1、某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出 去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共 有蜜蜂的数量是（ ） A56只 B65只 C55只 D66只 3 （5 分）已知命题 p：xR，lnx+x20，命题 q：xR，2xx2，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 4 （5 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4+a524， S648，则an的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 5 （5 分）ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若，则 cosB （ ） A B C D 6 （
2、5 分）直线 l1，l2互相平行的一个充分条件是（ ） Al1，l2都平行于同一平面 Bl1，l2与同一平面所成的角相等 Cl1，l2都垂直于同一平面 Dl1平行于 l2所在的平面 7 （5 分）如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得 B 处的灯塔在海轮的正北方向 20 海里处， 海轮按西偏南15的方向航行了10分钟后到达C处， 此时测得灯塔在海轮的北偏东30 的方向，则海轮的速度为（ ） 第 2 页（共 23 页） A海里/分 B2 海里/分 C海里/分 D海里/分 8 （5 分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为 祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公
3、式 V柱体Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该柱体的体积（单位：cm3） 是（ ） A158 B162 C182 D324 9 （5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，交其准线于 点 C，若|AF|4，|BC|2|BF|，且|AF|BF|，则此抛物线的方程为（ ） Ay2x By22x Cy24x Dy28x 10 （5 分）四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直，且 ABBC1，点 E 是 AC 的中点， 异面直线 AD 与 BE 所成角为 ，且 cos，则该四面体的体积为（ ）
4、 第 3 页（共 23 页） A B C D 11 （5 分）以下几种说法 命题“a0，函数 f（x）ax2+2x1 只有一个零点”为真命题 命题“已知 x，yR，若 x+y3，则 x2 或 y1”是真命题 “x2+2xax 在 x1，2恒成立”等价于“对于 x1，2，有（x2+2x）min（ax）max” ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则“ab”是“cos2Acos2B”的充 要条件 其中说法正确的序号为（ ） A B C D 12 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜 率为的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若，则此双曲 线的标准方程可
5、能为（ ） Ax21 B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.） 13 （5 分）双曲线的焦点到渐近线的距离为 14 （5 分）在ABC 中，AB1，则C 15 （5 分） 已知三棱锥 ABCD 每条棱长都为 1， 点 E， G 分别是 AB， DC 的中点， 则 16（5 分） 已知数列an满足 a11， nan+1 （n+1） an+n （n+1） ， nN*， 且， 记 Sn为数列bn的前 n 项和，则 S2020 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、
6、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知等差数列an中，a5a26，且 a1，a6，a21依次成等比数列 （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 23 页） （2）设，数列bn的前 n 项和为 Sn，若，求 n 的值 18 （12 分）已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 bacosC+csinA （1）求 A； （2）若，求ABC 面积的最大值 19 （12 分）已知 m 为实数，命题 p：方程表示双曲线；命题 q：函数 的定义域为 R （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题 p 与命题 q
7、 有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到点 F（1，0）的距离和它到直线 x1 的距离相等，记点 P 的轨迹为 C （1）求 C 的方程； （2）设点 A 在曲线 C 上，x 轴上一点 B（在点 F 右侧）满足|AF|FB|，若平行于 AB 的 直线与曲线 C 相切于点 D，试判断直线 AD 是否过点 F（1，0）？并说明理由 21 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E、P 分别在线段 DC、BC 上，且，” ，现将AED 沿 AE 折到AED的位置，连结 CD，BD，如图 2 （1）证明：AEDP； （2） 记
8、平面 ADE 与平面 BCD的交线为 l 若二面角 BAED为， 求 l 与平面 DCE 所成角的正弦值 22 （12 分）已知椭圆 C：x2+2y236 （1）求椭圆 C 的短轴长和离心率； （2）过点（2，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M，N，设 MN 的中点为 T，点 P（4， 第 5 页（共 23 页） 0） ，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12
