1、已知 z 轴上一点 N 到点 A（1，0，3）与点 B（1，1，2）的距离相等，则点 N 的坐标为（ ） A （0，0，） B （0，0，） C （0，0，） D （0，0，） 2 （5 分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ） ABD 与 CF 成 60角 BBD 与 EF 成 60角 CAB 与 CD 成 60角 DAB 与 EF 成 60角 3 （5 分）若椭圆+1（ab0）的焦距为 2，且其离心率为，则椭圆的方程为 （ ） A+1 B+1 C+1 D+1 4 （5 分）5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A24 种 B48 种 C9
2、6 种 D120 种 5 （5 分）某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图 所示的频率分布直方图，如果该公司共有员工 200 人，则信息收到 125 条以上的大约有 （ ） 第 2 页（共 22 页） A6 人 B7 人 C8 人 D9 人 6 （5 分）某中学从 4 名男生和 4 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既 有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A68 种 B70 种 C240 种 D280 种 7 （5 分）在（x2）5的展开式中，第 4 项的二项式系数为（ ） A10 B10 C5 D5 8 （5 分）某人抛掷一枚硬币，出
3、现正反的概率都是，构造数列an，使得 ，记 Sna1+a2+an（nN*） 则 S42 的概率为 （ ） A B C D 9 （5 分）已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使APB 的最大边是 AB” 发生的概率为，则的值为（ ） A B C D 10 （5 分）图中有一个信号源和五个接收器接收器与信号源在同一个串联线路中时，就 能接收到信号，否则就不能接收到信号若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用 导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ） 第 3 页（共 22 页） A B
4、C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）编号为 1，2，3，4，5 的五个人，分别坐在编号为 1，2，3，4，5 的座位上， 则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为 （用数字作答） 12 （5 分）若抛物线 y22px 的焦点与双曲线y21 的右顶点重合，则 p 13（5分） 设 P是椭圆+1上的一点， 且0， 则PF1F2的面积为 14 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1B1的大小是 15 （5 分）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为 30 秒、5 秒和 40 秒当你 到达
5、路口时，不是红灯的概率为 16 （5 分）若（12x） 2019a0+a1x+a2x2+a2019x2019（xR） ，则 + + 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 40 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （10 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据 模糊，无法确认，在图中以 X 表示 （）如果 X8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （）如果 X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望 第 4 页（共 22 页） 18 （10 分）某地区对
6、12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆能力包括听觉记忆能力 与视觉记忆能力某班学生共有 40 人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如 表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人 视觉 听觉 视觉记忆能力 偏低 中 等 偏 高 超 常 听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且 听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 （1）试确定 a，b 的值； （2）从 40 人中任意抽取 3 人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的
7、学生 人数为 X，求随机变量 X 的分布列 19 （10 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ABD90，EB平 面 ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC，且 M 是 BD 的中点 （1）求证：EM平面 ADF； （2）求二面角 DAFB 的余弦值； （3）在线段 ED 上是否存在一点 P，使得 BP平面 ADF？若存在，求出 EP 的长度；若 不存在，请说明理由 第 5 页（共 22 页） 20 （10 分）已知椭圆 W：+1（ab0） ，直线 l：yx+与 x 轴，y 轴的交点 分别是椭圆 W 的焦点与顶点 （1）求椭圆 W 的方程； （2）设直线 m：yk
