1、在复平面内，复数 1i 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （4 分）函数 f（x）xlnx 的导数 f（x）为（ ） Alnx+1 Blnx1 C D 3 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 且过原点的圆的方程可以是（ ） A （x1）2+（y1）22 B C （x1）2+（y+1）24 D （x2）2+y24 4 （4 分）双曲线 2x2y24 的焦点坐标为（ ） A和 B和 C和 D和 5 （4 分）如图，曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线 l 过点（2，0） ，且 f（1） 2，则 f（1）的值为（ ） A1 B1 C
2、2 D3 6 （4 分）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到 t0时刻水灌满 容器时停止注水，此时水面高度为 h0水面高度 h 是时间 t 的函数，这个函数图象只可 能是（ ） 第 2 页（共 15 页） A B C D 7 （4 分）设 z 为复数，则“zi”是“iz|z|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）已知直线 l1：mxy+m0 与直线 l2：x+my10 的交点为 Q，椭圆的 焦点为 F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（ ） A2，+） B C2，4 D 二、填空题共二、填空
3、题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 9 （4 分）请写出一个复数 z ，使得 z+2i 为实数 10 （4 分）双曲线 x21 的渐近线方程为 11 （4 分）已知抛物线 y22px 经过点 A（4，4） ，则准线方程为 ，点 A 到焦点的距 离为 12 （4 分）直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线互相垂 直，其中 A 点坐标为（2，2） ，则直线 l 的斜率等于 13 （4 分）已知 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，过点 F1作 x 轴的 垂线，交椭圆 C 于 P，Q 两点当F2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆 C 的离心率为
4、 e1， 当F2PQ 为等边三角形时，椭圆 C 的离心率为 e2，则 e1，e2的大小关系为 e1 e2 （用“” ， “”或“”连接） 14 （4 分）已知 f（x）a（x+b） （x+c） ，g（x）xf（x） （a0） ，则下列命题中所有正确 命题的序号为 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）的单调区间完全一致； 第 3 页（共 15 页） 存在 a，b，cR，使得 f（x）+g（x） ，f（x）g（x）的零点完全相同； 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）分别为奇函数，偶函数； 对任意 a，b，cR，恒有 f（x） ，g（x）的零点个数均为奇数 三、解答题共三、解答
5、题共 4 小题，共小题，共 44 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （12 分）已知圆 C：x2+y24x+a0，点 A（1，2）在圆 C 上 （）求圆心的坐标和圆的半径； （）若点 B 也在圆 C 上，且，求直线 AB 的方程 16（12 分） 已知函数 f （x） ax3+bx2+x+c， 其导函数 yf （x） 的图象如图所示， 过点 和（1，0） （）函数 f（x）的单调递减区间为 ，极大值点为 ； （）求实数 a，b 的值； （）若 f（x）恰有两个零点，请直接写出 c 的值 17 （10 分）已知椭圆 W：（ab0）的离心率，其
6、右顶点 A（2，0） ， 直线 l 过点 B（1，0）且与椭圆交于 C，D 两点 （）求椭圆 W 的标准方程； （）判断点 A 与以 CD 为直径的圆的位置关系，并说明理由 18 （10 分）已知函数（aR） （）如果曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线的斜率是 0，求 a 的值； （）当 a3，x0，1时，求证：f（x）1； （）若 f（x）存在单调递增区间，请直接写出 a 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2018-2019 学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题
7、，小题，每小题每小题 4 分，共分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 （4 分）在复平面内，复数 1i 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据题意，由复数的几何意义可得复数 1i 对应的点为（1，1） ，进而分析 可得答案 【解答】解：根据题意，在复平面内，复数 1i 对应的点为（1，1） ， 在第四象限； 故选：D 【点评】本题考查复数的几何意义，关键是掌握复数的几何意义，属于基础题 2 （4 分）函数 f（x）xlnx 的导数 f（x）为（ ） Alnx+1 Bln
