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2019-2020学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、某个蜂巢里有一只蜜蜂,第一天它飞出去带回了五个伙伴,第二天六只蜜蜂飞出 去各自带回五个伙伴,如果这个过程继续下去,那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共 有蜜蜂的数量是( ) A56只 B65只 C55只 D66只 3 (5 分)已知命题 p:xR,lnx+x20,命题 q:xR,2xx2,则下列命题中为真命 题的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 4 (5 分) 记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4+a524, S648,则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 5 (5 分)ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若,则 cosB ( ) A B C D 6 (

2、5 分)直线 l1,l2互相平行的一个充分条件是( ) Al1,l2都平行于同一平面 Bl1,l2与同一平面所成的角相等 Cl1,l2都垂直于同一平面 Dl1平行于 l2所在的平面 7 (5 分)如图所示,一艘海轮从 A 处出发,测得 B 处的灯塔在海轮的正北方向 20 海里处, 海轮按西偏南15的方向航行了10分钟后到达C处, 此时测得灯塔在海轮的北偏东30 的方向,则海轮的速度为( ) 第 2 页(共 23 页) A海里/分 B2 海里/分 C海里/分 D海里/分 8 (5 分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为 祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公

3、式 V柱体Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该柱体的体积(单位:cm3) 是( ) A158 B162 C182 D324 9 (5 分)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,交其准线于 点 C,若|AF|4,|BC|2|BF|,且|AF|BF|,则此抛物线的方程为( ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x 10 (5 分)四面体 ABCD 中,AB,BC,BD 两两垂直,且 ABBC1,点 E 是 AC 的中点, 异面直线 AD 与 BE 所成角为 ,且 cos,则该四面体的体积为( )

4、 第 3 页(共 23 页) A B C D 11 (5 分)以下几种说法 命题“a0,函数 f(x)ax2+2x1 只有一个零点”为真命题 命题“已知 x,yR,若 x+y3,则 x2 或 y1”是真命题 “x2+2xax 在 x1,2恒成立”等价于“对于 x1,2,有(x2+2x)min(ax)max” ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则“ab”是“cos2Acos2B”的充 要条件 其中说法正确的序号为( ) A B C D 12 (5 分)已知双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且斜 率为的直线与双曲线在第一象限的交点为 A,若,则此双曲 线的标准方程可

5、能为( ) Ax21 B C D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分分.) 13 (5 分)双曲线的焦点到渐近线的距离为 14 (5 分)在ABC 中,AB1,则C 15 (5 分) 已知三棱锥 ABCD 每条棱长都为 1, 点 E, G 分别是 AB, DC 的中点, 则 16(5 分) 已知数列an满足 a11, nan+1 (n+1) an+n (n+1) , nN*, 且, 记 Sn为数列bn的前 n 项和,则 S2020 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、

6、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)已知等差数列an中,a5a26,且 a1,a6,a21依次成等比数列 (1)求数列an的通项公式; 第 4 页(共 23 页) (2)设,数列bn的前 n 项和为 Sn,若,求 n 的值 18 (12 分)已知ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 bacosC+csinA (1)求 A; (2)若,求ABC 面积的最大值 19 (12 分)已知 m 为实数,命题 p:方程表示双曲线;命题 q:函数 的定义域为 R (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题 p 与命题 q

7、 有且只有一个为真命题,求实数 m 的取值范围 20 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到点 F(1,0)的距离和它到直线 x1 的距离相等,记点 P 的轨迹为 C (1)求 C 的方程; (2)设点 A 在曲线 C 上,x 轴上一点 B(在点 F 右侧)满足|AF|FB|,若平行于 AB 的 直线与曲线 C 相切于点 D,试判断直线 AD 是否过点 F(1,0)?并说明理由 21 (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E、P 分别在线段 DC、BC 上,且,” ,现将AED 沿 AE 折到AED的位置,连结 CD,BD,如图 2 (1)证明:AEDP; (2) 记