9、 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）数列，的一个通项公式是（ ） A B C D 【分析】根据所给的数列每一项的分子都是 1，分母等于 2n，每一项的符号为（1）n， 由此写出此数列的一个通项公式 【解答】解：所给的数列每一项的分子都是 1，分母等于 2n，每一项的符号为（1）n， 故此数列的一个通项公式是 故选：B 【点评】本题主要考查数列的概念及简单表示法，考察学生的分析和观察能力，属于基 础题， 2 （5 分）某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它
10、飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出 去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共 有蜜蜂的数量是（ ） A56只 B65只 C55只 D66只 【分析】根据题意，第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 an，则数列an成等比数列根据等比 数列的通项公式，可以算出第 6 天所有的蜜蜂都归巢后的个数 【解答】解：设第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 an，根据题意得 数列an成等比数列，它的首项为 6，公比 q6 所以an的通项公式：为 an6n 到第 6 天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂 故选：D 第 7 页（共 23 页） 【点评】本题以蜜蜂归巢为例，考查了等比
11、数列的通项公式，属于基础题深刻理解等 比数列模型，准确运用它的通项公式，是解决本题的关键所在 3 （5 分）已知命题 p：xR，lnx+x20，命题 q：xR，2xx2，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】先判定命题 p 是真命题，得p 是假命题；再判定命题 q 是假命题，得q 是真 命题；从而判定各选项是否正确 【解答】解：对于命题 p：ylnx 与 y2x 在坐标系中有交点，如图所示； 即x0R，使 lnx02x0，命题 p 正确，p 是假命题； 对于命题 q：当 x3 时，2332，命题 q 错误，q 是真命题； pq 是假命题，pq 是假命题；pq
12、 是真命题，pq 是假命题； 综上，为真命题的是 C 故选：C 【点评】本题考查了复合命题真假的判定问题，解题时应先判定命题 p、q 的真假，再判 定它们的复合命题的真假，是基础题 4 （5 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4+a524， S648，则an的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 【分析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能 求出an的公差 【解答】解：Sn为等差数列an的前 n 项和，a4+a524，S648， 第 8 页（共 23 页） ， 解得 a12，d4， an的公差为 4 故选：C 【点评】本题考查等差数列公式的求法
13、及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等 差数列的性质的合理运用 5 （5 分）ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若，则 cosB （ ） A B C D 【分析】由诱导公式，三角形内角和定理化简已知等式可得 acosbsinA，又由正弦定 理可得 asinBbsinA，可得 cossinB，利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可得 2cos2B+cosB10，结合 B 的范围解方程即可得解 【解答】解：， asinacosbsinA， 又由正弦定理，可得：asinBbsinA， cossinB，可得：cos2sin2B，可得：1cos2B， 2cos2B+cosB10，
14、 解得：cosB，或1， B（0，） ， cosB 故选：B 【点评】本题主要考查了诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，倍角公式，同角三 角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 6 （5 分）直线 l1，l2互相平行的一个充分条件是（ ） Al1，l2都平行于同一平面 第 9 页（共 23 页） Bl1，l2与同一平面所成的角相等 Cl1，l2都垂直于同一平面 Dl1平行于 l2所在的平面 【分析】依据题中条件，逐一分析各个选项，考查由此选项能否推出直线 l1l2，可以通 过举反例排除某些选项 【解答】解：对选项 A，l1与 l2还可能相交或成异面直线，
15、故 A 错 对于 B：l1与 l2还可能为相交或异面直线，故 B 错 对于选项 C，根据直线与平面垂直的性质定理，C 正确 另外，对于选项 D，l1与 l2不一定平行，故 D 错 故选：C 【点评】本题考查判断两条直线平行的方法、平面的基本性质及推论等基础知识，考查 空间想象能力，属于基础题 7 （5 分）如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得 B 处的灯塔在海轮的正北方向 20 海里处， 海轮按西偏南15的方向航行了10分钟后到达C处， 此时测得灯塔在海轮的北偏东30 的方向，则海轮的速度为（ ） A海里/分 B2 海里/分 C海里/分 D海里/分 【分析】ABC 中，利用正弦定理求得 AC
