2019-2020学年河南省洛阳一高高二(上)12月月考数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、已知集合 Ax|x1,Bx|3x1,则( ) AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 2 (5 分)平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ,那么( ) A甲是乙成立的充分不必要条件 B甲是乙成立的必要不充分条件 C甲是乙成立的充要条件 D甲是乙成立的非充分非必要条件 3 (5 分)命题“x1,2,x23x+20”的否定是( ) Ax1,2,x23x+20 Bx1,2,x23x+20 C D 4 (5 分)设 a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的( ) A充分不必要条件 B必要

2、不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5 (5 分)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则它的渐近线为( ) Ayx Byx Cy2x Dyx 6 (5 分)如果方程表示双曲线,则 m 的取值范围是( ) A (2,+) B (2,1) C (,1) D (1,2) 7 (5 分)已知 F1,F2是椭圆上的两个焦点,过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A, B 两点,若ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A B C D 第 2 页(共 23 页) 8 (5 分)已知 F1、F2为双曲线 C:x2y21 的左、右焦点,点 P 在 C 上,F1PF260, 则|PF1|PF

3、2|( ) A2 B4 C6 D8 9 (5 分)焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e,F,A 分别是椭圆的左焦点和右 顶点,P 是椭圆上任意一点,则的最大值为( ) A4 B6 C8 D10 10 (5 分)设 A、B 分别为双曲线(a0,b0)的左、右顶点,P 是双曲线上 不同于 A、B 的一点,直线 AP、BP 的斜率分别为 m、n,则当取最小值时,双 曲线的离心率为( ) A B C D 11 (5 分)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A,B 两点设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d26,则双曲

4、线的方程为( ) A1 B1 C1 D1 12 (5 分)已知 F1(c,0) ,F2(c,0)是椭圆1(ab0)的左右两个焦点, P 为椭圆上的一点,且,则椭圆的离心率的取值范围为( ) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)若“x0,tanxm”是真命题,则实数 m 的最小值为 14 (5 分)已知命题 p1:函数 yln(x)是奇函数,p2:函数 y为偶函数, 第 3 页(共 23 页) 则在下列四个命题: p1p2; p1p2; (p1) (p2) ; p1 (p2) 中, 真命题的序号是

5、 15 (5 分)一动圆与圆 x2+y2+6x+50 外切,同时与圆 x2+y26x910 内切,则动圆圆 心 M 的轨迹方程是 16 (5 分)已知双曲线1(a0)的一条渐近线方程为xy0,左焦点为 F, 点 M 在双曲线右支上、点 N 在圆 x2+(y3)24 上运动时,则|MN|+|MF|的最小值 为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 个小题,共个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)命题 p:方程表示焦点在 x 轴上的双曲线:命题 q:若存在 ,使得 m2tanx00 成立 (1)如果命

6、题 p 是真命题,求实数 m 的取值范围; (2)如果“pq”为假命题, “pq”为真命题,求实数 m 的取值范围 18 (12 分)已知椭圆的长轴长为 8,短轴长为 4 (1)求椭圆方程; (2)过 P(2,1)作弦且弦被 P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长 19 (12 分)已知ABC 中,AC2,A120,cosBsinC (1)求边 AB 的长; (2)设 D 是 BC 边上的一点,且ACD 的面积为,求ADC 的正弦值 20 (12 分)已知双曲线的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点 F2的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1为左焦点 ()求双曲线的方程; ()若F

7、1AB 的面积等于 6,求直线 l 的方程 21 (12 分)已知函数 f(x)3x2+6x,Sn是数列an的前 n 项和,点(n,Sn) (nN*) 在曲线 yf(x)上 (1)求数列an的通项公式; 第 4 页(共 23 页) (2)若,且 Tn是数列cn的前 n 项和试问 Tn是否存在最 大值?若存在,请求出 Tn的最大值;若不存在,请说明理由 22 (12 分)已知椭圆(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的 短半轴为半径的圆与直线相切 ()求椭圆 C 的方程; ()设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭 圆 C 于另一点 E,

8、证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; ()在()的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求的取值范 围 第 5 页(共 23 页) 2019-2020 学年河南省洛阳一高高二(上)学年河南省洛阳一高高二(上)12 月月考数学月月考数学试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 Ax|x1,Bx|3x1,则( ) AABx|x0 BABR

9、 CABx|x1 DAB 【分析】先分别求出集合 A 和 B,再求出 AB 和 AB,由此能求出结果 【解答】解:集合 Ax|x1, Bx|3x1x|x0, ABx|x0,故 A 正确,D 错误; ABx|x1,故 B 和 C 都错误 故选:A 【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、 并集定义的合理运用 2 (5 分)平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ,那么( ) A甲是乙成立的充分不必要条件 B甲是乙成立的必要不充分条件 C甲是乙成立的充要条件 D甲

