1、2020 年高考（理科）数学（年高考（理科）数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题. 1已知集合 Mx|x24，Nx|2x4，则 MN（ ） Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x2 Dx|0x2 2设复数 z 满足|z+1|zi|，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ） Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 3如图，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图，则该 三棱锥的体积为（ ） A81 B27 C18 D9 42021 年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语 3 门必选 科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学
2、、生物、地理、政治中选 2 门作为选考 科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩 放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是 （ ） A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 5 的展开式中 x3的系数为（ ） A7 B5 C6 D7 6 已知数列an为等差数列， 若 a1 ， a 6为函数 f （x） x 29x+14 的两个零点， 则 a 3a4 （ ） A14 B9 C14 D2
3、0 7已知函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）x2ln（x），则曲线 yf（x）在 x 1 处的切线方程为（ ） Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 8 已知双曲线 ： ， 的一条渐近线与圆 相交于 A， B 两点，若|AB|2，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D4 9已知函数 f（x）sin（x+）某个周期的图象如图所示，A，B 分别是 f（x）图象的最 高点与最低点，C 是 f（x）图象与 x 轴的交点，则 tanBAC（ ） A B C D 10已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点，则 （ ）的最小值为 （ ） A1 B3 C D 1
4、1概率论起源于博弈游戏.17 世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负， 没有平局 双方约定， 各出赌金 48 枚金币， 先赢 3 局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2 局，乙赢了 1 局向 这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为 “概率 “的知识， 合理地给出了赌金分配方案该分配方案是（ ） A甲 48 枚，乙 48 枚 B甲 64 枚，乙 32 枚 C甲 72 枚，乙 24 枚 D甲 80 枚，乙 16 枚 12已知二面角 PABC 的大小为 120，且PABABC90，ABAP，AB+BC
5、6 若点 P，A，B，C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ） A45 B C D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在是中的横线上. 13设 x，y 满足约束条件 ， ， 则 zx3y 的最小值为 14设数列an满足 a11，an+14an，则 a1a2an 15已知两条抛物线 C：y22x，E：y22px（p0 且 p1），M 为 C 上一点（异于原点 O），直线 OM 与 E 的另一个交点为 N若过 M 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 ABN 的面积是ABO 面积的 3 倍，则 p 16已知函 f（x）axlnx1，g（x） ，用
6、maxm，n表示 m，n 中的最大值，设 （x）maxf（x）g（x）若 （x） 在（0，+）上恒成立，则实数 a 的取值 范围为 三、 解答题： 本大是共 5 小题， 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 17-21 为必考题，每个试必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据求作答.（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 bsinAa（2+cosB） （1）求 B； （2）若ABC 的面积等于 ，求ABC 的周长的小值 18如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 是边长为 6 的等边三角形，D，E 分别为 AA1
7、，BC 的中点 （1）证明：AE平面 BDC1； （2） 若异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 求 DE 与平面 BDC1所成角的正弦值 19已知椭圆 ： 的焦距为 2 ，且过点（ ，1） （1）求 C 的方程； （2）若直线 l 与 C 有且只有一个公共点，1 与圆 x2+y26 交于 A，B 两点，直线 OA， OB 的斜率分别记为 k1，k2试判断 k1 k2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说 明理由 20 某地区在一次考试后， 从全体考生中随机抽取 44 名， 获取他们本次考试的数学成绩 （x） 和物理成绩（y），绘制成如图触点图： 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有
