2019-2020学年北京师大二附中高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

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1、若,则下列不等式:a+bab;|a|b|;ab;abb2中, 正确的不等式有( ) A B C D 7 (3 分)已知 x,y0 且 x+4y1,则的最小值为( ) A8 B9 C10 D11 8 (3 分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件为激发大家学习数学的 兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学 问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第 第 2 页(共 16 页) 一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推求满足 如下条件的最小整数 N:N100

2、 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激 活码是( ) A440 B330 C220 D110 二、填空题二、填空题 9 (3 分)在等比数列an中,若 a1+a218,a2+a312,则公比 q 为 10 (3 分)若双曲线的一个顶点坐标为(3,0) ,焦距为 10,则它的标准方程为 11 (3 分)椭圆+1 的焦距为 2,则 m 的值等于 12 (3 分)若对任意正实数 a,不等式 x21+a 恒成立,则实数 x 的最小值为 13 (3 分)若命题“xR,有 x2mxm0”是假命题,则实数 m 的取值范围是 14 (3 分)在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下

3、关系:甲、丙阅读量 之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量 大于乙、丙阅读量之和那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 三、解答题三、解答题 15已知等差数列an满足 a32,前 3 项和 S3 ()求an的通项公式; ()设等比数列bn满足 b1a1,b4a15,求bn前 n 项和 Tn 16求过点,离心率的双曲线的标准方程 17已知 f(x)ax2+xa,aR (1)若 a1,解不等式 f(x)1; (2)若 a0,解不等式 f(x)1 18如图,椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线交椭圆 于 P,Q 两点,且 PQPF1

4、 ()若|PF1|2+|2,求椭圆的标准方程; ()若|PF1|PQ|,求椭圆的离心率 e 第 3 页(共 16 页) 19设函数 f(x)x+,x0,+) (1)当 a2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 0a1 时,求函数 f(x)的最小值 20有限数列 An:a1,a2,an (n3)同时满足下列两个条件: 对于任意的 i,j(1ijn) ,aiaj; 对于任意的 i,j,k(1ijkn) ,aiaj,ajak,aiak三个数中至少有一个数是数列 An中的项 ()若 n4,且 a11,a22,a3a,a46,求 a 的值; ()证明:2,3,5 不可能是数列 An中的项; ()求

5、 n 的最大值 第 4 页(共 16 页) 2019-2020 学年北京师大二附中高二(上)期中数学试卷学年北京师大二附中高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 (3 分)过椭圆+1(ab0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2为右 焦点,若F1PF260,则椭圆的离心率为( ) A B C D 【分析】 把 xc 代入椭圆方程求得 P 的坐标, 进而根据F1PF260推断出 整理得e2+2e0,进而求得椭圆的离心率 e 【解答】解:由题意知点 P 的坐标为(c,)或(c,) , F1PF260, , 即 2acb2(a2c2) e

6、2+2e0, e或 e(舍去) 故选:B 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质,考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析 推理的能力 2 (3 分)在等差数列an中,若 a24,a42,则 a6( ) A1 B0 C1 D6 【分析】直接利用等差中项求解即可 【解答】解:在等差数列an中,若 a24,a42,则 a4 (a2+a6)2, 解得 a60 故选:B 【点评】本题考查等差数列的性质,等差中项个数的应用,考查计算能力 第 5 页(共 16 页) 3 (3 分)椭圆 2x2+3y212 的两焦点之间的距离为( ) A2 B C2 D 【分析】把椭圆方程化为标准形式,求出 a,b 然后求出焦

7、距即可 【解答】解:椭圆 2x2+3y212 化为,所以 a26;b24,所以 c22,所以 2c 椭圆 2x2+3y212 的两焦点之间的距离为: 故选:C 【点评】本题是基础题,考查椭圆的基本性质,注意 a,b,c,的换算关系即可 4 (3 分)已知双曲线的一条渐近线方程为,一个 焦点坐标为(2,0) ,则双曲线 C 的方程为( ) A B C D 【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标,得到关系式,求出 a、b,即可得 到双曲线方程 【解答】解:双曲线的一条渐近线方程是, 可得,它的一个焦点坐标为(2,0) ,可得 c2,即 a2+b24, 解得 a1,b, 所求双曲线方程为:

8、故选:C 【点评】本题考查双曲线的方程的求法,双曲线的简单性质的应用,考查计算能力 5 (3 分) “ (x1) (x+2)0”是“x1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 6 页(共 16 页) 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解:由(x1) (x+2)0 得 x1 或 x2, 则“ (x1) (x+2)0”是“x1”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 6 (3 分)若,则下列不等式:a+bab;|a|b|;ab;abb2中, 正

