 边所在的直线与桌面所成的角等于（ ） Aarcsin B C Darcsin 16 （3 分）阅读材料：空间直角坐标系 Oxyz 中，过点 P（x0，y0，z0）且一个法向量为 （a，b，c）的平面 的方程为 a（xx0）+b（yy0）+c（zz0）0；过点 P（x0， y0， z0） 且个方向向量为 （u， v， w）（uvw0） 的直线 l 的方程为， 阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 的方程为 x+2y2z40，直线 l 是两平 面 3x2y70 与 2yz+60 的交线，则直线 l 与平面 所成角的大小为（ ） Aarcsin Barcsin Carcsin Darc
5、sin 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 题，共题，共 52 分，解答时写出必要的步骤）分，解答时写出必要的步骤） 17 （8 分）抛物线 C 的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，抛物线 C 过点 A（4，4） ，过抛物 线 C 的焦点 F 作倾斜角等于 45的直线 l，直线 l 交抛物线 C 于 M、N 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）求线段 MN 的长 18 （8 分）如图，AB 是异面直线 a、b 的公垂线，长度为 2，点 C、D 分别在直线 a 和 b 上， 且 CD 长为 4，过线段 AB 的中点 M 作平面 ，使得 AB平面 ，线段 CD 与平面 交 点为 N
6、 （1）求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小； （2）求证：直线 a 且 CNDN 第 3 页（共 20 页） 19 （10 分） 过双曲线 C：1 的右焦点 F 且与 x 轴不重合的直线交双曲线 C 于 A、 B 两个点，定点 D（，0） （1）当直线 AB 垂直于 x 轴时，求直线 AD 的方程 （2）设直线 AD 与直线 x1 相交于点 E，求证：FDBE 20 （12 分）在三棱锥 ABCD 中，ABC 和ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形，AB CD，AB10，CD6 （1）问在 AB 上是否存在点 E，使得 AB平面 ECD？ （2）如果 SABCSABD30，求二面角
7、 CABD 的大小 （3）求三棱锥 ABCD 体积的最大值 21 （14 分）已知椭圆 C：+y21，直线 l：ykx+b 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 第 4 页（共 20 页） （1）如果 k+b，求动直线 l 所过的定点； （2）记椭圆 C 的上顶点为 D，如果ADB，证明动直线 l 过定点 P（0，） ； （3）如果 b，点 B 关于 y 轴的对称点为 B，向直线 AB是过定点？如果是，求出 定点的坐标；如果不是，请说明理由 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年上海市虹口区高二（下）期中数学试卷学年上海市虹口区高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题
8、解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）过点（1，0）且与直线 xy0 平行的直线方程是 xy10 【分析】设与直线 xy0 平行的直线方程是 xy+m0，代入点（1，0）求出 m 的值 即可 【解答】解：设与直线 xy0 平行的直线方程是 xy+m0， 且直线过点（1，0） ，则 10+m0，解得 m1， 所以所求直线方程是 xy10 故答案为：xy10 【点评】本题考查了直线的一般方程与平行关系应用问题，是基础题 2 （3 分）将边长分别为 1cm 和 2cm 的矩形，绕边长为 2cm 的一边所在的直线旋转一周
9、得 到一圆柱，则该圆柱的侧面积为 4 cm2 【分析】将该圆柱的侧面展开，展开图是一个长是 2，宽是 2 的矩形，所以圆柱的侧面 积可求 【解答】 解：依题意，将该圆柱的侧面展开，则展开图是以 2 为长，以 2 为宽的矩形， 所以该圆柱的侧面积为 S224 故填：4 第 6 页（共 20 页） 【点评】本题考查了圆柱的侧面积的求法，将圆柱的侧面展开成矩形计算，是常见的方 法 3 （3 分）以 A（1，1） ，B（3，1）为直径的端点的圆的方程是 （x2）2+y22 【分析】求出 AB 的中点和长度|AB|，得出圆心和半径，再写出圆的方程 【解答】解：点 A（1，1） ，B（3，1） ，则 AB