8、x（k0）与椭圆 W 交于 P，Q 两点，过点 P（x0，y0）作 PC轴， 垂足为点 C，直线 QC 交椭圆 w 于另一点 R 求PCQ 面积的最大值； 求出QPR 的大小 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年北京市学年北京市 101 中学高二（上）期末数学试卷中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （5 分）已知 z 轴上一点 N 到点 A（1，0，3）与点 B
9、（1，1，2）的距离相等，则点 N 的坐标为（ ） A （0，0，） B （0，0，） C （0，0，） D （0，0，） 【分析】根据点 N 在 z 轴上，设出点 N 的坐标，再根据 N 到 A 与到 B 的距离相等，由空 间中两点间的距离公式求得 AN，BN，解方程即可求得 N 的坐标 【解答】解：设 N（0，0，z） 由点 N 到点 A（1，0，3）与点 B（1，1，2）的距离相等，得： 12+02+（z3）2（10）2+（10）2+（2z）2 解得 z，故 N（0，0，） 故选：D 【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相 比较记忆，利于知识的系统化
10、，属基础题 2 （5 分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ） ABD 与 CF 成 60角 BBD 与 EF 成 60角 CAB 与 CD 成 60角 DAB 与 EF 成 60角 【分析】由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到 BD 与 CF 成 0角，BD 与 EF 成 90角，AB 与 CD 成 60角，AB 与 EF 成 90角 【解答】解：由正方体的平面展开图， 还原成如图所示的正方体， 第 7 页（共 22 页） BDCF，BD 与 CF 成 0角，故 A 错误； BD平面 A1EDF，EF平面 A1EDF， BD 与 EF 成 9
11、0角，故 B 错误； AECD，BAE 是 AB 与 CD 所成角， ABE 是等边三角形，BAE60， AB 与 CD 成 60角，故 C 正确； ABA1D，又 A1DEF， AB 与 EF 成 90角，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的 能力，解题时要注意向量法的合理运用 3 （5 分）若椭圆+1（ab0）的焦距为 2，且其离心率为，则椭圆的方程为 （ ） A+1 B+1 C+1 D+1 【分析】利用已知条件求出 c，通过离心率求解 a，得到 b，即可得到椭圆方程 【解答】解：椭圆+1（ab0）的焦距为 2，可得 c1，
12、且其离心率为，所以，可得 a，则 b1， 第 8 页（共 22 页） 椭圆的方程为：+1 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，是基础题 4 （5 分）5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A24 种 B48 种 C96 种 D120 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，将甲乙看成一个整体，考虑 2 人之间的顺序， ，将这个整体与其他三人全排列，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将甲乙看成一个整体，有 A222 种情况， ，将这个整体与其他三人全排列，有 A4424 种情况， 则
13、甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 22448 种； 故选：B 【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 5 （5 分）某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图 所示的频率分布直方图，如果该公司共有员工 200 人，则信息收到 125 条以上的大约有 （ ） A6 人 B7 人 C8 人 D9 人 【分析】设 125 条以上的频率为 x，根据所求频率和为 1 建立等式，求出 x，最后根据频 数样本容量频率求出所求 【解答】解：设 125 条以上的频率为 x， 根据所求频率和为 1 可知 20（0.003+0.006+0.0075+0.
14、009+0.0105+0.012）+x1， 解得 x0.04 第 9 页（共 22 页） 该公司共有员工 200 人，则收到 125 条以上的大约有 2000.0048 故选：C 【点评】本题主要考查了用样本的频率分布估计总体分布，以及频率分布直方图，同时 考查了频数样本容量频率等知识，属于基础题 6 （5 分）某中学从 4 名男生和 4 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既 有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A68 种 B70 种 C240 种 D280 种 【分析】先求出所有的选择 4 人的种数，再排除全是男生和全是女生的种数，即可求出 【解答】解：选出的 4
15、人中既有男生又有女生，则有 C842C4470268， 故选：A 【点评】本题考查了简单的排列组合问题，属于基础题 7 （5 分）在（x2）5的展开式中，第 4 项的二项式系数为（ ） A10 B10 C5 D5 【分析】直接根据二项式系数的定义求解即可 【解答】解：在（x2）5的展开式中； 第 4 项的二项式系数为10； 故选：A 【点评】本题考查了二项展开式的二项式系数应用问题，是基础题在做题过程中需要 区分二次项系数与系数的区别，避免出错 8 （5 分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列an，使得 ，记 Sna1+a2+an（nN*） 则 S42 的概率为 （ ） A B C