10、是乙成立的非充分非必要条件 【分析】当一个动点到两个定点距离之和等于定值时,再加上这个和大于两个定点之间 的距离,可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出,而点 P 的轨迹是以 AB 为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值 【解答】解:命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” , 命题乙是: “点 P 的轨迹是以 AB 为焦点的椭圆 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时, 再加上这个和大于两个定点之间的距离, 可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出, 第 6 页(共 23 页) 而点 P 的轨迹是以 AB 为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值,

11、 甲是乙成立的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查椭圆的定义,解题的关键是注意在椭圆的定义中,一定要注意两个定 点之间的距离小于两个距离之和 3 (5 分)命题“x1,2,x23x+20”的否定是( ) Ax1,2,x23x+20 Bx1,2,x23x+20 C D 【分析】根据已知中的原命题,结合全称命题否定的方法,可得答案 【 解 答 】 解 : 命 题 :“ x1 , 2 , x2 3x+2 0的 否 定 是 , 故选:C 【点评】本题考查的知识点是全称命题,命题的否定,难度不大,属于基础题 4 (5 分)设 a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的( ) A充分不必要条件 B

12、必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】解:若 ab, ab0,不等式 a|a|b|b|等价为 aabb,此时成立 0ab,不等式 a|a|b|b|等价为aabb,即 a2b2,此时成立 a0b,不等式 a|a|b|b|等价为 aabb,即 a2b2,此时成立,即充分性成 立 若 a|a|b|b|, 当 a0,b0 时,a|a|b|b|去掉绝对值得, (ab) (a+b)0,因为 a+b0,所以 a b0,即 ab 当 a0,b0 时,ab 当 a0,b0 时,a|a|b|b|去掉绝对值得, (ab

13、) (a+b)0,因为 a+b0,所以 a 第 7 页(共 23 页) b0,即 ab即必要性成立, 综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件, 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论是 解决本题的关键 5 (5 分)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则它的渐近线为( ) Ayx Byx Cy2x Dyx 【分析】运用离心率公式,再由双曲线的 a,b,c 的关系,可得 a,b 的关系,再由渐近 线方程即可得到 【解答】解:由双曲线的离心率为, 则 e,即 ca, ba, 由双曲线的渐近线方程为 yx, 即有 yx 故选:B 【点评】本题考查双

14、曲线的方程和性质,考查离心率公式和渐近线方程的求法,属于基 础题 6 (5 分)如果方程表示双曲线,则 m 的取值范围是( ) A (2,+) B (2,1) C (,1) D (1,2) 【分析】 根据双曲线的标准方程, 可得只需 2+m 与 1+m 只需异号即可, 则解不等式 (2+m) (1+m)0 即可求解 【解答】解:由题意知(2+m) (1+m)0, 解得1m1 故 的范围是(2,1) 故选:B 【点评】本题主要考查了双曲线的定义,属基础题;解答的关键是根据双曲线的标准方 程建立不等关系 第 8 页(共 23 页) 7 (5 分)已知 F1,F2是椭圆上的两个焦点,过 F1且与椭圆

15、长轴垂直的直线交椭圆于 A, B 两点,若ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A B C D 【分析】直接利用椭圆的通经与焦距的关系,求解即可 【解答】解:F1,F2是椭圆上的两个焦点,过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A, B 两点,若ABF2是正三角形, 可得,即, , 即:, 解得 e 故选:B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,基本知识的考查 8 (5 分)已知 F1、F2为双曲线 C:x2y21 的左、右焦点,点 P 在 C 上,F1PF260, 则|PF1|PF2|( ) A2 B4 C6 D8 【分析】解法 1,利用余弦定理及双曲线的定义,解方程求|PF1|

16、PF2|的值 解法 2,由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等,解出|PF1|PF2|的 值 【解答】解:法 1由双曲线方程得 a1,b1,c, 由余弦定理得 cosF1PF2 |PF1|PF2|4 法2; 由焦点三角形面积公式得: 第 9 页(共 23 页) |PF1|PF2|4; 故选:B 【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想,查考 生的综合运用能力及运算能力 9 (5 分)焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e,F,A 分别是椭圆的左焦点和右 顶点,P 是椭圆上任意一点,则的最大值为( ) A4 B6 C8 D10 【分析】由椭圆焦点在 x 轴

