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2018-2019学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、在复平面内,复数 1i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 (4 分)函数 f(x)xlnx 的导数 f(x)为( ) Alnx+1 Blnx1 C D 3 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 且过原点的圆的方程可以是( ) A (x1)2+(y1)22 B C (x1)2+(y+1)24 D (x2)2+y24 4 (4 分)双曲线 2x2y24 的焦点坐标为( ) A和 B和 C和 D和 5 (4 分)如图,曲线 yf(x)在点 P(1,f(1) )处的切线 l 过点(2,0) ,且 f(1) 2,则 f(1)的值为( ) A1 B1 C

2、2 D3 6 (4 分)如图,从上往下向一个球状空容器注水,注水速度恒定不变,直到 t0时刻水灌满 容器时停止注水,此时水面高度为 h0水面高度 h 是时间 t 的函数,这个函数图象只可 能是( ) 第 2 页(共 15 页) A B C D 7 (4 分)设 z 为复数,则“zi”是“iz|z|2”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 (4 分)已知直线 l1:mxy+m0 与直线 l2:x+my10 的交点为 Q,椭圆的 焦点为 F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是( ) A2,+) B C2,4 D 二、填空题共二、填空

3、题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分分 9 (4 分)请写出一个复数 z ,使得 z+2i 为实数 10 (4 分)双曲线 x21 的渐近线方程为 11 (4 分)已知抛物线 y22px 经过点 A(4,4) ,则准线方程为 ,点 A 到焦点的距 离为 12 (4 分)直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,且抛物线在 A,B 两点处的切线互相垂 直,其中 A 点坐标为(2,2) ,则直线 l 的斜率等于 13 (4 分)已知 F1,F2为椭圆 C:的两个焦点,过点 F1作 x 轴的 垂线,交椭圆 C 于 P,Q 两点当F2PQ 为等腰直角三角形时,椭圆 C 的离心率为

4、 e1, 当F2PQ 为等边三角形时,椭圆 C 的离心率为 e2,则 e1,e2的大小关系为 e1 e2 (用“” , “”或“”连接) 14 (4 分)已知 f(x)a(x+b) (x+c) ,g(x)xf(x) (a0) ,则下列命题中所有正确 命题的序号为 存在 a,b,cR,使得 f(x) ,g(x)的单调区间完全一致; 第 3 页(共 15 页) 存在 a,b,cR,使得 f(x)+g(x) ,f(x)g(x)的零点完全相同; 存在 a,b,cR,使得 f(x) ,g(x)分别为奇函数,偶函数; 对任意 a,b,cR,恒有 f(x) ,g(x)的零点个数均为奇数 三、解答题共三、解答

5、题共 4 小题,共小题,共 44 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 (12 分)已知圆 C:x2+y24x+a0,点 A(1,2)在圆 C 上 ()求圆心的坐标和圆的半径; ()若点 B 也在圆 C 上,且,求直线 AB 的方程 16(12 分) 已知函数 f (x) ax3+bx2+x+c, 其导函数 yf (x) 的图象如图所示, 过点 和(1,0) ()函数 f(x)的单调递减区间为 ,极大值点为 ; ()求实数 a,b 的值; ()若 f(x)恰有两个零点,请直接写出 c 的值 17 (10 分)已知椭圆 W:(ab0)的离心率,其

6、右顶点 A(2,0) , 直线 l 过点 B(1,0)且与椭圆交于 C,D 两点 ()求椭圆 W 的标准方程; ()判断点 A 与以 CD 为直径的圆的位置关系,并说明理由 18 (10 分)已知函数(aR) ()如果曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率是 0,求 a 的值; ()当 a3,x0,1时,求证:f(x)1; ()若 f(x)存在单调递增区间,请直接写出 a 的取值范围 第 4 页(共 15 页) 2018-2019 学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题

7、,小题,每小题每小题 4 分,共分,共 32 分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 (4 分)在复平面内,复数 1i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据题意,由复数的几何意义可得复数 1i 对应的点为(1,1) ,进而分析 可得答案 【解答】解:根据题意,在复平面内,复数 1i 对应的点为(1,1) , 在第四象限; 故选:D 【点评】本题考查复数的几何意义,关键是掌握复数的几何意义,属于基础题 2 (4 分)函数 f(x)xlnx 的导数 f(x)为( ) Alnx+1 Bln

8、x1 C D 【分析】根据题意,由导数的计算公式可得 f(x)(x)lnx+x(lnx),计算可 得答案 【解答】解:根据题意,f(x)xlnx, 其导数 f(x)(x)lnx+x(lnx)lnx+1, 故选:A 【点评】本题考查导数的计算,关键是掌握导数的计算公式,属于基础题 3 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 且过原点的圆的方程可以是( ) A (x1)2+(y1)22 B C (x1)2+(y+1)24 D (x2)2+y24 【分析】由题意利用圆的标准方程,得出结论 【解答】解:在平面直角坐标系 xOy 中,由于圆的半径为 2,故排除 A、B; 再把原点(0,0)代

