1、2020 年高考（文科）数学二诊试卷年高考（文科）数学二诊试卷 一、选择题 1集合 Ax|x20，BN，则 AB（ ） A1 B1，2 C0，1 D0，1，2 2i 为虚数单位，则 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 3两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（ ） A B C D 4某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用 22 列联表，由计 算得 K27.218，参照如表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 得到正确结论是
2、（ ） A有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” C在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关” D在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 5已知 tan ，则 cos2 的值为（ ） A B C D 6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣 内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成 半圆锥形， 底面半圆的弧长为3丈， 高7尺、 问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？” 已知 1 丈等于 10
3、尺，1 斛大豆的体积约为 2.43 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的大 豆有（ ） A44 斛 B144 斛 C288 斛 D388 斛 7 函数 f （x） x3x2+x 的图象在点 （1， f （1） ） 处的切线为 l， 则 l 在 y 轴上的截距为 （ ） A1 B1 C2 D2 8执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为（ ） A6 B3 C15 D10 9已知函数 f（x）Asin（2x ）（A0），若函数 f（xm）（m0）是偶函数、则实 数 m 的最小值是（ ） A B C D 10已知椭圆 C： 1 的短轴长为 2，焦距为 2 ，F 1、F2分别是椭圆的左、右焦 点，若
4、点 P 为 C 上的任意一点，则 的取值范围为（ ） A1，2 B ， C ，4 D1，4 11 若一个正三棱柱的主视图如图所示， 其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为 （ ） A B C D 12过双曲线 C： 1（a0，b0）左焦点 F 的直线 l 交 C 的左支于 A，B 两点， 直线 AO（O 是坐标原点）交 C 的右支于点 D，若 DFAB，且|BF|DF|，则 C 的离心 率是（ ） A B2 C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上） 13已知直线 l：x+m2y0 与直线 n：x+y+m0，若 ln，则 m 的值为 14若 x，y
5、满足约束条件 ，则 z3x+2y 的最小值是 15设函数 yf（x）的图象与 y2x+a的图象关于直线 yx 对称，且 f（4）1，则 a 16 在ABC的角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且c2a2+b2ab， sinA+sinB2 sinAsinB， 若 c3，则 a+b 的值为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和 Sn和通项 an满足 2Sn+anl（nN*） （）求数列an的通项公式；
6、 （）等差数列bn中，b13a1，b22，求数列an+bn的前 n 项和 Tn 18三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，ABAA1A1B4，BC2，AC 2 ，点 F 为 AB 的中点，点 E 为线段 A1C1上的动点 （）求证：BC平面 A1EF； （）若B1EC160，求四面体 A1B1EF 的体积 19某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干 销售地区分别投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图 所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （）根据频率分布直方图
7、计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入 4 万元 广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：万元） 2 3 2 7 由表中的数据显示，x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，根 据表格中数据求出 y 关于 x 的回归真线方程 x ，并估计该公司下一年投入广告费 多少万元时，可使得销售收益达到 8 万元？ 参考公式： 最小二乘法估计分别为 ， 20抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 P
8、在 C 上，若 PFx 轴，且POF（O 为 坐标原点）的面积为 1 （）求抛物线 C 的方程； （） 若 C 上的两动点 A， B （A， B 在 x 轴异侧） 满足 32， 且|FA|+|FB|AB|+2， 求|AB|的值 21已知函数 f（x） ，g（x）（xl）m2lnx （）求证：当 x（0，时，f（x）1； （）求证：当 m2 时，对任意 x0（0，存在 x1（0，和 x2（0，（x1x2） 使 g（x1）g（x2）f（x0）成立 选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy
9、中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）M 是 C1上的 动点，P 点满足 2 ，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点的 交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|x+1|+|x+3| （）解不等式 f（x）6； （）若 a，b，c 均为正数，且 f（a）+f（b）+c10，求 a2+b2+c2的最小值 参考答案 一、选择题：共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的. 1集合 Ax|x20
10、，BN，则 AB（ ） A1 B1，2 C0，1 D0，1，2 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|x2，BN， AB0，1，2 故选：D 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 2i 为虚数单位，则 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解： ， 的虚部为1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n 6，其中两名男生刚好相邻包
11、含的基本事件个数 m 4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率 解：两名男生、一名女生站成一排， 基本事件总数 n 6， 其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数 m 4， 其中两名男生刚好相邻的概率 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 4某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用 22 列联表，由计 算得 K27.218，参照如表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 得到正确结论
12、是（ ） A有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” C在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关” D在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【分析】利用已知概率对照表，在 K2大于对应值是认为相关，在小于对应值时不认为相 关 解：K27.2186.635，对应的 P（K2k0）为 0.010， 可得有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”， 故选：B 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查判断相关性，是基础题目 5已知 tan ，则 cos2
13、的值为（ ） A B C D 【分析】利用余弦的二倍角公式可求得 cos2cos2sin2，进而利用同角三角基本关 系，使其除以 sin2+cos2，分子分母同时除以 cosa，转化成正切，然后把 tan 的值代入 即可 解： ， 故选：C 【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式解题的 关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化 6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣 内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成 半圆锥形， 底面半圆的弧长为3丈， 高7尺、 问这堆大豆的体积和堆放的大豆
14、各为多少？” 已知 1 丈等于 10 尺，1 斛大豆的体积约为 2.43 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的大 豆有（ ） A44 斛 B144 斛 C288 斛 D388 斛 【分析】先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出 解：3 丈30 尺， 303R，解得 R10 由题意可得： 31027 144 斛 故选：B 【点评】本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题 7 函数 f （x） x3x2+x 的图象在点 （1， f （1） ） 处的切线为 l， 则 l 在 y 轴上的截距为 （ ） A1 B1 C2 D2 【分析】先求出切点处的导数值，然后求出切线方程
15、，再令切线中的 x0，即可得到切 线的纵截距 解：f（x）3x22x+1， f（1）1，f（1）2， 切线 l 的方程为 y12（x1）， 令 x0 得 y1，即切线的纵截距为1 故选：A 【点评】本题考查利用导数求切线方程的方法，注意抓住切点满足的两个条件入手属 于基础题 8执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为（ ） A6 B3 C15 D10 【分析】根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环 解：i1，S0， S011，i2； S1+43，i3； S396，i4； S6+1610，i5； 跳出循环， 故选：D 【点评】本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题 9已知函数 f（x）A