16、 的值，再计算海轮的航行速度 【解答】解：ABC 中，AB20，ACB90301545， B18045（90+15）30， 由正弦定理得， AC10； 第 10 页（共 23 页） 所以海轮的航行速度为 v（海里/分） 故选：D 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 8 （5 分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为 祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该柱体的体积（单位：cm3） 是（ ） A158 B162 C182 D3
17、24 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面 积，代入体积公式得答案 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 第 11 页（共 23 页） 该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即27， 高为 6，则该柱体的体积是 V276162 故选：B 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 9 （5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，交其准线于 点 C，若|AF|4，|BC|2|BF|，且|AF|BF|，则此抛物线的方程为（ ） Ay2x By22x Cy
18、24x Dy28x 【分析】分别过 A、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将 A、B 到焦点的距离转化为到准 线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形 ADC 中求线段 PF 长度即可得 p 值，进而 可得方程 【解答】解：如图过 A 作 AD 垂直于抛物线的准线，垂足为 D， 过 B 作 BE 垂直于抛物线的准线，垂足为 E，P 为准线与 x 轴的焦点， 由抛物线的定义，|BF|BE|，|AF|AD|4， |BC|2|BF|，|BC|2|BE|，DCA30 |AC|2|AD|8，|CF|844， |PF|2，即 p|PF|2， 所以抛物线方程为：y24x， 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定
19、义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系， 第 12 页（共 23 页） 转化化归的思想方法，属中档题 10 （5 分）四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直，且 ABBC1，点 E 是 AC 的中点， 异面直线 AD 与 BE 所成角为 ，且 cos，则该四面体的体积为（ ） A B C D 【分析】以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量求出 BD2，由此能求出该四面体的体积 【解答】解：以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（1，0，0） ，C（0，
20、1，0） ，E（，0） ，设 D（0，0，t） ， （1，0，t） ，（，0） ， 异面直线 AD 与 BE 所成角为 ，且 cos， cos， 解得 t2， 该四面体的体积： V 故选：A 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）以下几种说法 命题“a0，函数 f（x）ax2+2x1 只有一个零点”为真命题 命题“已知 x，yR，若 x+y3，则 x2 或 y1”是真命题 “x2+2xax 在 x1，2恒成立”等价于“对于 x1，2，有（x2+2x）min（ax）max”
21、 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则“ab”是“cos2Acos2B”的充 要条件 其中说法正确的序号为（ ） A B C D 【分析】由函数零点与方程根的关系判断；写出命题的逆否命题并判断真假判断； 举例说明错误； 在三角形中， 结合正弦定理， 利用充分条件和必要条件的定义判断 【解答】解：，当 a0 时，方程 ax2+2x10 的判别式4+4a0，函数 f（x） ax2+2x1 有两个零点，故错误； ，命题“已知 x，yR，若 x+y3，则 x2 或 y1”的逆否命题为： “已知 x，yR， 若 x2 且 y1，则 x+y3”为真命题， 则原命题是真命题，故正确； ，
22、a2 时，x2+2x2x 在 x1，2上恒成立，而（x2+2x）min32xmax4，故错 误； ，在三角形中，cos2Acos2B 等价为 12sin2A12sin2B，即 sinAsinB 若 ab，由正弦定理得 sinAsinB，充分性成立若 sinAsinB，则正弦定理得 ab， 必要性成立 “ab”是“sinAsinB”的充要条件，即 ab 是 cos2Acos2B 成立的充要条件，故 正确 说法正确的序号为 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力 与推理运算能力，是中档题 12 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过
23、F2且斜 第 14 页（共 23 页） 率为的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若，则此双曲 线的标准方程可能为（ ） Ax21 B C D 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|F2F1|2c，由双曲线的定义可 得|AF1|2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得 3c5a，4c5b，即可得到所求方程 【解答】解：若（+） 0，即为若（+） （+）0， 可得 22，即有|AF2|F2F1|2c， 由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c， 在等腰三角形 AF1F2中，tanAF2F1， cosAF2F1， 化为 3c5a， 即 ac，bc， 可得 a：b3：4，a2：b29：1