8、x1 C D 【分析】根据题意，由导数的计算公式可得 f（x）（x）lnx+x（lnx），计算可 得答案 【解答】解：根据题意，f（x）xlnx， 其导数 f（x）（x）lnx+x（lnx）lnx+1， 故选：A 【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题 3 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 且过原点的圆的方程可以是（ ） A （x1）2+（y1）22 B C （x1）2+（y+1）24 D （x2）2+y24 【分析】由题意利用圆的标准方程，得出结论 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，由于圆的半径为 2，故排除 A、B； 再把原点（0，0）代
9、入，只有 D 满足，C 不满足， 故选：D 【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题 第 5 页（共 15 页） 4 （4 分）双曲线 2x2y24 的焦点坐标为（ ） A和 B和 C和 D和 【分析】根据双曲线的标准方程和简单几何性质，先求得半焦距 c，可得它的焦点坐标 【解答】解：双曲线 2x2y24 的标准方程为1，半焦距 c， 焦点坐标为（，0） ， 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属于基础题 5 （4 分）如图，曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线 l 过点（2，0） ，且 f（1） 2，则 f（1）的值为（ ） A1 B1 C2 D3
10、 【分析】利用已知条件求出切线方程，然后利用求解 f（1）即可 【解答】解：曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线 l 过点（2，0） ，且 f（1） 2， 可得切线方程：y2（x2） ，因为切点在曲线上也在切线上， 所以 f（1）2（12）2 故选：C 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法与应用，是基本知识的考查 6 （4 分）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到 t0时刻水灌满 容器时停止注水，此时水面高度为 h0水面高度 h 是时间 t 的函数，这个函数图象只可 能是（ ） 第 6 页（共 15 页） A B C D 【分析】根据球的形状，结合单位时间内
11、体积的变化情况进行判断 【解答】解：容器是球形，两头体积小，中间体积大， 在一开始单位时间内体积的增长速度比较慢，超过球心后体积的增长率变快， 故对应的图象是 C， 故选：C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象的增长速度是解决本题的 关键 7 （4 分）设 z 为复数，则“zi”是“iz|z|2”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】复数的运算及充分必要条件得：当 zi 时，izi21，又|i|21，即 “zi”是“iz|z|2”的充分条件， 当 zi|z|2时，设 za+bi，则 b0 或 b1，即 zi 或 z
12、0，即“zi”是“i z|z|2”的不必要条件，综合可得解 【解答】解：当 zi 时，izi21，又|i|21，即“zi”是“iz|z|2”的 充分条件， 当 zi|z|2时，设 za+bi，则 b0 或 b1，即 zi 或 z0，即“zi”是“i z|z|2”的不必要条件， 第 7 页（共 15 页） 综合得： “zi”是“iz|z|2”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算及充分必要条件，属简单题 8 （4 分）已知直线 l1：mxy+m0 与直线 l2：x+my10 的交点为 Q，椭圆的 焦点为 F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（ ） A2，+） B
13、C2，4 D 【分析】判断两条直线经过的定点，判断交点所在的位置利用椭圆的定义判断求解即可 【解答】解：椭圆的焦点为 F1（，0） ，F2（，0） ； 直线 l1：mxy+m0 与直线 l2：x+my10 的交点为 Q，两条直线经过定点（1，0） ， （1，0） ， 它们的交点 Q 满足：x2+y21，在椭圆内部，与椭圆的短轴端点相交， 所以|QF1|+|QF2|的取值范围是：2，4 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 9 （4 分）请写出一个复数 z 2i（答案不唯
14、一） ，使得 z+2i 为实数 【分析】由题意取一个复数，虚部为2 即可 【解答】解：取 z2i，则 z+2i0 为实数， 故答案为：2i（答案不唯一） 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的基本概念，是基础题 10 （4 分）双曲线 x21 的渐近线方程为 y2x 【分析】渐近线方程是 0，整理后就得到双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线标准方程为1， 其渐近线方程是0， 第 8 页（共 15 页） 整理得 y2x 故答案为 y2x 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐 近线方程属于基础题 11 （4 分）已知抛物线 y22px 经过点 A（4，4
