1、对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切， 则称该位置关系为“平行相切” ；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离” ； 否则称为“平行相交” ，已知直线 l1：mx+3y+m+30，直线 l2：x+（m2）y+20 与圆 x22x+y2b21（b0）的位置关系是“平行相交” ，则实数 b 的取值范围是 12 （5 分）已知实数 x、y 满足 x2+（y2）21，则的取值范围是 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个分）每题有且只有一个正确选项，考生正确选项，考生 应在答题纸的相应
2、位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 第 2 页（共 19 页） 13 （5 分）若直线的参数方程为（t 为参数） ，则直线的斜率为（ ） A B C D 14 （5 分）对任意实数 ，则方程 x2+y2sin4 所表示的曲线不可能是（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 15 （5 分）设 0ka2，那么双曲线与双曲线 有（ ） A相同的虚轴 B相同的实轴 C相同的渐近线 D相同的焦点 16 （5 分）设 P 为双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的 左右焦点，若，直线 PF2交 y 轴于点 A，则AF1P 的内切圆半径是（ ） Aa Bb
3、C D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题本大题满分题本大题满分 76 分） ，解答下列各题必须写出必要的步骤，分） ，解答下列各题必须写出必要的步骤， 17 （14 分）已知直线 l：yax+4 （1）若直线 l 与直线的夹角为，求实数 a 的值； （2）若直线 l 被圆（ 为参数）截得的线段长为，求实数 a 的值 18 （14 分）设双曲线 C：2x2y22 的右顶点为 M （1）若倾斜角为锐角的直线 l 过点 M 且平行于双曲线的一条渐近线，求直线 l 的一般式 方程； （2）设 O 为坐标原点，直线与双曲线 C 相交于 A、B 两点，求OAB 的面积， 19 （14
4、分）如图，我区新城公园将在长 34 米、宽 30 米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形 水池，水池边缘由两个半椭圆和组成，其中 ab 9， “挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点） （1）求“挞圆”的方程； （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方 程为 yt（t（0.15） ，求该网箱所占水面面积的最大值 第 3 页（共 19 页） 20 （16 分）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F （1）若抛物线 C 与直线 l：ykx1 有且只有一个公共点求实数 k 的值： （2） ）若点 A、P 满足，当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点
5、 P 的轨迹方程； （3） 在 x 轴上是否存在点 Q， 使得点 Q 关于直线 y2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存 在，求所有满足条件的点 Q 的坐标：如果不存在请说明理由 21 （18 分）如图，设 O 为坐标原点，点 F（1，0）是椭圆的右焦点， 上任意一点到该椭圆的两个焦点的距离之和为分别过 O、F 的两条直线 AB 与 CD 相交于点 E（异于 A、C 两点） （1）求椭圆的方程： （2）若分别为直线 AC 与 BD 的斜率，求 kAC+kBD的值： （3）若|OE|EF|求证：直线 AC 与 BD 的斜率之和为定值，并将此命题加以推广写出 更一般的结论（不用证明） 第 4 页（
6、共 19 页） 2018-2019 学年上海市金山区高二（上）期末数学试卷学年上海市金山区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1 （4 分） 若线性方程组的增广矩阵为， 则其对应的线性方程组是 【分析】本题可根据线性方程组对应的增广矩阵的定义得出 【解答】解：由题意，可知： 增广矩阵为对应的线性方程组为： 故答案为： 【点评】本题主