16、sin（2x ）（A0），若函数 f（xm）（m0）是偶函数、则实 数 m 的最小值是（ ） A B C D 【分析】由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得 m 的最小值 解：函数 f（x）Asin（2x ）（A0），若函数 f（xm）Asin（2x2m ）（m 0）是偶函数， 则 2m 最小为 ， 则实数 m 的最小值为 ， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题 10已知椭圆 C： 1 的短轴长为 2，焦距为 2 ，F 1、F2分别是椭圆的左、右焦 点，若点 P 为 C 上的任意一点，则 的取值范围为（ ） A1，2 B ， C ，4 D1，4
17、 【分析】根据条件得到 a，b，c 的值，从而得出|PF1|的范围，得到 关于|PF1| 的函数，从而求出答案 解：根据条件可得 b1，c ，故 a2， 则根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|2a4 所以 ， 因为 2 |PF1|2 ，|PF1|（4|PF1|）（|PF1|2）2+4， 1|PF1|（4|PF1|）4 1 4 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的性质，函数最值的计算，属于中档题 11 若一个正三棱柱的主视图如图所示， 其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为 （ ） A B C D 【分析】 根据几何体的三视图， 得出该几何体的结构特征是什么， 求出球的表面积即可 解：根据几何
18、体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于 2 的正三角形，高为 1 的正 三棱柱， 则底面外接圆半径 r ，球心到底面的球心距 d 所以球半径 R2 所以该球的表面积 S4R2 ， 故选：B 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目 12过双曲线 C： 1（a0，b0）左焦点 F 的直线 l 交 C 的左支于 A，B 两点， 直线 AO（O 是坐标原点）交 C 的右支于点 D，若 DFAB，且|BF|DF|，则 C 的离心 率是（ ） A B2 C D 【分析】取右焦点 F，由双曲线的定义设|AF|x，则|AF|2a+x，再由双曲线的对称性， 则|DF|x，|DF|AF|2a
19、+x，而|BF|DF|，所以|BF|2a+x，|AB|2a+2x，有直角三 角形中求出 a，c 的关系求出离心率 解：取右焦点 F，设|AF|x，则|AF|2a+x，由题意可得 DFAF，所以 DFDF， 所以|DF|x，|DF|AF|2a+x，而|BF|DF|，所以|BF|2a+x，|AB|2a+2x， 进而可得|BF|2a+x+2a4a+x， 在直角三角形 BAF中，|BF|2|AB|2+|AF|2， 所以（x+4a）2（2x+2a）2+（x+2a）2，解得 xa， 所以|AF|DF|a，|DF|3a，|FF|2c， 在三角形 DFF中 a2+（3a）2（2c）2，所以可得：e2（ ） 2
20、 ， 所以 e ， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的性质，及直角三角形的边长的关系，属于中档题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上） 13已知直线 l：x+m2y0 与直线 n：x+y+m0，若 ln，则 m 的值为 1 【分析】由 m210，解得 m，经过验证即可得出 解：由 m210，解得 m1， 经过验证都满足 ln， 则 m1 故答案为：1 【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系考查考生的计算能力，属于基础 题 14若 x，y 满足约束条件 ，则 z3x+2y 的最小值是 5 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，
21、进行求最值即可 解：由 z3x+2y 得 y ， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 y 由图象可知当直线 y 经过点 A 时，直线 y 的 截距最小， 此时 z 也最小，将 A（1，1）代入目标函数 z3x+2y， 得 z5 故答案为：5 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 15设函数 yf（x）的图象与 y2x+a的图象关于直线 yx 对称，且 f（4）1，则 a 3 【分析】在函数 yf（x）的图象上取点（x，y），则关于直线 yx 对称点为（y， x），代入 y2x+a，可得答案 解：因
22、为函数 yf（x）的图象与 y2x+a的图象关于直线 yx 对称，且 f（4）1； 故（1，4）在 y2x+a的图象上， 故有：421+aa3； 故答案为：3 【点评】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题 16 在ABC的角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且c2a2+b2ab， sinA+sinB2 sinAsinB， 若 c3，则 a+b 的值为 3 【分析】 由 a2+b2c2ab， 及余弦定理， 可求 cosC， 结合范围 C （0， ） ， 可求 C ， 利用三 角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可求（a+b）c3 ab，代
23、入 c3，可得： a+b ab，进而可求 2（ab）23ab90，解得 ab 的值，从而可求 a+b 的值 解：由 c2a2+b2ab 及余弦定理，可得：cosC ， 又 C（0，）， 所以 C ， 由 sinA+sinB2 sinAsinB，可得：（sinA+sinB）sinC2 sinCsinAsinB， 可得：（sinA+sinB）sinC2 sin sinAsinB， 可得：（sinA+sinB）sinC3 sinAsinB， 结合正弦定理，可得：（a+b）c3 ab，代入 c3，可得：a+b ab， 再结合 a2+b2c2ab，可得：（a+b）22ab32ab， 可得：（a+b）23
