1、空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两条对角线 AC，BD 的关系是（ ） A垂直且相交 B相交但不一定垂直 C垂直但不相交 D不垂直也不相交 2 （5 分）等差数列an中，a533，a45153，则 201 是该数列的第（ ）项 A60 B61 C62 D63 3 （5 分）方程 x（x2+y21）0 和 x2+（x2+y21）20 所表示的图形是（ ） A前后两者都是一条直线和一个圆 B前后两者都是两点 C前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D前者是两点，后者是一条直线和一个圆 4 （5 分）直线 2xy+30 关于直线 xy+20 对称的直线方程是（ ） Ax2y+30 Bx2y30
2、 Cx+2y+10 Dx+2y10 5（5 分） 在数列an中， 已知 a22， a60， 且数列是等差数列， 则 a4等于 （ ） A B C D 6 （5 分）经过点 M（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） Ax+y2 Bx+y1 Cx1 或 y1 Dx+y2 或 xy 7 （5 分）直线 x+（a2+1）y+40 的倾斜角的取值范围是（ ） A B C D 8 （5 分）焦点在 y 轴上的椭圆 mx2+y21 的离心率为，则 m 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 9 （5 分）等差数列的首项为，且从第 10 项开始为比 1 大的项，则公差 d 的取值范围是 （ ） Ad
3、 Bd Cd Dd 第 2 页（共 18 页） 10 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）上的点 A 到焦点 F 距离为 4，若在 y 轴上存在点 B （0，2）使得，则该抛物线的方程为（ ） Ay28x By26x Cy24x Dy22x 11 （5 分）已知点（x，y）在圆（x2）2+（y+3）21 上，则 x+y 的最大值是（ ） A1 B1 C D 12（5 分） 已知an是首项为 32 的等比数列， Sn是其前 n 项和， 且， 则数列|log2an| 前 10 项和为（ ） A60 B58 C56 D45 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
4、5 分分，共，共 20 分把答案填在题中横线上 ）分把答案填在题中横线上 ） 13 （5 分） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列， 上面 4 节的容积共为 3 升， 下面 3 节的容积共 4 升， 则第 5 节的容积为 升 14 （5 分）设等差数列an满足 a511，a123，an的前 n 项和 Sn的最大值为 M，则 lgM 15 （5 分）已知 F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点，若直线 l：x 上存在一点 P，使得线段 PF1的垂直平分线过点 F2，则该椭圆离心率的取值范围 是 16 （5 分）设，利用课本中推导等差数列前 n
5、项和公式的方法，可求得 f（ 5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤 ）分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤 ） 17 （10 分）如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M 是棱 CC1 的中点证明：平面 ABM平面 A1B1M 18 （12 分）过点 P（4，1）作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点 第 3 页（共 18 页） （）当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； （）当|OA|+|O
6、B|取最小值时，求直线 l 的方程 19 （12 分）已知圆 x2+y24 上一定点 A（2，0） ，B（1，1）为圆内一点，P，Q 为圆上的 动点 （）求线段 AP 中点的轨迹方程； （）若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程 20 （12 分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率，已知点到 椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程 21 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底 面 ABCD，且 PAADDC，AB1，M 是 PB 的中点 （）证明：平面 PAD平面 PCD； （）求 AC 与 PB 所成的角余弦值； （）求平面 AMC
7、与平面 BMC 所成二面角的余弦值 22 （12 分）已知点 F（1，0） ，点 P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l：x1 的垂线， 垂足为 Q，且 （）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （）设点 P 的轨迹 C 与 x 轴交于点 M，点 A，B 是轨迹 C 上异于点 M 的不同的两点， 且满足，求的取值范围 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在
8、每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两条对角线 AC，BD 的关系是（ ） A垂直且相交 B相交但不一定垂直 C垂直但不相交 D不垂直也不相交 【分析】取 BD 中点 E，连结 AE、CE，由已知条件推导出 BD平面 AEC从而得到 BD AC 【解答】解：取 BD 中点 E，连结 AE、CEABADBCCD，AEBD，CEBD BD平面 AEC 又 AC面 AEC，BDAC 故选：C 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的 培
9、养 2 （5 分）等差数列an中，a533，a45153，则 201 是该数列的第（ ）项 A60 B61 C62 D63 【分析】由已知中等差数列an中，a533，a45153，我们易求出数列的公差，进而得 到数列的通项公式，根据 an201，构造关于 n 的方程，解方程即可得到答案 【解答】解：数列an为等差数列 第 5 页（共 18 页） 又a533，a45153， d3 则 ana45+3（n45） 当 an153+3（n45）201 时 n61 故选：B 【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中根据已知条件求出等差数列的 通项公式，是解答本题的关键 3 （5 分）方程 x（