7、要考查线性方程组对应的增广矩阵的定义，本题属基础题 2 （4 分）已知关于 x、y 的方程组有唯一解，则实数 m 的取值范围是 m4 【分析】把给出的方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率 不等即可解得答案 【解答】解：方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交 点， 由 mx+4y20，得 y，此直线的斜率为 由 x+y10，得 yx+1，此直线的斜率为1 若方程组有唯一解， 则两直线的斜率不等，即， m4 故答案为：m4 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方 程组的解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题 3 （4 分
8、）若直线 x1 的倾斜角为 ，则 90 【分析】利用直线方程，判断直线的倾斜角即可 第 5 页（共 19 页） 【解答】解：直线 x1 与 x 垂直，所以直线 x1 的倾斜角为 90， 故答案为：90 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查计算能力 4 （4 分）若行列式，则 m 的值是 0.5 【分析】利用行列式展开法则直接求解 【解答】解；行列式， 212m0， 解得 m0.5 m 的值为 0.5 故答案为：0.5 【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 5 （4 分）过点（1，0）且与直线 x2y20 垂直的直线方程是 2x+y20 【
9、分析】设与直线 x2y20 垂直的直线方程是 2x+y+m0，把点（1，0）代入解出 即可得出 【解答】解：设与直线 x2y20 垂直的直线方程是 2x+y+m0， 把点（1，0）代入可得：2+0+m0，解得 m2 要求的直线方程为：2x+y20 故答案为：2x+y20 【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 6 （4 分）已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过点 F1的直线与椭圆交于 A、B 两 点则ABF2的周长为 20 【分析】 AF2B 为焦点三角形， 周长等于两个长轴长， 再根据椭圆方程， 即可求出AF2B 的周长 【解答】解：F1，F
10、2为椭圆的两个焦点， 第 6 页（共 19 页） |AF1|+|AF2|10，|BF1|+|BF2|10， AF2B 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|10+1020； 故答案为 20 【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化 7 （5 分）已知点 A（1，1） 、B（3，3）两点，点 C（5，a）在直线 AB 上，则实数 a 的 值为 a7 【分析】可以求出 AB 的斜率，再求 BC 的斜率，二者相等即可确定 a 的值 【解答】解：两点 A（1，1） 、B（3，3） ，点 C（5，a）在直线 AB 上， kABk
11、BC即： 故选 A7 【点评】本题考查三点共线问题，可以用斜率解答，点在直线上解答，还可以用点到直 线的距离为 0 解答，是基础题 8 （5 分）满足约束条件的目标函数 fx+y 的最小值为 【分析】作出不等式对应的平面区域，即可求出平面区域的面积利用 f 的几何意义求 f 的最小值 【解答】解：由 fx+y，则 yx+f，平移直线 yx+f， 由图象可知当直线 yx+f 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 f 最小 由，解得，即 A（） ， 代入 fx+y 得 f 故答案为：； 第 7 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查简单的线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结 合是解
12、决此类问题的基本方法 9 （5 分）已知圆 C 一条直径的两个端点分别是 A（1，2） ，B（1，4） ，则圆 C 的标准方 程为 x2+（y3）22 【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆 C 的方程 【解答】解：A（1，2） ，B（1，4）是圆 C 的直径的两端点， 圆心 C 是 AB 的中点，其坐标为（0，3） ，圆 C 半径|AC| 圆 C 的方程是：x2+（y3）22 故答案为：x2+（y3）22 【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要注意求圆心坐标和圆半径的长，是基础题 10 （5 分）设抛物线 y28x 的焦点为 F，P 在此抛物线上且|PF|5，则点 P 的坐标为 （3， 2）
13、或（3，2） 【分析】根据抛物线的标准方程，确定准线方程，利用点 P 在抛物线上，|PF|5，可确 定点 P 的横坐标，从而可求点 P 的坐标 【解答】解：设点 P 的横坐标为 x 抛物线 y28x 的准线方程为 x2 点 P 在抛物线上，|PF|5， x+25 x3 点 P 在抛物线上 y224 第 8 页（共 19 页） y2 点 P 的坐标（3，2）或（3，2） 故答案为： （3，2）或者（3，2） 【点评】本题重点考查抛物线的定义，考查抛物线方程的运用，解题的关键是利用抛物 线的定义 11 （5 分）对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切， 则称该位置关系
