西藏山南市2020届高三第一次模拟数学试卷(文科)含答案解析

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1、2020 年高考(文科)数学一模试卷年高考(文科)数学一模试卷 一、选择题(共 12 小題). 1已知集合 Ax|1x2,Bx|x1,则 AB( ) A(1,1) B(1,2) C(1,+) D(1,+) 2复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A1+i B1i C1+i D1i 3函数 y+的定义域为( ) A,+) B(,3)(3,+) C,3)(3,+) D(3,+) 4在等差数列an中,若 a24,a48,则 a7( ) A8 B12 C14 D10 5为了得到函数 ysin(2x)的图象,只需把函数 ysin2x 上的所有的点( ) A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位

2、长度 C向左平行移动个单位长度 D向右平行移动单位长度 6设 a,b,cR 且 ab,则下列不等式成立的是( ) Acacb Bac2bc2 C D1 7若实数 x,y 满足条件,目标函数 z2xy,则 z 的最大值为( ) A B1 C2 D0 8我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五 尺,问日织几何?这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布 都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上 述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是( ) A2 B3 C4 D1 9若点(2,k)到

3、直线 5x12y+60 的距离是 4,则 k 的值是( ) A1 B3 C1 或 D3 或 10根据如图所示的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出的 y 值等于( ) A1 Be Ce 1 De2 11 已知点在双曲线 上, 则该双曲线的离心率为 ( ) A B C D 12关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1,+),则关于 x 的不等式(ax+b)(x3) 0 的解集是( ) A(,1)(3,+) B(1,3) C(1,3) D(,1)(3,+) 二填空题(共 4 小题,共 20 分) 13已知 x0,y0,且+1,则 x+2y 的最小值是 14已知向量,若 ,则实数 m 15某

4、中学高一年级有学生 1200 人,高二年级有学生 900 人,高三年级有学生 1500 人,现 按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为 720 的样本进行某项研 究,则应从高三年级学生中抽取 人 16已知函数 f(x)x2+2f(1)lnx,则曲线 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 三解答题(共 70 分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为 必考题,每个试题考生必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答)(一)必 考题:共 60 分 17在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b3,c8,角 A 为锐角, AB

5、C 的面积为 6 (1)求角 A 的大小; (2)求 a 的值 18如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是棱长为 2 的正方形,侧面 PAD 为正 三角形,且面 PAD面 ABCD,E、F 分别为棱 AB、PC 的中点 (1)求证:EF平面 PAD; (2)求三棱锥 BEFC 的体积; (3)求二面角 PECD 的正切值 19为迎接 2022 年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后 对学生进行了考核记 X 表示学生的考核成绩,并规定 X85 为考核优秀为了了解本 次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩,并作成如下 茎叶图

6、: ()从参加培训的学生中随机选取 1 人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的 概率; ()从图中考核成绩满足 X80,89的学生中任取 2 人,求至少有一人考核优秀的概 率; ()记 P(aXb)表示学生的考核成绩在区间a,b的概率,根据以往培训数据, 规定当时培训有效请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训 活动是否有效,并说明理由 20已知抛物线 y22px(p0),过点 C(2,0)的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,坐标 原点为 O,12 (I)求抛物线的方程; ()当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时,求直线 l 的方程 21已知函数 f(x)ax3+bx2,当 x1 时,有

7、极大值 3; (1)求 a,b 的值;(2)求函数 f(x)的极小值及单调区间 (二)选考题:共 10 分,请考生在 22 题、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2cos (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P(,0),直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AP|+|PB|的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)|x+1|+|x2| (1)已知关于 x 的不等式 f(

8、x)a 有实数解,求 a 的取值范围; (2)求不等式 f(x)x22x 的解集 参考答案 一单选题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1已知集合 Ax|1x2,Bx|x1,则 AB( ) A(1,1) B(1,2) C(1,+) D(1,+) 【分析】直接由并集运算得答案 解:Ax|1x2,Bx|x1, ABx|1x2x|x1(1,+) 故选:C 2复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】化简已知复数 z,由共轭复数的定义可得 解:化简可得 z 1+i, z 的共轭复数 1i

