1、2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合Mx|log2（x1）0，集合Nx|x2，则MN（）Ax|2x2Bx|x2Cx|x2Dx|1x22（5分）已知复数z满足iz2+i，则z的共轭复数是（）A12iB1+2iC12iD1+2i3（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生，80前指1979年及以前出生A互联网行业从业人员中90后
2、占一半以上B互联网行业中从事技术岗位的人数不超过总人数的20%C互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前少D互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4（5分）已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2+a5a6+a3，则S7（）A2B7C14D285（5分）已知双曲线x21的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）AB2C3D46（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A2B4C5D67（5分）若函数为奇函数，则实数a的值为（）A2B2C1D18（5分）已知x20.2，则下列结论正确的是（）AxyzByzxCzyxDzxy9（5分）“对任意正整数n，不等
3、式nlga（n+1）lgaa（a1）都成立”的一个必要不充分条件是（）Aa0Ba1Ca2Da310（5分）如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）ABCD11（5分）己知函数f（x），若函数g（x）f（x）a有3个零点，则实数a的取值范围是（）A0，4）B0，2）C（，4D（，212（5分）数列an中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排a1；第二行2项，从左到右分别排a2，a3；第三行3项，依此类推，设数列an的前n项和为Sn，则满足Sn2019的最小正整数n的值为（）A20B21C26D27二、填空题（共4小
4、题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知平面向量|1，|2，|2+|2，则在方向上的射影为 14（5分）若x，y满足约束条件，则zx+y的最小值为 15（5分）已知椭圆+1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2x轴，若直线PF1所在的斜率为，则该椭圆的离心率为 16（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为 三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）己知f（x）12sin（x+）cosx3，x0，（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为ABC的内角平分线，己知ACf（x）max，
5、BCf（x）min，CD2，求C18（12分）十九大以来，我国新能源产业迅速发展以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：年份20142015201620172018年份代码12345新能源产品年销售y（万个）1.66.217.733.155.6（1）请面出上表中年份代码x与年销量y的数据对应的散点图，并根据散点图判断：yax+b与ycx2+d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型：（2）根据（l）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量（精确到0.0l）参考公式：，t+参考数据：3，22.84，11，374，其中ti19（12分）如图
6、，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，BB12，点E、F、M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）（2）在图2中，求证：D1B平面DEF20（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，F1，F2分别是它的左、右焦点，|F1F2|2（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为k1，k2的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当k1k21时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由21（12分）已知
7、函数f（x）x3+ax（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数g（x）f（x）xlnx在上有零点，求a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）直线l的极坐标方程为sin（），以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系曲线C的参数方程为（为参数）（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 C1，写出C1的极坐标方程：（2）射线与C1和l的交点分别为M，N射线与C1和l的交点分别为A、B求四边形ABNM的面积选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|xm|+2x0的解集为（，2，其中m0（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足a+b+cm，求证：+22018-2019学
8、年广东省深圳市宝安区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合Mx|log2（x1）0，集合Nx|x2，则MN（）Ax|2x2Bx|x2Cx|x2Dx|1x2【分析】可求出集合M，然后进行并集的运算即可【解答】解：Mx|1x2；MNx|x2故选：B【点评】考查对数函数的单调性，描述法表示集合的定义，以及并集的运算2（5分）已知复数z满足iz2+i，则z的共轭复数是（）A12iB1+2iC12iD1+2i【分析】根据复数的代数运算及共轭复数的概念可求得【解答】解：因为iz2+i，z+1+112i，z的共轭复数1+2i，故选：D