10、 的中点为 M（2，0） ， AB 的长为|AB|2， 所以以 AB 为直径的端点的圆的圆心为 M，半径为， 所求圆的方程是（x2）2+y22 故答案为： （x2）2+y22 【点评】本题考查了圆的标准方程应用问题，是基础题 4 （3 分）正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则的值为 【分析】设正方体的棱长为 2a，分别求出正方体外接球与内切球的半径，代入体积公式 求解 【解答】解：设正方体的棱长为 2a， 则其外接球的半径为， 内切球的半径为 a， 则， 第 7 页（共 20 页） 故答案为： 【点评】本题考查正方体外接球与内切球体积的求法，是基础题 5 （3 分）椭圆的长轴长
11、是短轴长的 2 倍，它的一个焦点为（，0） ，则椭圆的标准方程 是 +y21 【分析】根据 2a4b，c，又 a2b2+c2，焦点在 x 轴上，可得 a，b 的值、 【解答】解：依题意得 2a4b，c，又 a2b2+c2， a1，b1， 故答案为：+y21 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，属中档题 6 （3 分）已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是，则该正四棱锥的全面积为 12 【分析】根据题意，先求出正四棱锥的斜高，然后求全面积即可 【解答】解：如图在正四棱锥 SABCD 中，O 为底面正方形的中心，E 为 BC 的中点， 连接 OE，SO，SE， 则 SO平面 ABCD，又 BC平面
12、ABCD，所以 BCSO， 在三角形 ABC 中，O，E 分别为 AC，BC 的中点，所以 OEAB，又因为 ABBC，所以 BCOE 又 OESO0，所以 BC平面 SOE，因为 SE平面 SOE， 所以 SEBC，即 SE 为侧面 SBC 的斜高， 三角形 SBE 为直角三角形，所以 SE2 所以该正四棱锥的全面积 S全SABCD+4SSBC22+44+812 故填：12 第 8 页（共 20 页） 【点评】本题考查了正四棱锥的全面积，难点在于求出正四棱锥的斜高，本题属于基础 题 7 （3 分）双曲线1（a0）的一条渐近线方程为 y2x，则 a 的值为 1 【分析】利用双曲线的渐近线方程，
13、得到 a 的值即可 【解答】解：双曲线1（a0）的一条渐近线方程为 y2x， 可得：，解得 a1 故答案为：1 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查 8（3分） 点P是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1棱A1B1上的动点， 则四棱锥PABC1D1 的体积为 【分析】连接 B1C 交 BC1于点 O，证明 B1O平面 ABC1D1，故而 V 【解答】解：连接 B1C 交 BC1于点 O，显然 OB1B1CBC1a， 四边形 BCC1B1是正方形，BC1B1C， AB平面 BCC1B1，ABB1O， 又 ABBC1B， OB1平面 ABC1D1， A1B1AB，A1B1平面
14、 ABC1D1， 第 9 页（共 20 页） P 到平面 ABC1D1的距离等于 B1O， V 故答案为： 【点评】本题考查了正方体的结构特征，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档 题 9 （3 分）已知椭圆+1（m0）和曲线1（n0）有相同的焦点 F1、 F2，点 P 为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是 13 【分析】根据椭圆和双曲线的性质和定义可得 【解答】解：已知椭圆+1（m0）和曲线1（n0）有相同的焦 点 F1、F2， m29n2+4，即 m2n213， 假设 P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|2m，|PF1|PF2|2n， 两式
15、平方差得 4|PF1|PF2|4m24n2413，|PF1|PF2|13 故答案为 13 【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题 10 （3 分）正方形铁片的边长为 4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径圆弧，剪下 一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积 等于 cm3 【分析】依题意，该圆锥的母线长为 l4，底面圆的周长为2，设底面 圆的半径为 r，则 2r2，即 r1，所以圆锥的高 h，代入圆锥的体 第 10 页（共 20 页） 积公式即可得到圆锥的体积 【解答】 解：依题意，设该圆锥的母线长为 l，则 l4， 设底面圆的半径为 r，则 2r2，解得
16、r1， 所以圆锥的高 h， 所以这个圆锥形容器的容积 Vr2h 故填： 【点评】本题考查了圆锥的体积，圆锥的侧面展开图等，属于基础题 11 （3 分）在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P 分别是正方形 ABCD、正 方形 BB1C1C 和正方形 ABB1A1的中心，则过点 M、N、P 的平面截正方体的截面面积为 【分析】因为 M、N、P 分别是正方形 ABCD、正方形 BB1C1C 和正方形 ABB1A1的中心， 即 M，N，P 分别为 AB1、B1C、AC 的中点，所以过点 M、N、P 的平面截正方体的截面 为三角形 AB1C，求其面积即可 【解答】解：依题意，M、