8、平面 ADE 与平面 BCD的交线为 l 若二面角 BAED为, 求 l 与平面 DCE 所成角的正弦值 22 (12 分)已知椭圆 C:x2+2y236 (1)求椭圆 C 的短轴长和离心率; (2)过点(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M,N,设 MN 的中点为 T,点 P(4, 第 5 页(共 23 页) 0) ,判断|TP|与|TM|的大小,并证明你的结论 第 6 页(共 23 页) 2019-2020 学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12

9、 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.) 1 (5 分)数列,的一个通项公式是( ) A B C D 【分析】根据所给的数列每一项的分子都是 1,分母等于 2n,每一项的符号为(1)n, 由此写出此数列的一个通项公式 【解答】解:所给的数列每一项的分子都是 1,分母等于 2n,每一项的符号为(1)n, 故此数列的一个通项公式是 故选:B 【点评】本题主要考查数列的概念及简单表示法,考察学生的分析和观察能力,属于基 础题, 2 (5 分)某个蜂巢里有一只蜜蜂,第一天它

10、飞出去带回了五个伙伴,第二天六只蜜蜂飞出 去各自带回五个伙伴,如果这个过程继续下去,那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共 有蜜蜂的数量是( ) A56只 B65只 C55只 D66只 【分析】根据题意,第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 an,则数列an成等比数列根据等比 数列的通项公式,可以算出第 6 天所有的蜜蜂都归巢后的个数 【解答】解:设第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 an,根据题意得 数列an成等比数列,它的首项为 6,公比 q6 所以an的通项公式:为 an6n 到第 6 天,所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有只蜜蜂 故选:D 第 7 页(共 23 页) 【点评】本题以蜜蜂归巢为例,考查了等比

11、数列的通项公式,属于基础题深刻理解等 比数列模型,准确运用它的通项公式,是解决本题的关键所在 3 (5 分)已知命题 p:xR,lnx+x20,命题 q:xR,2xx2,则下列命题中为真命 题的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】先判定命题 p 是真命题,得p 是假命题;再判定命题 q 是假命题,得q 是真 命题;从而判定各选项是否正确 【解答】解:对于命题 p:ylnx 与 y2x 在坐标系中有交点,如图所示; 即x0R,使 lnx02x0,命题 p 正确,p 是假命题; 对于命题 q:当 x3 时,2332,命题 q 错误,q 是真命题; pq 是假命题,pq 是假命题;pq

12、 是真命题,pq 是假命题; 综上,为真命题的是 C 故选:C 【点评】本题考查了复合命题真假的判定问题,解题时应先判定命题 p、q 的真假,再判 定它们的复合命题的真假,是基础题 4 (5 分) 记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4+a524, S648,则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 【分析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能 求出an的公差 【解答】解:Sn为等差数列an的前 n 项和,a4+a524,S648, 第 8 页(共 23 页) , 解得 a12,d4, an的公差为 4 故选:C 【点评】本题考查等差数列公式的求法

13、及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等 差数列的性质的合理运用 5 (5 分)ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若,则 cosB ( ) A B C D 【分析】由诱导公式,三角形内角和定理化简已知等式可得 acosbsinA,又由正弦定 理可得 asinBbsinA,可得 cossinB,利用倍角公式,同角三角函数基本关系式可得 2cos2B+cosB10,结合 B 的范围解方程即可得解 【解答】解:, asinacosbsinA, 又由正弦定理,可得:asinBbsinA, cossinB,可得:cos2sin2B,可得:1cos2B, 2cos2B+cosB10,

14、 解得:cosB,或1, B(0,) , cosB 故选:B 【点评】本题主要考查了诱导公式,三角形内角和定理,正弦定理,倍角公式,同角三 角函数基本关系式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 6 (5 分)直线 l1,l2互相平行的一个充分条件是( ) Al1,l2都平行于同一平面 第 9 页(共 23 页) Bl1,l2与同一平面所成的角相等 Cl1,l2都垂直于同一平面 Dl1平行于 l2所在的平面 【分析】依据题中条件,逐一分析各个选项,考查由此选项能否推出直线 l1l2,可以通 过举反例排除某些选项 【解答】解:对选项 A,l1与 l2还可能相交或成异面直线,