24、ab90，可得：（ ab）23ab90， 可得：2（ab）23ab90，可得：（2ab+3）（ab3）0，解得：ab （舍去） 或 ab3 可得：a+b3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中 的综合应用，考查了转化思想，属于中档题 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和 Sn和通项 an满足 2Sn+anl（nN*） （）求数列an的通项公式； （）等差数
25、列bn中，b13a1，b22，求数列an+bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）先由数列an的前 n 项和 Sn和通项 an的关系式求出相邻项之间的关系， 判断出数列an的类型，再求出通项公式； （2）先由题设条件求出 bn，再结合（1）中的 an求出 an+bn，最后求出 Tn 解：（1）当 n1 时有 2S1+a113a1，解得 a 又2Sn+anl（nN*）， 2Sn+1+an+11 由可得：2（Sn+1Sn）+an+1an02an+1+an+1an 即 an+1 ，所以数列an是以 为首项，以 为公比的等比数列 an（ ） n （2）等差数列bn中，b13a11，b22，bnn，an
26、+bn（ ） n+n Tn +（1+2+3+n） 【点评】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 18三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，ABAA1A1B4，BC2，AC 2 ，点 F 为 AB 的中点，点 E 为线段 A1C1上的动点 （）求证：BC平面 A1EF； （）若B1EC160，求四面体 A1B1EF 的体积 【分析】（I）利用等边三角形的性质可得：A1FAB利用线面、面面垂直的判定定理 与性质定理可得：A1FBC利用勾股定理的逆定理可得：BCAC进而证明结论 （）利用直角三角形的边角关系可得：EC1
27、 ，A1E由（I）可得：A1F底面 A1B1C1，A1FA1E，A1F2 可得A1EF 的面积 S由（I）可得：BC平面 A1EF， 可得 B1C1平面 A1EF，即可得出四面体 A1B1EF 的体积 【解答】（I）证明：ABAA1A1B，点 F 为 AB 的中点，A1FAB，平面 AA1B1B 平面 ABC，平面 AA1B1B平面 ABCAB， A1F平面 ABC，BC平面 ABC，A1FBC AB4，BC2，AC2 ，AB2BC2+AC2，ACB90，BCAC ACA1C1，BCA1C1，又 A1FA1EA1，BC平面 A1EF； （）解：B1EC160，EC1 ，A1E2 由（I）可得：
28、A1F底面 A1B1C1，A1FA1E，A1F2 A1EF 的面积 S 2 4 由（I）可得：BC平面 A1EF， B1C1BC，B1C1平面 A1EF， 四面体 A1B1EF 的体积 S B 1C1 42 【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形 的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干 销售地区分别投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图 所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的
29、（）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入 4 万元 广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：万元） 2 3 2 7 由表中的数据显示，x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，根 据表格中数据求出 y 关于 x 的回归真线方程 x ，并估计该公司下一年投入广告费 多少万元时，可使得销售收益达到 8 万元？ 参考公式： 最小二乘法估计分别为 ， 【分析】 （）由频率分布直方图各个
30、小长方形的面积总和为 1，建立方程，即可求得结 论利用组中值，求出对应销售收益的平均值； （）利用公式求出 a，b 即可计算 y 关于 x 的回归方程 解：（）设长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1， 可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m1，所以 m2 小组依次是0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12）， 其中点分别为 1，3，5，7，9.11 对应的频率分别为 0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04 故可估计平均值为 10.16+30.20+5028+70.24+90.08+110.045 （）
31、空白栏中填 5 由题意可知， 3， 3.8 69， 55， 所以 b 1.2， 3.81.230.2 所以关于 x 的回归方程为 y1.2x+0.2 【点评】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看 出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题 20抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 P 在 C 上，若 PFx 轴，且POF（O 为 坐标原点）的面积为 1 （）求抛物线 C 的方程； （） 若 C 上的两动点 A， B （A， B 在 x 轴异侧） 满足 32， 且|FA|+|FB|AB|+2， 求|AB|的值 【分析】（）先解
32、出 P 点坐标，再表示POF 面积为 1，解得 p，进而得 出抛物线方程 （）设直线 AB 方程为 xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消元 x， 可得含 y 的一元二次方程，由韦达定理可得 y1+y2，y1y2，|AB| ， 因 为 |FA|+|FB| |AB|+2 ， 得x1+x2 |AB| ， 2m2+2n |AB| 由 得 2m2+2n ，根据 32，所以 y1y232，n 28n128 0，进而得出答案 解：（）由题知 P 点的横坐标为 ，代入抛物线方程得， y22p ，解得 yp 或p， 所以 P（ ，p）或（ ，p）， POF 面积为 1，解得 p2，