17、N、P 分别是正方形 ABCD、正方形 BB1C1C 和正方形 ABB1A1 的中心，即 M，N，P 分别为 AB1、B1C、AC 的中点， 所以过点 M、N、P 的平面截正方体的截面为三角形 AB1C，如图 因为正方体的棱长为 a， 所以三角形 AB1C， 的边长为a， 所以三角形 AB1C， 的面积为： S 第 11 页（共 20 页） 故填： 【点评】本题借助正方体的截面考查了空间直线的位置关系，正三角形的面积等，考查 了空间想象能力和计算能力本题属于基础题 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，C 为直线 y5 上的动点，以 C 为圆心的圆 C 截 y 轴所得的弦长恒为 6，过
18、原点 O 作圆 C 的一条切线，切点为 P，则点 P 到直线 3x+4y 250 的距离的最小值为 1 【分析】根据题意，设 C 的坐标为（m，5） ，圆 C 的半径为 r，分析可得 r2m2+9，结 合直线与圆的位置关系可得|OP|2|OC|2|CP|2（m2+25）（m2+9）16，分析可得 P 在以 O 为圆心，半径为 4 的圆上，进而分析可得答案 【解答】解：根据题意，设 C 的坐标为（m，5） ，圆 C 的半径为 r， 又由圆 C 截 y 轴所得的弦长恒为 6，则点（0，2）在圆 C 上，则 r2m2+9， 又由过原点 O 作圆 C 的一条切线，切点为 P，则|CP|2r2m2+9，
19、 |OC|2m2+25， 则|OP|2|OC|2|CP|2（m2+25）（m2+9）16， 则 P 在以 O 为圆心，半径为 4 的圆上， 其圆心 O 到直线 3x+4y250 的距离 d5， 则 P 到直线 3x+4y250 的距离的最小值为 dr541， 故答案为：1 第 12 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系相交和相切条件的应用，利用数形结合求出 切点满足的轨迹是解决本题的关键，属于综合题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）直线 m平面 ，下面判断错误的是（ ） A若直线 nm，则
20、n B若直线 n，则 nm C若直线 n，则 nm D若直线 nm，则 n 【分析】在 A 中，由线面平行性质得 n 与 相交、平行或 n；在 B 中，由线面垂直的 性质得 nm；在 C 中，由线面垂直的性质得 nm；在 D 中，由线面垂直的判定定理得 n 【解答】解：由直线 m平面 ，得： 在 A 中，若直线 nm，则由线面平行性质得 n 与 相交、平行或 n，故 A 错误； 在 B 中，若直线 n，则由线面垂直的性质得 nm，故 B 正确； 在 C 中，若直线 n，则由线面垂直的性质得 nm，故 C 正确； 在 D 中，若直线 nm，则由线面垂直的判定定理得 n，故 D 正确 故选：A 【
21、点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 14 （3 分）已知直线 l：2xy+20 被双曲线 C：x21 截得的线段长等于 3，下 面哪一条直线被双曲线 C 所截得的弦长不等于 3（ ） Al：2yx+20 Bl：2xy+20 Cl：2x+y+20 Dl：2xy20 第 13 页（共 20 页） 【分析】根据双曲线的图象关于 x 轴，y 轴和原点对称可知，与直线 2xy+20 关于原 点，y 轴，x 轴对称的直线均不符合题意故选 A 【解答】解：根据双曲线的图象关于 x 轴，y 轴和原点对称可知，与直线 2xy+20 关 于
22、原点对称的直线 2xy20 被双曲线 C 所截得的弦长等于 3； 与直线 2xy+20 关于y轴对称的直线2x+y20被双曲线C所截得的弦长等于3； 与直线 2xy+20 关于 x 轴对称的直线 2x+y+20 被双曲线 C 所截得的弦长等于 3； 故选：A 【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题 15 （3 分）有一把三角尺 ABC，A30，C90，把边 BC 放置在桌面上，当三角 尺与桌面所在的平面成 60的时候，AB 边所在的直线与桌面所成的角等于（ ） Aarcsin B C Darcsin 【分析】如图：过 A 作 AD 垂直于桌面，可得到AVD60，ABD 即为 AB 边所在 的
23、直线与桌面所成的角，然后在直角三角形中可解决 【解答】解：过 A 作 AD 垂直于桌面，垂足为 D，连 CD，BD， ACBC，根据三垂线定理得 CDBC， ACD60， 设 BCx，则 ACx，AB2x， ADACxx， 所以 AB 边所在直线与桌面所成角为ABD， sinABD， 所以ABDracsin 故选：D 第 14 页（共 20 页） 【点评】本题考查了直线与平面所成的角，属中档题 16 （3 分）阅读材料：空间直角坐标系 Oxyz 中，过点 P（x0，y0，z0）且一个法向量为 （a，b，c）的平面 的方程为 a（xx0）+b（yy0）+c（zz0）0；过点 P（x0， y0，
