1、2020 年高考（文科）数学一模试卷年高考（文科）数学一模试卷 一、选择题（共 12 小題）. 1已知集合 Ax|1x2，Bx|x1，则 AB（ ） A（1，1） B（1，2） C（1，+） D（1，+） 2复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3函数 y+的定义域为（ ） A，+） B（，3）（3，+） C，3）（3，+） D（3，+） 4在等差数列an中，若 a24，a48，则 a7（ ） A8 B12 C14 D10 5为了得到函数 ysin（2x）的图象，只需把函数 ysin2x 上的所有的点（ ） A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位
2、长度 C向左平行移动个单位长度 D向右平行移动单位长度 6设 a，b，cR 且 ab，则下列不等式成立的是（ ） Acacb Bac2bc2 C D1 7若实数 x，y 满足条件，目标函数 z2xy，则 z 的最大值为（ ） A B1 C2 D0 8我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五 尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布 都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上 述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ） A2 B3 C4 D1 9若点（2，k）到
3、直线 5x12y+60 的距离是 4，则 k 的值是（ ） A1 B3 C1 或 D3 或 10根据如图所示的程序框图，当输入的 x 值为 3 时，输出的 y 值等于（ ） A1 Be Ce 1 De2 11 已知点在双曲线 上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D 12关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+），则关于 x 的不等式（ax+b）（x3） 0 的解集是（ ） A（，1）（3，+） B（1，3） C（1，3） D（，1）（3，+） 二填空题（共 4 小题，共 20 分） 13已知 x0，y0，且+1，则 x+2y 的最小值是 14已知向量，若 ，则实数 m 15某
4、中学高一年级有学生 1200 人，高二年级有学生 900 人，高三年级有学生 1500 人，现 按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为 720 的样本进行某项研 究，则应从高三年级学生中抽取 人 16已知函数 f（x）x2+2f（1）lnx，则曲线 yf（x）在 x1 处的切线斜率为 三解答题（共 70 分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为 必考题，每个试题考生必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必 考题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b3，c8，角 A 为锐角， AB
5、C 的面积为 6 （1）求角 A 的大小； （2）求 a 的值 18如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是棱长为 2 的正方形，侧面 PAD 为正 三角形，且面 PAD面 ABCD，E、F 分别为棱 AB、PC 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）求三棱锥 BEFC 的体积； （3）求二面角 PECD 的正切值 19为迎接 2022 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后 对学生进行了考核记 X 表示学生的考核成绩，并规定 X85 为考核优秀为了了解本 次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下 茎叶图
6、： （）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的 概率； （）从图中考核成绩满足 X80，89的学生中任取 2 人，求至少有一人考核优秀的概 率； （）记 P（aXb）表示学生的考核成绩在区间a，b的概率，根据以往培训数据， 规定当时培训有效请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训 活动是否有效，并说明理由 20已知抛物线 y22px（p0），过点 C（2，0）的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，坐标 原点为 O，12 （I）求抛物线的方程； （）当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程 21已知函数 f（x）ax3+bx2，当 x1 时，有
7、极大值 3； （1）求 a，b 的值；（2）求函数 f（x）的极小值及单调区间 （二）选考题：共 10 分，请考生在 22 题、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 P（，0），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AP|+|PB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|x+1|+|x2| （1）已知关于 x 的不等式 f（
