1、复数 z，则|z|（ ） A1 B2 C D 2 （5 分）设 a、b、c 分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线 xsinA+ay+c 0 与 bxysinB+sinC0 的位置关系是（ ） A垂直 B平行 C重合 D相交但不垂直 3 （5 分）已知下列三个命题 若复数 z1，z2的模相等，则 z1，z2是共轭复数 z1，z2都是复数，若 z1+z2是虚数，则 z1不是 z2的共轭复数 复数 z 是实数的充要条件是 z 则其中正确命题的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 4 （5 分）椭圆+y21 的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将坐标平面沿 y 轴折成一个
2、锐二面 角， 使点 A1在平面 B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点， 则此二面角的大小为 （ ） A30 B45 C60 Darctan2 5 （5 分）已知两圆 C1： （x4）2+y2169，C2： （x+4）2+y29，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ） A1 B+1 C1 D+1 6 （5 分）已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|3，则 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（ ） A B1 C D 7 （5 分）正四棱锥 SABCD 底面边长为 2，高为 1，E 是边 BC 的
3、中点，动点 P 在四棱锥 第 2 页（共 23 页） 表面上运动，并且总保持，则动点 P 的轨迹的周长为（ ） A B C D 8 （5 分）设点 P 为双曲线1（a0，b0）右支上的动点，过点 P 向两条渐近 线作垂线，垂足分别为 A，B，若点 AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率 e 的 取值范围是（ ） A （1， B （1， C，+） D，+） 二、填空题共二、填空题共 6 小题每小题小题每小题 5 分共分共 30 分分 9（5分） 若抛物线y22px的焦点与双曲线1的右焦点重合， 则p的值为 10 （5 分）已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 2，点 E，F
4、 分别是边 BC， AD 的中点则的值为 11 （5 分）已知 A（1，0） ，B（1，0）两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 ，当 0 时，动点 M 的轨迹可以是 （把所有可能的序号都 写上） 圆；椭圆；双曲线；抛物线 12 （5 分）过点的直线 l 与圆 C： （x1）2+y24 交于 A、B 两点，C 为圆心， 当ACB 最小时，直线 l 的方程为 13（5 分） 斜率为 1 的直线 l 与椭圆+y21 相交于 A， B 两点， 则|AB|得最大值为 14 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 P 在正方形 ABCD 的边界及其 内部运动 平面
5、区域 W 由所有满足|A1P|的点 P 组成， 则 W 的面积是 ； 四面体 PA1BC 的体积的最大值是 第 3 页（共 23 页） 三、解答共三、解答共 5 小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证男过程小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证男过程 15 （8 分）已知复数 z 满足|z|，z 的实部大于 0，z2的虚部为 2； （1）求复数 z； （2）设复数 z，z2，zz2之在复平面上对应的点分别为 A，B，C，求（+） 的 值 16 （8 分）如图在AOB 中，AOB90，AO2，OB1，AOC 可以通过AOB 以 直线 AO 为轴旋转得到，且 OBOC，点 D 为斜边 AB
6、 的中点 （1）求异面直线 OB 与 CD 所成角的余弦值； （2）求直线 OB 与平面 COD 所成角的正弦值 17 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形 ABCD 为 边长为的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 PABC 中： （）证明：平面 PAC平面 ABC； （）求二面角 APCB 的余弦值； （）若点 M 在棱 PC 上，满足，点 N 在棱 BP 上，且 BM AN，求的取值范围 第 4 页（共 23 页） 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy20，抛物线 C：y22px （p0） （1）若
7、直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q 求证：线段 PQ 的中点坐标为（2p，p） ； 求 p 的取值范围 19 （12 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动， 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动， 且 DNON1， MN3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭 圆记为 C，以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 （1）求
