1、湖南省湖南省 2020 届高三六校联考试题届高三六校联考试题 数学（文科）数学（文科） 考生注意： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.时量 120 分钟，满分 150 分.答题前，考生 务必将自己的准考证号、 姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名、 考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回. 第卷 一、选择题
2、：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合1,2,3,4A，1,4,5B ，CAB，则C的子集共有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 8 个 D. 4 个 2. 设复数z满足24 6zzi（z是z的共轭复数，i是虚数单位） ，则复数z在复平面内所对应的点位于 （ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 下面四个条件中，使mn成立的充分而不必要的条件是（ ） A. 33 mn B. 2mn C. 22 mn D. 2mn 4. 设 3 log 2a ， 9 log 3b ，
3、2 log 3c ，则（ ） A. acb B. cba C. cab D. bca 5. 双曲线 22 2xnyn nR的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 与n的值有关 6. “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统宗中有一首“竹筒容米”问题： “家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次 第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.” （注六升六：6.6 升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量） 用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（ ） A. 3.4 升 B. 2.4 升 C. 2.3 升
4、 D. 3.6 升 7. 函数2 sinyxx的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 5 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 4 3 9. 已知实数x，y满足约束条件 20 0 0 xy xy xt ，若2zxy的最大值为 8，则z的最小值为（ ） A. -6 B. 6 C. 3 D. -4 10. 已知等边ABC的边长为 2，BDxBA，CEyCA，0x，0y ，且1xy，则CD BE的 最大值为（ ） A. 3 4 B. 3 2 C. 9 8 D. -2 11. 函数 2 261 cos2 2 x f xxxxxR 的
5、零点个数为（ ） A. 8 B. 9 C. 6 D. 4 12. 在棱长为 6 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是BC的中点，点P是正方体的表面 11 DCC D（包括边 界）上的动点，且满足APDMPC，则三棱锥PBCD体积的最大值是（ ） A. 12 3 B. 36 C. 24 D. 18 3 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考 题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染
6、的标志是 “连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人”.已知过去 10 日，A、B、C三地新增疑似病例数据信息如 下： A地：总体平均数为 3，中位数为 4； B地：总体平均数为 2，总体方差为 3； C地：总体平均数为 1，总体方差大于 0； 则A、B、C三地中，一定没有发生大规模群体感染的是 地. 14. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是15 8 ，则正整数a_. 15. 过抛物线C： 2 2xy的焦点F的直线l交C于两点A、B， 点A处的切线与x、y轴分别交于两点P、 Q，若POQ（O为坐标原点）的面积为 1，则AF _. 16. 已知ABC的内角A、B、C的对边分别是
7、a、b、c，若4ab，且 222 sinsinsincoscossinsinABCaBbAcAB，则边c的取值范围为_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题，共 60 分. 17. 2020 年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件 的开发与使用成为了一个热门话题.为了解 “钉钉” 软件的使用情况，“钉钉” 公司借助网络进行了问卷调查， 并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表（单位：人） ： 经常使用 偶尔或不用 合计 35 岁及以下 70 30 100 35
8、岁以上 60 40 100 合计 130 70 200 （1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？ （2）现从所抽取的 35 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人.从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送 一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用“钉钉”软件的概率. 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18. 已知数列 n