24、z0） 且个方向向量为 （u， v， w）（uvw0） 的直线 l 的方程为， 阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 的方程为 x+2y2z40，直线 l 是两平 面 3x2y70 与 2yz+60 的交线，则直线 l 与平面 所成角的大小为（ ） Aarcsin Barcsin Carcsin Darcsin 【分析】在直线 l 上任取两点，得出直线 l 的方向向量，根据平面 的方程得出平面 的法向量，根据求出法向量与方向向量的夹角得出线面角的大小 【解答】解：平面 的法向量为 （1，2，2） ， 联立方程组，令 x1，得 y2，z2， 令 x3，得 y1，z8， 故点 P（1，2，2）和
25、点 Q（3，1，8）为直线 l 的两个点， （2，3，6）为直线 l 的方向向量， cos， ， 直线 l 与平面 所成角的正弦值为， 故选：B 【点评】本题考查了空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 题，共题，共 52 分，解答时写出必要的步骤）分，解答时写出必要的步骤） 17 （8 分）抛物线 C 的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，抛物线 C 过点 A（4，4） ，过抛物 线 C 的焦点 F 作倾斜角等于 45的直线 l，直线 l 交抛物线 C 于 M、N 两点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）求线段 MN 的长 【分析】 （1）
26、设抛物线 C 的方程为 y22px，将 A（4，4）代入得 p2，所以抛物线 C 第 15 页（共 20 页） 的方程为 y24x （2）根据抛物线的定义可得|MN|x1+x2+p 【解答】解： （1）依题意设抛物线 C 的方程为 y22px，将 A（4，4）代入得 p2，所 以抛物线 C 的方程为 y24x （2）F（1，0） ，直线 l：yx1， 联立得 x26x+10， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x26， 根据抛物线的定义可得|MN|x1+x2+p6+28 【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题 18 （8 分）如图，AB 是异面直线 a、b 的公垂线，长
27、度为 2，点 C、D 分别在直线 a 和 b 上， 且 CD 长为 4，过线段 AB 的中点 M 作平面 ，使得 AB平面 ，线段 CD 与平面 交 点为 N （1）求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小； （2）求证：直线 a 且 CNDN 【分析】 （1）过点 C 作 AB 的平行线 CO，且使 COAB，连结 BO，DO，则DCO 是 异面直线 AB 和 CD 所成角，由此能求出异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小 （2）设 BCP，连结 MN、MP、PN，则 ACAB，MPAB，从而 MPAC，由此 能证明直线 a由 a，得 b，从而 PNBD，由此能证明 CNDN 【解答】解
28、： （1）过点 C 作 AB 的平行线 CO，且使 COAB，连结 BO，DO， 则DCO 是异面直线 AB 和 CD 所成角， COAB2，CD4，DCO60， 异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小为 60 第 16 页（共 20 页） 证明： （2）设 BCP，连结 MN、MP、PN， AB 是异面直线 a、b 的公垂线，AB平面 ， ACAB，MPAB， MP平面 ABC，AB平面 ABC，AC平面 ABC， MPAC， MP，AC，直线 a a，b，PNBD， MPAC，M 是 AB 中点，P 是 BC 中点，N 是 CD 中点， CNDN 【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求
29、法，考查线面平行、线段相等的证明，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能 力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题 19 （10 分） 过双曲线 C：1 的右焦点 F 且与 x 轴不重合的直线交双曲线 C 于 A、 B 两个点，定点 D（，0） （1）当直线 AB 垂直于 x 轴时，求直线 AD 的方程 （2）设直线 AD 与直线 x1 相交于点 E，求证：FDBE 第 17 页（共 20 页） 【分析】 （1）先得出 A 的坐标，再用两点式可得 （2）设直线 AB 的方程为 xty+2 代入 x2y22 得（t21）y2+4ty+20，根据韦达