9、确的不等式有( ) A B C D 【分析】由,可得 ba0再利用不等式的基本性质即可得出 【解答】解:,ba0 则下列不等式:a+b0ab,正确; |a|b|,不正确; ab,不正确; abb2,正确 正确的不等式有 故选:C 【点评】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 7 (3 分)已知 x,y0 且 x+4y1,则的最小值为( ) A8 B9 C10 D11 【分析】由() (x+4y) ,展开多项式乘多项式,然后利用基本不等式求最 值 【解答】解:x,y0 且 x+4y1, () (x+4y)1+4+ 当且仅当 x,y时,等号成立 的最小值为 9 故选:B

10、 第 7 页(共 16 页) 【点评】本题考查利用基本不等式求最值,关键是“1”的灵活运用,是基础题 8 (3 分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件为激发大家学习数学的 兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学 问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第 一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推求满足 如下条件的最小整数 N:N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激 活码是( ) A440 B330 C220 D110 【分析】

11、方法一:由数列的性质,求得数列bn的通项公式及前 n 项和,可知当 N 为 时(nN+) ,数列an的前 N 项和为数列bn的前 n 项和,即为 2n+1n2,容 易得到 N100 时,n14,分别判断,即可求得该款软件的激活码; 方法二:由题意求得数列的每一项,及前 n 项和 Sn2n+12n,及项数,由题意可知: 2n+1为 2 的整数幂只需将2n 消去即可,分别即可求得 N 的值 【解答】解:设该数列为an,设 bn+2n+11, (nN+) ,则 ai, 由题意可设数列an的前 N 项和为 SN, 数列bn的前 n 项和为 Tn, 则 Tn211+221+ +2n+112n+1n2,

12、可知当 N 为时(nN+) ,数列an的前 N 项和为数列bn的前 n 项和,即为 2n+1 n2, 容易得到 N100 时,n14, A 项,由435,440435+5,可知 S440T29+b5230292+251230,故 A 项符合题意 B 项,仿上可知325,可知 S330T25+b5226252+251226+4,显然不 为 2 的整数幂,故 B 项不符合题意 C 项,仿上可知210,可知 S220T20+b10221202+2101221+21023, 显然不为 2 的整数幂,故 C 项不符合题意 第 8 页(共 16 页) D 项,仿上可知105,可知 S110T14+b521

13、5142+251215+15,显然不 为 2 的整数幂,故 D 项不符合题意 故选 A 方 法 二 : 由 题 意 可 知 :, , 根据等比数列前 n 项和公式,求得每项和分别为:211,221,231,2n1, 每项含有的项数为:1,2,3,n, 总共的项数为 N1+2+3+n, 所有项数的和为 Sn: 211+221+231+2n1 (21+22+23+2n) n n2n+12n, 由题意可知:2n+1为 2 的整数幂只需将2n 消去即可, 则1+2+(2n)0,解得:n1,总共有+23,不满足 N100, 1+2+4+(2n)0,解得:n5,总共有+318,不满足 N100, 1+2+

14、4+8+(2n) 0, 解得: n13, 总共有+495, 不满足 N100, 1+2+4+8+16+(2n)0,解得:n29,总共有+5440,满足 N 100, 该款软件的激活码 440 故选:A 【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前 n 项和,考查计算能力,属于 难题 二、填空题二、填空题 9 (3 分)在等比数列an中,若 a1+a218,a2+a312,则公比 q 为 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解:a1+a218,a2+a312,则公比 q 第 9 页(共 16 页) 故答案为: 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力

15、与计算能力,属于 中档题 10(3 分) 若双曲线的一个顶点坐标为 (3, 0) , 焦距为 10, 则它的标准方程为 【分析】根据顶点坐标求得 a,根据焦距求得 c,进而根据 b2c2a2求得 b,进而求得 双曲线的标准方程 【解答】解:依题意可知 a3,c5 b4 根据顶点坐标可知焦点在 x 轴, 双曲线的方程为 故答案为: 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程解题的关键是挖掘题设中的信息,充分利 用 a,b 和 c 的关系,同时注意焦点是在 x 轴还是在 y 轴 11 (3 分)椭圆+1 的焦距为 2,则 m 的值等于 3 或 5 【分析】由题意可得:c1,再分别讨论焦点的位置进而求出

16、 m 的值 【解答】解:由题意可得:c1 当椭圆的焦点在 x 轴上时,m41,解得 m5 当椭圆的焦点在 y 轴上时,4m1,解得 m3 故答案为:3 或 5 【点评】本题只要考查椭圆的标准方程,以及椭圆的有关性质 12 (3 分)若对任意正实数 a,不等式 x21+a 恒成立,则实数 x 的最小值为 1 【分析】由恒成立转化为最值问题,由此得到二次函数不等式,结合图象得到 x 的取值 范围 【解答】解:对任意正实数 a,不等式 x21+a 恒成立, 等价于 ax21, 第 10 页(共 16 页) a(x21)max 0(x21)max 1x1 实数 x 的最小值为1 【点评】本题考查恒成立