9、入,只有 D 满足,C 不满足, 故选:D 【点评】本题主要考查圆的标准方程,属于基础题 第 5 页(共 15 页) 4 (4 分)双曲线 2x2y24 的焦点坐标为( ) A和 B和 C和 D和 【分析】根据双曲线的标准方程和简单几何性质,先求得半焦距 c,可得它的焦点坐标 【解答】解:双曲线 2x2y24 的标准方程为1,半焦距 c, 焦点坐标为(,0) , 故选:B 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质,属于基础题 5 (4 分)如图,曲线 yf(x)在点 P(1,f(1) )处的切线 l 过点(2,0) ,且 f(1) 2,则 f(1)的值为( ) A1 B1 C2 D3

10、 【分析】利用已知条件求出切线方程,然后利用求解 f(1)即可 【解答】解:曲线 yf(x)在点 P(1,f(1) )处的切线 l 过点(2,0) ,且 f(1) 2, 可得切线方程:y2(x2) ,因为切点在曲线上也在切线上, 所以 f(1)2(12)2 故选:C 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法与应用,是基本知识的考查 6 (4 分)如图,从上往下向一个球状空容器注水,注水速度恒定不变,直到 t0时刻水灌满 容器时停止注水,此时水面高度为 h0水面高度 h 是时间 t 的函数,这个函数图象只可 能是( ) 第 6 页(共 15 页) A B C D 【分析】根据球的形状,结合单位时间内

11、体积的变化情况进行判断 【解答】解:容器是球形,两头体积小,中间体积大, 在一开始单位时间内体积的增长速度比较慢,超过球心后体积的增长率变快, 故对应的图象是 C, 故选:C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,结合函数图象的增长速度是解决本题的 关键 7 (4 分)设 z 为复数,则“zi”是“iz|z|2”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】复数的运算及充分必要条件得:当 zi 时,izi21,又|i|21,即 “zi”是“iz|z|2”的充分条件, 当 zi|z|2时,设 za+bi,则 b0 或 b1,即 zi 或 z

12、0,即“zi”是“i z|z|2”的不必要条件,综合可得解 【解答】解:当 zi 时,izi21,又|i|21,即“zi”是“iz|z|2”的 充分条件, 当 zi|z|2时,设 za+bi,则 b0 或 b1,即 zi 或 z0,即“zi”是“i z|z|2”的不必要条件, 第 7 页(共 15 页) 综合得: “zi”是“iz|z|2”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题考查了复数的运算及充分必要条件,属简单题 8 (4 分)已知直线 l1:mxy+m0 与直线 l2:x+my10 的交点为 Q,椭圆的 焦点为 F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是( ) A2,+) B

13、C2,4 D 【分析】判断两条直线经过的定点,判断交点所在的位置利用椭圆的定义判断求解即可 【解答】解:椭圆的焦点为 F1(,0) ,F2(,0) ; 直线 l1:mxy+m0 与直线 l2:x+my10 的交点为 Q,两条直线经过定点(1,0) , (1,0) , 它们的交点 Q 满足:x2+y21,在椭圆内部,与椭圆的短轴端点相交, 所以|QF1|+|QF2|的取值范围是:2,4 故选:D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,轨迹方程的求法,考查计算能力 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分分 9 (4 分)请写出一个复数 z 2i(答案不唯

14、一) ,使得 z+2i 为实数 【分析】由题意取一个复数,虚部为2 即可 【解答】解:取 z2i,则 z+2i0 为实数, 故答案为:2i(答案不唯一) 【点评】本题考查复数的运算,考查复数的基本概念,是基础题 10 (4 分)双曲线 x21 的渐近线方程为 y2x 【分析】渐近线方程是 0,整理后就得到双曲线的渐近线方程 【解答】解:双曲线标准方程为1, 其渐近线方程是0, 第 8 页(共 15 页) 整理得 y2x 故答案为 y2x 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐 近线方程属于基础题 11 (4 分)已知抛物线 y22px 经过点 A(4,4

15、) ,则准线方程为 x1 ,点 A 到焦点 的距离为 5 【分析】利用抛物线经过的点,求出抛物线方程,然后求解点 A 到焦点的距离 【解答】解:抛物线 y22px 经过点 A(4,4) , 可得 422p4,解得 p2,所以抛物线方程为:y24x, 则准线方程为:x1; 点 A 到焦点的距离为:4(1)5 故答案为:x1;5 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,点到直线的距离公式的应用,是基本知识 的考查 12 (4 分)直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,且抛物线在 A,B 两点处的切线互相垂 直,其中 A 点坐标为(2,2) ,则直线 l 的斜率等于 【分析】对抛物线,yx,求出 A