33、 所以抛物线 C 方程为 y24x SOFP p （）设直线 AB 方程为 xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2） 联立抛物线方程得 y22my2n0， y1+y22m，y1y22n， |AB| 因为|FA|+|FB|AB|+2， 所以 x1+1+x2+1|AB|+2 即 x1+x2|AB|， my1+n+my2+n|AB| m（y1+y2）+2n|AB| 2m2+2n|AB| 由得 2m2+2n ， 化简得 m2n22n， 因为 32，所以 x1x2+y1y232 所以 y1y232， （y1y2）2+16y1y216320 （2n）2+16（2n）16320， n28n1280，
34、解得 n8（舍）或 16， 所以|AB|2m2+2n2（n22n）+2n2n22n480 【点评】本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档 题 21已知函数 f（x） ，g（x）（xl）m2lnx （）求证：当 x（0，时，f（x）1； （）求证：当 m2 时，对任意 x0（0，存在 x1（0，和 x2（0，（x1x2） 使 g（x1）g（x2）f（x0）成立 【分析】（）对函数求导数，研究单调性求出最大值小于 1 即可； （）只需要求出 f（x）在（0，上的值域，然后研究 g（x）的单调性是先增后减或先 减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含 f（x）的值域即
35、可 解：（） ，令 h（x）xcosxsinx，h（x）xsinx0， h（x）在（0，上递减，且 h（0）0，故 x（0，时 f（x）0，f（x）递减 又 ，x（0，时，f（x）1 （）由（）知，f（x）在（0，上递减，且 f（x）1；又 f（）0，故 f（x）的 值域为0，1） 又因为 g（x） ，x（0，m2 令 得 （0，1）显然 ymx2 是增函数 ， 时，g（x）0，g（x）递减； ， ，g（x）0，g（x）递增 此时 g（x）min ，（m2） 将上式化简并令 r（m）2lnmm+22ln2，m2 ，r（m）在（2，+）上递减 所以 r（m）r（2）0，故 g（x）min0 显然
36、当 x0 时，g（x）+，即当 ， 时，g（x）递减，且函数值取值集合包 含 f（x）的值域0，1）； 而 g（）（1）m2ln2（1）2ln2（1ln）2（31ln）， ， ， 即当 x ， 时，g（x）递增，且函数值取值集合包含 f（x）的值域0，1） 所以当 m2 时，对任意 x0（0，存在 x1（0，和 x2（0，（x1x2）使 g（x1） g（x2）f（x0）成立 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题考查了学生运用数学思想 方法（转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力同时考查了学 生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养属于较难的题目 一、选择
37、题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）M 是 C1上的 动点，P 点满足 2 ，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点的 交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 【分析】（I）先设出点 P 的坐标，然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1的方程即可求 出曲线 C2的方程； （II）根据（I）将求出曲线 C1的极坐标方程，分别求出射线 与 C1的交点 A 的极径 为 1，以及射线 与 C2的交点 B 的极径为 2，最后根据|AB|21|求出所求 解：（I）设
38、P（x，y），则由条件知 M（ ， ）由于 M 点在 C1 上， 所以 即 从而 C2的参数方程为 （ 为参数） （）曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐标方程为 8sin 射线 与 C1的交点 A 的极径为 14sin ， 射线 与 C2的交点 B 的极径为 28sin 所以|AB|21| 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量， 属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|x+1|+|x+3| （）解不等式 f（x）6； （）若 a，b，c 均为正数，且 f（a）+f（b）+c10，求 a2+b2+c2的最小值 【分析】（）
39、由绝对值的意义，对 x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求 解集； （）求得 2a+2b+c2，结合柯西不等式，计算可得所求最小值 解：（）解不等式 f（x）6 即|x+1|+|x+3|6，等价为 或 或 ， 解得1x1 或3x1 或5x3， 则原不等式的解集为（5，1）； （）若 a，b，c 均为正数，且 f（a）+f（b）+c10， 即为 a+1+a+3+（b+1+b+3）+c10，化为 2a+2b+c2， 由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（22+22+12）（2a+2b+c）2， 化为 a2+b2+c2 ，当且仅当 ab2c 取得等号， 则 a2+b2+c2的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的运用：求最值，考查分类讨 论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题