15、故 A 错 对于 B:l1与 l2还可能为相交或异面直线,故 B 错 对于选项 C,根据直线与平面垂直的性质定理,C 正确 另外,对于选项 D,l1与 l2不一定平行,故 D 错 故选:C 【点评】本题考查判断两条直线平行的方法、平面的基本性质及推论等基础知识,考查 空间想象能力,属于基础题 7 (5 分)如图所示,一艘海轮从 A 处出发,测得 B 处的灯塔在海轮的正北方向 20 海里处, 海轮按西偏南15的方向航行了10分钟后到达C处, 此时测得灯塔在海轮的北偏东30 的方向,则海轮的速度为( ) A海里/分 B2 海里/分 C海里/分 D海里/分 【分析】ABC 中,利用正弦定理求得 AC

16、 的值,再计算海轮的航行速度 【解答】解:ABC 中,AB20,ACB90301545, B18045(90+15)30, 由正弦定理得, AC10; 第 10 页(共 23 页) 所以海轮的航行速度为 v(海里/分) 故选:D 【点评】本题考查了解三角形的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题 8 (5 分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为 祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该柱体的体积(单位:cm3) 是( ) A158 B162 C182 D3

17、24 【分析】由三视图还原原几何体,可知该几何体为直五棱柱,由两个梯形面积求得底面 积,代入体积公式得答案 【解答】解:由三视图还原原几何体如图, 第 11 页(共 23 页) 该几何体为直五棱柱,底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解, 即27, 高为 6,则该柱体的体积是 V276162 故选:B 【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题 9 (5 分)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,交其准线于 点 C,若|AF|4,|BC|2|BF|,且|AF|BF|,则此抛物线的方程为( ) Ay2x By22x Cy

18、24x Dy28x 【分析】分别过 A、B 作准线的垂线,利用抛物线定义将 A、B 到焦点的距离转化为到准 线的距离,结合已知比例关系,在直角三角形 ADC 中求线段 PF 长度即可得 p 值,进而 可得方程 【解答】解:如图过 A 作 AD 垂直于抛物线的准线,垂足为 D, 过 B 作 BE 垂直于抛物线的准线,垂足为 E,P 为准线与 x 轴的焦点, 由抛物线的定义,|BF|BE|,|AF|AD|4, |BC|2|BF|,|BC|2|BE|,DCA30 |AC|2|AD|8,|CF|844, |PF|2,即 p|PF|2, 所以抛物线方程为:y24x, 故选:C 【点评】本题考查抛物线的定

19、义及其应用,抛物线的几何性质,过焦点的弦的弦长关系, 第 12 页(共 23 页) 转化化归的思想方法,属中档题 10 (5 分)四面体 ABCD 中,AB,BC,BD 两两垂直,且 ABBC1,点 E 是 AC 的中点, 异面直线 AD 与 BE 所成角为 ,且 cos,则该四面体的体积为( ) A B C D 【分析】以 B 为原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,BD 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量求出 BD2,由此能求出该四面体的体积 【解答】解:以 B 为原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,BD 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) ,C(0,

20、1,0) ,E(,0) ,设 D(0,0,t) , (1,0,t) ,(,0) , 异面直线 AD 与 BE 所成角为 ,且 cos, cos, 解得 t2, 该四面体的体积: V 故选:A 第 13 页(共 23 页) 【点评】本题考查四面体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识,考查运算求解能力,是中档题 11 (5 分)以下几种说法 命题“a0,函数 f(x)ax2+2x1 只有一个零点”为真命题 命题“已知 x,yR,若 x+y3,则 x2 或 y1”是真命题 “x2+2xax 在 x1,2恒成立”等价于“对于 x1,2,有(x2+2x)min(ax)max”