14、为“平行相切” ；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离” ； 否则称为“平行相交” ，已知直线 l1：mx+3y+m+30，直线 l2：x+（m2）y+20 与圆 x22x+y2b21（b0）的位置关系是“平行相交” ，则实数 b 的取值范围是 （， ）（，+） 【分析】根据直线平行的等价条件求出 m 的值以及直线的解析式，求出圆心和半径，求 出当直线和圆相切时 b 的值，结合“平行相交” ，的定义进行求解即可 【解答】解：当 m2 时，两直线方程为 2x+3y+30，和 x+20，两直线相交，不满足 直线平行， 当 m2 时，若两直线平行，则， 由得 m22m30 得 m1 或 m
15、3， 当 m1 时，1 成立， 当 m3 时，不成立， 即 m1，此时两条直线方程为 l1：x+3y+20，即 x3y20，l2：x3y+20， 圆的标准方程为（x1）2+y2b2， （b0） ， 圆心坐标为（1，0） ，半径 rb， 若圆与 l1相切，则圆心到直线 l1的距离 db， 若圆与 l2相切，则圆心到直线 l2的距离 db， 若两条直线位置关系是“平行相交” ， 则满足，即 b，且 b， 第 9 页（共 19 页） 即实数 b 的取值范围是（，）（，+） ， 故答案为： （，）（，+） 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的条件求出 m 的值， 以及利用直线和
16、圆相切，求出 b 的值是解决本题的关键 12（5 分） 已知实数 x、 y 满足 x2+ （y2） 21， 则 的取值范围是 0， 【分析】 构造直线x+0， 过圆上一点 P 作直线的垂线 PM， 则 sinPOM，求出POM 的范围即可得到答案 【解答】解：P（x，y）为圆 x2+（y2）21 上的任意一点，则 P 到直线x+y0 的距离 PMx+， sinPOM， 设圆 x2+（y2）21 与直线 ykx 相切，则1，解得 k， 第 10 页（共 19 页） POM 的最小值为 0，最大值为 60， 0sinPOM， 故答案为：0， 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属难题 二、选择题
17、（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生分）每题有且只有一个正确选项，考生 应在答题纸的相应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 （5 分）若直线的参数方程为（t 为参数） ，则直线的斜率为（ ） A B C D 【分析】把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得 yx+，从而得到直线的 斜率 【解答】解：直线的参数方程为（t 为参数） ，消去参数化为普通方程可得 y x+ 故直线的斜率等于 故选：D 【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，根据直线的方程求
18、直线的斜率， 属于基础题 14 （5 分）对任意实数 ，则方程 x2+y2sin4 所表示的曲线不可能是（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 【分析】根据 sin 的范围，可判断方程可表示圆，直线，双曲线，椭圆，故可得结论 【解答】解：由题意，sin1，1 sin1 时，方程表示圆；sin0 时，方程表示两条直线； sin1，0）时，方程表示双曲线；sin（0，1） ，方程表示椭圆 即方程 x2+y2sin4 不表示抛物线 故选：C 【点评】本题以方程为载体，考查方程与曲线的关系，解题的关键是根据 sin 的范围， 进行分类讨论，属于中档题 第 11 页（共 19 页） 15 （5 分）设
19、 0ka2，那么双曲线与双曲线 有（ ） A相同的虚轴 B相同的实轴 C相同的渐近线 D相同的焦点 【分析】由已知可得双曲线的焦点均在 x 轴，且它们的 c 值相等，故焦点相同 【解答】解：0ka2，a2k0， 对于双曲线可知，焦点在 x 轴， 且 c2a2k+b2+ka2+b2， 同理双曲线 焦点也在 x 轴上， 且 c2a2+b2 故它们由共同的焦点 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及焦点的定义，属中档题 16 （5 分）设 P 为双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的 左右焦点，若，直线 PF2交 y 轴于点 A，则AF1P 的内切圆半径是（ ） Aa Bb C D 【