17、,得 a2,A(2,0) ,由离心率公式求出 c,再 求出 b,利用坐标法求出为二次函数,配方法,利用 x 的范围求出最值 【解答】解:椭圆焦点在 x 轴,所以 a2,A(2,0) , 由离心率 e,c1,所以 b,F(1,0) 设 P(x,y) ,则(2x,y) ,(1x,y) , 则(2x) (1x)+y2,因为,代入化简得 ,又 x2,2, 当 x2 时,的最大值为 4 故选:A 【点评】考查椭圆的定义,离心率公式,向量坐标运算,配方法求最值,属于中档题 10 (5 分)设 A、B 分别为双曲线(a0,b0)的左、右顶点,P 是双曲线上 不同于 A、B 的一点,直线 AP、BP 的斜率分

18、别为 m、n,则当取最小值时,双 曲线的离心率为( ) A B C D 第 10 页(共 23 页) 【分析】 由题意求得直线 AP 及 PB 斜率, 可得 mn, 再根据基本不等式可得 a24b2 4(c2a2) ,即可求出 【解答】解:由 A(a,0) ,B(a,0) ,设 P(x0,y0) , 则1,y02b2() , 则 m,n, 则 mn, +24,当且仅当 a24b2时取等号, 即 a24b24(c2a2) , 4c25a2, 即 e 故选:D 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,基本不等式,考查计算能力,属于中档题 11 (5 分)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为 2,过右

19、焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A,B 两点设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d26,则双曲线的方程为( ) A1 B1 C1 D1 【分析】画出图形,利用已知条件,列出方程组转化求解即可 【解答】解:由题意可得图象如图,CD 是双曲线的一条渐近线 y,即 bxay0,F(c,0) , ACCD,BDCD,FECD,ACDB 是梯形, 第 11 页(共 23 页) F 是 AB 的中点,EF3, EFb, 所以 b3,双曲线1(a0,b0)的离心率为 2,可得, 可得:,解得 a 则双曲线的方程为:1 故选:C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的

20、应用,双曲线方程的求法,考查计算能力 12 (5 分)已知 F1(c,0) ,F2(c,0)是椭圆1(ab0)的左右两个焦点, P 为椭圆上的一点,且,则椭圆的离心率的取值范围为( ) A B C D 【分析】设 P(x0,y0) ,则,可得:由于, 可得c2,化为,利用,及其离心率计算 公式即可得出 第 12 页(共 23 页) 【解答】解:设 P(x0,y0) ,则, , (cx0,y0) (cx0,y0)c2, 化为c2, 2c2, 化为, , 0a2, 解得 故选:D 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法,考查 了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档

21、题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)若“x0,tanxm”是真命题,则实数 m 的最小值为 1 【分析】求出正切函数的最大值,即可得到 m 的范围 【解答】解: “x0,tanxm”是真命题, 可得 tanx1,所以,m1, 实数 m 的最小值为:1 故答案为:1 【点评】本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力 14 (5 分)已知命题 p1:函数 yln(x)是奇函数,p2:函数 y为偶函数, 第 13 页(共 23 页) 则在下列四个命题: p1p2; p1p2; (p1)(p2) ;

22、 p1(p2)中,真命题的序号是 【分析】确定命题 p1为真命题;命题 p2为假命题,再根据复合命题的真假判断规律,即 可得到结论 【解答】解:函数 f(x)ln(x)的定义域为 R,f(x)+f(x)0,函数 yln(x)是奇函数,命题 p1为真命题; 函数 y的定义域为0,+) ,命题 p2为假命题 p1为假命题,p2为真命题 p1p2,p1(p2)为真命题;p1p2, (p1)(p2)为假命题 故答案为: 【点评】本题考查复合命题的真假,解题的关键是确定简单命题的真假,再利用复合命 题的真假判断规律进行求解 15 (5 分)一动圆与圆 x2+y2+6x+50 外切,同时与圆 x2+y26

23、x910 内切,则动圆圆 心 M 的轨迹方程是 【分析】求出两个圆的圆心与半径,设出动圆的圆心坐标,判断动圆的圆心的轨迹满足 椭圆的定义,然后求解方程 【解答】解:设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 R,设已知圆的加以分别为 O1、O2, 将圆 x2+y2+6x+50 的方程分别配方得: (x+3)2+y24, 圆 x2+y26x910 化为(x3)2+y2100, 当动圆与圆 O1相外切时,有|O1M|R+2 当动圆与圆 O2相内切时,有|O2M|10R 将两式相加,得|O1M|+|O2M|12|O1O2|, 动圆圆心 M(x,y)到点 O1(3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12