21、 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则“ab”是“cos2Acos2B”的充 要条件 其中说法正确的序号为( ) A B C D 【分析】由函数零点与方程根的关系判断;写出命题的逆否命题并判断真假判断; 举例说明错误; 在三角形中, 结合正弦定理, 利用充分条件和必要条件的定义判断 【解答】解:,当 a0 时,方程 ax2+2x10 的判别式4+4a0,函数 f(x) ax2+2x1 有两个零点,故错误; ,命题“已知 x,yR,若 x+y3,则 x2 或 y1”的逆否命题为: “已知 x,yR, 若 x2 且 y1,则 x+y3”为真命题, 则原命题是真命题,故正确; ,

22、a2 时,x2+2x2x 在 x1,2上恒成立,而(x2+2x)min32xmax4,故错 误; ,在三角形中,cos2Acos2B 等价为 12sin2A12sin2B,即 sinAsinB 若 ab,由正弦定理得 sinAsinB,充分性成立若 sinAsinB,则正弦定理得 ab, 必要性成立 “ab”是“sinAsinB”的充要条件,即 ab 是 cos2Acos2B 成立的充要条件,故 正确 说法正确的序号为 故选:D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查数学转化思想方法,考查逻辑思维能力 与推理运算能力,是中档题 12 (5 分)已知双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,过

23、F2且斜 第 14 页(共 23 页) 率为的直线与双曲线在第一象限的交点为 A,若,则此双曲 线的标准方程可能为( ) Ax21 B C D 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质,可得|AF2|F2F1|2c,由双曲线的定义可 得|AF1|2a+2c,再由三角形的余弦定理,可得 3c5a,4c5b,即可得到所求方程 【解答】解:若(+) 0,即为若(+) (+)0, 可得 22,即有|AF2|F2F1|2c, 由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c, 在等腰三角形 AF1F2中,tanAF2F1, cosAF2F1, 化为 3c5a, 即 ac,bc, 可得 a:b3:4,a2:b29:1

24、6 故选:D 【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质,考查向量数量积的性质,以及三角形的 余弦定理,考查运算能力,属于中档题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分分.) 13 (5 分)双曲线的焦点到渐近线的距离为 【分析】由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程,再由点到直线的距离公式求解 【解答】解:由双曲线,得焦点坐标为 F(4,0) , 渐近线方程为 y, 不妨取焦点坐标为(4,0) ,一条渐近线方程为 第 15 页(共 23 页) 则焦点到渐近线的距离为 d 故答案为:2 【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查点到直线距

25、离公式的应用,是基础题 14 (5 分)在ABC 中,AB1,则C 【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果 【解答】解:在ABC 中,AB1, 利用正弦定理得:,解得 sinC 由于 0C, 故:C或(不合题意,舍去) 故 C 故答案为: 【点评】本题考查的知识要点:正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 15 (5 分) 已知三棱锥 ABCD 每条棱长都为 1, 点 E, G 分别是 AB, DC 的中点, 则 【分析】 利用向量的加减法运算把用表示, 再由向量的数量积运算得答 案 【解答】解:如图, , () 故答案为: 第 16

26、 页(共 23 页) 【点评】本题考查向量的数量积的求法,考查数形结合的解题思想方法,注意正四面体 的性质的合理运用,是基础题 16(5 分) 已知数列an满足 a11, nan+1 (n+1) an+n (n+1) , nN*, 且, 记 Sn为数列bn的前 n 项和,则 S2020 【分析】由等式两边同除以 n(n+1) ,结合等差数列的定义和通项公式可得 ann2, ncos,计算可得每隔 6 项的和都为 3,计算可得所求和 【解答】解:a11,nan+1(n+1)an+n(n+1) ,可得1, 即有1+n1n,可得 ann2, ncos, 则 b1,b22()1,b3313,b44()