8、x）a 有实数解，求 a 的取值范围； （2）求不等式 f（x）x22x 的解集 参考答案 一单选题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1已知集合 Ax|1x2，Bx|x1，则 AB（ ） A（1，1） B（1，2） C（1，+） D（1，+） 【分析】直接由并集运算得答案 解：Ax|1x2，Bx|x1， ABx|1x2x|x1（1，+） 故选：C 2复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】化简已知复数 z，由共轭复数的定义可得 解：化简可得 z 1+i， z 的共轭复数 1i
9、 故选：B 3函数 y+的定义域为（ ） A，+） B（，3）（3，+） C，3）（3，+） D（3，+） 【分析】根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可 解：函数 y+， ， 解得 x且 x3； 函数 y 的定义域为，3）（3，+） 故选：C 4在等差数列an中，若 a24，a48，则 a7（ ） A8 B12 C14 D10 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果 解：在等差数列an中，a24，a48， ， 解得 a12，d2， a7a1+6d2+1214 故选：C 5为了得到函数 ysin（2x）的图象，只需把函数 ysin2
10、x 上的所有的点（ ） A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度 C向左平行移动个单位长度 D向右平行移动单位长度 【分析】由条件根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论 解：ysin（2x）， 要得到函数 ysin（2x）的图象， 只需把函数 ysin2x 上的所有的点向右平移 个单位 故选：D 6设 a，b，cR 且 ab，则下列不等式成立的是（ ） Acacb Bac2bc2 C D1 【分析】利用不等式的性质或通过取特殊值即可得出 解：A、由 ab 得到ab，则 cacb故本选项正确； B、当 c0 时，该不等式不成立，故本选项错误； C、当 a1b2 时，1，即
11、不等式不成立，故本选项错误； D、当 a1，b2 时，21，即不等式1 不成立，故本选项错误； 故选：A 7若实数 x，y 满足条件，目标函数 z2xy，则 z 的最大值为（ ） A B1 C2 D0 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z2xy 过点（，1）时，z 最大值即可 解：先根据实数 x，y 满足条件，画出可行域如图， 做出基准线 02xy， 由图知，当直线 z2xy 过点 A（，1）时，z 最大值为 2 故选：C 8我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五 尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的
12、女子，每天织的布 都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上 述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ） A2 B3 C4 D1 【分析】根据实际问题可以转化为等比数列问题：在等比数列an中，公比 q2，前 n 项和为 Sn， ，求 m，利用等比数列性质直接 解：根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列an中，公比 q2，前 n 项和为 Sn， ， S5 5，解得， ， 解得 m3 故选：B 9若点（2，k）到直线 5x12y+60 的距离是 4，则 k 的值是（ ） A1 B3 C1 或 D3 或 【分析】由题意可得
13、4，解方程可得 解：点（2，k）到直线 5x12y+60 的距离是 4， 4，解得 k3 或， 故选：D 10根据如图所示的程序框图，当输入的 x 值为 3 时，输出的 y 值等于（ ） A1 Be Ce 1 De2 【分析】模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出 y 的值 解：模拟算法的运行过程，如下； 输入 x3，计算 x321，x0； 执行循环，计算 x121，x0； 终止循环，计算 ye1， 所以该程序运行后输出 ye1 故选：C 11 已知点在双曲线 上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D 【分析】利用双曲线上的点在双曲线上求解 b，然后求解双曲线的离心率即可 解：点