16、 处切线的斜率,然后求解 B 的坐标,推出直 线 l 的斜率即可 【解答】解:对抛物线,yx,A 点坐标为(2,2) ,kA2,抛物线在 A,B 两 点处的切线互相垂直,所以 kB,所以 B(,) , 所以直线 AB 方程的斜率为: 故答案为: 【点评】本题考查直线的斜率的求法,是中档题,解题时要注意抛物线性质和导数性质 的合理运用 13 (4 分)已知 F1,F2为椭圆 C:的两个焦点,过点 F1作 x 轴的 第 9 页(共 15 页) 垂线,交椭圆 C 于 P,Q 两点当F2PQ 为等腰直角三角形时,椭圆 C 的离心率为 e1, 当F2PQ 为等边三角形时,椭圆 C 的离心率为 e2,则

17、e1,e2的大小关系为 e1 e2 (用“” , “”或“”连接) 【分析】如图所示,把 xc 代入椭圆方程可得:+1,解得 y当 F2PQ 为等腰直角三角形时,可得:2c,化简解得 e1当F2PQ 为等边三角 形时,2c,化简解得 e2 【解答】解:如图所示, 把 xc 代入椭圆方程可得:+1,解得 y 当F2PQ 为等腰直角三角形时,可得:2c,可得 a2c22ac,化为:+2e1 10,0e11 解得 e11 当F2PQ 为等边三角形时,2c,化为:(a2c2)2ac,0e21 化为:+2e20,解得 e2 则 e1,e2的大小关系为 e1e2 故答案为: 【点评】本题考查了椭圆的标准方

18、程及其性质、等腰直角三角形与等边三角形的性质、 一元二次方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 14 (4 分)已知 f(x)a(x+b) (x+c) ,g(x)xf(x) (a0) ,则下列命题中所有正确 命题的序号为 存在 a,b,cR,使得 f(x) ,g(x)的单调区间完全一致; 第 10 页(共 15 页) 存在 a,b,cR,使得 f(x)+g(x) ,f(x)g(x)的零点完全相同; 存在 a,b,cR,使得 f(x) ,g(x)分别为奇函数,偶函数; 对任意 a,b,cR,恒有 f(x) ,g(x)的零点个数均为奇数 【分析】考虑 f(x)为二次函数,有两个单调区间;

19、g(x)为三次函数,存在三个单调 区间,可判断; 当 b1,c1 时,f(x)+g(x) ,f(x)g(x)的零点为 1,1,可判断; 求得 f(x) ,g(x)的导数,b+c0 时,可判断;b1,c0 时,可判断 【解答】解:f(x)a(x+b) (x+c) ,g(x)xf(x)ax(x+b) (x+c) , (a0) , f(x)为二次函数,有两个单调区间;g(x)为三次函数,存在三个单调区间,故错 误; f(x)+g(x)a(1+x) (x+b) (x+c) ,f(x)g(x)a(1x) (x+b) (x+c) , 当 b1,c1 时,f(x)+g(x) ,f(x)g(x)的零点为 1,

20、1,故正确; f(x)a(2x+b+c) ,g(x)a3x2+2(b+c)x+bc, 当 b+c0,f(x)2ax 为奇函数,g(x)a3x2+bc为偶函数,故正确; 当 b1,c0 时,f(x)的零点为,g(x)的零点为 0 和,故错误 故答案为: 【点评】本题考查函数的零点和单调性、奇偶性的判断,考查运算能力和推理能力,属 于基础题 三、解答题共三、解答题共 4 小题,共小题,共 44 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 (12 分)已知圆 C:x2+y24x+a0,点 A(1,2)在圆 C 上 ()求圆心的坐标和圆的半径; ()若点 B

21、 也在圆 C 上,且,求直线 AB 的方程 【分析】 ()将 A 的坐标代入圆的方程可得 a,再将圆的方程化成标准形式可得圆心坐 标和半径; ()根据|AB|2等于直径,可知 AB 过圆心,再由两点式可得直线 AB 的方程 【解答】解: ()因为点 A(1,2)在圆 x2+y24x+a0 上, 所以 1+44+a0 解得 a1 所以圆的方程为 x2+y24x10,即(x2)2+y25 第 11 页(共 15 页) 所以圆心坐标为(2,0) ,圆的半径 r 为 ()因为点 A,点 B 都在圆上,且, 所以直线 AB 经过圆 C 的圆心 所以直线 AB 的斜率 所以直线 AB 的方程为 y2(x2