24、, 所以点 M 的轨迹是焦点为点 O1(3,0) 、O2(3,0) ,长轴长等于 12 的椭圆 2c6,2a12, c3,a6 b236927 第 14 页(共 23 页) 圆心轨迹方程为 故答案为: 【点评】本题以两圆的位置关系为载体,考查椭圆的定义,考查轨迹方程,确定轨迹是 椭圆是关键 16 (5 分)已知双曲线1(a0)的一条渐近线方程为xy0,左焦点为 F, 点 M 在双曲线右支上、 点N 在圆 x2+ (y3) 24上运动时, 则|MN|+|MF|的最小值为 7 【分析】求得双曲线的 a,可得双曲线方程,求得焦点坐标,运用双曲线的定义和三点共 线取得最小值,连接 CF,交双曲线于 M

25、,圆于 N,计算可得所求最小值 【解答】解:由题意双曲线1(a0)的一条渐近线方程为xy0,可得 b2,则 a2, 可得双曲线1 焦点为 F(4,0) ,F, (4,0) , 由双曲线的定义可得|MF|2a+|MF|4+|MF|, 由圆 x2+(y3)24 可得圆心 C(0,3) ,半径 r2, |MN|+|MF|4+|MN|+|MF|, 连接 CF,交双曲线于 M,圆于 N, 可得|MN|+|MF|取得最小值,且为|CF|5, 则则|MN|+|MF|的最小值为 4+527 故答案为:7 第 15 页(共 23 页) 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查圆的方程的运用,以及三点共线取

26、 得最值,考查数形结合思想和运算能力,属于中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 个小题,共个小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)命题 p:方程表示焦点在 x 轴上的双曲线:命题 q:若存在 ,使得 m2tanx00 成立 (1)如果命题 p 是真命题,求实数 m 的取值范围; (2)如果“pq”为假命题, “pq”为真命题,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)利用双曲线的性质,列出不等式即可求解 m 的范围 (2)命题 q 是真命题,求出 m 的范围,然后利用复合命题的真假,求解 m

27、的范围即可 【解答】解: (1)命题 p:方程表示焦点在 x 轴上的双曲线,若命题 p 为 真命题,则 3m10,m30, 即 m 的取值范围是 (2)若命题 q 为真命题,则 m2tanx0在有解,得2m2, 又“pq”为假命题, “pq”为真命题,则 p、q 两个命题一真一假, 若 p 真 q 假,则,解得 2m3, 若 p 假 q 真,则,解得, 第 16 页(共 23 页) 综上,实数 m 的取值范围为 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,复合命题的真假的判断,是基本知识的考 查 18 (12 分)已知椭圆的长轴长为 8,短轴长为 4 (1)求椭圆方程; (2)过 P(2,1)作弦

28、且弦被 P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长 【分析】 (1)由题意之间求出 a,b 的值,即写出椭圆的方程; (2) 设过 P 的直线与椭圆的交点坐标, 点差法求出直线的斜率, 由点斜式写出直线方程, 联立椭圆求出交点坐标,进而求出弦长 【解答】解: (1)由椭圆长轴长为 8,短轴长为 4, 得 2a8,2b4,所以 a4,b2, 所以椭圆方程为; (2)设以点 P(2,1)为中点的弦与椭圆交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x24, y1+y22 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在椭圆上,所以,; 两式相减可得(x1+x2) (x1x2)+4(y1+y2) (y1y

29、2)0, 所以 AB 的斜率为, 点 P(2,1)为中点的弦所在直线方程为 x+2y40; 由,得 x24x0,所以或, 所以 【点评】考查直线与椭圆的综合,属于中档题 19 (12 分)已知ABC 中,AC2,A120,cosBsinC 第 17 页(共 23 页) (1)求边 AB 的长; (2)设 D 是 BC 边上的一点,且ACD 的面积为,求ADC 的正弦值 【分析】 (1)A120,cosBsinC,求出 tanC,得出ABC 是以 A 为顶角 的等腰三角形可得边 AB 的长; (2)ACD 的面积为,求出 CD,根据勾股定理可求得 AD,在ADC 中利用正弦 定理,求ADC 的正

30、弦值 【解答】 (1)在ABC 中,A120, cosBcos(AC)cos(60C)cosC+sinC cosBsinC 联立可得cosC+sinCsinC 解得 tanC 在在ABC 中,A120 C60 C30 B30 ABC 是以 A 为顶角的等腰三角形 AB2 (2)如图,AE 是等腰三角形 ABC 的高和中线,也是ACD 的高 B30 在 RtABE 中,AEsin30AB1,BEcos30AB CE SACD 即CDAE CD DECDCE 第 18 页(共 23 页) 在 RtADE 中,AD ADC 中,根据正弦定理可得: sinADC 【点评】本题考查正弦定理的运用,考查三