9、【点评】本题考查了复数的代数运算及共轭复数，属基础题3（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生，80前指1979年及以前出生A互联网行业从业人员中90后占一半以上B互联网行业中从事技术岗位的人数不超过总人数的20%C互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前少D互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位
10、的人数90后不一定比80后多【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A 正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B错误；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C错误；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误故选：A【点评】本题考查命
11、题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2+a5a6+a3，则S7（）A2B7C14D28【分析】利用等差数列的性质可得：a4a6+a3a5再利用求和公式及其性质即可得出【解答】解：2+a5a6+a3，a4a6+a3a52则S77a414故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知双曲线x21的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）AB2C3D4【分析】根据题意，设双曲线的焦点为（c，0），由双曲线的方程求出渐近线的方程
12、，结合点到直线的距离公式可得b，可得b的值，由双曲线的几何性质计算求出c的值，由离心率公式即可得答案【解答】解：根据题意，设双曲线的一个焦点为（c，0），其中一条渐近线的方程为ybx，即bxy0，若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则有b，则c2，则双曲线的离心率e2；故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题6（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A2B4C5D6【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，判断2n20时，退出循环，输出n的值即可【解答】解：模拟执行程序，可得n0，n2，不满足条件2220，执行循环体，n4，不满足条件2
13、420，执行循环体，n6，满足条件2620，退出循环，输出n6故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题7（5分）若函数为奇函数，则实数a的值为（）A2B2C1D1【分析】设x0，则x0，结合x0时，f（x）x22x，可求f（x），即可求解a【解答】解：函数为奇函数，设x0，则x0，x0时，f（x）x22x，f（x）f（x）（x）22（x）x2+2x，f（x）（x2+2x），a2，故选：B【点评】本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的解析式，属于基础试题8（5分）已知x20.2，则下列结论正确的是（）AxyzByzxCzyxDzxy【分析】利用指数函数、对数函数的
14、单调性直接求解【解答】解：x20.2201，lg10，0（）01，yzx故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，是基础题9（5分）“对任意正整数n，不等式nlga（n+1）lgaa（a1）都成立”的一个必要不充分条件是（）Aa0Ba1Ca2Da3【分析】求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断选项即可【解答】解：对任意正整数n，若不等式nlga（n+1）lgaa（a1）都成立，则nlgaa（n+1）lga（a1）；lga0；成立即：na（n+1）；a1，对任意正整数n，有a要大于（1）的最大值成立（1）的最大值设为x，则n趋近于无穷大正整数
15、时，x趋近于1，a大于趋近于1的数x，即：ax0，x趋近于1不等式nlga（n+1）lgaa（a1）都成立能推出a0，故a0是不等式nlga（n+1）lgaa（a1）都成立的必要条件若a0时，不能推出ax0，x趋近于1，故不能推出不等式nlga（n+1）lgaa（a1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A成立故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式的解法，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键属于中档题10（5分）如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）ABCD【分析】由题意，设长方形的
16、长为4，宽为2，利用弓形面积求得阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案【解答】解：由题意，设长方形的长为4，宽为2，则AOB120，阴影部分的面积S在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是故选：C【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查圆内弓形面积的求法，是中档题11（5分）己知函数f（x），若函数g（x）f（x）a有3个零点，则实数a的取值范围是（）A0，4）B0，2）C（，4D（，2【分析】根据题意，分析可得方程f（x）a0，即f（x）a有3个根，结合f（x）的解析式分段分析f（x）的图象，作出其草图，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数g（x）f（x）a有3个零点，则方程
17、f（x）a0，即f（x）a有3个根，当x0时，f（x）x33x，此时f（x）3x233（x21），分析可得：在区间（，1）上，f（x）0，f（x）为增函数，在（1，0）上，f（x）0，f（x）为减函数，在区间（，0上，f（x）有最大值f（1）2当x0时，f（x）lnx为减函数，作出函数f（x）的图象如图：要使af（x）有三个不同的根，即函数yf（x）与直线ya有3个交点，则a满足0a2，即实数a的取值范围是0，2），故选：B【点评】本题考查函数的零点与方程的关系，涉及分段函数的图象，关键是分析f（x）的图象，属于基础题12（5分）数列an中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排a1；第二