8、椭圆 C 的方程； （2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y0 和 l2：x+2y0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求 出该最小值；若不存在，说明理由 第 5 页（共 23 页） 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年北京市学年北京市 101 中学高二（上）期末数学试卷中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题每小题小题每小题 5 分共分共 40 分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求
9、的 一项一项 1 （5 分）复数 z，则|z|（ ） A1 B2 C D 【分析】利用复数的运算法则即可得出 【解答】解：i， |z|1 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题 2 （5 分）设 a、b、c 分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线 xsinA+ay+c 0 与 bxysinB+sinC0 的位置关系是（ ） A垂直 B平行 C重合 D相交但不垂直 【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于1，故两 直线垂直 【解答】解：两直线的斜率分别为和 ， ABC 中，由正弦定理得2R，R 为三角形的外接圆半径， 斜率之积等于，故两直线垂
10、直， 故选：A 【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件 3 （5 分）已知下列三个命题 若复数 z1，z2的模相等，则 z1，z2是共轭复数 z1，z2都是复数，若 z1+z2是虚数，则 z1不是 z2的共轭复数 复数 z 是实数的充要条件是 z 第 7 页（共 23 页） 则其中正确命题的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】举反例，例如 z11+i，z21i；利用逆否命题与原命题同真同假来判 断；分别阐述充分性和必要性即可 【解答】解：z11+i，z21i 的模相等，但不是共轭复数，即错误 其逆否命题为“若 z1是 z2的共轭复
11、数，则 z1+z2不是虚数” ，显然该命题是真命题，即 正确； 充分性：若 z 是实数，不妨设 za，则，所以 z ，是充分条件； 必要性：若 z ，则复数 z 的虚部一定为 0，所以复数 z 是实数，是必要条件，即正 确 故选：C 【点评】本题考查的是复数的概念，正确理解共轭复数是解决本题的关键，属于基础题 4 （5 分）椭圆+y21 的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将坐标平面沿 y 轴折成一个锐二面 角， 使点 A1在平面 B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点， 则此二面角的大小为 （ ） A30 B45 C60 Darctan2 【分析】由已知中椭圆的长轴为 A1A2，短轴为
12、B1B2，将坐标平面沿 y 轴折成 一个二面角，使点 A1在平面 B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，我们可以画出满 足条件的图象，利用图象的直观性，分析出FOA1即为所求二面角的平面角，解三角形 FOA1即可求出二面角的大小 【解答】解：由题意画出满足条件的图象如下图所示： 由图可得FOA1即为所求二面角的平面角 椭圆的标准方程为， 则 OA12，OF 第 8 页（共 23 页） cosFOA1 FOA130 故选：A 【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中根据已知条件画出满足条件 的图象，结合图象分析出满足条件的二面角的平面角是解答本题的关键 5 （5 分）已知两圆 C
13、1： （x4）2+y2169，C2： （x+4）2+y29，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ） A1 B+1 C1 D+1 【分析】 根据两圆外切和内切的判定， 圆心距与两圆半径和差的关系， 设出动圆半径为 r， 消去 r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心 M 的轨迹，进而可求其方程 【解答】解：设动圆圆心 M（x，y） ，半径为 r， 圆 M 与圆 C1： （x4）2+y2169 内切，与圆 C2： （x+4）2+y29 外切， |MC1|13r，|MC2|r+3， |MC1|+|MC2|168， 由椭圆的定义，M 的轨迹为以 C1
14、，C2为焦点的椭圆， 可得 a8，c4；则 b2a2c248； 动圆圆心 M 的轨迹方程：+1 故选：D 【点评】考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，要注意椭圆方程中 三个参数的关系：b2a2c2，属中档题 6 （5 分）已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|3，则 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（ ） A B1 C D 第 9 页（共 23 页） 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的 距离等于到准线的距离，列出方程求出 A，B 的中点横坐标，即可得到线段 AB 的中点到 y 轴的距离
15、【解答】解：由于 F 是抛物线 y2x 的焦点， 则 F（，0） ，准线方程 x， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） |AF|+|BF|x1+x2+3， 解得 x1+x2， 线段 AB 的中点横坐标为 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 故选：C 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题 7 （5 分）正四棱锥 SABCD 底面边长为 2，高为 1，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥 表面上运动，并且总保持，则动点 P 的轨迹的周长为（ ） A B C D 【分析】根据题意可知点 P 的轨迹为三角形 EFG，其中 G、F 为中点，根据中位线定