8、线性相关关系，但图中有两个异常点 A，B经调查得 知，A 考生由于 1 感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试为了使分 析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计 k 的值： ， ， ， ， ，其中 xi，yi分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理 成绩，i1，2，42，y 与 x 的相关系数 r0.82 （1）若不剔除 A，B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系 数为 r0试判断 r0与 r 的大小关系，并说明理由； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01），并估计如果 B 考生加了这次物
9、理 考试（已知 B 考生的数学成绩为 125 分），物理成绩是多少？（精确到个位）； （3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩 服从正态分布 N（，2）以 剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数 作为 的估计值，用样本方差 s2作为2的 估计值试求该地区 5000 名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数 Z 的数学 期望 附：回归方程 中： ， 若 N （， 2） ， 则 P （+） 0.6826， P （2+2） 0.9544 11.2 21已知函数 f（x）（x+sinxcosx）ex （1）若 f（x）为 f（x）的导函数，且 g（x）f（x）f（x），求函数 g
10、（x）的单 调区间； （2）若 x0，证明：f（x）x21 （二）选考：共 10 分.请考生在第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个 题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参 数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ， （ 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求 C1的极坐标方程； （2）若 C1与曲线 C2：2sin 交于 A，B 两点，求|OA| |OB|的值 选修 4-5；不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|2xa| （1）当 a3 时，解不等
11、式 f（x）2； （2）若不等式|x1|+f（x）3 的解集非空，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：共 12 小意，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x24，Nx|2x4，则 MN（ ） Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x2 Dx|0x2 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行交集的运算即可 解：Mx|2x2，Nx|x2， MNx|2x2 故选：B 2设复数 z 满足|z+1|zi|，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ） Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 【分析】由复数 z 满足|z+1|xi|，利用
12、模的计算公式可得： ，化简即可得出 解：复数 z 满足|z+1|xi|， ，化为：x+y0， 故选：D 3如图，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图，则该 三棱锥的体积为（ ） A81 B27 C18 D9 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体 如图所示： 所以三棱锥的底面的各边长为 ，BDCD ， 所以底边上的高为 h ， 底面积 S ， 所以该三棱锥的体积为 故选：B 42021 年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语 3 门必选 科目外，考生再从物理、历
13、史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选考 科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩 放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是 （ ） A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 【分析】根据图表进行选项判断，可知 C 错误 解：甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物（物理）， C 选项错， 故选：C 5 的展开式中 x3的系数为（ ） A7 B5 C
14、6 D7 【分析】把（1x）4按照二项式定理展开，求得（x ）（1x） 4 展开式中含 x3项的 系数 解：二项式（1x）4 x x2 x3 x4 14x+6x24x3+x4， （x ）（1x） 4（x ）（14x+6x 24x3+x4）， 展开式中含 x3项的系数为： 16+（1）15 故选：B 6 已知数列an为等差数列， 若 a1 ， a 6为函数 f （x） x 29x+14 的两个零点， 则 a 3a4 （ ） A14 B9 C14 D20 【分析】由韦达定理得 a1+a69，结合等差数列求出舍去的项，由此能求出结果 a3a4 解：等差数列an中，a1，a6为函数 f（x）x29x+
15、14 的两个零点， a1+a69，a1a614，所以 a12，a67，或 a17，a 62， 当 a12，a67 时，d1，a34，a45， 所以 a3a420 当 a17，a62 时，d1，a35，a44， a3a420 故选：D 7已知函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）x2ln（x），则曲线 yf（x）在 x 1 处的切线方程为（ ） Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 【分析】根据偶函数的性质，可分别求出 x1 时的坐标与导数，然后求出 x1 处的 切线方程 解：根据偶函数的图象关于 y 轴对称，所以在关于 y 轴对称的两点处，函数值相等，且 切线也关于 y 轴
