1、已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 2 （5 分）平面内有两定点 A、B 及动点 P，设命题甲是： “|PA|+|PB|是定值” ，命题乙是： “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ，那么（ ） A甲是乙成立的充分不必要条件 B甲是乙成立的必要不充分条件 C甲是乙成立的充要条件 D甲是乙成立的非充分非必要条件 3 （5 分）命题“x1，2，x23x+20”的否定是（ ） Ax1，2，x23x+20 Bx1，2，x23x+20 C D 4 （5 分）设 a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（ ） A充分不必要条件 B必要
2、不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则它的渐近线为（ ） Ayx Byx Cy2x Dyx 6 （5 分）如果方程表示双曲线，则 m 的取值范围是（ ） A （2，+） B （2，1） C （，1） D （1，2） 7 （5 分）已知 F1，F2是椭圆上的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A， B 两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A B C D 第 2 页（共 23 页） 8 （5 分）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260， 则|PF1|PF
3、2|（ ） A2 B4 C6 D8 9 （5 分）焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e，F，A 分别是椭圆的左焦点和右 顶点，P 是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ） A4 B6 C8 D10 10 （5 分）设 A、B 分别为双曲线（a0，b0）的左、右顶点，P 是双曲线上 不同于 A、B 的一点，直线 AP、BP 的斜率分别为 m、n，则当取最小值时，双 曲线的离心率为（ ） A B C D 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d26，则双曲
4、线的方程为（ ） A1 B1 C1 D1 12 （5 分）已知 F1（c，0） ，F2（c，0）是椭圆1（ab0）的左右两个焦点， P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若“x0，tanxm”是真命题，则实数 m 的最小值为 14 （5 分）已知命题 p1：函数 yln（x）是奇函数，p2：函数 y为偶函数， 第 3 页（共 23 页） 则在下列四个命题： p1p2； p1p2； （p1） （p2） ； p1 （p2） 中， 真命题的序号是
5、 15 （5 分）一动圆与圆 x2+y2+6x+50 外切，同时与圆 x2+y26x910 内切，则动圆圆 心 M 的轨迹方程是 16 （5 分）已知双曲线1（a0）的一条渐近线方程为xy0，左焦点为 F， 点 M 在双曲线右支上、点 N 在圆 x2+（y3）24 上运动时，则|MN|+|MF|的最小值 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线：命题 q：若存在 ，使得 m2tanx00 成立 （1）如果命
6、题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围； （2）如果“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）已知椭圆的长轴长为 8，短轴长为 4 （1）求椭圆方程； （2）过 P（2，1）作弦且弦被 P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长 19 （12 分）已知ABC 中，AC2，A120，cosBsinC （1）求边 AB 的长； （2）设 D 是 BC 边上的一点，且ACD 的面积为，求ADC 的正弦值 20 （12 分）已知双曲线的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点 F2的直线 l 交双曲线于 A、B 两点，F1为左焦点 （）求双曲线的方程； （）若F
7、1AB 的面积等于 6，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）3x2+6x，Sn是数列an的前 n 项和，点（n，Sn） （nN*） 在曲线 yf（x）上 （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 23 页） （2）若，且 Tn是数列cn的前 n 项和试问 Tn是否存在最 大值？若存在，请求出 Tn的最大值；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的 短半轴为半径的圆与直线相切 （）求椭圆 C 的方程； （）设 P（4，0） ，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交椭 圆 C 于另一点 E，
8、证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q； （）在（）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，求的取值范 围 第 5 页（共 23 页） 2019-2020 学年河南省洛阳一高高二（上）学年河南省洛阳一高高二（上）12 月月考数学月月考数学试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR
9、 CABx|x1 DAB 【分析】先分别求出集合 A 和 B，再求出 AB 和 AB，由此能求出结果 【解答】解：集合 Ax|x1， Bx|3x1x|x0， ABx|x0，故 A 正确，D 错误； ABx|x1，故 B 和 C 都错误 故选：A 【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、 并集定义的合理运用 2 （5 分）平面内有两定点 A、B 及动点 P，设命题甲是： “|PA|+|PB|是定值” ，命题乙是： “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ，那么（ ） A甲是乙成立的充分不必要条件 B甲是乙成立的必要不充分条件 C甲是乙成立的充要条件 D甲
10、是乙成立的非充分非必要条件 【分析】当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间 的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点 P 的轨迹是以 AB 为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值 【解答】解：命题甲是： “|PA|+|PB|是定值” ， 命题乙是： “点 P 的轨迹是以 AB 为焦点的椭圆 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时， 再加上这个和大于两个定点之间的距离， 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出， 第 6 页（共 23 页） 而点 P 的轨迹是以 AB 为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，
11、 甲是乙成立的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定 点之间的距离小于两个距离之和 3 （5 分）命题“x1，2，x23x+20”的否定是（ ） Ax1，2，x23x+20 Bx1，2，x23x+20 C D 【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案 【 解 答 】 解 ： 命 题 ：“ x1 ， 2 ， x2 3x+2 0的 否 定 是 ， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题 4 （5 分）设 a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（ ） A充分不必要条件 B
12、必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】解：若 ab， ab0，不等式 a|a|b|b|等价为 aabb，此时成立 0ab，不等式 a|a|b|b|等价为aabb，即 a2b2，此时成立 a0b，不等式 a|a|b|b|等价为 aabb，即 a2b2，此时成立，即充分性成 立 若 a|a|b|b|， 当 a0，b0 时，a|a|b|b|去掉绝对值得， （ab） （a+b）0，因为 a+b0，所以 a b0，即 ab 当 a0，b0 时，ab 当 a0，b0 时，a|a|b|b|去掉绝对值得， （ab
13、） （a+b）0，因为 a+b0，所以 a 第 7 页（共 23 页） b0，即 ab即必要性成立， 综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件， 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是 解决本题的关键 5 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则它的渐近线为（ ） Ayx Byx Cy2x Dyx 【分析】运用离心率公式，再由双曲线的 a，b，c 的关系，可得 a，b 的关系，再由渐近 线方程即可得到 【解答】解：由双曲线的离心率为， 则 e，即 ca， ba， 由双曲线的渐近线方程为 yx， 即有 yx 故选：B 【点评】本题考查双
14、曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基 础题 6 （5 分）如果方程表示双曲线，则 m 的取值范围是（ ） A （2，+） B （2，1） C （，1） D （1，2） 【分析】 根据双曲线的标准方程， 可得只需 2+m 与 1+m 只需异号即可， 则解不等式 （2+m） （1+m）0 即可求解 【解答】解：由题意知（2+m） （1+m）0， 解得1m1 故 的范围是（2，1） 故选：B 【点评】本题主要考查了双曲线的定义，属基础题；解答的关键是根据双曲线的标准方 程建立不等关系 第 8 页（共 23 页） 7 （5 分）已知 F1，F2是椭圆上的两个焦点，过 F1且与椭圆
15、长轴垂直的直线交椭圆于 A， B 两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A B C D 【分析】直接利用椭圆的通经与焦距的关系，求解即可 【解答】解：F1，F2是椭圆上的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A， B 两点，若ABF2是正三角形， 可得，即， ， 即：， 解得 e 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查 8 （5 分）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260， 则|PF1|PF2|（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】解法 1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|