16、 D 【分析】S42 说明仍 4 次硬币，出现了 3 次正面和一次反面，共有4 种情况， 而所有的情况共有 2416 种，由此求得 S42 的概率 第 10 页（共 22 页） 【解答】解：由 S42 可得，仍 4 次硬币，出现了 3 次正面和一次反面，共有4 种情况， 而所有的情况共有 2416 种， 故 S42 的概率为 ， 故选：C 【点评】本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，等可能事件的概率， 体现了等价转化的数学思想，属于中档题 9 （5 分）已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使APB 的最大边是 AB” 发生的概率为，则的值为（ ） A
17、 B C D 【分析】 根据概率， 确定构成事件 M 的长度为线段 CD 的， 根据对称性，当 PDCD 时，ABPB，利用勾股定理，即可得出结论 【解答】解：记“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使APB 的最大边是 AB”为 事件 M，试验的全部结果构成的长度即为线段 CD，构成事件 M 的长度为线段 CD 的， 设 AB3x，ADy，则 根据对称性，当 PDCD 时，ABPB， 由勾股定理可得（3x）2y2+（2x）2， ， 故选：B 【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件 A 的区域长度和试验 的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率 10 （
18、5 分）图中有一个信号源和五个接收器接收器与信号源在同一个串联线路中时，就 能接收到信号，否则就不能接收到信号若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用 导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ） 第 11 页（共 22 页） A B C D 【分析】首选将六个接线点随机地平均分成三组可能出现的所有结果找出来，再根据五 个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，求出此种情况可能出现的结 果，再运用概率公式即可得出所求事件概率 【解答】解：将六个接线点随机地平均分成三组，共有种结果， 五个接收器能同
19、时接收到信号必须全部在同一个串联线路中， 有 C41C21C118 种结果， 这五个接收器能同时接收到信号的概率是， 故选：D 【点评】本题主要考查平均分组问题及概率问题概率问题的难点在于分析某事件所有 可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率则只是解决 问题的工具 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）编号为 1，2，3，4，5 的五个人，分别坐在编号为 1，2，3，4，5 的座位上， 则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为 20 （用数字作答） 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，从 5
20、 个号码中，选出两个号码，令其编号与 其座位号相同，分析其余的三个座位与人的编号不同的情况，由分步计数原理计算 可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，从 5 个号码中，选出两个号码，令其编号与其座位号相同，有 C5210 种结果， ，其余的三个座位与人的编号不同，则第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定， 共有 2 种结果， 则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为 10210 种； 第 12 页（共 22 页） 故答案为：20 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 12 （5 分）若抛物线 y22px 的焦点与双曲线y21 的右顶点
21、重合，则 p 4 【分析】确定双曲线y21 的右顶点坐标，从而可得抛物线 y22px 的焦点坐标， 由此可得结论 【解答】解：双曲线y21 的右顶点坐标为（2，0） ， 抛物线 y22px 的焦点与双曲线y21 的右顶点重合， 2， p4 故答案为：4 【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键 13 （5 分） 设 P 是椭圆+1 上的一点， 且0， 则PF1F2的面积为 9 【分析】根据椭圆的方程求得 c，得到|F1F2|，设出|PF1|t1，|PF2|t2，利用勾股定理以 及椭圆的定义，可求得 t1t2的值，则三角形面积可求 【解答】解：由椭圆+1 得 a5，
22、b3， c4， 设|PF1|t1，|PF2|t2， 则根据椭圆的定义得 t1+t210， F1PF290，由勾股定理得 t12+t2264， 即（t1+t2）22t1t264，1002t1t264， 解得 t1t218， 则PF1F2的面积为：t1t29 故答案为：9 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质解答的关键是通过勾股定 理解三角形，考查计算能力、数形结合思想，是中档题 14 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1B1的大小是 600 第 13 页（共 22 页） 【分析】建立空间直角坐标系，为面 ABD1的一个法向量，为面 BD1B1的一个法 向