10、x2+y21）0 和 x2+（x2+y21）20 所表示的图形是（ ） A前后两者都是一条直线和一个圆 B前后两者都是两点 C前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D前者是两点，后者是一条直线和一个圆 【分析】分别将方程化简，即可得到相应的图形 【解答】解：方程 x（x2+y21）0，即 x0 或 x2+y21，表示一条直线和一个圆； 方程 x2+（x2+y21） 20，即 x20 并且 x2+y210，表示是两点（0，1）和（0，1） 故选：C 【点评】本题考查曲线和方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 4 （5 分）直线 2xy+30 关于直线 xy+20 对称的直线方程是（ ） A
11、x2y+30 Bx2y30 Cx+2y+10 Dx+2y10 【分析】利用当对称轴斜率为1 时，由对称轴方程分别解出 x，y，代入已知直线的方 程， 即得此直线关于对称轴对称的直线方程 【解答】解：因为直线 xy+20 的斜率为 1，故有将其代入直线 2xy+30 即得：2（y2）（x+2）+30， 整理即得 x2y+30 故选：A 【点评】本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法当对称轴斜率为1 时， 由对称轴方程分别解出 x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线 第 6 页（共 18 页） 方程 5（5 分） 在数列an中， 已知 a22， a60， 且数列是等差数
12、列， 则 a4等于 （ ） A B C D 【分析】根据题意，设 bn，结合题意计算可得 b2、b6的值，由等差数列的性质 计算可得 b4的值，即可得，解可得 a4的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，设 bn，数列bn是等差数列， 则 b2，b61， 则 b4（b2+b6）， 即； 解可得 a4； 故选：A 【点评】本题考查等差数列的性质，关键是求出数列的通项公式 6 （5 分）经过点 M（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） Ax+y2 Bx+y1 Cx1 或 y1 Dx+y2 或 xy 【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设出该直线 的方程
13、为 x+ya，把已知点坐标代入即可求出 a 的值，得到直线的方程；第二：当所求 直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 ykx，把已知点的坐标代入即可求出 k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程 【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+ya， 把（1，1）代入所设的方程得：a2，则所求直线的方程为 x+y2； 当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 ykx， 把（1，1）代入所求的方程得：k1，则所求直线的方程为 yx 综上，所求直线的方程为：x+y2 或 xy0 故选：D 【点评】此题考查直线的一般方程和分
14、类讨论的数学思想，要注意对截距为 0 和不为 0 分类讨论，是一道基础题 第 7 页（共 18 页） 7 （5 分）直线 x+（a2+1）y+40 的倾斜角的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解 【解答】解：直线 x+（a2+1）y+40 的斜率 k1，0） ， 设直线的倾斜角为 （0） ， 则 tan1，0） ， 得 ，） 故选：B 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础的计算题 8 （5 分）焦点在 y 轴上的椭圆 mx2+y21 的离心率为，则 m 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】将焦点在 y 轴上
15、的椭圆的方程标准化：y2+1，可知 a1，b，利用 c2a2b2及其离心率 e，即可求得 m 的值 【解答】解：焦点在 y 轴上的椭圆的方程为：y2+1， a1，b， c2a2b21， 该椭圆的离心率 e， 1， 解得 m4 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的离心率，属于中档题 9 （5 分）等差数列的首项为，且从第 10 项开始为比 1 大的项，则公差 d 的取值范围是 第 8 页（共 18 页） （ ） Ad Bd Cd Dd 【分析】由题意可知 a101，a91，把 a1代入即可求得 d 的范围 【解答】解：依题意可知， d 故选：D 【点评】本题主要考查了等差数列
16、的通项公式的应用要熟练记忆等差数列的通项公式 10 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）上的点 A 到焦点 F 距离为 4，若在 y 轴上存在点 B （0，2）使得，则该抛物线的方程为（ ） Ay28x By26x Cy24x Dy22x 【分析】 由题意可得： F （， 0） ， xA+4， 解得 xA4， 取 A （4，） 利 用0，即可得出 【解答】解：由题意可得：F（，0） ，xA+4，解得 xA4，取 yA A（4，） 0，（4）20，0， 解得 p4经过检验满足条件 该抛物线的方程为 y28x 故选：A 【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量数量积运算性质，考查了
17、推 理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）已知点（x，y）在圆（x2）2+（y+3）21 上，则 x+y 的最大值是（ ） A1 B1 C D 【分析】设圆上一点 P（cos+2，sin3） ，则 x+ysin+cos1，利用三角函数求最 第 9 页（共 18 页） 值，得出结论 【解答】解：设（x2）2+（y+3）21 上一点 P（cos+2，sin3） ， 则 x+ysin+cos1sin（+）1， 故选：C 【点评】考查圆的参数方程的应用，中档题 12（5 分） 已知an是首项为 32 的等比数列， Sn是其前 n 项和， 且， 则数列|log2an| 前 10 项和为（ ） A