15、） ，则准线方程为 x1 ，点 A 到焦点 的距离为 5 【分析】利用抛物线经过的点，求出抛物线方程，然后求解点 A 到焦点的距离 【解答】解：抛物线 y22px 经过点 A（4，4） ， 可得 422p4，解得 p2，所以抛物线方程为：y24x， 则准线方程为：x1； 点 A 到焦点的距离为：4（1）5 故答案为：x1；5 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基本知识 的考查 12 （4 分）直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线互相垂 直，其中 A 点坐标为（2，2） ，则直线 l 的斜率等于 【分析】对抛物线，yx，求出 A
16、 处切线的斜率，然后求解 B 的坐标，推出直 线 l 的斜率即可 【解答】解：对抛物线，yx，A 点坐标为（2，2） ，kA2，抛物线在 A，B 两 点处的切线互相垂直，所以 kB，所以 B（，） ， 所以直线 AB 方程的斜率为： 故答案为： 【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质 的合理运用 13 （4 分）已知 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，过点 F1作 x 轴的 第 9 页（共 15 页） 垂线，交椭圆 C 于 P，Q 两点当F2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆 C 的离心率为 e1， 当F2PQ 为等边三角形时，椭圆 C 的离心率为 e2，则
17、e1，e2的大小关系为 e1 e2 （用“” ， “”或“”连接） 【分析】如图所示，把 xc 代入椭圆方程可得：+1，解得 y当 F2PQ 为等腰直角三角形时，可得：2c，化简解得 e1当F2PQ 为等边三角 形时，2c，化简解得 e2 【解答】解：如图所示， 把 xc 代入椭圆方程可得：+1，解得 y 当F2PQ 为等腰直角三角形时，可得：2c，可得 a2c22ac，化为：+2e1 10，0e11 解得 e11 当F2PQ 为等边三角形时，2c，化为：（a2c2）2ac，0e21 化为：+2e20，解得 e2 则 e1，e2的大小关系为 e1e2 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的标准方
18、程及其性质、等腰直角三角形与等边三角形的性质、 一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 14 （4 分）已知 f（x）a（x+b） （x+c） ，g（x）xf（x） （a0） ，则下列命题中所有正确 命题的序号为 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）的单调区间完全一致； 第 10 页（共 15 页） 存在 a，b，cR，使得 f（x）+g（x） ，f（x）g（x）的零点完全相同； 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）分别为奇函数，偶函数； 对任意 a，b，cR，恒有 f（x） ，g（x）的零点个数均为奇数 【分析】考虑 f（x）为二次函数，有两个单调区间；
19、g（x）为三次函数，存在三个单调 区间，可判断； 当 b1，c1 时，f（x）+g（x） ，f（x）g（x）的零点为 1，1，可判断； 求得 f（x） ，g（x）的导数，b+c0 时，可判断；b1，c0 时，可判断 【解答】解：f（x）a（x+b） （x+c） ，g（x）xf（x）ax（x+b） （x+c） ， （a0） ， f（x）为二次函数，有两个单调区间；g（x）为三次函数，存在三个单调区间，故错 误； f（x）+g（x）a（1+x） （x+b） （x+c） ，f（x）g（x）a（1x） （x+b） （x+c） ， 当 b1，c1 时，f（x）+g（x） ，f（x）g（x）的零点为 1，
20、1，故正确； f（x）a（2x+b+c） ，g（x）a3x2+2（b+c）x+bc， 当 b+c0，f（x）2ax 为奇函数，g（x）a3x2+bc为偶函数，故正确； 当 b1，c0 时，f（x）的零点为，g（x）的零点为 0 和，故错误 故答案为： 【点评】本题考查函数的零点和单调性、奇偶性的判断，考查运算能力和推理能力，属 于基础题 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 44 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （12 分）已知圆 C：x2+y24x+a0，点 A（1，2）在圆 C 上 （）求圆心的坐标和圆的半径； （）若点 B
21、 也在圆 C 上，且，求直线 AB 的方程 【分析】 （）将 A 的坐标代入圆的方程可得 a，再将圆的方程化成标准形式可得圆心坐 标和半径； （）根据|AB|2等于直径，可知 AB 过圆心，再由两点式可得直线 AB 的方程 【解答】解： （）因为点 A（1，2）在圆 x2+y24x+a0 上， 所以 1+44+a0 解得 a1 所以圆的方程为 x2+y24x10，即（x2）2+y25 第 11 页（共 15 页） 所以圆心坐标为（2，0） ，圆的半径 r 为 （）因为点 A，点 B 都在圆上，且， 所以直线 AB 经过圆 C 的圆心 所以直线 AB 的斜率 所以直线 AB 的方程为 y2（x2