22、) ,即 y2x+4 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题 16(12 分) 已知函数 f (x) ax3+bx2+x+c, 其导函数 yf (x) 的图象如图所示, 过点 和(1,0) ()函数 f(x)的单调递减区间为 , ,极大值点为 ; ()求实数 a,b 的值; ()若 f(x)恰有两个零点,请直接写出 c 的值 【分析】 () 导函数 yf (x)的图象如图所示,过点和(1, 0) 可得: 时,f(x)0;1 时,f(x)0;x1 时,f(x)0,即可得出单调区 间与极值点 ()由 f(x)3ax2+2bx+1,由题意知,即可得出 a,b () 由(II) 可得:f(x)

23、 x32x2+x+c,由 (I)可得: 为极大值点,1 为极小值点 根 据 f(x)恰有两个零点,可得0,或 f(1)0,解出即可得出 【解答】解: () 导函数 yf(x)的图象如图所示,过点和(1,0) 可得:时,f(x)0,此时函数 f(x)单调递增;1 时,f(x)0, 此时函数 f(x)单调递减;x1 时,f(x)0,此时函数 f(x)单调递增 第 12 页(共 15 页) 函数 f(x)的单调递减区间为 ,极大值点为 故答案为:, ()f(x)3ax2+2bx+1, 由题意知, 即 解得 ()由(II)可得:f(x)x32x2+x+c, 由(I)可得:为极大值点,1 为极小值点 f

24、(x)恰有两个零点, 2+c0,或 f(1)12+1+c0, c或 0 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数 形结合方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 17 (10 分)已知椭圆 W:(ab0)的离心率,其右顶点 A(2,0) , 直线 l 过点 B(1,0)且与椭圆交于 C,D 两点 ()求椭圆 W 的标准方程; ()判断点 A 与以 CD 为直径的圆的位置关系,并说明理由 【分析】 ()由题意可知,b2a2c2,解出即可得出椭圆的标准方 程 ()点 A 在以 CD 为直径的圆上设 C 坐标为(x1,y1) ,D 坐标为(x2,y2) 当直 线

25、 l 斜率不存在时,则 l 的方程为 x1与椭圆方程联立解出只要证明即可得 出点 A 在以 CD 为直径的圆上 第 13 页(共 15 页) 当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 yk(x1) 由,得(1+3k2) x26k2x+3k240,利用根与系数的关系、向量坐标运算性质只要证明即可 得出点 A 在以 CD 为直径的圆上 【解答】解: ()由题意可知, , 椭圆的方程为 ()点 A 在以 CD 为直径的圆上设 C 坐标为(x1,y1) ,D 坐标为(x2,y2) 当直线 l 斜率不存在时,则 l 的方程为 x1 由得 不妨设 C(1,1) ,D(1,1) , 点 A 在以 CD

26、为直径的圆上 当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 yk(x1) 由,得(1+3k2)x26k2x+3k240 第 14 页(共 15 页) 点 A 在以 CD 为直径的圆上 综上,点 A 在以 CD 为直径的圆上 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系 数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、分类讨论方法,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题 18 (10 分)已知函数(aR) ()如果曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率是 0,求 a 的值; ()当 a3,x0,1时,求证:f(x)1; ()若 f(x)存在单调递增区间,

27、请直接写出 a 的取值范围 【分析】 ()f(x)axex,由题意知,f(1)0,即可解出 a ()当 a3 时,f(x)3xex令 g(x)f(x) ,g(x)3 ex利用导数研究其单调性即可得出 (III)则 f(x)axex0 在 R 上有解,对 a 分类讨论,利用导数研究函数的单调性 极值即可得出 【解答】解: ()f(x)axex, 由题意知,f(1)0,即 ae0, ae ()当 a3 时,f(x)3xex 令 g(x)f(x) , g(x)3ex x0,1,ex1,e因此 g(x)3ex0 恒成立 当 x0,1时,g(x)f(x)单调递增 又f(0)10,f(1)3e0, 第 1

28、5 页(共 15 页) 存在唯一的 x0(0,1) ,使得 f(x0)0 列表如下: x 0 (0,x0) x0 (x0,1) 1 f(x) 1 0 + 3e f(x) 1 单调递减 极小值 单调递增 当 x0,1时, 当 a3,x0,1时,f(x)1 ()f(x)axex, f(x)存在单调递增区间, f(x)axex0 在 R 上有解 分别令 g(x)ex,h(x)ax设直线 h(x)ax 与曲线 g(x)相切于点 P(x0,y0) 设 x00 g(x)ex,则 a,解得 x01 因此要使得 f(x)axex0 在 R 上有解 则 ae 设 x00a0 时,f(x)axex0,在(,0)上一定有解 则 a0 综上可得:a(,0)(e,+) 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题