16、理 求出 EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长 【解答】解：由题意知：点 P 的轨迹为如图所示的三角形 EFG，其中 G、F 为中点， EF， SB GEGF 轨迹的周长为 故选：B 第 10 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想 象能力，计算推理能力，属于中档题 8 （5 分）设点 P 为双曲线1（a0，b0）右支上的动点，过点 P 向两条渐近 线作垂线，垂足分别为 A，B，若点 AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率 e 的 取值范围是（ ） A （1， B （1， C，+） D，+） 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意
17、可得渐近线 y的倾斜角不大于 45，即 有斜率大小于等于，即为1，运用离心率公式和双曲线的离心率范围，即可得到所求 范围 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为 yx， 由题意，A，B 始终在第一或第四象限内， 则有渐近线 y的倾斜角不大于 45， 有斜率小于等于 1，即为1， 双曲线离心率 e， 又 e1，即有 e 的范围为（1， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用和离心率 的求法，考查运算能力，属于中档题 二、填空题共二、填空题共 6 小题每小题小题每小题 5 分共分共 30 分分 9 （5 分） 若抛物线 y22px 的焦点与双曲线1
18、 的右焦点重合， 则 p 的值为 6 【分析】先根据双曲线的方程求得其右焦点的坐标，进而根据抛物线的性质求得 q 【解答】解：双曲线的 a，b 第 11 页（共 23 页） c3 右焦点 F（3，0） 抛物线 y22px 的焦点（3，0） ， 故答案为：6 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征考查了考生对双曲线和抛物线简单性质 的应用 10 （5 分）已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 2，点 E，F 分别是边 BC， AD 的中点则的值为 1 【分析】 由题意可得， 再利用两个向量的数量积的定义求得结果 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 ， 1， 故答案为：1
19、 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积 的定义，属于中档题 11 （5 分）已知 A（1，0） ，B（1，0）两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 ，当 0 时，动点 M 的轨迹可以是 （把所有可能的序 号都写上） 圆；椭圆；双曲线；抛物线 【分析】利用，可得轨迹方程，利用 0，可得动点 M 的轨迹 【解答】解：设 M（x，y） ，则 N（x，0） 因为， 所以 y2（x+1） （1x） ， 即 x2+y2， 当 0 时，是双曲线的轨迹方程 当 1 时，是圆的轨迹方程； 当 0 且 1 时，是椭圆的轨迹方程； 第 12 页（共 23 页）
20、故答案为： 【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分析问题解 决问题的能力以及计算能力 12 （5 分）过点的直线 l 与圆 C： （x1）2+y24 交于 A、B 两点，C 为圆心， 当ACB 最小时，直线 l 的方程为 2x4y+30 【分析】 研究知点在圆内， 过它的直线与圆交于两点 A， B， 当ACB 最小时， 直线 l 与 CM 垂直，故先求直线 CM 的斜率，再根据充要条件求出直线 l 的斜率，由点斜 式写出其方程 【解答】解：验证知点在圆内， 当ACB 最小时，直线 l 与 CM 垂直， 由圆的方程，圆心 C（1，0） kCM2， kl l：y1（x
21、） ，整理得 2x4y+30 故应填 2x4y+30 【点评】本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为1，以及用 点斜式写出直线的方程 13（5分） 斜率为1的直线l与椭圆+y21相交于A， B两点， 则|AB|得最大值为 【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去 y，根据判别式大于 0 求得 t 的范围，进 而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用 t 的范围求得|AB|的最大值 【解答】解：设直线 l 的方程为 yx+t，代入椭圆+y21 消去 y 得x2+2tx+t210， 由题意得（2t）25（t21）0，即 t25 弦长|AB|4当 t0 时取最大值 故答案为：
22、第 13 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系常需要把直线与椭圆方程联 立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口 14 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 P 在正方形 ABCD 的边界及其 内部运动 平面区域 W 由所有满足|A1P|的点 P 组成， 则 W 的面积是 ； 四面体 PA1BC 的体积的最大值是 【分析】由已知可得平面区域 W 是以 A 为圆心，以 1 和为半径的圆环，由圆的面 积公式求得 W 的面积；由题意可得，当 P 在边 AD 上时，四面体 PA1BC 的体积有最大 值，再由棱锥体积公式求解 【解答】解：