16、对称， 所以切点关于 y 轴对称，切线斜率互为相反数 f（1）f（1）1，故切点为（1，1）， x0 时，f（x） ，所以 f（1）f（1）1 故切线方程为 y1x1，即 xy0 故选：A 8 已知双曲线 ： ， 的一条渐近线与圆 相交于 A， B 两点，若|AB|2，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D4 【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用体积推出 ab 关系式，然后求 解离心率即可 解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay0， 圆 相的圆心（0，2 ），半径为：2， 双曲线 ： ， 的一条渐近线与圆 相交于 A，B 两点，若|AB|2， 可得 ， 3 即：
17、b23a2， 可得 c2a23a2， 解得 e 2 故选：C 9已知函数 f（x）sin（x+）某个周期的图象如图所示，A，B 分别是 f（x）图象的最 高点与最低点，C 是 f（x）图象与 x 轴的交点，则 tanBAC（ ） A B C D 【分析】根据条件设出 C 的坐标，求出 A，B 的坐标，再结合两角差的正切公式即可求 解结论 解：由题可得周期为 2； 设 C（a，0）则 B（a ，1），A（a ，1）； KAC ，KAB 2； 又BAC 为两直线倾斜角的差， tanBAC 故选：B 10已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点，则 （ ）的最小值为 （ ） A1
18、B3 C D 【分析】建立坐标系，求出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可 求解 解：建立如图所示坐标系， 设 P（x，y），则 A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2）； （2x，2y）， （2x，y）+（x，2y）（22x，22y）； 则 （ ）（2x） （22x）+ （2y） （22y）2 （x ） 2 2（y ） 2 2（x ） 2+2（y ） 21； 当 xy 时， （ ）的最小值为1； 故选：A 11概率论起源于博弈游戏.17 世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负， 没有平局 双方约定， 各出赌金
19、 48 枚金币， 先赢 3 局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2 局，乙赢了 1 局向 这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为 “概率 “的知识， 合理地给出了赌金分配方案该分配方案是（ ） A甲 48 枚，乙 48 枚 B甲 64 枚，乙 32 枚 C甲 72 枚，乙 24 枚 D甲 80 枚，乙 16 枚 【分析】根据题意，计算甲乙两人获得 96 枚金币的概率，据此分析可得答案 解：根据题意，前三局比赛中，博弈水平相当的甲、乙，即两人获胜的概率均为 ， 假设两人继续进行比赛：甲获取 96 枚金币的概率 P1 ， 乙获取 96 枚金币的概率 P2
20、 ， 则甲应该获得 96 72 枚金币； 乙应该获得 96 24 枚金币； 故选：C 12已知二面角 PABC 的大小为 120，且PABABC90，ABAP，AB+BC 6 若点 P，A，B，C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ） A45 B C D 【分析】设 ABx，（0x6），则 BC6x，由题意知三棱锥外接球的球心是过 PAB 和ABC 的外心 E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点 O，OB 为 三棱锥外接球半径，取 AB 的中点为 G，推导出EGH 的外接圆直径 OG ， 从而OB 2OG2+GB2 （x ） 2 ， 当 x 时， OB2的最小值为 ，
21、由 此能求出该球的表面积的最小值 解：设 ABx，（0x6），则 BC6x， 由题意知三棱锥外接球的球心是过PAB 和ABC 的外心 E，H， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点 O， OB 为三棱锥外接球半径，取 AB 的中点为 G，如图， 由条件知 EG ，GH3 ，GB ， 在EGH 中， EH2（ ） 2+（3 ） 22 ， EGH 的外接圆直径 OG ， OB2OG2+GB2 （ ）+（ ） 2 （x ）2 ， 当 x 时，OB2的最小值为 ， 该球的表面积的最小值为：S4OB2 故选：B 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在是中的横线上. 13
22、设 x，y 满足约束条件 ， ， 则 zx3y 的最小值为 7 【分析】先根据条件画出可行域，设 zx3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化 为 y 轴上的截距最大，只需求出直线 zx3y，过可行域内的点 A 时的最小值，从而得 到 z 最小值即可 解：在坐标系中画出 x，y 满足约束条件 ， ， 的可行域，如图所示： 由 zx3y 可得 y ，则 z 表示直线 zx3y 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小 平移直线 3x2y0 经过点 A 时，z 最小， 由 可得 A（2，3）， 此时最小值为：7， 则目标函数 zx3y 的最小值为7 故答案为：7 14设数列an满足 a11，an+1
23、4an，则 a1a2an 2n（n1） 【分析】由已知结合等比数列的定义及通项公式即可求解 解：由题意可知，数列an是以 a11 为首项，以 4 为公比的等比数列， 故 a1a2an40 414n1 2 n（n1） 故答案为：2n（n1） 15已知两条抛物线 C：y22x，E：y22px（p0 且 p1），M 为 C 上一点（异于原点 O），直线 OM 与 E 的另一个交点为 N若过 M 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 ABN 的面积是ABO 面积的 3 倍，则 p 4 【分析】由题意设 M 的坐标，求出直线 OM 的方程，与抛物线 E 联立求出 N 的坐标，设 直线 AB 的方
24、程，求出 O，E 到直线 AB 的距离，求出ABN 的面积与ABO 面积之比， 再由ABN 的面积是ABO 面积的 3 倍可得 p 的值 解：设 M（ ，b），则直线 OM 的方程为：y x，即 x y，代入 y 22px（p0 且 p 1），可得 ypb，x ，即 E（ ，bp）， 由题意可得显然直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：xm（yb） ，即 2x 2my+2mbb20， 所 以O到 直 线AB的 距 离d1 ， E到 直 线AB 的 距 离 d2 |p1| ， 因为 3，所以 3 |p1| ，因为 2mbb2 0， 所以|p1|3，p0 解得 p4， 故答案为：4