23、量，用向量法求二面角即可； 【解答】解：以 AB，AD，AA1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则为面 ABD1的一个法向量；为面 BD1B1的一个法向 量； ； 所以二面角 ABD1B1的大小是：600 故答案为：600 【点评】本题考查求二面角的大小，求二面角的大小可以用定义法作出二面角的平面角， 再解三角形，常用向量法解决，属于基础题 15 （5 分）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为 30 秒、5 秒和 40 秒当你 到达路口时，不是红灯的概率为 【分析】利用对立事件概率计算公式求解 【解答】解：一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时
24、间为 5 秒，绿灯的时 间为 40 秒， 当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是： p1 故答案为： 【点评】本题考查了概率的公式，属于基础题 16（5 分） 若 （12x） 2019a0+a1x+a2x2+a2019x2019 （xR） ， 则+ 第 14 页（共 22 页） 1 【分析】在所给的等式中，令 x0，可得 a01；再 x，转化求解即可 【解答】解：因为（12x）2019a0+a1x+a2x2+a2019x2019（xR） ，所以令 x0，可得 a01 再令 x，可得 01+， +1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通 过
25、给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 40 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （10 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据 模糊，无法确认，在图中以 X 表示 （）如果 X8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （）如果 X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望 【分析】 （I）当 X8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，由此 能求出乙组同学植树棵树的平
26、均数和方差 （）当 X9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的 植树棵数是：9，8，9，10分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求得对应的概率由 此能求出这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望 【解答】解： （I）当 X8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为； 第 15 页（共 22 页） 方差为 （）当 X9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11； 乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4416 种可能的结果， 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值
27、为 17，18，19，20，21， 事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵” ，所以该 事件有 2 种可能的结果， 因此 P（Y17） 事件“Y18”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 9 棵” ，所以该 事件有 4 种可能的结果， 因此 P（Y18） 事件“Y19”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 10 棵；或甲组 选出的同学植树 11 棵，乙组选出的同学植树 8 棵” ， 所以该事件有 2+24 种可能的结果， 因此 P（Y19） 事件“Y20”等价于“甲组选出的同学植树 11 棵，乙组选出的同学植树 9 棵”
28、 ，所以该 事件有 4 种可能的结果， 因此 P（Y20） 事件“Y21”等价于“甲组选出的同学植树 11 棵，乙组选出的同学植树 10 棵” ，所以 该事件有 2 种可能的结果， 因此 P（Y21） 所以随机变量 Y 的分布列为： Y 17 18 19 20 21 P EY17P（Y17）+18P（Y18）+19P（Y19）+20P（Y20）+21P（Y 21） 第 16 页（共 22 页） 17+18+19+20+2119 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，解题时要认真审题，注 意茎叶图的性质和应用 18 （10 分）某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记