18、60 B58 C56 D45 【分析】由an是首项为 32 的等比数列，Sn是其前 n 项和，且，求出 q，可得 an27 2n，再求数列|log 2an|前 10 项和 【解答】解：an是首项为 32 的等比数列，Sn是其前 n 项和，且， ， 1+q3， q an27 2n， |log2an|72n|， 数列|log2an|前 10 项和为 5+3+1+1+3+5+7+9+11+1358， 故选：B 【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问 题的能力，比较基础 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
19、 分把答案填在题中横线上 ）分把答案填在题中横线上 ） 13 （5 分） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等 第 10 页（共 18 页） 差数列， 上面 4 节的容积共为 3 升， 下面 3 节的容积共 4 升， 则第 5 节的容积为 升 【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再 由等差数列的通项公式求第 5 节的容积 【解答】解：由题设知， 解得， 故答案为： 【点评】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用 14 （5 分）设等差数列an满足 a511，a123，an的前 n 项和 Sn的最大值为 M，则 lgM 2
20、 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式可得：an，Sn，即可得出 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，a511，a123， ，d2，a119 an192（n1）212n， 令 an0， 解得， 因此当 n10 时， an的前 n 项和 Sn取得最大值 M19090 100， lgM2 故答案为：2 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、对数的运算性质，考查了 计算能力，属于中档题 第 11 页（共 18 页） 15 （5 分）已知 F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点，若直线 l：x 上存在一点 P，使得线段 PF1的垂直平分线过点 F2，则该椭圆
21、离心率的取值范围是 ） 【分析】设 P（，m） ，则由中点公式可得线段 PF1的中点 M 的坐标，根据 线段 PF1 的斜率与 MF2的斜率之积等于1，求出 m2的解析式，再利用 m20，得到 3e4+2e2 10，求得 e 的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步 e 的范围 【解答】解：由 F1（c，0）F2（c，0） ，设 P（，m） ， 由中点公式得 PF1的中点 M 坐标为（） ， 由 PF1与 MF2垂直得1， 化简得， 所以 a42a2c23c40， 即 3e4+2e210，得，或 e21（舍去） ， 故 e） ， 故答案为：） 【点评】本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及
22、椭圆的简单性质的应用， 属于中档题 16 （5 分）设，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f（ 5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值是 3 【分析】由已知中，我们易求出 f（1x）的表达式，进而得到（x）+f （1x）为定值，利用倒序相加法，即可求出 f（5）+f（4）+f（0）+f（5） +f（6）的值 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：， f（1x） f（x）+f（1x） f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6） 63 故答案为：3 【点评】本题考查的知识点是函数的值，倒序相加法，其中根据已知条件计算出 f（1x） 的表达式，进而得到（x）+
23、f（1x）为定值，是解答本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤 ）分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤 ） 17 （10 分）如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M 是棱 CC1 的中点证明：平面 ABM平面 A1B1M 【分析】由长方体的性质可知 A1B1平面 BCC1B1，推导出 A1B1BM，BMB1M，从而 BM平面 A1B1M，由此能证明平面 ABM平面 A1B1M 【解答】证明：由长方体的性质可知 A1B1平面 BCC1B1， 又 BM平面 BCC1B1，A
24、1B1BM 又 CC12，M 为 CC1的中点， C1MCM1在 RtB1C1M 中，B1M， 同理 BM，又 B1B2， B1M2+BM2B1B2，从而 BMB1M 又 A1B1B1MB1，BM平面 A1B1M， BM平面 ABM，平面 ABM平面 A1B1M 第 13 页（共 18 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 18 （12 分）过点 P（4，1）作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点 （）当AOB 面积最小时，求直线 l 的
25、方程； （）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线 l 的方程 【分析】直线 l 的方程为，因为直线 l 过点 P（4，1） ，从而有 对于（） ，由基本不等式的性质可得，即 ab16，进而结合三角形面 积公式计算可得答案； 对于（） ，|OA|+|OB|a+b（a+b） （+） ，结合基本不等式的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，设直线 l 的方程为，因为直线 l 过点 P （4，1） ，从而有 （）因为， 由基本不等式可得，即 ab16，当且仅当，即 a8，b2 等号成立， 此时AOB 的面积刚好取得最小值，此时直线 l 的方程为，即 x+4y80 （）因为 当且仅当，即 a6，b3