27、2,b55( ),b6616, b7,b88()4,b9919,b1010()5,b1111 (),b1212112, 可得每隔 6 项的和都为 3, 则 S20203336+2017 () +2018 () +20191+2020 () 故答案为: 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、余弦函数值的求法,掌握数列中的规律 是解决本题的关键,属于中档题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 第 17 页(共 23 页) 17 (10 分)已知等差数列an中,a5a26,且

28、 a1,a6,a21依次成等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)设,数列bn的前 n 项和为 Sn,若,求 n 的值 【分析】 (1)设数列an的公差为 d,由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解 方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式; (2)求得,由数列的裂项相消求和,化简可得 Sn,解方程可得 k 【解答】解: (1)设数列an的公差为 d, 因为 a5a26,所以 5d10,解得 d2, 因为 a1,a6,a21依次成等比数列,所以, 即,解得 a15, 所以 an2n+3; (2)由(1)知, 所以, 所以, 由, 得 n15 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比

29、数列的中项性质的运用,考查数列的裂项 相消求和,考查方程思想和运算能力,属于中档题 18 (12 分)已知ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 bacosC+csinA (1)求 A; (2)若,求ABC 面积的最大值 【分析】 (1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式,结合 sinC0,可求 cosAsinA,结合范围 A(0,) ,可求 A 的值 (2)由余弦定理,基本不等式可求 bc 的最大值,进而利用三角形的面积公式即可求解 【解答】解: (1)由正弦定理可得:sinBsinAcosC+sinCsinA, sin(A+C)sinAcosC+cosAsinC

30、sinAcosC+sinCsinA, 第 18 页(共 23 页) sinC0, cosAsinA, 又 A(0,) , (2), 由余弦定理可得, 又 a2+c22ac, 故,当且仅当 ac 时,等号成立 所以, 所以面积最大为 【点评】本题主要考查正弦定理,两角和的正弦函数公式,余弦定理,基本不等式,三 角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 19 (12 分)已知 m 为实数,命题 p:方程表示双曲线;命题 q:函数 的定义域为 R (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题 p 与命题 q 有且只有一个为真命题,求实数 m 的

31、取值范围 【分析】 (1)由(2m1) (m4)0 即可求得 m 的取值范围; (2)若命题 q 为真,则恒成立,列关于 m 的不等式组求得 m 的范围, 再由 p 真 q 假或 p 假 q 真分别求得 m 的范围,取并集得答案 【解答】解: (1)若命题 p 为真命题,则(2m1) (m4)0, 解得 m或 m4 即 m 的取值范围是或 m4; (2)若命题 q 为真,则恒成立, 则,即 m1 第 19 页(共 23 页) 命题 p、q 一真一假 当 p 真 q 假时,得; 当 p 假 q 真时,1m4 实数 m 的取值范围是或 1m4 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查函数恒成立问

32、题的求解方法,是基础题 20 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到点 F(1,0)的距离和它到直线 x1 的距离相等,记点 P 的轨迹为 C (1)求 C 的方程; (2)设点 A 在曲线 C 上,x 轴上一点 B(在点 F 右侧)满足|AF|FB|,若平行于 AB 的 直线与曲线 C 相切于点 D,试判断直线 AD 是否过点 F(1,0)?并说明理由 【分析】 (1)运用抛物线的定义可得所求轨方程; (2)设 A(x0,y0) ,由抛物线的定义可得|AF|,求得 B 的坐标,直线 AB 的斜率,设出 平行于直线 AB 的方程,联立抛物线方程,由相切的条件:判别式为 0,可得

33、 D 的坐标, 直线 AD 的斜率和方程,进而判断结论 【解答】解: (1)由题意可得动点 P 的轨迹是以 F(1,0)为焦点,准线为 x1 的抛 物线 y24x; (2)由题设 A(x0,y0) ,则|AF|x0+1, 又|AF|FB|,故 B(x0+2,0) , 令平行于 AB 的直线 l:ykx+m,则,A(k2,2k) , 代入 y24x,得(kx+m)24x, 整理 k2x2+ (2km4) x+m20 (*) (2km4) 24k2m20, km1, , 所以(*)可以化为, , ,过定点 F(1,0) , 当 k21 时,AD:x1 也过点 F(1,0) ,故直线 AD 过点 F