29、忆能力包括听觉记忆能力 与视觉记忆能力某班学生共有 40 人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如 表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人 视觉 听觉 视觉记忆能力 偏低 中 等 偏 高 超 常 听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且 听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 （1）试确定 a，b 的值； （2）从 40 人中任意抽取 3 人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生 人数为 X，求随机变量 X 的分布
30、列 【分析】（1） 视觉记忆能力恰为中等， 且听觉记忆能力为中等或中等以上的人数为 8+3+b， 结合总人数为 40 即可得到 b，从而得到 a 的值； （2）依题意，随机变量 X 服从超几何分布，其中由（1）知，40 人中具有听觉记忆能力 或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 24 人，即可得到所求 【解答】解： （1）依题意，听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为，解得 b5， 所以 a40（7+5+1+1+8+3+5+2+1+2+1+1）3； （2）由（1）知具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 2+3+2+5+1+3+5+1+1+124 人， 根据题意，随机变量 X 服从
31、超几何分布，X 的可能取值为 0，1，2，3， 第 17 页（共 22 页） P （X0） ， P （X1） ， P （X2） ， P（ （X3） X 的概率分布列为： X 0 1 2 3 P 【点评】本题考查了概率统计表的识别和应用，考查了超几何分布，离散型随机变量的 概率分布列，考查数据处理能力和计算能力，属于中档题 19 （10 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ABD90，EB平 面 ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC，且 M 是 BD 的中点 （1）求证：EM平面 ADF； （2）求二面角 DAFB 的余弦值； （3）在线段 ED 上是否存在一点
32、P，使得 BP平面 ADF？若存在，求出 EP 的长度；若 不存在，请说明理由 【分析】 （1）取 AD 的中点 N，连结 MN、NF，推导出四边形 MNFE 是平行四边形，从 而 EMFN，由此能证明 EM平面 ADF （2）设 AB、AF 的中点分别为 P，Q，则 FPEB，AP1，AF2，ABF 是正三 角形，由 BDAB，BDEB，得 BD平面 ABF，从而BQD 是二面角 DAFB 的平 面角，由此能求出二面角 DAFB 的大小； （3）以 B 为原点，BD，BA，BE 分别为 x，y，z 轴建立空间平面直角坐标系，利用空间 向量的坐标运算解决 【解答】证明： （1）取 AD 的中点
33、 N，连结 MN、NF， 第 18 页（共 22 页） 在DAB 中，M 是 BD 的中点，N 是 AD 的中点， MNAB，MNAB， 又EFAB，EFAB， MNEF 且 MNEF， 四边形 MNFE 是平行四边形， EMFN， FN平面 ADF，EM平面 ADF， EM平面 ADF （2）设 AF 的中点分别为 Q； 第 19 页（共 22 页） 则 FPEB AP1，AF2，ABF 是正三角形， BDAB，BDEB， BD平面 ABF， BQ 是 DQ 在平面 ABF 内的射影， DQAF， BQD 是二面角 DAFB 的平面角， 在BQD 中，QD2，BQ， cosBQD， 二面角
34、DAFB 的余弦值为 （3）由条件和（2）有 EB平面 ABCD，BDAB； 则以 B 为原点，BD，BA，BE 分别为 x，y，z 轴建立空间平面直角坐标系； 则 A（0，2，0） ，D（3，0，0） ，F（0，1，） ，E（0，0，） 设面 ADF 的一个法向量为； ， 所以，即 令 y3，则 假设线段 ED 上存在一点 P，使得 BP平面 ADF， 第 20 页（共 22 页） 且 （01） ，则； 由，得，解得0， 故满足条件的点 P 不存在 【点评】本题考查直线与平面的平行，二面角的平面角及求法，动点的探索问题，在立 体几何中求角和探索动点的位置问题一般用向量法，属于中档题 20 （
35、10 分）已知椭圆 W：+1（ab0） ，直线 l：yx+与 x 轴，y 轴的交点 分别是椭圆 W 的焦点与顶点 （1）求椭圆 W 的方程； （2）设直线 m：ykx（k0）与椭圆 W 交于 P，Q 两点，过点 P（x0，y0）作 PC轴， 垂足为点 C，直线 QC 交椭圆 w 于另一点 R 求PCQ 面积的最大值； 求出QPR 的大小 【分析】 （1）求出直线 l：yx+与 x 轴，y 轴的交点，得到椭圆的 b，c，从而得出椭 圆的方程； （2）|x0y0|，由均值不等式得出其最大值； 设出点 P 的坐标，方程联立求出点 R 的坐标，然后求出 PR 的斜率，得到直线 PQ， PR 斜率的乘积
36、为1，得到QPR 为直角 【解答】 解：（1） 因为直线 l： yx+与 x 轴， y 轴的交点分别是，； 所以由题意可知，所以， 所以椭圆 W 的方程为：； 第 21 页（共 22 页） （2） （i）由题意设 P（x0，y0） ，则 Q（x0，y0） ，C（x0，0） ， 所以 |x0y0|， 因为， 所以， 当且仅当时，PCQ 面积取得最大值； 综上可述，面积的最大值为 （ii）设 P（x0，y0） ，则 Q（x0，y0） ，C（x0，0） ， 所以，直线 QR 的斜率， 可得直线 QR 的方程为， 设点 R（x1，y1） ，联立， 消去 y 得， 则，解得， 所以，R， 因为， 所以 kPQkPR1，所以QPR90 故QPR90 【点评】本题考查椭圆的方程，三角形面积的最值，两条直线的位置关系，利用斜率的 乘积为1 来说明两直线垂直，属于难题