23、连接 AP，则 A1AAP， A1A2，由|A1P|，1AP， 以 A 为圆心，以 1 和为半径作圆交正方形 ABCD 所得圆环， W 的面积是； 由 题 意 可 知 ， 当 P 在 边 AD 上 时 ， 四 面 体 P A1BC 的 体 积 的 最 大 值 是 故答案为：， 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题 三、解答共三、解答共 5 小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证男过程小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证男过程 15 （8 分）已知复数 z 满足|z|，z 的实部大于 0，z2的虚部为 2； （1）求复数 z； （2）设复数 z，z2，
24、zz2之在复平面上对应的点分别为 A，B，C，求（+） 的 值 【分析】 （1）设复数 zx+yi，x、yR；列方程组求得 x、y 的值，得出复数 z； 第 14 页（共 23 页） （2）求出复数 z、z2和 zz2对应的点 A、B、C 的坐标，计算（+） 的值 【解答】解： （1）设复数 zx+yi，x、yR； 由|z|，得 x2+y22； 又 z 的实部大于 x0， z2x2y2+2xyi 的虚部为 2xy2， 所以 xy1； 解得 x1，y1； 所以复数 z1+i； （2）复数 z1+i，z2（1+i）22i，zz2（1+i）2i1i； 则 A（1，1） ，B（0，2） ，C（1，1）
25、 ； 所以（+） （1，3） （1，1）11+3（1）2 【点评】本题考查了复数的代数形式运算问题，也考查了平面向量的运算问题，是基础 题 16 （8 分）如图在AOB 中，AOB90，AO2，OB1，AOC 可以通过AOB 以 直线 AO 为轴旋转得到，且 OBOC，点 D 为斜边 AB 的中点 （1）求异面直线 OB 与 CD 所成角的余弦值； （2）求直线 OB 与平面 COD 所成角的正弦值 【分析】 （1）以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线 OB 与 CD 所成角的余弦值 （2） 求出平面 COD 的法
26、向量， 利用向量法能求出直线 OB 与平面 COD 所成角的正弦值 【解答】解： （1）以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐 标系， 第 15 页（共 23 页） O（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C（1，0，0） ，A（0，0，2） ，D（0，1） ， （0，1，0） ，（1，） ， 设异面直线 OB 与 CD 所成角为 ， 则 cos， 异面直线 OB 与 CD 所成角的余弦值为 （2）（0，1，0） ，（1，0，0） ，（0，1） ， 设平面 COD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y2，得 （0，2，1） ， 设直线 OB 与
27、平面 COD 所成角为 ， 则直线 OB 与平面 COD 所成角的正弦值为： sin 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 17 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形 ABCD 为 第 16 页（共 23 页） 边长为的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 PABC 中： （）证明：平面 PAC平面 ABC； （）求二面角 APCB 的余弦值； （）若点 M 在棱 PC 上，满足，点 N 在棱 BP 上，且 BM AN，求的取值范围 【分
28、析】 （）法一：设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO推导出 POAC，POOB，从 而 PO平面 ABC，由此能证明平面 PAC平面 ABC 法二：设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO推导出 POAC，POAPOBPOC， POAPOBPOC90，进而 POOB，由此能证明 PO平面 ABC，从而平面 PAC平面 ABC 法三：设 AC 的中点为 O，连接 PO，推导出 POAC，设 AB 的中点 Q，连接 PQ，OQ 及 OB推导出 OQABPQAB从而 AB平面 OPQ，进而 OPAB，由此能证明 PO平面 ABC，从而平面 PAC平面 ABC （）由 PO平面 ABC，OBAC，
29、建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A PCB 的余弦值 （）设，01，利用向量法能求出的取值范围 【解答】 （本题满分 14 分） 证明： （）证法一：设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO 由题意，PO1，AOBOCO1 因为 在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点 所以 POAC， 第 17 页（共 23 页） 因为 在POB 中，PO1，OB1， 所以 POOB 因为 ACOBO，AC，OB平面 ABC 所以 PO平面 ABC 因为 PO平面 PAC（4 分） 所以 平面 PAC平面 ABC 证法二： 设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO 因为 在PAC 中，PAP
30、C，O 为 AC 的中点， 所以 POAC， 因为 PAPBPC，POPOPO，AOBOCO 所以POAPOBPOC 所以POAPOBPOC90 所以 POOB 因为 ACOBO，AC，OB平面 ABC 所以 PO平面 ABC 因为 PO平面 PAC（4 分） 所以 平面 PAC平面 ABC 证法三：设 AC 的中点为 O，连接 PO，因为在PAC 中，PAPC， 所以 POAC 设 AB 的中点 Q，连接 PQ，OQ 及 OB 因为 在OAB 中，OAOB，Q 为 AB 的中点 所以 OQAB 因为 在PAB 中，PAPB，Q 为 AB 的中点 所以 PQAB 因为 PQOQQ，PQ，OQ平