26、 等号成立 此时直线 l 的方程为，即 x+2y60 【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题 19 （12 分）已知圆 x2+y24 上一定点 A（2，0） ，B（1，1）为圆内一点，P，Q 为圆上的 第 14 页（共 18 页） 动点 （）求线段 AP 中点的轨迹方程； （）若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程 【分析】 （）设出 AP 的中点坐标，利用中点坐标公式求出 P 的坐标，据 P 在圆上，将 P 坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程 （）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|BN|，利用圆心与弦中点连线 垂直弦，利用勾股定理得到 |
27、OP|2|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程 【解答】解： （）设 AP 中点为 M（x，y） ， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为（2x2，2y） P 点在圆 x2+y24 上，（2x2）2+（2y）24 故线段 AP 中点的轨迹方程为（x1）2+y21 （）设 PQ 的中点为 N（x，y） ， 在 RtPBQ 中，|PN|BN|， 设 O 为坐标原点，则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2+|PN|2|ON|2+|BN|2， 所以 x2+y2+（x1）2+（y1）24 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2xy10 【点评】本题考查中点坐标公式、直角三角形斜边的
28、中线等于斜边的一半、圆心与弦中 点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程 20 （12 分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率，已知点到 第 15 页（共 18 页） 椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程 【分析】根据题意求出 a2b，设 Q（acos，bsin）为椭圆上的点，由|PQ|2a2cos2+ （bsin）2，求出最大值时的 a，b，代入即可 【解答】解：椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率， 设 a2k，ck，则 bk， （k0） ，故 a2b， 设 Q（acos，bsin）为椭圆上的点， 由|PQ|2a2cos2+（bsin）2 a2（a2b2）sin23bs
29、in+ 4b23b2sin23bsin+ 3b2（sin+）2+4b2+3， 当，当 sin1 时有最大值，由 7（b+）2，得 b， 不成立； 当，b，当 sin时有最大值，由 74b2+3，b1，a2， 故椭圆的标准方程为： 【点评】考查椭圆的性质，求椭圆的标准方程，中档题 21 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底 面 ABCD，且 PAADDC，AB1，M 是 PB 的中点 （）证明：平面 PAD平面 PCD； （）求 AC 与 PB 所成的角余弦值； （）求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角的余弦值 第 16 页（共 18 页） 【
30、分析】以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0，1） ，M（0，1，） （）证明 DC面 PAD 即可得面 PAD面 PCD （）由 ，得 cos （）求出平面 AMC、平面 BMC 的法向量分别为，求 出 cos 即可得平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角的余弦值 【解答】因为 PAPD，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） ，P（
31、0，0，1） ，M（0，1，） （）证明：因，故，APDC 由题设知 ADDC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD （）解：因 ，cos （）设平面 AMC、平面 BMC 的法向量分别为 ，由，取； ，由，取 cos 第 17 页（共 18 页） 平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角的余弦值为 【点评】本题考查了空间位置关系，及利用空间向量求空间角的基本方法，属于中档题 22 （12 分）已知点 F（1，0） ，点 P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l：x1 的垂线， 垂足为 Q，且 （）求动
32、点 P 的轨迹 C 的方程； （）设点 P 的轨迹 C 与 x 轴交于点 M，点 A，B 是轨迹 C 上异于点 M 的不同的两点， 且满足，求的取值范围 【分析】 （）设 P（x，y） ，则 Q（1，y） ，根据代入整理即可得 P 点 的轨迹方程； （）表示出 MA 方程并与轨迹 C 联立，可得 A 的坐标，设出直线 AB 的方程并与 C 联 立，利用根于系数关系表示出|MB|2，并用换元思想及二次函数最值可求出|MB|范围 【解答】解： （）设 P（x，y） ，则 Q（1，y） ， 因为，F（1，0） ， 所以（x+1，0） （2，y）（x1，y） （2，y） ， 即 2（x+1）2（x1）
33、+y2， 整理得 y24x，所以点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x； （）根据题意知 M（0，0） ，设 MA：ykx， 联立，解得，所以点 A（，） ， 设 AB：y（x） ， 第 18 页（共 18 页） 联立，消去 x 得， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1+y24k， 因为 y1，所以 y24k， 则 x24（k+）2， 所以|MB|2x22+y2216+16（k+）2， 设 t（k+）24，则|MB|216（t2+t）16（t+）2， 令 y16（t+）2，对称轴为 t，所以 y 在4，+）上单调递增， 所以当 t4 时，y 取最小值，即|MB|2取最小值， 所以|MB|2最小值为 16（42+4）1620， 则|MB|最小值为 8， 所以|MB|取值范围是8，+） 【点评】本题考查动点轨迹方程，考查抛物线与直线形成线段的取值范围，利用根与系 数关系，二次函数求最值等知识点是关键，属于中档题
