2020年安徽省合肥市高考数学第二次模拟试卷(文科)含答案解析

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资源描述

1、2020 年高考(文科)数学二模试卷年高考(文科)数学二模试卷 一、选择题(共 12 小题). 1若集合 A1,3,5,7,Bx|2x8,则 AB( ) A1 B1,3 C5,7 D3,5,7 2欧拉公式 eicos+isin 把自然对数的底数 e,虚数单位 i,三角函数 cos 和 sin 联系 在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足(ei+i) zi, 则|z|( ) A1 B C D 3若实数 x,y 满足约束条件则 z2xy 的最小值是( ) A16 B7 C4 D5 4已知数列an是等差数列,若 a22,S639,则 a7( ) A18 B17 C15

2、D14 5在平行四边形 ABCD 中,若,AE 交 BD 于 F 点,则( ) A B C D 6函数 f(x)Asin(x+)的部分图象如图所示,则 下列叙述正确的是( ) A函数 f(x)的图象可由 yAsinx 的图象向左平移个单位得到 B函数 f(x)的图象关于直线对称 C函数 f(x)在区间上单调递增 D函数 f(x)图象的对称中心为(kZ) 7 若函数 F (x) f (x) 2x4是奇函数,为偶函数, 则 f (1) ( ) A B C D 8九章算术中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏 晋时期数学家刘徽在其 九章算术注 中利用出入相补原理给出了这个问

3、题的一般解法: 如图 1, 用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形, 每个直角三角形再 分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)将三种颜色的图形进行重 组,得到如图 2 所示的矩形,该矩形长为 a+b,宽为内接正方形的边长 d由刘徽构造的 图形可以得到许多重要的结论,如图 3设 D 为斜边 BC 的中点,作直角三角形 ABC 的 内接正方形对角线 AE,过点 A 作 AFBC 于点 F,则下列推理正确的是( ) 由图 1 和图 2 面积相等可得;由 AEAF 可得; 由 ADAE 可得; 由 ADAF 可得 a2+b22ab A B C D 9已知函数,则 f

4、(x)f(x+1)的解集为( ) A(1,+) B(1,1) C D 10已知 F1,F2为椭圆 C:的两个焦点,若 C 上存在点 M 满足, 则实数 m 取值范围是( ) A B C D 11为了实施“科技下乡,精准脱贫”战略,某县科技特派员带着 A,B,C 三个农业扶贫 项目进驻某村,对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知,这四个贫困户 甲、乙、丙、丁选择 A,B,C 三个项目的意向如表: 扶贫项目 A B C 选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项, 且每个项目至多有两户选择, 则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为(

5、 ) A B C D 12 某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的, 其三视图如图所示 已知半球的半径为, 则当此几何体的体积最小时,它的表面积为( ) A24 B C21 D 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.第 16 题第一空 2 分,第二空 3 分.把答案 填在答题卡上的相应位置. 13曲线 f(x)ex2ex(e 是自然对数的底数)在 x1 处的切线方程为 14若数列an的首项为1,则数列an的前 10 项之和等于 15已知双曲线的右焦点为点 F,点 B 是虚轴的一个端点,点 P 为双曲线 C 左支上的一个动点,则BPF 周长的最小值等于 16在长方体 ABCD

6、A1B1C1D1中,AB1,AD2,AA13,点 P 是线段 B1C 上的一个动 点,则: (1)AP+D1P 的最小值等于 ; (2)直线 AP 与平面 AA1D1D 所成角的正切值的取值范围为 三、解答题:共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, tanA (2cosCsinA) cosA2sinC (1)求角 B 的大小; (2)若角 B 为锐角,b1,ABC 的面积为,求ABC 的周长 18在矩形 ABCD 中,E,F 在边 CD 上,BCCEEFFD1,如图(1)沿 BE,AF 将C

7、BE 和DAF 折起,使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直,连结 CD,如图 (2) (1)证明:CDAB; (2)求三棱锥 DBCE 的体积 19已知圆(x4)2+(y4)225 经过抛物线 E:y22px(p0)的焦点 F,且与抛物 线 E 的准线 l 相切 (1)求抛物线 E 的标准方程; (2)设经过点 F 的直线 m 交抛物线 E 于 A,B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为点 C,若 ACF 的面积为 6,求直线 m 的方程 20随着运动 app 和手环的普及和应用,在朋友圈、运动圈中出现了每天 1 万步的健身打卡 现象,“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛

8、流传“健步达人”小王某天统计了他 朋友圈中所有好友(共 500 人)的走路步数,并整理成如表: 分组 (单位:千步) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20) 20,24) 24,28) 28, 32 频数 60 240 100 60 20 18 0 2 (1)请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在 区间中点值作代表); (2)若用 A 表示事件“走路步数低于平均步数”,试估计事件 A 发生的概率; (3)若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人”,小王朋友圈中岁数在 40 岁以上 的中老年人共有 300 人,其中健步达人恰有 150 人

9、,请填写下面 22 列联表根据列联 表判断,有多大把握认为,健步达人与年龄有关? 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 不超过 40 岁 合计 附: P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21已知函数 f(x)exsinx(e 是自然对数的底数) (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若函数 g(x)f(x)2x,证明 g(x)在(0,)上只有两个零点 (参考数据: ) 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的 第一个题目计分, 作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上, 将所选题号对应的