18、行2项，从左到右分别排a2，a3；第三行3项，依此类推，设数列an的前n项和为Sn，则满足Sn2019的最小正整数n的值为（）A20B21C26D27【分析】根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得S2121722019，求出第六行的第6个数，计算可得S20S219722019，分析可得答案【解答】解：根据题意，第一行，为4，其和为4，可以变形为T1232；第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为T22（321）2322；第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为T32（331）2332；依此类推：第n行的和Tn23n2；则前6行共1+2+3+4+5+62
19、1个数，前6项和为：S21（232）+（2322）+（2362）2（3+32+33+36）12373122172，满足Sn2019，而第六行的第6个数为435972，则S20S219722019，故满足Sn2019的最小正整数n的值21；故选：B【点评】本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知平面向量|1，|2，|2+|2，则在方向上的射影为【分析】首先由，得1，再由射影的几何意义可得【解答】解：，（2+）212，1，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，射影的几何意义，是基础题目14
20、（5分）若x，y满足约束条件，则zx+y的最小值为6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由zx+y得yx+z，平移直线yx+z由图象可知当直线yx+z经过点B时，yx+z的截距最小，此时z最小由，解得B（2，8），代入zx+y2286即目标函数zx+y最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最小值15（5分）已知椭圆+1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2x轴，若直线PF1所在的斜率为，则该椭圆的离心率为【分析】根据题意，作出椭圆的
21、图形，易得|F1F2|2c，由直线PF1的斜率分析可得tanPF1F2，则有|PF2|c，由勾股定理可得|PF1|的值，由椭圆的定义可得2a|PF1|+|PF2|2c，由椭圆的离心率公式即可得答案【解答】解：根据题意，如图：椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，则|F1F2|2c，直线PF1的斜率为，则tanPF1F2，则有|PF2|c，则|PF1|c，则2a|PF1|+|PF2|2c，则椭圆的离心率e，故答案为：【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出椭圆的图形，结合直线的斜率分析|PF2|的值16（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为【分析】首先把三视图
22、转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的球心，进一步求出外接球的半径【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：R故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）己知f（x）12sin（x+）cosx3，x0，（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为ABC的内角平分线，己知ACf（x）max，BCf（x）min，CD2，求C【分析】（1）首先f（x）6sin（2x+），由x0，得sin（2x+），1，得f（x）max6，f（x）min3；
23、（2）由角平分线性质定理得：AD24BD2，由余弦定理得BD21712cos，AD24424cos，得C【解答】（1）f（x）12sin（x+）cosx312（sinx+cosx）cosx36sinxcosx+6cos2x33sin2x+3cos2x6sin（2x+），x0，2x+，sin（2x+），1，f（x）max6，f（x）min3；（2）由角平分线性质定理得：2，AD24BD2，BCD中，BD21712cos，ACD中，AD24424cos，4424cos6848coscos，C【点评】本题考查yAsin（x+）的最值，余弦定理，把函数转化为yAsin（x+）此种形式是关键18（12分
24、）十九大以来，我国新能源产业迅速发展以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：年份20142015201620172018年份代码12345新能源产品年销售y（万个）1.66.217.733.155.6（1）请面出上表中年份代码x与年销量y的数据对应的散点图，并根据散点图判断：yax+b与ycx2+d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型：（2）根据（l）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量（精确到0.0l）参考公式：，t+参考数据：3，22.84，11，374，其中ti【分析】（1）以年份代码x为x轴，以年销量y为y轴，作散点图，
25、根据散点图，ycx2+d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程；（2）利用最小二乘法求出y关于x的回归方程为y2.27x22.13，再利用回归方程预测2019年某新能源产品的销售量【解答】解：（1）以年份代码x为x轴，以年销量y为y轴，作散点图，根据散点图，ycx2+d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程；（2）依题意22.84，11，c2.27，dc2.27112.13，y2.27t2.132.27x22.13；所以y关于x的回归方程为y2.27x22.13；令x6，y2.27622.1379.59，故预测2019年新能源产品的销售量为79.59万个【点评】本题主要考了查散点图
26、和利用最小二乘法求回归方程，以及利用回归方程进行预测应用问题，也考查了对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力19（12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，BB12，点E、F、M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）（2）在图2中，求证：D1B平面DEF【分析】（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形推导出四边形MNAC为梯形，过M作MPAC于点P，由此能求出梯形MNAC的面积（2）证