17、转化为最值问题,二次函数不等式,数形结合,像得到 x 的取 值范围 13 (3 分)若命题“xR,有 x2mxm0”是假命题,则实数 m 的取值范围是 (4, 0) 【分析】写出该命题的否定命题,根据否定命题求出 m 的取值范围即可 【解答】解:命题“xR,有 x2mxm0”是假命题, 它的否定命题是“xR,有 x2mxm0” ,是真命题, 即 m2+4m0; 解得4m0, m 的取值范围是(4,0) 故答案为: (4,0) 【点评】本题考查了特称命题与全称命题之间的关系,解题时应注意特称命题的否定是 全称命题,全称命题的否定是特称命题,是基础题 14 (3 分)在一次调查中,甲、乙、丙、丁四

18、名同学的阅读量有如下关系:甲、丙阅读量 之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量 大于乙、丙阅读量之和那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 甲丁乙丙 【分析】根据演绎推理结合已知的语句即可判断 【解答】解:因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和,甲、乙阅读量之和等于大 于丙、丁阅读量之和, 所以乙的阅读量大于丙的阅读量,甲的阅读量大于丁的阅读量, 因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和, 所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙, 故答案为:甲丁乙丙 【点评】本题考查了演绎推理的问题,关键是理解语句之间的关系,属于基础题 三、解答题三、解答题

19、第 11 页(共 16 页) 15已知等差数列an满足 a32,前 3 项和 S3 ()求an的通项公式; ()设等比数列bn满足 b1a1,b4a15,求bn前 n 项和 Tn 【分析】 (I)设等差数列an的公差为 d,由 a32,前 3 项和 S3可得 a1+2d2, 3a1+3d,解得 a1,d即可得出 (II)b1a11,b4a158,可得等比数列bn的公比 q 满足 q38,解得 q利用求 和公式即可得出 【解答】解: (I)设等差数列an的公差为 d,a32,前 3 项和 S3 a1+2d2,3a1+3d,解得 a11,d an1+(n1) (II)b1a11,b4a158,可得

20、等比数列bn的公比 q 满足 q38,解得 q2 bn前 n 项和 Tn2n1 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题 16求过点,离心率的双曲线的标准方程 【分析】由已知分焦点在 x 轴或 y 轴上分别列关于 a,b,c 的方程组求解 【解答】解:当双曲线焦点在 x 轴上时,点(3,)在双曲线 C 上,且双曲线 C 的离心率 e, ,解得 a21,b2 双曲线的标准方程为; 当双曲线焦点在 y 轴上时, 点 (3, ) 在双曲线 C 上, 且双曲线 C 的离心率 e, 第 12 页(共 16 页) ,此方程组无解 综上,双曲线 C 的

21、标准方程为 【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法,体现了分类讨论的数学思想方法,是基础 题 17已知 f(x)ax2+xa,aR (1)若 a1,解不等式 f(x)1; (2)若 a0,解不等式 f(x)1 【分析】 (1)若 a1,不等式 f(x)1 可化为:x2+x11,即 x2+x20,解得答 案; (2)若 a0,不等式 f(x)1 可化为:ax2+xa10,即(x1) (x+)0, 分类讨论可得不同情况下不等式的解集 【解答】解: (1)若 a1,不等式 f(x)1 可化为:x2+x11,即 x2+x20, 解得:x(,21,+) , (2)若 a0,不等式 f(x)1 可化为:a

22、x2+xa10,即(x1) (x+)0, 当1,即 a时,不等式的解集为(,1) ; 当1,即 a时,不等式的解集为; 当1,即a0 时,不等式的解集为(1,) 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质, 是解答的关键 18如图,椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线交椭圆 于 P,Q 两点,且 PQPF1 ()若|PF1|2+|2,求椭圆的标准方程; ()若|PF1|PQ|,求椭圆的离心率 e 第 13 页(共 16 页) 【分析】 ()由椭圆的定义,2a|PF1|+|PF2|,求出 a,再根据 2c|F1F2| 2,求出 c,进而

23、求出椭圆的标准方程; ()由椭圆的定义和勾股定理,得|QF1|PF1|4a2|PF1|,解得|PF1|2(2) a,从而|PF2|2a|PF1|2(1)a,再一次根据勾股定理可求出离心率 【解答】解: ()由椭圆的定义,2a|PF1|+|PF2|2+24,故 a2, 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF2PF1,因此 2c|F1F2|2, 即 c,从而 b1, 故所求椭圆的标准方程为 ()连接 F1Q,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|2a,|QF1|+|QF2|2a, 从而由|PF1|PQ|PF2|+|QF2|, 有|QF1|4a2|PF1|, 又由 PQPF1,|PF1|PQ|,知|QF1