31、面 OPQ 所以 AB平面 OPQ 因为 OP平面 OPQ 所以 OPAB 因为 ABACA，AB，AC平面 ABC 第 18 页（共 23 页） 所以 PO平面 ABC 因为 PO平面 PAC（4 分） 所以 平面 PAC平面 ABC 解： （）由 PO平面 ABC，OBAC，如图建立空间直角坐标系，则 O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，B（0，1，0） ，A（1，0，0） ，P（0，0，1） 由 OB平面 APC，故平面 APC 的法向量为 由， 设平面 PBC 的法向量为，则 由得： 令 x1，得 y1，z1，即 由二面角 APCB 是锐二面角， 所以二面角 APCB 的余弦值为（
32、9 分） （）设，01， ， ， 令 得（1） 1+（1） （1）+0 即， 是关于 的单调递增函数， 当时， 所以 （14 分） 第 19 页（共 23 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两线段比值的求 法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，是中档题 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy20，抛物线 C：y22px （p0） （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q 求证：线段
33、 PQ 的中点坐标为（2p，p） ； 求 p 的取值范围 第 20 页（共 23 页） 【分析】 （1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程 （2） ：设点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，通过抛物线方程，求解 kPQ，通过 P，Q 关于直 线 l 对称，点的 kPQ1，推出，PQ 的中点在直线 l 上，推出2 p，即可证明线段 PQ 的中点坐标为（2p，p） ； 利用线段 PQ 中点坐标（2p，p） 推出，得到关于 y2+2py+4p2 4p0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 p 的范围 【解答】解： （1）l：xy20，l 与 x 轴的交点坐标（2，0） ， 即抛物线
34、的焦点坐标（2，0） ， 抛物线 C：y28x （2）证明：设点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则：， 即：，kPQ， 又P，Q 关于直线 l 对称，kPQ1，即 y1+y22p， 又 PQ 的中点在直线 l 上，2p， 线段 PQ 的中点坐标为（2p，p） ； 因为 PQ 中点坐标（2p，p） ，即 ，即关于 y2+2py+4p24p0，有两个不相等的实数根， 0， （2p）24（4p24p）0， 第 21 页（共 23 页） p 【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想 以及计算能力 19 （12 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示O 是滑槽
35、AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动， 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动， 且 DNON1， MN3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭 圆记为 C，以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y0 和 l2：x+2y0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求 出该最小值；若不存在，说明理由 【分析】 （1
36、）根据条件求出 a，b 即可求椭圆 C 的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求 解即可 【解答】解： （1）设 D（t，0） ，|t|2， N（x0，y0） ，M（x，y） ，由题意得2， 且|1， （tx，y）2（x0t，y0） ，且， 即，且 t（t2x0）0， 由于当点 D 不动时，点 N 也不动，t 不恒等于 0， 于是 t2x0，故 x0，y0， 第 22 页（共 23 页） 代入 x02+y021，得方程为 （2） 当直线 l的斜率 k 不存在时， 直线 l为： x4或 x4， 都有SOPQ， 直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l
37、 为：ykx+m， （k） ， 由消去 y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2160， 直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， 64k2m24（1+4k2） （4m216）0，即 m216k2+4， 由，可得 P（，） ，同理得 Q（，） ， 原点 O 到直线 PQ 的距离 d和|PQ|xPxQ|， 可得 SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|， 将代入得 SOPQ|8|， 当 k2时，SOPQ8（）8（1+）8， 当 0k2时，SOPQ8|8（）8（1+） ， 0k2时，014k21，2， SOPQ8（1+）8，当且仅当 k0 时取等号， 当 k0 时，SOPQ的最小值为 8， 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8 第 23 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合 三角形的面积公式是解决本题的关键综合性较强，运算量较大