20、分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得 a 的值，设APF1的内切圆半径为 r，由 直角三角形的性质分析可得|PF1|+|PA|AF1|2r，由双曲线的几何性质分析|AF2|AF1| 2r2a，由图形的对称性知 2r2a0，即可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线， 设APF1的内切圆半径为 r， ， PF1PF2， 在直角三角形 ABC 中，设C 为直角， 第 12 页（共 19 页） 三边 a，b，c 的关系是 a2+b2c2， 内切圆的半径设为 r，可得 r（a+b+c）ab，即有 r， |PF1|+|PA|AF1|2r， |PF2|+2a+|PA|AF1|2r， |AF2|AF1|2r
21、2a， 由图形的对称性知：|AF2|AF1|， 即 2r2a0，解可得 ra， 故选：A 【点评】本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆半径 公式 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题本大题满分题本大题满分 76 分） ，解答下列各题必须写出必要的步骤，分） ，解答下列各题必须写出必要的步骤， 17 （14 分）已知直线 l：yax+4 （1）若直线 l 与直线的夹角为，求实数 a 的值； （2）若直线 l 被圆（ 为参数）截得的线段长为，求实数 a 的值 【分析】 （1）利用夹角公式 tan|可得； （2）先将圆的参数方程化成普通方程，再求出圆心到直
22、线的距离，再根据勾股定理求出 弦长 联立可得 a 的解 【解答】解： （1）利用夹角公式可得：tan|，解得 a0 或 a； （2）由 消去 得 x2+y24， 第 13 页（共 19 页） 圆心（0，0）到直线 axy+40 的距离 d， 22，d22，2，解得 a 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 18 （14 分）设双曲线 C：2x2y22 的右顶点为 M （1）若倾斜角为锐角的直线 l 过点 M 且平行于双曲线的一条渐近线，求直线 l 的一般式 方程； （2）设 O 为坐标原点，直线与双曲线 C 相交于 A、B 两点，求OAB 的面积， 【分析】 （1）根据双曲线的性质
23、和点斜式即可求出直线 l 的方程， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）由，消 y 可得 x22x40，根据韦 达定理和三角形的面积公式即可求出 【解答】解： （1）双曲线 C：2x2y22，即为 x21， a1，b，渐近线方程 yx， M（1，0） ， 倾斜角为锐角的直线 l 过点 M 且平行于双曲线 的一条渐近线， 直线的斜率为， 直线方程为 y（x1） ，即xy0， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由，消 y 可得 x22x40， x1+x22，x1x24， |x1x2|2， 对直线 yx+，令 x0，则 y，即 D（0，） ， SOAB|OD|x1x2|22
24、第 14 页（共 19 页） 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，直线和双曲线的位置关系，韦达定理，三角形 的面积等基础知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题 19 （14 分）如图，我区新城公园将在长 34 米、宽 30 米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形 水池，水池边缘由两个半椭圆和组成，其中 ab 9， “挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点） （1）求“挞圆”的方程； （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方 程为 yt（t（0.15） ，求该网箱所占水面面积的最大值 【分析】 （1）利用已知条件求出椭圆的 a，b
25、，c，得到椭圆方程 （2）设 P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内顶点， 求出内接矩形的面积的表达式，利用基本不等式求解最大值即可 【解答】解： （1）由题意知 b15，a+934 解得 a25，b15 所以“挞圆”方程为：（x0）和（x0） 第 15 页（共 19 页） （2）设 P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内顶点， ， 所以内接矩形的面积 S153421534（）510， 当且仅当时 S 取最大值 510 网箱水面面积最大 510m2 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法以及椭圆的简单