24、6 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的 余弦定理，考查运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.） 13 （5 分）双曲线的焦点到渐近线的距离为 【分析】由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解 【解答】解：由双曲线，得焦点坐标为 F（4，0） ， 渐近线方程为 y， 不妨取焦点坐标为（4，0） ，一条渐近线方程为 第 15 页（共 23 页） 则焦点到渐近线的距离为 d 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距
25、离公式的应用，是基础题 14 （5 分）在ABC 中，AB1，则C 【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果 【解答】解：在ABC 中，AB1， 利用正弦定理得：，解得 sinC 由于 0C， 故：C或（不合题意，舍去） 故 C 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （5 分） 已知三棱锥 ABCD 每条棱长都为 1， 点 E， G 分别是 AB， DC 的中点， 则 【分析】 利用向量的加减法运算把用表示， 再由向量的数量积运算得答 案 【解答】解：如图， ， （） 故答案为： 第 16
26、 页（共 23 页） 【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查数形结合的解题思想方法，注意正四面体 的性质的合理运用，是基础题 16（5 分） 已知数列an满足 a11， nan+1 （n+1） an+n （n+1） ， nN*， 且， 记 Sn为数列bn的前 n 项和，则 S2020 【分析】由等式两边同除以 n（n+1） ，结合等差数列的定义和通项公式可得 ann2， ncos，计算可得每隔 6 项的和都为 3，计算可得所求和 【解答】解：a11，nan+1（n+1）an+n（n+1） ，可得1， 即有1+n1n，可得 ann2， ncos， 则 b1，b22（）1，b3313，b44（）
27、2，b55（ ），b6616， b7，b88（）4，b9919，b1010（）5，b1111 （），b1212112， 可得每隔 6 项的和都为 3， 则 S20203336+2017 （） +2018 （） +20191+2020 （） 故答案为： 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、余弦函数值的求法，掌握数列中的规律 是解决本题的关键，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 第 17 页（共 23 页） 17 （10 分）已知等差数列an中，a5a26，且
28、 a1，a6，a21依次成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，数列bn的前 n 项和为 Sn，若，求 n 的值 【分析】 （1）设数列an的公差为 d，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解 方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）求得，由数列的裂项相消求和，化简可得 Sn，解方程可得 k 【解答】解： （1）设数列an的公差为 d， 因为 a5a26，所以 5d10，解得 d2， 因为 a1，a6，a21依次成等比数列，所以， 即，解得 a15， 所以 an2n+3； （2）由（1）知， 所以， 所以， 由， 得 n15 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比
29、数列的中项性质的运用，考查数列的裂项 相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题 18 （12 分）已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 bacosC+csinA （1）求 A； （2）若，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合 sinC0，可求 cosAsinA，结合范围 A（0，） ，可求 A 的值 （2）由余弦定理，基本不等式可求 bc 的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinA， sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC
30、sinAcosC+sinCsinA， 第 18 页（共 23 页） sinC0， cosAsinA， 又 A（0，） ， （2）， 由余弦定理可得， 又 a2+c22ac， 故，当且仅当 ac 时，等号成立 所以， 所以面积最大为 【点评】本题主要考查正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三 角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知 m 为实数，命题 p：方程表示双曲线；命题 q：函数 的定义域为 R （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题 p 与命题 q 有且只有一个为真命题，求实数 m 的
31、取值范围 【分析】 （1）由（2m1） （m4）0 即可求得 m 的取值范围； （2）若命题 q 为真，则恒成立，列关于 m 的不等式组求得 m 的范围， 再由 p 真 q 假或 p 假 q 真分别求得 m 的范围，取并集得答案 【解答】解： （1）若命题 p 为真命题，则（2m1） （m4）0， 解得 m或 m4 即 m 的取值范围是或 m4； （2）若命题 q 为真，则恒成立， 则，即 m1 第 19 页（共 23 页） 命题 p、q 一真一假 当 p 真 q 假时，得； 当 p 假 q 真时，1m4 实数 m 的取值范围是或 1m4 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数恒成立问