16、PF2|的值 解法 2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|PF2|的 值 【解答】解：法 1由双曲线方程得 a1，b1，c， 由余弦定理得 cosF1PF2 |PF1|PF2|4 法2； 由焦点三角形面积公式得： 第 9 页（共 23 页） |PF1|PF2|4； 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考 生的综合运用能力及运算能力 9 （5 分）焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e，F，A 分别是椭圆的左焦点和右 顶点，P 是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】由椭圆焦点在 x 轴
17、，得 a2，A（2，0） ，由离心率公式求出 c，再 求出 b，利用坐标法求出为二次函数，配方法，利用 x 的范围求出最值 【解答】解：椭圆焦点在 x 轴，所以 a2，A（2，0） ， 由离心率 e，c1，所以 b，F（1，0） 设 P（x，y） ，则（2x，y） ，（1x，y） ， 则（2x） （1x）+y2，因为，代入化简得 ，又 x2，2， 当 x2 时，的最大值为 4 故选：A 【点评】考查椭圆的定义，离心率公式，向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题 10 （5 分）设 A、B 分别为双曲线（a0，b0）的左、右顶点，P 是双曲线上 不同于 A、B 的一点，直线 AP、BP 的斜率分
18、别为 m、n，则当取最小值时，双 曲线的离心率为（ ） A B C D 第 10 页（共 23 页） 【分析】 由题意求得直线 AP 及 PB 斜率， 可得 mn， 再根据基本不等式可得 a24b2 4（c2a2） ，即可求出 【解答】解：由 A（a，0） ，B（a，0） ，设 P（x0，y0） ， 则1，y02b2（） ， 则 m，n， 则 mn， +24，当且仅当 a24b2时取等号， 即 a24b24（c2a2） ， 4c25a2， 即 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，基本不等式，考查计算能力，属于中档题 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的离心率为 2，过右
19、焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d26，则双曲线的方程为（ ） A1 B1 C1 D1 【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可 【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y，即 bxay0，F（c，0） ， ACCD，BDCD，FECD，ACDB 是梯形， 第 11 页（共 23 页） F 是 AB 的中点，EF3， EFb， 所以 b3，双曲线1（a0，b0）的离心率为 2，可得， 可得：，解得 a 则双曲线的方程为：1 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的
20、应用，双曲线方程的求法，考查计算能力 12 （5 分）已知 F1（c，0） ，F2（c，0）是椭圆1（ab0）的左右两个焦点， P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 【分析】设 P（x0，y0） ，则，可得：由于， 可得c2，化为，利用，及其离心率计算 公式即可得出 第 12 页（共 23 页） 【解答】解：设 P（x0，y0） ，则， ， （cx0，y0） （cx0，y0）c2， 化为c2， 2c2， 化为， ， 0a2， 解得 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查 了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档
21、题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若“x0，tanxm”是真命题，则实数 m 的最小值为 1 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到 m 的范围 【解答】解： “x0，tanxm”是真命题， 可得 tanx1，所以，m1， 实数 m 的最小值为：1 故答案为：1 【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力 14 （5 分）已知命题 p1：函数 yln（x）是奇函数，p2：函数 y为偶函数， 第 13 页（共 23 页） 则在下列四个命题： p1p2； p1p2； （p1）（p2） ；
22、 p1（p2）中，真命题的序号是 【分析】确定命题 p1为真命题；命题 p2为假命题，再根据复合命题的真假判断规律，即 可得到结论 【解答】解：函数 f（x）ln（x）的定义域为 R，f（x）+f（x）0，函数 yln（x）是奇函数，命题 p1为真命题； 函数 y的定义域为0，+） ，命题 p2为假命题 p1为假命题，p2为真命题 p1p2，p1（p2）为真命题；p1p2， （p1）（p2）为假命题 故答案为： 【点评】本题考查复合命题的真假，解题的关键是确定简单命题的真假，再利用复合命 题的真假判断规律进行求解 15 （5 分）一动圆与圆 x2+y2+6x+50 外切，同时与圆 x2+y26