9、 a前几项和为 n S， 1 2a ， 1 3 12 nnn SSna n . （1）若 n n a b n ，求数列 n b的通项公式； （2）若1 nn can，求数列 n c的前n项和 n T. 19. 如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，60ABC，PA 平面ABCD，2AB ， PD与平面ABCD所成的角为45，点M为PC的中点. （1）求证：平面PAC 平面BDM； （2）求二面角CMDB的正切值. 20. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，经过左焦点 1 F的最短弦长为 3，离心率 为 1 2 （1）求椭圆的标准方程；
10、 （2）过2,0C的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H， 1 HFx轴，过S的另一直线与椭圆交 于M、N两点，若 1 6 SMHSNC SS ，求直线MN的方程. 21. 已知函数 2 2 x t fxexx（tR，e为自然对数的底数） ，且 f x在点 1,1f处的切线的斜 率为e，函数 2 1 , 2 g xxaxb aR bR. （1）求 f x的单调区间和极值； （2）若 f xg x，求 1 2 b a 的最大值. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以
11、原点为极点，x轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极 坐标方程为 2 7cos224，直线l过点1,0P倾斜角为. （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线l的参数方程； （2）当 3 4 时，直线l交曲线C于A，B两点，求 11 PAPB . 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 211f xxx . （1）解不等式 6f x ； （2）记函数 1g xf xx的最小值为m，若, ,a b cR，且234abcm，求证： 111 3 234abc . 湖南省湖南省 2020 届高三六校联考试题届高三六校联考试题 数学（文科）参考答案数学（文科）参考答案
12、一、选择题 1-5：DCBCB 6-10：ACBDB 11-12：AA 10. B 【解析】已知等边ABC的边长为 2，以线段AB的中点为原点，线段AB所在的直线为x轴建立平 面直角坐标系，则1,0A ，1,0B， 0, 3C，由BDxBA，CEyCA，得1 2 ,0Dx， , 33Eyy，且1xy，则 2 2 133 2222 222 CD BEyyy ，最大值为 3 2 . 11. A 【解析】依题意1x显然不是函数的零点，所以1x时，由 2 26(1)cos20 2 x xxx ， 得 1 6cos1 21 x x x ，在同一坐标系内做出两个函数6cos 2 x y 和 1 1 1 y
13、x x 的图象，知两函 数有 8 个交点，所以原函数的零点个数为 8. 12. A 【解析】因为AD 平面 11 DDCC，则ADDP，同理BC 平面 11 DDCC，则BCCP， APDMPC， 所以PADPMC， 2A DM C， 2P DP C， 下面研究点P在面 11 DDCC 内的轨迹，在平面直角坐标系内，设0,0D，6,0C， 1 6,6C，设,P x y，因为2PDPC，所以 2222 2 (6)xyxy，化简得 2 2 816xy，该圆与 1 CC的交点的纵坐标最大，交点坐标为 6,2 3，三棱锥PBCD的底面BCD的面积为 18， 要使三棱锥PBCD的体积最大，只需高最大，
14、当P在 1 CC上时2 3CP ，棱锥的高最大，所以最大体积为 1 18 2 312 3 3 V . 二、填空题 13. B 14. 7 15. 5 2 16. 2,4 15. 5 2 【解析】设 2 ,(0) 2 t A tt ，由抛物线C： 2 2xy得 2 2 x y ， yx， 则点A处的切线方程为 2 () 2 t yt xt，与x、y轴分别交于两点,0 2 t P 、 2 0, 2 t Q ， 若POQ的面积为 1，则 2 1 1 2 22 tt ，2t ，则 15 2 22 AF . 16. 2,4【解析】ABC中，由正弦定理得 222 ( coscos)abcaBbAabc，
15、由余弦定理可得：2cos( coscos)abCaBbAabc，2cosCsin()sinABC， sin0C ， 1 cos 2 C ，又0,C， 3 C ， 方法一：依题意 2 3 BA ，由正弦定理 2sin 3 sin 3 2 abc A A ，又4ab， 2 32 2 sinsinsin 36 c AAA ， 2 0, 3 A ， 5 , 666 A ， 可得： 1 sin,1 62 A ，2,4c. 方法二：由余弦定理可得： 2222 2cos60()3cabababab 2 1631634 2 ab ab . 2c，又4cab，2,4c. 三、解答题 17.【解析】 （1）由列联
16、表可得， 2 2 200 (70 4060 30) 2.1982.072 130 70 100 100 K . 能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关. （2） 依题意可得， 在每层中所抽取的比例为 51 10020 .所以从经常使用 “钉钉” 软件的人中抽取 1 603 20 （人） ，从偶尔或不用“钉钉”软件的人中抽取 1 402 20 （人）. 设这 5 人中，经常使用“钉钉”软件的 3 人分别为a，b，c；偶尔或不用“钉钉”软件的 2 人分别为d， e， 则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为：, a b，, a c，, a d，, a e，