30、定 理得 y1y2， 根据两点式得直线 AD 的方程，令 x1 以及 y1y2，得 E 的纵坐标方程为 y2，可 证 FDBE 【解答】解： （1）F（2，0） 当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 的方程为：x2，可得 A（2，）或 A（2，） ， 直线 AD 的方程为 2y30 或 2x+y30 （2）设直线 AB 的方程为 xty+2 代入 x2y22 得（t21）y2+4ty+20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y2，y1y2， 直线AD的方程为：， 令x1得yy1+y1y1（1+） yy1（1+）（1+） y2， FDBE 【点评】本题考查了双曲线的
31、性质，属中档题 20 （12 分）在三棱锥 ABCD 中，ABC 和ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形，AB CD，AB10，CD6 （1）问在 AB 上是否存在点 E，使得 AB平面 ECD？ （2）如果 SABCSABD30，求二面角 CABD 的大小 （3）求三棱锥 ABCD 体积的最大值 第 18 页（共 20 页） 【分析】 （1）过 C 向 AB 作垂线 CE，垂足为 E，则可证 AB平面 CDE； （2）根据三角形面积计算 CE，DE，得出CDE 为等边三角形，故而二面角 CABD 的大小为 60； （3）根据圆的性质可得 DE 的范围，从而可求出CDE 的最大面积，进而得
32、出棱锥的最 大体积 【解答】解： （1）假设在 AB 上存在点 E，使得 AB平面 ECD， 在三棱锥 ABCD 中，ABC 和ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形， ABCD，AB10，CD6 作 CEAB，交 AB 于 E，连结 DE， 又 CECDC， AB平面 ECD （2）由（1）知 AB平面 CDE，故 ABDE，ABCE， CED 为二面角 CABD 的平面角， AB10，CD6，SABCSABD30， ， 解得 DECE6，又 CD6， CDE 是等边三角形， CED60， 即二面角 CABD 的大小为 60 （3）由（1）知 AB平面 CDE，故 VABCDSCDEABS
33、CDE， ABD 和ABC 都是以 AB 为斜边的直角三角形，且由（1）知 AB平面 CDE， CEDE， 设 CEDEm，则 E 到 CD 的距离 d， 第 19 页（共 20 页） SCDE3， ABD 是直角三角形，D 在以 AB 为直径的圆上，故 DE 的最大值为AB5， 即 0m5， SCDE的最大值为 312， 三棱锥 ABCD 体积的最大值为40 【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算，考查棱锥的体积计算，属于中档 题 21 （14 分）已知椭圆 C：+y21，直线 l：ykx+b 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 （1）如果 k+b，求动直线 l 所过的定点； （2）记
34、椭圆 C 的上顶点为 D，如果ADB，证明动直线 l 过定点 P（0，） ； （3）如果 b，点 B 关于 y 轴的对称点为 B，向直线 AB是过定点？如果是，求出 定点的坐标；如果不是，请说明理由 【分析】 （1） ）k+b，bk，ykxkk（x1）， 所以动直线 l 过定点（1，） （2）联立直线和椭圆，根据韦达定理以及向量垂直列式可得 b，可证； （3）根据韦达定理以及两点式可得直线 AB的方程，再令 x0，可得 y2可得 【解答】解： （1）k+b，bk，ykxkk（x1）， 所以动直线 l 过定点（1，） （2）联立消去 y 得（1+2k2）x2+4kbx+2b220， 设 A（x1
35、，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x2，x1x2， ADB，又 D（0，1） ， （x1，y11） （x2，y21）x1x2+（y11） （y21）x1x2+（kx1+b1） （kx2+b1） 第 20 页（共 20 页） x1x2+k2x1x2+（b1）2+k（b1） （x1+x2） （1+k2）x1x2+k（b1） （x1+x2）+（b1）2 （1+k2）+k（b1）+（b1）2 （b1） ， （b1）0，又 b1（否则直线 l 过 D） ， b，所以动直线 l 过定点（0，） （3）b，直线 l 为：ykx， 由（2）知 x1+x2，x1x2， 经过 A（x1，y1） ，B（x2，y2）的直线方程为：， ， 令 x0 得 y（kx1）k（x2x1） ， ykx1+k2 所以直线 AB是过定点（0，2） 【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题