34、(1,0) 第 20 页(共 23 页) 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查直线方程和抛物线方程联立,运用 相切的条件:判别式为 0,考查直线方程的运用,化简运算能力,属于中档题 21 (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E、P 分别在线段 DC、BC 上,且,” ,现将AED 沿 AE 折到AED的位置,连结 CD,BD,如图 2 (1)证明:AEDP; (2) 记平面 ADE 与平面 BCD的交线为 l 若二面角 BAED为, 求 l 与平面 DCE 所成角的正弦值 【分析】 (1)推导出 AEOD,AEOP,AEOD,AEOP,从而 AE平面 POD, 由此能证明

35、 AEDP (2)延长 AE,BC 交于点 Q,连接 DQ,根据公理 3 得到直线 DQ 即为 l,根据二面角 定义得到在平面 POD内过点 O 作底面垂线,O 为原点,分别以 OA、 OP、及所作为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标,利用向量法能求出 l 与平面 DCE 所 成角的正弦值 【解答】解: (1)证明:先在图 1,在 RtADE 中, 由,得, 在 RtPCD 中, 由, 得, tanPDCtanDAE,则PDCDAE,DOE90, 从而有 AEOD,AEOP, 即在图 2 中有 AEOD,AEOP,ODOPO, 第 21 页(共 23 页) AE平面 POD,则 AEDP

36、 (2)延长 AE,BC 交于点 Q,连接 DQ,根据公理 3 得到直线 DQ 即为 l, 再根据二面角定义得到 在平面 POD内过点 O 作底面垂线, O 为原点,分别以 OA、OP、及所作为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则,E(1,0,0) ,Q(11,0,0) ,C(3,4,0) , (11,1,) ,(2,4,0) ,(1,1,) , 设平面 DEC 的一个法向量为 (x,y,z) , 由,取 y1,得 (2,1,) l 与平面 DCE 所成角的正弦值为: |cos| 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查直线与平面所成角正弦值的求法,考查空间中 线线、线面、面面间的位置

37、关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 22 (12 分)已知椭圆 C:x2+2y236 (1)求椭圆 C 的短轴长和离心率; (2)过点(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M,N,设 MN 的中点为 T,点 P(4, 0) ,判断|TP|与|TM|的大小,并证明你的结论 第 22 页(共 23 页) 【分析】 (1)由题,椭圆 C:x2+2y236 可变形为,即可得出短轴长及 其离心率 (2) 当 l 为 x2 时, 代入 C: x2+2y236 可得 y+4, 此时 T (2, 0) , 可得|TM|TP| 当 l 为斜率 k 存在时,设 l:yk(x2) ,代入到 C:x2

38、+2y236,得 x2+2k2(x2)236, 可得(2k2+1)x28k2x+8k2360,利用根与系数的关系、数量积运算性质即可得出 【解答】解: (1)由题,椭圆 C:x2+2y236 可变形为a6, 故短轴长为, (2)当 l 为 x2 时,代入 C:x2+2y236 可得 y+4, 此时 T(2,0) ,|TM|4,|TP|2,|TM|TP|, 当 l 为斜率 k 存在时,设 l:yk(x2) 代入到 C:x2+2y236,得 x2+2k2(x2)236, (2k2+1)x28k2x+8k2360, 令 M(x1,y1) ,N(x2,y2) 则, 此时(x14,y1) ,(x24,y2) , (x14) (x24)+y1y2(x14) (x24)+k2(x12) (x22) MPN90,点 P 在以 MN 为直径的圆内部 第 23 页(共 23 页) 所以|TM|TP|, 综上所述,|TM|TP| 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点与圆的位置关系、数量积运算性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题