25、16已知函 f（x）axlnx1，g（x） ，用 maxm，n表示 m，n 中的最大值，设 （x）maxf（x）g（x）若 （x） 在（0，+）上恒成立，则实数 a 的取值 范围为 ，+） 【分析】讨论 0x3，x3，g（x）与 y 的关系，问题转化为 f（x） 在（0，3） 恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围 解：当 x（0，3）时，g（x） ；x3，+）时，g（x） ，所以 （x） 在 3，+）必成立， 问题转化为 f（x） 在（0，3）恒成立，由 axlnx1 恒成立，可得 a 在 x（0，3）恒成立， 设 h（x） ，x（0，3），可得 h（x） ，由
26、0x1 时，h（x） 0，h（x）递增，1x3 时，h（x）0，h（x）递减， 可得 x1 处，h（x）取得极大值，且为最大值， 则 h（x）maxh（1） ， 故 a ，即 a 的取值范围是 ，+） 故答案为： ，+） 三、 解答题： 本大是共 5 小题， 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 17-21 为必考题，每个试必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据求作答.（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 bsinAa（2+cosB） （1）求 B； （2）若ABC 的面积等于 ，求ABC 的周长的小值 【分析】 （
27、1）先利用边角互化将 bsinAa（2+cosB）转化为关于 B 的方程，求出B （2）因为 B 已知，所以求面积的最小值即为求 ac 的最小值，结合余弦定理和基本不等 式可以求得 解：（1）因为 bsinAa（2+cosB） 由正弦定理得 显然 sinA0，所以 所以 2sin（B ）2，B（0，） 所以 ， （2）依题意 ，ac4 所以 ，当且仅当 时取等号 又由余弦定理得 b2a2+c22accosBa2+c2+ac3ac12 当且仅当 ac2 时取等号 所以ABC 的周长最小值为 18如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 是边长为 6 的等边三角形，D，E 分别为 AA1，B
28、C 的中点 （1）证明：AE平面 BDC1； （2） 若异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 求 DE 与平面 BDC1所成角的正弦值 【分析】（1）先证明四边形 ADFE 为平行四边形，则 AEDF，由此即可得证； （2）以点 E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 AA12t（t0），根据已知条件可 求得 ，进而求得平面 BDC1的法向量以及直线 DE 的方向向量，再利用向量公式得 解 解：（1）证明：取 BC1的中点 F，连接 DF，EF， E 为 BC 中点， ， ， 又D 为 AA1的中点， ， ， ， 四边形 ADFE 为平行四边形， AEDF， AE 不在平面 BDC1内，
29、DF 在平面 BDC1内， AE平面 BDC1； （2）由（1）及题设可知，BC，EA，EF 两两互相垂直，则以点 E 为坐标原点，EC，EA， EF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA12t（t0），则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， 设平面 BDC1的法向量为 ， ， ，则 ，故可取 ， ， ， 又 ， ， ，则 ， ， ， ， ， DE 与平面 BDC1所成角的正弦值为 19已知椭圆 ： 的焦距为 2 ，且过点（ ，1） （1）求 C 的方程； （2）若直线 l
30、与 C 有且只有一个公共点，1 与圆 x2+y26 交于 A，B 两点，直线 OA， OB 的斜率分别记为 k1，k2试判断 k1 k2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说 明理由 【分析】 （1）由题意可得关于 a，b，c 的方程组，求解 a，b，c 的值，则椭圆方程可求； （2）当过点 P 的直线斜率不存在时，直线的方程为 x2，求得 k1 k2 ；当 过 P 的直线斜率存在时，设其方程为 ykx+m，联立直线方程与椭圆方程，由判别式等 于 0 可得 m24k2+2， 联立直线方程与椭圆方程， 利用根与系数的关系结合斜率公式可得 k1 k2为定值 解：（1）由题意，得 ，解得 a2，b
31、 椭圆 C 的方程为 ； （2）k1k2为定值 理由如下： 当过点 P 的直线斜率不存在时，直线的方程为 x2； 当 x2 时，A（ ， ），B（2， ），则 ； 当 k2 时， ， ，B（2， ）， ； 当过 P 的直线斜率存在时，设其方程为 ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 ，得（1+2k 2）x2+4kmx+2m240 由题意得：16k2m24（1+2k2）（2m24）0，得 m24k2+2 联立 ，得（1+k 2）x2+2kmx+m260 则 ， 综上，k1 k2为定值 20 某地区在一次考试后， 从全体考生中随机抽取 44 名， 获取他们本次考试的数学成绩 （x
32、） 和物理成绩（y），绘制成如图触点图： 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A，B经调查得 知，A 考生由于 1 感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试为了使分 析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计 k 的值： ， ， ， ， ，其中 xi，yi分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理 成绩，i1，2，42，y 与 x 的相关系数 r0.82 （1）若不剔除 A，B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系 数为 r0试判断 r0与 r 的大小关系，并说明理由； （2）求 y