9、 故选:B 3函数 y+的定义域为( ) A,+) B(,3)(3,+) C,3)(3,+) D(3,+) 【分析】根据函数 y 的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可 解:函数 y+, , 解得 x且 x3; 函数 y 的定义域为,3)(3,+) 故选:C 4在等差数列an中,若 a24,a48,则 a7( ) A8 B12 C14 D10 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出结果 解:在等差数列an中,a24,a48, , 解得 a12,d2, a7a1+6d2+1214 故选:C 5为了得到函数 ysin(2x)的图象,只需把函数 ysin2

10、x 上的所有的点( ) A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度 C向左平行移动个单位长度 D向右平行移动单位长度 【分析】由条件根据函数 yAsin(x+)的图象变换规律,可得结论 解:ysin(2x), 要得到函数 ysin(2x)的图象, 只需把函数 ysin2x 上的所有的点向右平移 个单位 故选:D 6设 a,b,cR 且 ab,则下列不等式成立的是( ) Acacb Bac2bc2 C D1 【分析】利用不等式的性质或通过取特殊值即可得出 解:A、由 ab 得到ab,则 cacb故本选项正确; B、当 c0 时,该不等式不成立,故本选项错误; C、当 a1b2 时,1,即

11、不等式不成立,故本选项错误; D、当 a1,b2 时,21,即不等式1 不成立,故本选项错误; 故选:A 7若实数 x,y 满足条件,目标函数 z2xy,则 z 的最大值为( ) A B1 C2 D0 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z2xy 过点(,1)时,z 最大值即可 解:先根据实数 x,y 满足条件,画出可行域如图, 做出基准线 02xy, 由图知,当直线 z2xy 过点 A(,1)时,z 最大值为 2 故选:C 8我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五 尺,问日织几何?这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的

12、女子,每天织的布 都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上 述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是( ) A2 B3 C4 D1 【分析】根据实际问题可以转化为等比数列问题:在等比数列an中,公比 q2,前 n 项和为 Sn, ,求 m,利用等比数列性质直接 解:根据实际问题可以转化为等比数列问题, 在等比数列an中,公比 q2,前 n 项和为 Sn, , S5 5,解得, , 解得 m3 故选:B 9若点(2,k)到直线 5x12y+60 的距离是 4,则 k 的值是( ) A1 B3 C1 或 D3 或 【分析】由题意可得

13、4,解方程可得 解:点(2,k)到直线 5x12y+60 的距离是 4, 4,解得 k3 或, 故选:D 10根据如图所示的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出的 y 值等于( ) A1 Be Ce 1 De2 【分析】模拟算法的运行过程,即可得出程序运行后输出 y 的值 解:模拟算法的运行过程,如下; 输入 x3,计算 x321,x0; 执行循环,计算 x121,x0; 终止循环,计算 ye1, 所以该程序运行后输出 ye1 故选:C 11 已知点在双曲线 上, 则该双曲线的离心率为 ( ) A B C D 【分析】利用双曲线上的点在双曲线上求解 b,然后求解双曲线的离心率即可 解:点

14、在双曲线上, 可得,可得 b3,又 a,所以 c10, 双曲线的离心率为:e 故选:C 12关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1,+),则关于 x 的不等式(ax+b)(x3) 0 的解集是( ) A(,1)(3,+) B(1,3) C(1,3) D(,1)(3,+) 【分析】利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出 解:关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1,+), 关于 x 的不等式(ax+b)(x3)0 可化为(x+1)(x3)0, x1 或 x3 关于 x 的不等式(ax+b)(x3)0 的解集是x|x1 或 x3 故选:A 二填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分

15、,共 20 分) 13已知 x0,y0,且+1,则 x+2y 的最小值是 8 【分析】 根据 x+2y (x+2y) (+) 2+2, 利用基本不等式求得它的最小值 解:x+2y(x+2y)(+)2+24+28, 当且仅当 时,等号成立, 故 x+2y 的最小值为 8, 故答案为:8 14已知向量,若 ,则实数 m 2 【分析】可求出,根据即可得出 4m+2(2m)0,解 出 m 即可 解:; ; 4m+2(2m)0; m2 故答案为:2 15某中学高一年级有学生 1200 人,高二年级有学生 900 人,高三年级有学生 1500 人,现 按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量