24、|PF1|4a2|PF1|,解得|PF1|2(2)a, 从而|PF2|2a|PF1|2(1)a, 由 PF2PF1, 知 2c|F1F2|, 因此 e 【点评】本题考查了椭圆的定义 2a|PF1|+|PF2|,椭圆的标准方程,直角三角形的勾股 定理,属于中档题 19设函数 f(x)x+,x0,+) (1)当 a2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 0a1 时,求函数 f(x)的最小值 【分析】 (1)当 a2 时,将函数 f(x)变形,然后利用均值不等式即可求出函数 f(x) 第 14 页(共 16 页) 的最小值; (2)先取值任取 0x1x2然后作差 f(x1)f(x2) ,判定其

25、符号即可判定函数 f(x) 在0,+)上的单调性,从而求出函数的最小值 【解答】解: (1)当 a2 时,f(x)x+x+1+121 当且仅当 x+1,即 x1 时取等号, f(x)min21 (2)当 0a1 时,任取 0x1x2, f(x1)f(x2)(x1x2)1, 0a1, (x1+1) (x2+1)1, 10, x1x2,f(x1)f(x2) ,即 f(x)在0,+)上为增函数, f(x)minf(0)a 【点评】本题主要考查了函数的最值的求解,以及函数单调性的判断与证明,同时考查 了计算能力,属于中档题 20有限数列 An:a1,a2,an (n3)同时满足下列两个条件: 对于任意

26、的 i,j(1ijn) ,aiaj; 对于任意的 i,j,k(1ijkn) ,aiaj,ajak,aiak三个数中至少有一个数是数列 An中的项 ()若 n4,且 a11,a22,a3a,a46,求 a 的值; ()证明:2,3,5 不可能是数列 An中的项; ()求 n 的最大值 【分析】 ()利用,推出 a 的范围利用,求解 a 的值即可 ()利用反证法:假设 2,3,5 是数列 An中的项,利用已知条件,推出 an2 an3,得到矛盾结果 ()n 的最大值为 9,证明如下:(8 分) (1)令,则 A9符合、(11 分) (2)设 An:a1,a2,an(n3)符合、, ()An中至多有

27、三项,其绝对值大 第 15 页(共 16 页) 于 1 利用反证法证明假设 An中至少有四项,其绝对值大于 1,不正确; ()An中至多有三 项,其绝对值大于 0 且小于 1利用反证法推出矛盾结论、 ()An中至多有两项绝对值 等于 1 ()An中至多有一项等于 0推出 n 的最大值为 9 【解答】 (共 14 分) 解: ()由,得 2a6 由,当 i2,j3,k4 时.2a,6a,12 中至少有一个是数列 1,2,a,6 中的项,但 6a6,126,故 2a6,解得 a3 经检验,当 a3 时,符合题意(3 分) ()假设 2,3,5 是数列 An中的项,由可知:6,10,15 中至少有一

28、个是数列 An 中的项,则有限数列 An的最后一项 an5,且 n4 由,anan1an2an31(4 分) 对于数 an2,an1,an,由可知:an2an1an;对于数 an3,an1,an,由可知: an3an1an(6 分) 所以 an2an3,这与矛盾 所以 2,3,5 不可能是数列 An中的项(7 分) ()n 的最大值为 9,证明如下:(8 分) (1)令,则 A9符合、(11 分) (2)设 An:a1,a2,an(n3)符合、,则: ()An中至多有三项,其绝对值大于 1 假设 An中至少有四项,其绝对值大于 1,不妨设 ai,aj,ak,al是 An中绝对值最大的四 项,其

29、中 1|ai|aj|ak|al| 则对 ai,ak,al有|aial|al|,|akal|al|,故 aial,akal均不是数列 An中的项,即 aiak是数 列 An中的项 同理:ajak也是数列 An中的项 但|aiak|ak|,|ajak|ak| 所以 aiakajakal 所以 aiaj,这与矛盾 第 16 页(共 16 页) ()An中至多有三项,其绝对值大于 0 且小于 1 假设 An中至少有四项,其绝对值大于 0 且小于 1,类似()得出矛盾 ()An中至多有两项绝对值等于 1 ()An中至多有一项等于 0 综合() , () , () , ()可知 An中至多有 9 项 (14 分) 由(1) , (2)可得,n 的最大值为 9 【点评】本题考查数列的应用,反证法的证明方法,分类讨论思想的应用,难度比较大, 开学分析问题解决问题的能力

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