33、关于 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01），并估计如果 B 考生加了这次物理 考试（已知 B 考生的数学成绩为 125 分），物理成绩是多少？（精确到个位）； （3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩 服从正态分布 N（，2）以 剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数 作为 的估计值，用样本方差 s2作为2的 估计值试求该地区 5000 名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数 Z 的数学 期望 附：回归方程 中： ， 若 N （， 2） ， 则 P （+） 0.6826， P （2+2） 0.9544 11.2 【分析】（1）结合散点图，可得出结论 （2）利用题中
34、给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令 x125，节课算出答 案 （3）算出 ，s2，得到 N（74，125）， 11.2，所以 P（63.885.2）P（74 11.274+11.2）0.6826，因为 ZB（5000，0.6826），即可算出期望 解：（1）r0r 理由如下：由图可知，y 与 x 成正相关关系， 异常点 A，B 会降低变量之间的线性相关程度 44 个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小 42 个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大 42 个数据点更贴近其回归直线 l 44 个数据点与其回归直线更离散 （2）由题中数
35、据可得： 110.5， 74， 所以 42 35035042110.5746916 又因为 13814.5， 所以 0.501， 740.501110.518.64 所以 0.50x+18.64 将 x125 代入，得 y0.50125+18.6462.5+18.6481， 所以估计 B 同学的物理成绩均为 81 分 （3） 74，s2 5250125， 所以 N（74，125）， 又因为 11.2， 所以 P（63.885.2）P（7411.274+11.2）0.6826， 因为 ZB（5000，0.6826）， 所以 E（Z）50000.68263413， 即该地区本次考试物理成绩位于区间
36、（62.8，85.2）的数学期望为 3413 21已知函数 f（x）（x+sinxcosx）ex （1）若 f（x）为 f（x）的导函数，且 g（x）f（x）f（x），求函数 g（x）的单 调区间； （2）若 x0，证明：f（x）x21 【分析】（1）先对 g（x）求导，然后结合导数符号可求函数的单调区间； （2）要证明：f（x）x21，只要证 f（x）+1x20，构造函数 h（x）f（x）+1x2， x0，结合导数及函数性质可证 【解答】解（1）f（x）（1+x+2sinx）ex，g（x）（1+sinx+cosx）ex， 所以 g（x）（1+2cosx）ex， 由 g（x）0 可得 cosx
37、 即 ， 由 g（x）0 可得 cosx 即 ， 故 g （x） 的单调递增区间 （ ， ） ， k一、 选择题， 单调递减区间 （ ， ），kZ， （2）证明：若 x0，要证明：f（x）x21，只要证 f（x）+1x20， 设 h（x）f（x）+1x2，x0，h（x）（1+x+2sinx）ex2x， 设 p（x）h（x）（1+x+2sinx）ex2x，则 p（x）（2+x+2sinx+2cosx）ex2， 设 m（x）（2+x+2sinx+2cosx）ex2，则 m（x）（3+x+4cosx）ex， 当x ， 时， m （x） 0， 当x ， 时， 3+x+4cosx3+4cosx 0， m
38、（x）0，故 m（x）在0，+）单调递增， 所以 m（x）m（0）20，即 p（x）0， 所以 p（x）在0，+）单调递增，则 p（x）p（0）10，即 h（x）0， 所以 h（x）在0，+）单调递增，则 h（x）h（0）0， 所以原不等式成立 （二）选考：共 10 分.请考生在第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个 题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参 数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ， （ 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）求 C1的极坐标方
39、程； （2）若 C1与曲线 C2：2sin 交于 A，B 两点，求|OA| |OB|的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用两曲线间的位置关系的应用求出交点的坐标，进一步利用两点间的距离公式的 应用求出结果 解：（1）曲线 C1的参数方程为 ， （ 为参数），转换为直角坐标方程 为（x1）2+y25，转换为极坐标方程为 22cos40 （2）由于若 C1与曲线 C2：2sin 交于 A，B 两点，曲线 C2：2sin 转换为直角坐 标方程为 x2+y22y 所以 ，解得 或 ， 即 A（0，2），B（1，1）， 所以 选修 4-5；
40、不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|2xa| （1）当 a3 时，解不等式 f（x）2； （2）若不等式|x1|+f（x）3 的解集非空，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由 a3 可得|x1|+|2x3|2，运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式， 求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|2x2|+|2xa|3 有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的 最小值，解 a 的不等式可得所求范围 解：（1）当 a3 时，f（x）2 即为|x1|+|2x3|2， 等价为 或 或 ， 解得 x2 或 1x 或 x1， 则原不等式的解集为 ，2； （2）不等式|x1|+f（x）3 的解集非空等价为|2x2|+|2xa|3 有解 由|2x2|+|2xa|2x2+a2x|a2|（当且仅当（2x2） （2xa）0 取得等号）， 则|a2|3，解得1a5，故 a 的取值范围是（1，5）