23、x910 内切，则动圆圆 心 M 的轨迹方程是 【分析】求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心坐标，判断动圆的圆心的轨迹满足 椭圆的定义，然后求解方程 【解答】解：设动圆圆心为 M（x，y） ，半径为 R，设已知圆的加以分别为 O1、O2， 将圆 x2+y2+6x+50 的方程分别配方得： （x+3）2+y24， 圆 x2+y26x910 化为（x3）2+y2100， 当动圆与圆 O1相外切时，有|O1M|R+2 当动圆与圆 O2相内切时，有|O2M|10R 将两式相加，得|O1M|+|O2M|12|O1O2|， 动圆圆心 M（x，y）到点 O1（3，0）和 O2（3，0）的距离和是常数 12
24、， 所以点 M 的轨迹是焦点为点 O1（3，0） 、O2（3，0） ，长轴长等于 12 的椭圆 2c6，2a12， c3，a6 b236927 第 14 页（共 23 页） 圆心轨迹方程为 故答案为： 【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是 椭圆是关键 16 （5 分）已知双曲线1（a0）的一条渐近线方程为xy0，左焦点为 F， 点 M 在双曲线右支上、 点N 在圆 x2+ （y3） 24上运动时， 则|MN|+|MF|的最小值为 7 【分析】求得双曲线的 a，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共 线取得最小值，连接 CF，交双曲线于 M
25、，圆于 N，计算可得所求最小值 【解答】解：由题意双曲线1（a0）的一条渐近线方程为xy0，可得 b2，则 a2， 可得双曲线1 焦点为 F（4，0） ，F， （4，0） ， 由双曲线的定义可得|MF|2a+|MF|4+|MF|， 由圆 x2+（y3）24 可得圆心 C（0，3） ，半径 r2， |MN|+|MF|4+|MN|+|MF|， 连接 CF，交双曲线于 M，圆于 N， 可得|MN|+|MF|取得最小值，且为|CF|5， 则则|MN|+|MF|的最小值为 4+527 故答案为：7 第 15 页（共 23 页） 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取
26、 得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线：命题 q：若存在 ，使得 m2tanx00 成立 （1）如果命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围； （2）如果“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用双曲线的性质，列出不等式即可求解 m 的范围 （2）命题 q 是真命题，求出 m 的范围，然后利用复合命题的真假，求解 m
27、的范围即可 【解答】解： （1）命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，若命题 p 为 真命题，则 3m10，m30， 即 m 的取值范围是 （2）若命题 q 为真命题，则 m2tanx0在有解，得2m2， 又“pq”为假命题， “pq”为真命题，则 p、q 两个命题一真一假， 若 p 真 q 假，则，解得 2m3， 若 p 假 q 真，则，解得， 第 16 页（共 23 页） 综上，实数 m 的取值范围为 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，是基本知识的考 查 18 （12 分）已知椭圆的长轴长为 8，短轴长为 4 （1）求椭圆方程； （2）过 P（2，1）作弦
28、且弦被 P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长 【分析】 （1）由题意之间求出 a，b 的值，即写出椭圆的方程； （2） 设过 P 的直线与椭圆的交点坐标， 点差法求出直线的斜率， 由点斜式写出直线方程， 联立椭圆求出交点坐标，进而求出弦长 【解答】解： （1）由椭圆长轴长为 8，短轴长为 4， 得 2a8，2b4，所以 a4，b2， 所以椭圆方程为； （2）设以点 P（2，1）为中点的弦与椭圆交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x24， y1+y22 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在椭圆上，所以，； 两式相减可得（x1+x2） （x1x2）+4（y1+y2） （y1y
29、2）0， 所以 AB 的斜率为， 点 P（2，1）为中点的弦所在直线方程为 x+2y40； 由，得 x24x0，所以或， 所以 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题 19 （12 分）已知ABC 中，AC2，A120，cosBsinC 第 17 页（共 23 页） （1）求边 AB 的长； （2）设 D 是 BC 边上的一点，且ACD 的面积为，求ADC 的正弦值 【分析】 （1）A120，cosBsinC，求出 tanC，得出ABC 是以 A 为顶角 的等腰三角形可得边 AB 的长； （2）ACD 的面积为，求出 CD，根据勾股定理可求得 AD，在ADC 中利用正弦 定理，求ADC 的正
30、弦值 【解答】 （1）在ABC 中，A120， cosBcos（AC）cos（60C）cosC+sinC cosBsinC 联立可得cosC+sinCsinC 解得 tanC 在在ABC 中，A120 C60 C30 B30 ABC 是以 A 为顶角的等腰三角形 AB2 （2）如图，AE 是等腰三角形 ABC 的高和中线，也是ACD 的高 B30 在 RtABE 中，AEsin30AB1，BEcos30AB CE SACD 即CDAE CD DECDCE 第 18 页（共 23 页） 在 RtADE 中，AD ADC 中，根据正弦定理可得： sinADC 【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三