31、角形面积的计算,考查学生的计算能力,属 于中档题 20 (12 分)已知双曲线的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点 F2的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1为左焦点 ()求双曲线的方程; ()若F1AB 的面积等于 6,求直线 l 的方程 【分析】 (1)根据题意,得离心率 e2 且 b,结合 c2a2+b2联解得 a1,即 得双曲线的方程; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 l 方程:yk(x2) 由双曲线方程与直线 l 方 程消去 y,得关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系和F1AB 的面积等于 6, 建立关于 k 的方程并解出 k 的值,即

32、得直线 l 的方程 【解答】解: (1)双曲线的渐近线方程为 bxay0, 双曲线焦点(c,0)到渐近线的距离为b 又双曲线离心率 e2 c2a,平方得 c2a2+b2a2+34a2,解得 a1 第 19 页(共 23 页) 因此,双曲线的方程为 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由右焦点 F2(2,0)设直线 l 方程:yk(x2) 由消去 y,得(k23)x24k2x+4k2+30 根据题意知 k,由根与系数的关系得:x1+x2,x1x2,y1y2k (x1x2) F1AB 的面积 Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|2|k| 66 两边去分母并且平方整理,得 k4+

33、8k290,解之得 k21(舍负) k1,得直线 l 的方程为 y(x2) 【点评】本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率,求双曲线的方程并 探索焦点弦截得的三角形面积问题,着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直 线与双曲线位置关系等知识点,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)3x2+6x,Sn是数列an的前 n 项和,点(n,Sn) (nN*) 在曲线 yf(x)上 (1)求数列an的通项公式; (2)若,且 Tn是数列cn的前 n 项和试问 Tn是否存在最 大值?若存在,请求出 Tn的最大值;若不存在,请说明理由 【分析】(1) 通过 (n, Sn) 在曲线

34、yf (x) 上, 且 f (x) 3x2+6x, 求出 然 后求解通项公式 (2)通过,利用裂项消项法求解数列的和, 通过转化求解即可 【解答】解: (1)因为(n,Sn)在曲线 yf(x)上,且 f(x)3x2+6x, 第 20 页(共 23 页) 所以 当 n2 时, 当 n1 时,a1S13 适合上式,所以 an96n (2)因为, 所以, , 得 整理得 所以 因为 n1,所以,所以 Tn+1Tn0,即 Tn+1Tn, 所以 T1T2TnTn+1,所以 Tn存在最大值 【点评】本题考查数列与函数综合应用,数列求和的方法,数列的函数特征,考查转化 思想以及计算能力,是中档题 22 (1

35、2 分)已知椭圆(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的 短半轴为半径的圆与直线相切 ()求椭圆 C 的方程; ()设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭 圆 C 于另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; ()在()的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求的取值范 围 【分析】 ()由题意知,能够导出再由可以导出椭 第 21 页(共 23 页) 圆 C 的方程为 () 由题意知直线 PB 的斜率存在, 设直线 PB 的方程为 yk (x4) 由 得(4k2+3)x232k2x+64k2120,再由根与

36、系数的关系证明直线 AE 与 x 轴相交于定 点 Q(1,0) ()分 MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论,当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时,设 直线 MN 的方程为 ym (x1) , 且 M (xM, yM) , N (xN, yN) 在椭圆 C 上 由 得(4m2+3)x28m2x+4m2120再由根据判别式和根与系数的关系求解的取 值范围;当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x1,易得 M、N 的坐标,进而 可得的取值范围,综合可得答案 【解答】解: ()由题意知, 所以 即 又因为, 所以 a24,b23 故椭圆 C 的方程为 ()由题意知直线 PB 的斜率存在,

37、设直线 PB 的方程为 yk(x4) 由得(4k2+3)x232k2x+64k2120 设点 B(x1,y1) ,E(x2,y2) ,则 A(x1,y1) 直线 AE 的方程为 第 22 页(共 23 页) 令 y0,得 将 y1k(x14) ,y2k(x24)代入, 整理,得 由得,代入 整理,得 x1 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0) ()当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 ym(x1) ,且 M(xM, yM) ,N(xN,yN)在椭圆 C 上 由得(4m2+3)x28m2x+4m2120 易知0 所以, 则 因为 m20,所以 所以 当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x1 解得,N(1,)或 M(1,) 、N(1,) 此时 所以的取值范围是 【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系,解题时要认真审 题,注意公式的灵活运用

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