16、为 720 的样本进行某项研 究,则应从高三年级学生中抽取 300 人 【分析】先求得高三学生占的比例,再利用分层抽样的定义和方法,求得结果 解:高三学生占的比例为 , 则应从高三年级学生中抽取的人数为 720300, 故答案为:300 16已知函数 f(x)x2+2f(1)lnx,则曲线 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 2 【分析】先求出函数的导数,然后求出 f(1)的值,即为 x1 处切线的斜率 解:, f(1)2+2f(1), 解得 f(1)2 故答案为:2 三解答题(共 70 分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为 必考题,每个试题考生必须作答第 22

17、、23 题为选考题,考生根据要求作答)(一)必 考题:共 60 分 17在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b3,c8,角 A 为锐角, ABC 的面积为 6 (1)求角 A 的大小; (2)求 a 的值 【分析】(1)由三角形面积公式和已知条件求得 sinA 的值,进而求得 A (2)利用余弦定理公式和(1)中求得的 A 求得 a 解:(1)SABCbcsinA38sinA6 , sinA, A 为锐角, A (2)由余弦定理知 a7 18如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是棱长为 2 的正方形,侧面 PAD 为正 三角形,且面 PAD面 ABC

18、D,E、F 分别为棱 AB、PC 的中点 (1)求证:EF平面 PAD; (2)求三棱锥 BEFC 的体积; (3)求二面角 PECD 的正切值 【分析】(1) 取PD 中点G, 连结GF、 AG, 由三角形中位线定理可得GFCD 且, 再由已知可得 AECD 且,从而得到 EFGA 是平行四边形,则 EFAG,然后 利用线面平行的判定可得 EF面 PAD; (2)取 AD 中点 O,连结 PO,由面面垂直的性质可得 PO面 ABCD,且,求出 F 到面 ABCD 距离,然后利用等积法求得三棱锥 BEFC 的体积; (3)连 OB 交 CE 于 M,可得 RtEBCRtOAB,得到 OMEC进

19、一步证得 PM EC,可得PMO 是二面角 PECD 的平面角,然后求解直角三角形可得二面角 P ECD 的正切值 【解答】(1)证明:取 PD 中点 G,连结 GF、AG, GF 为PDC 的中位线,GFCD 且, 又 AECD 且,GFAE 且 GFAE, EFGA 是平行四边形,则 EFAG, 又 EF面 PAD,AG面 PAD, EF面 PAD; (2)解:取 AD 中点 O,连结 PO, 面 PAD面 ABCD,PAD 为正三角形,PO面 ABCD,且, 又 PC 为面 ABCD 斜线,F 为 PC 中点,F 到面 ABCD 距离, 故; (3)解:连 OB 交 CE 于 M,可得

20、RtEBCRtOAB, MEBAOB,则MEB+MBE90,即 OMEC 连 PM,又由(2)知 POEC,可得 EC平面 POM,则 PMEC, 即PMO 是二面角 PECD 的平面角, 在 RtEBC 中, ,即二面角 PECD 的正切值为 19为迎接 2022 年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后 对学生进行了考核记 X 表示学生的考核成绩,并规定 X85 为考核优秀为了了解本 次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩,并作成如下 茎叶图: ()从参加培训的学生中随机选取 1 人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的 概率; (

21、)从图中考核成绩满足 X80,89的学生中任取 2 人,求至少有一人考核优秀的概 率; ()记 P(aXb)表示学生的考核成绩在区间a,b的概率,根据以往培训数据, 规定当时培训有效请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训 活动是否有效,并说明理由 【分析】()根据茎叶图求出满足条件的概率即可; ()结合图表得到 6 人中有 2 个人考核为优,从而求出满足条件的概率即可; ()求出满足 的成绩有 16 个,求出满足条件的概率即可 解:()设这名学生考核优秀为事件 A, 由茎叶图中的数据可以知道,30 名同学中,有 7 名同学考核优秀, 所以所求概率 P(A)约为 ()设从图中考核成绩满足 X80