17、, b c，, b d，, b e，, c d， , c e，,d e，共 10 种. 选出的 2 人中没有 1 人经常使用“钉钉”软件的可能结果为,d e，共 1 种. 故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用“钉钉”软件的概率 19 1 1010 P . 18.【解析】 （1）由题知 11 3 (1)2 n nnn a aSSn n ，即 1 32 1 nn aa nn ， 即 1 131 1 nn aa nn ，即 1 131 nn bb ， 1 2a ， 11 1130ba ，110 n n a b n ， 数列1 n b 是首项为 3，公比为 3 的等比数列， 13n n b ，即3
18、1 n n b . （2）由（1）知，3n n ann，31 n n cn， 23 1 32 33 33n n Tnn ， 231 31 32 3(1) 333 nn n Tnnn ， -得， 231 2333332 nn n Tnn 1 1 3 1 3 (1 2 )33 322 1 32 n n n n nnn ， 1 (21)33 4 n n n Tn . 19.【解析】 （1）因为ABCD是菱形，所以ACBD， 又因为PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PABD， 又因为PAACA，所以BD 平面PAC， 因为BD 平面BDM，所以平面PAC 平面BDM. （2）设AC与BD交于
19、点O，连接OM，因为点M为PC的中点， 所以/OMPA，所以OMAC， 因为平面PAC 平面BDM，OM为两个面的交线，所以AC 平面BDM， 所以OCMD，过点O作OHMD，连接HC，则MD 平面OHC， 所以MDHC，则OHC为二面角CMDB的平面角. 因为PD与平面ABCD所成的角为45，PA 平面ABCD，所以2PAADAB， 所以1OM ，3OD ， 3 2 OH ，1OC ， 所以 2 3 tan 3 OC OHC OH ，即二面角CMDB的正切值为 2 3 3 . 20.【解析】 （1）由条件，得 2 2 3 b a ， 2 23ba，且 1 2 c a ，2ac， 联立解得2a
20、，3b ，1c， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . （2）由已知可得， 3 1, 2 H ，2,00,1CS， （i）直线MN的斜率不存在时，MN的方程为0x， 此时 31 23 3 1 SN SM ，不符合条件舍去； （ii）直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx. 代入椭圆方程得 22 34880kxkx，0 显然成立，设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 则有 12 2 8 34 k xx k ， 12 2 8 34 x x k ， 因为2ac，所以2SCSH，由 1 sin 1 2 1 26 sin 2 SMH SNC SM SHMSH SMS SSN S
21、N SCNSC ， 所以 1 3 SM SN ，所以3SNSM，所以 21 3xx ， 代入得 2 3 2 k ， 6 2 k ， 所以直线MN的方程为 6 1 2 yx或 6 1 2 yx . 21.【解析】 （1）由已知得 1 x fxetx ， f x在点 1,1f处的切线的斜率为e， 1fe，从而1t ， 2 1 2 x exfxx. 1 x fxex ，又 1 x fxex 在R上递增，且 00f， 当0x时， 0fx ；0x时， 0fx ， f x的单调减区间为,0，单调增区间为0,， 01f xf 极小值 ，无极大值. （2） 2 1 10 2 x f xxaxbh xeaxb得
22、 1 x h xea， 当10a 时， 0h xyh x在xR上单调递增， 当x时， h x 与 0h x 相矛盾； 当10a 时， 00 x h xebb ，此时 1 0 2 b a ； 当10a 时， 0ln1h xxa， 0ln1h xxa得， 当ln1xa时， min 11 ln10h xaaab ，即 11 ln1aaab， 22 111ln1abaaa（其中10a ）. 令 22 ln0F xxxx x，则 1 2lnFxxx， 00Fxxe， 0Fxxe， 当xe时， max 2 e F x，即当1ae， 2 e b 时，1ab的最大值为 2 e ， 1 2 ab 的最大值为 4
23、 e . 综上所述： 1 2 ab 的最大值为 4 e . 22.【解析】 （1）由 2 7cos224得， 22222 7cossin240， 将 222 xy，cosx，siny代入上式整理得 22 1 43 xy ， 曲线C的直角坐标方程为 22 1 43 xy ， 由题知直线l的参数方程为 1cos sin xt yt （t为参数）. （注：参数t设为其他合理字母也可） （2）设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t，当 3 4 时， 直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 xt yt （t为参数） ，代入曲线C的方程 22 1 43 xy 中整理得， 2 76
24、2180tt， 12 6 2 7 tt， 1 2 18 7 t t ， 2 12121 2 4tttttt 2 6 21824 4 777 ， 12 121 2 114 3 11t P t ttt tAPB . 23.【解析】 （1） 1 6 36 x f x x 或 1 1 2 26 x x 或 1 2 36 x x ， 解得22x . 即不等式 6f x 的解集为| 22xx . （2） 12122g xf xxxx 21 223xx ， 当且仅当21 220xx时取等号，3m. , ,a b cR，2343abc， 1111111 (234 ) 2343234 abc abcabc 1232434 33 3324243 abacbc bacacb ， 当且仅当234abc，即 1 2 a ， 1 3 b ， 1 4 c 时取等号. 111 3 234abc .