22、） ，即 y2x+4 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题 16（12 分） 已知函数 f （x） ax3+bx2+x+c， 其导函数 yf （x） 的图象如图所示， 过点 和（1，0） （）函数 f（x）的单调递减区间为 ， ，极大值点为 ； （）求实数 a，b 的值； （）若 f（x）恰有两个零点，请直接写出 c 的值 【分析】 （） 导函数 yf （x）的图象如图所示，过点和（1， 0） 可得： 时，f（x）0；1 时，f（x）0；x1 时，f（x）0，即可得出单调区 间与极值点 （）由 f（x）3ax2+2bx+1，由题意知，即可得出 a，b （） 由（II） 可得：f（x）
23、 x32x2+x+c，由 （I）可得： 为极大值点，1 为极小值点 根 据 f（x）恰有两个零点，可得0，或 f（1）0，解出即可得出 【解答】解： （） 导函数 yf（x）的图象如图所示，过点和（1，0） 可得：时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增；1 时，f（x）0， 此时函数 f（x）单调递减；x1 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增 第 12 页（共 15 页） 函数 f（x）的单调递减区间为 ，极大值点为 故答案为：， （）f（x）3ax2+2bx+1， 由题意知， 即 解得 （）由（II）可得：f（x）x32x2+x+c， 由（I）可得：为极大值点，1 为极小值点 f
24、（x）恰有两个零点， 2+c0，或 f（1）12+1+c0， c或 0 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数 形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17 （10 分）已知椭圆 W：（ab0）的离心率，其右顶点 A（2，0） ， 直线 l 过点 B（1，0）且与椭圆交于 C，D 两点 （）求椭圆 W 的标准方程； （）判断点 A 与以 CD 为直径的圆的位置关系，并说明理由 【分析】 （）由题意可知，b2a2c2，解出即可得出椭圆的标准方 程 （）点 A 在以 CD 为直径的圆上设 C 坐标为（x1，y1） ，D 坐标为（x2，y2） 当直 线
25、 l 斜率不存在时，则 l 的方程为 x1与椭圆方程联立解出只要证明即可得 出点 A 在以 CD 为直径的圆上 第 13 页（共 15 页） 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x1） 由，得（1+3k2） x26k2x+3k240，利用根与系数的关系、向量坐标运算性质只要证明即可 得出点 A 在以 CD 为直径的圆上 【解答】解： （）由题意可知， ， 椭圆的方程为 （）点 A 在以 CD 为直径的圆上设 C 坐标为（x1，y1） ，D 坐标为（x2，y2） 当直线 l 斜率不存在时，则 l 的方程为 x1 由得 不妨设 C（1，1） ，D（1，1） ， 点 A 在以 CD
26、为直径的圆上 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x1） 由，得（1+3k2）x26k2x+3k240 第 14 页（共 15 页） 点 A 在以 CD 为直径的圆上 综上，点 A 在以 CD 为直径的圆上 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系 数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18 （10 分）已知函数（aR） （）如果曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线的斜率是 0，求 a 的值； （）当 a3，x0，1时，求证：f（x）1； （）若 f（x）存在单调递增区间，
27、请直接写出 a 的取值范围 【分析】 （）f（x）axex，由题意知，f（1）0，即可解出 a （）当 a3 时，f（x）3xex令 g（x）f（x） ，g（x）3 ex利用导数研究其单调性即可得出 （III）则 f（x）axex0 在 R 上有解，对 a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性 极值即可得出 【解答】解： （）f（x）axex， 由题意知，f（1）0，即 ae0， ae （）当 a3 时，f（x）3xex 令 g（x）f（x） ， g（x）3ex x0，1，ex1，e因此 g（x）3ex0 恒成立 当 x0，1时，g（x）f（x）单调递增 又f（0）10，f（1）3e0， 第 1
28、5 页（共 15 页） 存在唯一的 x0（0，1） ，使得 f（x0）0 列表如下： x 0 （0，x0） x0 （x0，1） 1 f（x） 1 0 + 3e f（x） 1 单调递减 极小值 单调递增 当 x0，1时， 当 a3，x0，1时，f（x）1 （）f（x）axex， f（x）存在单调递增区间， f（x）axex0 在 R 上有解 分别令 g（x）ex，h（x）ax设直线 h（x）ax 与曲线 g（x）相切于点 P（x0，y0） 设 x00 g（x）ex，则 a，解得 x01 因此要使得 f（x）axex0 在 R 上有解 则 ae 设 x00a0 时，f（x）axex0，在（，0）上一定有解 则 a0 综上可得：a（，0）（e，+） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