14、在双曲线上， 可得，可得 b3，又 a，所以 c10， 双曲线的离心率为：e 故选：C 12关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+），则关于 x 的不等式（ax+b）（x3） 0 的解集是（ ） A（，1）（3，+） B（1，3） C（1，3） D（，1）（3，+） 【分析】利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出 解：关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+）， 关于 x 的不等式（ax+b）（x3）0 可化为（x+1）（x3）0， x1 或 x3 关于 x 的不等式（ax+b）（x3）0 的解集是x|x1 或 x3 故选：A 二填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分
15、，共 20 分） 13已知 x0，y0，且+1，则 x+2y 的最小值是 8 【分析】 根据 x+2y （x+2y） （+） 2+2， 利用基本不等式求得它的最小值 解：x+2y（x+2y）（+）2+24+28， 当且仅当 时，等号成立， 故 x+2y 的最小值为 8， 故答案为：8 14已知向量，若 ，则实数 m 2 【分析】可求出，根据即可得出 4m+2（2m）0，解 出 m 即可 解：； ； 4m+2（2m）0； m2 故答案为：2 15某中学高一年级有学生 1200 人，高二年级有学生 900 人，高三年级有学生 1500 人，现 按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量
16、为 720 的样本进行某项研 究，则应从高三年级学生中抽取 300 人 【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，求得结果 解：高三学生占的比例为 ， 则应从高三年级学生中抽取的人数为 720300， 故答案为：300 16已知函数 f（x）x2+2f（1）lnx，则曲线 yf（x）在 x1 处的切线斜率为 2 【分析】先求出函数的导数，然后求出 f（1）的值，即为 x1 处切线的斜率 解：， f（1）2+2f（1）， 解得 f（1）2 故答案为：2 三解答题（共 70 分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为 必考题，每个试题考生必须作答第 22
17、、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必 考题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b3，c8，角 A 为锐角， ABC 的面积为 6 （1）求角 A 的大小； （2）求 a 的值 【分析】（1）由三角形面积公式和已知条件求得 sinA 的值，进而求得 A （2）利用余弦定理公式和（1）中求得的 A 求得 a 解：（1）SABCbcsinA38sinA6 ， sinA， A 为锐角， A （2）由余弦定理知 a7 18如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是棱长为 2 的正方形，侧面 PAD 为正 三角形，且面 PAD面 ABC
18、D，E、F 分别为棱 AB、PC 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）求三棱锥 BEFC 的体积； （3）求二面角 PECD 的正切值 【分析】（1） 取PD 中点G， 连结GF、 AG， 由三角形中位线定理可得GFCD 且， 再由已知可得 AECD 且，从而得到 EFGA 是平行四边形，则 EFAG，然后 利用线面平行的判定可得 EF面 PAD； （2）取 AD 中点 O，连结 PO，由面面垂直的性质可得 PO面 ABCD，且，求出 F 到面 ABCD 距离，然后利用等积法求得三棱锥 BEFC 的体积； （3）连 OB 交 CE 于 M，可得 RtEBCRtOAB，得到 OMEC进
19、一步证得 PM EC，可得PMO 是二面角 PECD 的平面角，然后求解直角三角形可得二面角 P ECD 的正切值 【解答】（1）证明：取 PD 中点 G，连结 GF、AG， GF 为PDC 的中位线，GFCD 且， 又 AECD 且，GFAE 且 GFAE， EFGA 是平行四边形，则 EFAG， 又 EF面 PAD，AG面 PAD， EF面 PAD； （2）解：取 AD 中点 O，连结 PO， 面 PAD面 ABCD，PAD 为正三角形，PO面 ABCD，且， 又 PC 为面 ABCD 斜线，F 为 PC 中点，F 到面 ABCD 距离， 故； （3）解：连 OB 交 CE 于 M，可得
20、RtEBCRtOAB， MEBAOB，则MEB+MBE90，即 OMEC 连 PM，又由（2）知 POEC，可得 EC平面 POM，则 PMEC， 即PMO 是二面角 PECD 的平面角， 在 RtEBC 中， ，即二面角 PECD 的正切值为 19为迎接 2022 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后 对学生进行了考核记 X 表示学生的考核成绩，并规定 X85 为考核优秀为了了解本 次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下 茎叶图： （）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的 概率； （