27、法1：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，推导出EF平面BB1D1D，从而EFD1B，推导出DQD1B，由此能证明D1B平面DEF证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，推导出BB1EF，从而EF平面BB1D1D，EFD1B，推导出DQD1B，由此能证明D1B平面DEF【解答】解：（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形由题意知MNA1C1（或EF），四边形MNAC为梯形，且MNAC2，过M作MPAC于点P，可得MC2，PC，得MP，梯形MNAC的面积（2+4）6证明：（2）
28、证法1：在长方体中ABCDA1B1C1D1，设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，D1Q4，由DEDF得DQEF，又EFBB1，EF平面BB1D1D，EFD1B，D1QDBD1D，QD1B+D1QDDD1B+BD1Q90，DQD1B，D1B平面DEF证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，D1Q4，由BB1平面A1B1C1D1可知BB1EF，又B1D1EF，BB1B1D1B1，EF平面BB1D1D，EFD1B，由，得tanQDD1tanD1BD，得QDD1D1BD，QDB+D1BDQDB+QDD190，DQD1B
29、，又DQEFQ，D1B平面DEF【点评】本题考查几何图形面积的求法，考查空间中直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题20（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，F1，F2分别是它的左、右焦点，|F1F2|2（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为k1，k2的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当k1k21时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由【分析】（1）由题意，结合a，b，c的关系即可求解（2）设直线lBC：ykx+m（m1），B（x1，y1），C（x2，y2）
30、，联立方程可得（2k2+1）x2+4kmx+2m220，又，结合韦达定理可得（kx1+m1）（kx2+m1）+x1x20，化简计算即可求解【解答】解：（1）因为，所以c1，b2a2c21，椭圆的方程为；（2）因为k1k20，所以直线BC斜率存在设直线lBC：ykx+m（m1），B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程，消y得（2k2+1）x2+4kmx+2m220，（*）又，理得（y11）（y21）+x1x20，即（kx1+m1）（kx2+m1）+x1x20，所以（k2+1）x1x2+k（m1）（x1+x2）+（m1）20（*）代入得，整理得3m+10得，所以直线BC过定点【点评】本题考查
31、椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，属中档题21（12分）已知函数f（x）x3+ax（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数g（x）f（x）xlnx在上有零点，求a的取值范围【分析】（1）对f（x）求导，然后分a0和a0两种情况讨论单调性即可；（2）原式等价于方程x3+axxlnx0在上有解，然后构造函数h（x）x2+lnx，求出h（x）的最大值和最小值即可【解答】解：（1）f（x）x3+ax，f（x）3x2+a，当a0时，f（x）3x2+a0，f（x）在R上单调递增；当a0时，令f（x）0，解得或，令f（x）0，解得，则f（x）在，上单调递增
32、；在上单调递减，（2）g（x）f（x）xlnx，g（x）x3+axxlnx，g（x）f（x）xlnx在上有零点，等价于关于x的方程g（x）0在上有解，即x3+axxlnx0在上有解，x3+axxlnx0，ax2+lnx令h（x）x2+lnx，则，令h（x）0，解得；令h（x）0，解得，则上单调递减，在上单调递增，h（2）22+ln24+ln2，则h（x）minh（2）4+ln2，故a的取值范围为【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和构造法，属中档题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）直线l的极坐标方程为sin（），以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系
33、曲线C的参数方程为（为参数）（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 C1，写出C1的极坐标方程：（2）射线与C1和l的交点分别为M，N射线与C1和l的交点分别为A、B求四边形ABNM的面积【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1的直角坐标方程，由此能求出C1的极坐标方程（2）将，代入直线的极坐标方程得到：，S四边形ABNMSOBNSOAM，由此能求出结果【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），曲线C的普通方程+1，将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2
34、16，C1的极坐标方程为：4（2）将，代入直线的极坐标方程得到：，由SOBN与，得S四边形ABNM，28【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查四边形面积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|xm|+2x0的解集为（，2，其中m0（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足a+b+cm，求证：+2【分析】（1）由已知可转化为|xm|+2x0，然后分解绝对值的代数意义进行求解；（2）由（1）可知，a+b+c2，结合均值不等式及不等式的性质可证【解答】解：（1）由f（x）0得|xm|+2x0，即或，化简得：或由于m0，所以不等式组的解集为（，m）由题设可得m2，故m2（2）由（1）可知，a+b+c2，又由均值不等式有：+a2b，+b2c，+c2a，三式相加可得：+a+b+c2b+2c+2a，所以+a+b+c2【点评】本题主要考查了含有绝对值不等式的求解及利用基本不等式及不等式性质在不等式的证明中的应用