22、,89的学生中任取 2 人, 至少有一人考核成绩优秀为事件 B, 因为表中成绩在80,89的 6 人中有 2 个人考核为优, 所以基本事件空间 包含 15 个基本事件,事件 B 包含 9 个基本事件, 所以; ()根据表格中的数据,满足 的成绩有 16 个, 所以, 所以可以认为此次冰雪培训活动有效 20已知抛物线 y22px(p0),过点 C(2,0)的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,坐标 原点为 O,12 (I)求抛物线的方程; ()当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时,求直线 l 的方程 【分析】()设 l:xmy2,代入 y22px,可得根与系数的关系,再利用 12,可得 x1x

23、2+y1y212,代入即可得出 ()由()( )化为 y24my+80设 AB 的中点为 M,可得|AB|2xmx1+x2 m(y1+y2)44m24,又|AB|y1y2|,联立解出 m 即可得出 解:()设 l:xmy2,代入 y22px, 可得 y22pmy+4p0( ) 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y22pm,y1y24p, 则 x1x2 4 12, x1x2+y1y212, 即 4+4p12, 得 p2,抛物线的方程为 y24x ()由()( )化为 y24my+80 y1+y24m,y1y28 设 AB 的中点为 M, 则|AB|2xmx1+x2m(y1+y2

24、)44m24, 又|AB|y1y2|, 由得(1+m2)(16m232)(4m24)2, 解得 m23,m 直线 l 的方程为 x+y+20,或 xy+20 21已知函数 f(x)ax3+bx2,当 x1 时,有极大值 3; (1)求 a,b 的值;(2)求函数 f(x)的极小值及单调区间 【分析】 (1)由题意得到关于实数 a,b 的方程组,求解方程组即可求得函数的解析式; (2)结合(1)中函数的解析式求解导函数,利用导函数与原函数的性质求解最值和单 调区间即可 解:(1)f(x)3ax2+2bx, 当 x1 时, 据此解得 a6,b9, 函数解析式为:y6x3+9x2 (2)由(1)知

25、f(x)6x3+9x2, f(x)18x2+18x18x(x1),令 f(x)0,得 0x1;令 f(x)0, 得 x1 或 x0, 当 x0 时函数取得极小值为 0, 函数的单调增区间为:(0,1), 单调减区间为:(,0)和(1,+) (二)选考题:共 10 分,请考生在 22 题、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2cos (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P(,0),直线 l

26、 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AP|+|PB|的值 【分析】 (1)由代入法可得直线 l 的普通方程;由极坐标和直角坐标的关系:xcos, ysin,x2+y22,可得曲线 C 的直角坐标方程; (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,可得 t 的二次方程,再由参数的 几何意义和韦达定理,即可得到所求值 解:(1)直线 l 的参数方程为(t 为参数), 消去 t,可得 2x2y10; 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 由 xcos,ysin,x2+y22, 可得 x2+y22x,即曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2+y21; (2)将直线 l 的参数方程(t 为参

27、数)代入 C 的方程(x1)2+y21, 可得 t2 t0, +30, 设 t1,t2是点 A,B 对应的参数值, t1+t2,t1t2,则|PA|+|PB|t1t2| 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)|x+1|+|x2| (1)已知关于 x 的不等式 f(x)a 有实数解,求 a 的取值范围; (2)求不等式 f(x)x22x 的解集 【分析】(1)根据绝对值三角不等式求出 f(x)的最小值,然后由 f(x)a 有实数解 可知 af(x)min,从而求出 a 的范围; (2)将 f(x)去绝对值写成分段函数的形式,根据 f(x)x22x 分别解不等可得不等 式的解集 解:(1)f(x)|x+1|+|x2|(x+1)(x2)|3, 当且仅当(x+1)(x2)0,即1x2 时取等号, f(x)min3, 不等式 f(x)a 有实数解, af(x)min3, a 的取值范围为(3,+); (2)f(x)|x+1|+|x2|, f(x)x22x, 或或, 或1x2 或 x1, 不等式的解集为

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