21、）从图中考核成绩满足 X80，89的学生中任取 2 人，求至少有一人考核优秀的概 率； （）记 P（aXb）表示学生的考核成绩在区间a，b的概率，根据以往培训数据， 规定当时培训有效请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训 活动是否有效，并说明理由 【分析】（）根据茎叶图求出满足条件的概率即可； （）结合图表得到 6 人中有 2 个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可； （）求出满足 的成绩有 16 个，求出满足条件的概率即可 解：（）设这名学生考核优秀为事件 A， 由茎叶图中的数据可以知道，30 名同学中，有 7 名同学考核优秀， 所以所求概率 P（A）约为 （）设从图中考核成绩满足 X80
22、，89的学生中任取 2 人， 至少有一人考核成绩优秀为事件 B， 因为表中成绩在80，89的 6 人中有 2 个人考核为优， 所以基本事件空间 包含 15 个基本事件，事件 B 包含 9 个基本事件， 所以； （）根据表格中的数据，满足 的成绩有 16 个， 所以， 所以可以认为此次冰雪培训活动有效 20已知抛物线 y22px（p0），过点 C（2，0）的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，坐标 原点为 O，12 （I）求抛物线的方程； （）当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程 【分析】（）设 l：xmy2，代入 y22px，可得根与系数的关系，再利用 12，可得 x1x
23、2+y1y212，代入即可得出 （）由（）（ ）化为 y24my+80设 AB 的中点为 M，可得|AB|2xmx1+x2 m（y1+y2）44m24，又|AB|y1y2|，联立解出 m 即可得出 解：（）设 l：xmy2，代入 y22px， 可得 y22pmy+4p0（ ） 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 y1+y22pm，y1y24p， 则 x1x2 4 12， x1x2+y1y212， 即 4+4p12， 得 p2，抛物线的方程为 y24x （）由（）（ ）化为 y24my+80 y1+y24m，y1y28 设 AB 的中点为 M， 则|AB|2xmx1+x2m（y1+y2
24、）44m24， 又|AB|y1y2|， 由得（1+m2）（16m232）（4m24）2， 解得 m23，m 直线 l 的方程为 x+y+20，或 xy+20 21已知函数 f（x）ax3+bx2，当 x1 时，有极大值 3； （1）求 a，b 的值；（2）求函数 f（x）的极小值及单调区间 【分析】 （1）由题意得到关于实数 a，b 的方程组，求解方程组即可求得函数的解析式； （2）结合（1）中函数的解析式求解导函数，利用导函数与原函数的性质求解最值和单 调区间即可 解：（1）f（x）3ax2+2bx， 当 x1 时， 据此解得 a6，b9， 函数解析式为：y6x3+9x2 （2）由（1）知
25、f（x）6x3+9x2， f（x）18x2+18x18x（x1），令 f（x）0，得 0x1；令 f（x）0， 得 x1 或 x0， 当 x0 时函数取得极小值为 0， 函数的单调增区间为：（0，1）， 单调减区间为：（，0）和（1，+） （二）选考题：共 10 分，请考生在 22 题、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 P（，0），直线 l
26、 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AP|+|PB|的值 【分析】 （1）由代入法可得直线 l 的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：xcos， ysin，x2+y22，可得曲线 C 的直角坐标方程； （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，可得 t 的二次方程，再由参数的 几何意义和韦达定理，即可得到所求值 解：（1）直线 l 的参数方程为（t 为参数）， 消去 t，可得 2x2y10； 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 由 xcos，ysin，x2+y22， 可得 x2+y22x，即曲线 C 的直角坐标方程为（x1）2+y21； （2）将直线 l 的参数方程（t 为参
27、数）代入 C 的方程（x1）2+y21， 可得 t2 t0， +30， 设 t1，t2是点 A，B 对应的参数值， t1+t2，t1t2，则|PA|+|PB|t1t2| 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|x+1|+|x2| （1）已知关于 x 的不等式 f（x）a 有实数解，求 a 的取值范围； （2）求不等式 f（x）x22x 的解集 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，然后由 f（x）a 有实数解 可知 af（x）min，从而求出 a 的范围； （2）将 f（x）去绝对值写成分段函数的形式，根据 f（x）x22x 分别解不等可得不等 式的解集 解：（1）f（x）|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|3， 当且仅当（x+1）（x2）0，即1x2 时取等号， f（x）min3， 不等式 f（x）a 有实数解， af（x）min3， a 的取值范围为（3，+）； （2）f（x）|x+1|+|x2|， f（x）x22x， 或或， 或1x2 或 x1， 不等式的解集为