32、题的求解方法，是基础题 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到点 F（1，0）的距离和它到直线 x1 的距离相等，记点 P 的轨迹为 C （1）求 C 的方程； （2）设点 A 在曲线 C 上，x 轴上一点 B（在点 F 右侧）满足|AF|FB|，若平行于 AB 的 直线与曲线 C 相切于点 D，试判断直线 AD 是否过点 F（1，0）？并说明理由 【分析】 （1）运用抛物线的定义可得所求轨方程； （2）设 A（x0，y0） ，由抛物线的定义可得|AF|，求得 B 的坐标，直线 AB 的斜率，设出 平行于直线 AB 的方程，联立抛物线方程，由相切的条件：判别式为 0，可得
33、 D 的坐标， 直线 AD 的斜率和方程，进而判断结论 【解答】解： （1）由题意可得动点 P 的轨迹是以 F（1，0）为焦点，准线为 x1 的抛 物线 y24x； （2）由题设 A（x0，y0） ，则|AF|x0+1， 又|AF|FB|，故 B（x0+2，0） ， 令平行于 AB 的直线 l：ykx+m，则，A（k2，2k） ， 代入 y24x，得（kx+m）24x， 整理 k2x2+ （2km4） x+m20 （*） （2km4） 24k2m20， km1， ， 所以（*）可以化为， ， ，过定点 F（1，0） ， 当 k21 时，AD：x1 也过点 F（1，0） ，故直线 AD 过点 F
34、（1，0） 第 20 页（共 23 页） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用 相切的条件：判别式为 0，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于中档题 21 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E、P 分别在线段 DC、BC 上，且，” ，现将AED 沿 AE 折到AED的位置，连结 CD，BD，如图 2 （1）证明：AEDP； （2） 记平面 ADE 与平面 BCD的交线为 l 若二面角 BAED为， 求 l 与平面 DCE 所成角的正弦值 【分析】 （1）推导出 AEOD，AEOP，AEOD，AEOP，从而 AE平面 POD， 由此能证明
35、 AEDP （2）延长 AE，BC 交于点 Q，连接 DQ，根据公理 3 得到直线 DQ 即为 l，根据二面角 定义得到在平面 POD内过点 O 作底面垂线，O 为原点，分别以 OA、 OP、及所作为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标，利用向量法能求出 l 与平面 DCE 所 成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：先在图 1，在 RtADE 中， 由，得， 在 RtPCD 中， 由， 得， tanPDCtanDAE，则PDCDAE，DOE90， 从而有 AEOD，AEOP， 即在图 2 中有 AEOD，AEOP，ODOPO， 第 21 页（共 23 页） AE平面 POD，则 AEDP
36、 （2）延长 AE，BC 交于点 Q，连接 DQ，根据公理 3 得到直线 DQ 即为 l， 再根据二面角定义得到 在平面 POD内过点 O 作底面垂线， O 为原点，分别以 OA、OP、及所作为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则，E（1，0，0） ，Q（11，0，0） ，C（3，4，0） ， （11，1，） ，（2，4，0） ，（1，1，） ， 设平面 DEC 的一个法向量为 （x，y，z） ， 由，取 y1，得 （2，1，） l 与平面 DCE 所成角的正弦值为： |cos| 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置
37、关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：x2+2y236 （1）求椭圆 C 的短轴长和离心率； （2）过点（2，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M，N，设 MN 的中点为 T，点 P（4， 0） ，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论 第 22 页（共 23 页） 【分析】 （1）由题，椭圆 C：x2+2y236 可变形为，即可得出短轴长及 其离心率 （2） 当 l 为 x2 时， 代入 C： x2+2y236 可得 y+4， 此时 T （2， 0） ， 可得|TM|TP| 当 l 为斜率 k 存在时，设 l：yk（x2） ，代入到 C：x2
38、+2y236，得 x2+2k2（x2）236， 可得（2k2+1）x28k2x+8k2360，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可得出 【解答】解： （1）由题，椭圆 C：x2+2y236 可变形为a6， 故短轴长为， （2）当 l 为 x2 时，代入 C：x2+2y236 可得 y+4， 此时 T（2，0） ，|TM|4，|TP|2，|TM|TP|， 当 l 为斜率 k 存在时，设 l：yk（x2） 代入到 C：x2+2y236，得 x2+2k2（x2）236， （2k2+1）x28k2x+8k2360， 令 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 则， 此时（x14，y1） ，（x24，y2） ， （x14） （x24）+y1y2（x14） （x24）+k2（x12） （x22） MPN90，点 P 在以 MN 为直径的圆内部 第 23 页（共 23 页） 所以|TM|TP|， 综上所述，|TM|TP| 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点与圆的位置关系、数量积运算性质， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题