26、性质的应用，考查发现问题解决问题的能力 20 （16 分）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F （1）若抛物线 C 与直线 l：ykx1 有且只有一个公共点求实数 k 的值： （2） ）若点 A、P 满足，当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点 P 的轨迹方程； （3） 在 x 轴上是否存在点 Q， 使得点 Q 关于直线 y2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存 在，求所有满足条件的点 Q 的坐标：如果不存在请说明理由 【分析】 （1）求得抛物线的对称轴，考虑直线的斜率存在，考虑相切的情况，可得所求 k； （2）设 A（m，n） ，P（x，y） ，且 F（1，0） ，运用向量共线的坐标表示，
27、可得 m，n 的 关系式，代入抛物线方程可得所求轨迹方程； （3）x 轴上假设存在点 Q，使得点 Q 关于直线 y2x 的对称点在抛物线 C 上，设出 Q， 和对称点的坐标，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得对称点的坐标，代 入抛物线方程，计算可得所求定点 【解答】解： （1）抛物线 C：y24x 的对称轴为 x 轴， 抛物线 C 与直线 l：ykx1 有且只有一个公共点， 可得直线恒过定点（0，1） ，且斜率存在， 可得 k0 时，满足条件， 由 ykx1 与 y24x 联立可得 k2x2（2k+4）x+10， 由（2k+4）24k20，解得 k1，也满足条件； （2）设 A（m，
28、n） ，P（x，y） ，且 F（1，0） ， 点 A、P 满足， 可得（xm，yn）2（m1，n） ， 第 16 页（共 19 页） 可得 xm2m+2，yn2n， 即 xm+2，yn，即 m2x，ny， 由 n24m，则 y24（2x） ， 可得 P 的轨迹方程为 y284x； （3）x 轴上假设存在点 Q，使得点 Q 关于直线 y2x 的对称点在抛物线 C 上， 设 Q（t，0） ，对称点设为（s，u） ， 可得，2， 解得 st，ut， 即有（t）24 （t） ，可得 t， 可得存在点 Q（，0） ，使得点 Q 关于直线 y2x 的对称点在抛物线 C 上 【点评】本题考查抛物线的方程和运
29、用，考查坐标转移法，以及点关于直线的对称问题 和直线与抛物线的位置关系，考查化简运算能力，属于中档题 21 （18 分）如图，设 O 为坐标原点，点 F（1，0）是椭圆的右焦点， 上任意一点到该椭圆的两个焦点的距离之和为分别过 O、F 的两条直线 AB 与 CD 相交于点 E（异于 A、C 两点） （1）求椭圆的方程： （2）若分别为直线 AC 与 BD 的斜率，求 kAC+kBD的值： （3）若|OE|EF|求证：直线 AC 与 BD 的斜率之和为定值，并将此命题加以推广写出 更一般的结论（不用证明） 【分析】 （1）由点 F（1，0）是椭圆的右焦点，得到 c1，由上任意 一点到该椭圆的两个
30、焦点的距离之和为， 得到 2a2， 由此能求出椭圆的方程 第 17 页（共 19 页） （2）求出直线 CD 的方程为 yx+1，由，得 C（0，1） ，D（，） ， 直线 AB 的方程为 yx，由，得 A（，） ，B（，） ，由此 能求出 kAC+kBD （3）设直线 AB 的方程为 ykx，与椭圆方程联解可得 A 和 B 的横坐标，同理得到点 C、 D 的横坐标关于 k 的式子，由此结合直线的斜率公式化简整理，即可算出直线 AC，BD 的斜率之和为 0，从而证出所求证的命题是真命题 再将此命题加以推广得到：设 O 为 坐标原点，点 F（1，0）是椭圆的右焦点，分别过 O、F 的两条直线 A
31、B 与 CD 相交于点 E（异于 A、C 两点） 当|OE|EF|时，直线 AC 与 BD 的斜率之和为 0 【解答】解： （1）点 F（1，0）是椭圆的右焦点，则 c1， 上任意一点到该椭圆的两个焦点的距离之和为，则 2a2，即 a， b2a2c21， 椭圆的方程为+y21 （2）E（，） ，F（1，0） ， 直线 CD 的方程为 yx+1， 由，解得或， 即 C（0，1） ，D（，） ， 直线 AB 的方程为 yx， 由，解得，或， A（，） ，B（，） ， 第 18 页（共 19 页） kAC+kBD+0 证明： （3）设直线 AB 的方程为 ykx，直线 CD 的方程为 yk（x1）
32、， 由，得点 A 的横坐标为，点 B 的横坐标为， 同理，由，得点 C 的横坐标为，D 的横坐标为 ， 记 A（x1，kx1） ，B（x2，kx2） ，C（x3，k（1x3） ） ，D（x4，k（1x4） ） ， 直线 AC，BD 的斜率之和为： + 0 即直线 AC，BD 的斜率之和为 0（定值） 将此命题加以推广得到： 设 O 为坐标原点，点 F（1，0）是椭圆的右焦点，分别过 O、F 的两条 直线 AB 与 CD 相交于点 E（异于 A、C 两点） 当|OE|EF|时，直线 AC 与 BD 的斜率之和为 0 第 19 页（共 19 页） 【点评】本题考查椭圆方程、两直线的斜率之和的求法，考查求证分别经过 O、F 的两 条直线 AB、CD 在满足倾角互补的情况下，直线 AC、BD 斜率之和为定值的证明着重 考查了椭圆的简单几何性质和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题