31、角形面积的计算，考查学生的计算能力，属 于中档题 20 （12 分）已知双曲线的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点 F2的直线 l 交双曲线于 A、B 两点，F1为左焦点 （）求双曲线的方程； （）若F1AB 的面积等于 6，求直线 l 的方程 【分析】 （1）根据题意，得离心率 e2 且 b，结合 c2a2+b2联解得 a1，即 得双曲线的方程； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 l 方程：yk（x2） 由双曲线方程与直线 l 方 程消去 y，得关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和F1AB 的面积等于 6， 建立关于 k 的方程并解出 k 的值，即
32、得直线 l 的方程 【解答】解： （1）双曲线的渐近线方程为 bxay0， 双曲线焦点（c，0）到渐近线的距离为b 又双曲线离心率 e2 c2a，平方得 c2a2+b2a2+34a2，解得 a1 第 19 页（共 23 页） 因此，双曲线的方程为 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由右焦点 F2（2，0）设直线 l 方程：yk（x2） 由消去 y，得（k23）x24k2x+4k2+30 根据题意知 k，由根与系数的关系得：x1+x2，x1x2，y1y2k （x1x2） F1AB 的面积 Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|2|k| 66 两边去分母并且平方整理，得 k4+
33、8k290，解之得 k21（舍负） k1，得直线 l 的方程为 y（x2） 【点评】本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率，求双曲线的方程并 探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直 线与双曲线位置关系等知识点，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）3x2+6x，Sn是数列an的前 n 项和，点（n，Sn） （nN*） 在曲线 yf（x）上 （1）求数列an的通项公式； （2）若，且 Tn是数列cn的前 n 项和试问 Tn是否存在最 大值？若存在，请求出 Tn的最大值；若不存在，请说明理由 【分析】（1） 通过 （n， Sn） 在曲线
34、yf （x） 上， 且 f （x） 3x2+6x， 求出 然 后求解通项公式 （2）通过，利用裂项消项法求解数列的和， 通过转化求解即可 【解答】解： （1）因为（n，Sn）在曲线 yf（x）上，且 f（x）3x2+6x， 第 20 页（共 23 页） 所以 当 n2 时， 当 n1 时，a1S13 适合上式，所以 an96n （2）因为， 所以， ， 得 整理得 所以 因为 n1，所以，所以 Tn+1Tn0，即 Tn+1Tn， 所以 T1T2TnTn+1，所以 Tn存在最大值 【点评】本题考查数列与函数综合应用，数列求和的方法，数列的函数特征，考查转化 思想以及计算能力，是中档题 22 （1
35、2 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的 短半轴为半径的圆与直线相切 （）求椭圆 C 的方程； （）设 P（4，0） ，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交椭 圆 C 于另一点 E，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q； （）在（）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，求的取值范 围 【分析】 （）由题意知，能够导出再由可以导出椭 第 21 页（共 23 页） 圆 C 的方程为 （） 由题意知直线 PB 的斜率存在， 设直线 PB 的方程为 yk （x4） 由 得（4k2+3）x232k2x+64k2120，再由根与
36、系数的关系证明直线 AE 与 x 轴相交于定 点 Q（1，0） （）分 MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时，设 直线 MN 的方程为 ym （x1） ， 且 M （xM， yM） ， N （xN， yN） 在椭圆 C 上 由 得（4m2+3）x28m2x+4m2120再由根据判别式和根与系数的关系求解的取 值范围；当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时，其方程为 x1，易得 M、N 的坐标，进而 可得的取值范围，综合可得答案 【解答】解： （）由题意知， 所以 即 又因为， 所以 a24，b23 故椭圆 C 的方程为 （）由题意知直线 PB 的斜率存在，
37、设直线 PB 的方程为 yk（x4） 由得（4k2+3）x232k2x+64k2120 设点 B（x1，y1） ，E（x2，y2） ，则 A（x1，y1） 直线 AE 的方程为 第 22 页（共 23 页） 令 y0，得 将 y1k（x14） ，y2k（x24）代入， 整理，得 由得，代入 整理，得 x1 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q（1，0） （）当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 ym（x1） ，且 M（xM， yM） ，N（xN，yN）在椭圆 C 上 由得（4m2+3）x28m2x+4m2120 易知0 所以， 则 因为 m20，所以 所以 当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时，其方程为 x1 解得，N（1，）或 M（1，） 、N（1，） 此时 所以的取值范围是 【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审 题，注意公式的灵活运用