10、方框涂黑.选修 4-4: 坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 为参数)以 坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点,M(2,0),求|MP|+|MQ|的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知不等式|x1|+|3x5|m 的解集为 (1)求 n 的值; (2)若三个正实数 a,b,c 满足 a+b+cm,证明: 参考答案 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

11、项 是符合题目要求的. 1若集合 A1,3,5,7,Bx|2x8,则 AB( ) A1 B1,3 C5,7 D3,5,7 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 A1,3,5,7, Bx|2x8x|x3, AB5,7 故选:C 2欧拉公式 eicos+isin 把自然对数的底数 e,虚数单位 i,三角函数 cos 和 sin 联系 在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足(ei+i) zi, 则|z|( ) A1 B C D 【分析】由已知可得 ei1,再把(ei+i) zi 变形,利用复数代数形式的乘除运算 化简,结合复数模的计算公式求解 解:由 e

12、icos+isin,得 eicos+isin1, 则由(ei+i) zi,得 z , |z| 故选:B 3若实数 x,y 满足约束条件则 z2xy 的最小值是( ) A16 B7 C4 D5 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最小 值 解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分), 由 z2xy,得 y2xz, 平移直线y2xz, 由图象可知当直线y2xz经过点A时, 直线y2xz的截距最大, 此时 z 最小 由 得 , 即 A(1,3), 此时 z 的最小值为 z1235, 故选:D 4已知数列an是等差数列,若 a22,S639,则 a7( ) A18

13、 B17 C15 D14 【分析】利用等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能 求出 a7 解:数列an是等差数列,a22,S639, , 解得 a11,d3, a71+6317 故选:B 5在平行四边形 ABCD 中,若,AE 交 BD 于 F 点,则( ) A B C D 【分析】根据题意知,点 E 为 CD 的中点,并设,根据向量加法、数乘的几何 意义及向量的数乘运算即可得出,而根据三点 B,F,D 共线即可得出 的值,从而用表示出 解:如图,E 为 CD 的中点, 设,且 B,F,D 三点共线, ,解得, 故选:D 6函数 f(x)Asin(x+)的部分图象

14、如图所示,则 下列叙述正确的是( ) A函数 f(x)的图象可由 yAsinx 的图象向左平移个单位得到 B函数 f(x)的图象关于直线对称 C函数 f(x)在区间上单调递增 D函数 f(x)图象的对称中心为(kZ) 【分析】根据题意求出解析式,然后判断选项,根据难度判断 ABD,如果有正确选项, 则选择,如果没有,则选 B 解:由图象可知 A2,f(0)1, f(0)2sin1,且, , f(x)2sin(x+), f()0 且为单调递减时候零点, ,kZ, ,kZ, 由图象知 , , 又0, 2, f(x)2sin(2x+), 函数 f(x)的图象可由 yAsinx 的图象向左平移个单位得

15、, A 错, 令 2x+ ,kZ,对称轴为 x,则 B 错, 令 2x+2k,kZ,则 xk ,则 D 对, 故选:D 7 若函数 F (x) f (x) 2x4是奇函数,为偶函数, 则 f (1) ( ) A B C D 【分析】根据题意,可得 f(1)+f(1)4,及,两式联立即可求得 f(1) 解:函数 F(x)f(x)2x4是奇函数, F(1)+F(1)0,即 f(1)2+f(1)20,则 f(1)+f(1)4, 为偶函数, G(1)G(1),即,则, 由解得, 故选:C 8九章算术中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏 晋时期数学家刘徽在其 九章算术注 中利

16、用出入相补原理给出了这个问题的一般解法: 如图 1, 用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形, 每个直角三角形再 分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)将三种颜色的图形进行重 组,得到如图 2 所示的矩形,该矩形长为 a+b,宽为内接正方形的边长 d由刘徽构造的 图形可以得到许多重要的结论,如图 3设 D 为斜边 BC 的中点,作直角三角形 ABC 的 内接正方形对角线 AE,过点 A 作 AFBC 于点 F,则下列推理正确的是( ) 由图 1 和图 2 面积相等可得;由 AEAF 可得; 由 ADAE 可得; 由 ADAF 可得 a2+b22ab A B

17、C D 【分析】根据题意求出 AD,AE,AF,然后可判断对,根据面积相等,可判断 对 解:由图 1 和图 2 面积相等 ab(a+b)d,可得,对; 由题意知图 3 面积为,AF, AD , 图 3 设正方形边长为 x,由三角形相似,解之得 x,则 AE; 可以化简判断对, 故选:A 9已知函数,则 f(x)f(x+1)的解集为( ) A(1,+) B(1,1) C D 【分析】由题意利用函数的单调性,分类讨论求得 x 的范围 解:函数,则 f(x)f(x+1), 当 x1 时,不等式 f(x)f(x+1),即 x21(x+1)21,求得x1 当 x1 时,不等式 f(x)f(x+1),即

18、log2xlog2(x+1),求得 x1 综上可得,不等式的解集为(,+), 故选:C 10已知 F1,F2为椭圆 C:的两个焦点,若 C 上存在点 M 满足, 则实数 m 取值范围是( ) A B C D 【分析】椭圆上的点 M 与焦点构成的角中,当点在短轴的顶点时角F1MF2最大,分焦 点在 x,y 轴两种情况讨论可得实数 m 的范围 解:当焦点在 x 轴上时,a2m,b21,m1, 当 M 为上下顶点时,F1MF2最大, 因为坐标, F1MF2, F1MO, 所以 tanF1MO 1,即1,解得 m2; 当焦点在 y 轴上时,a21,b2m,0m1, 当 M 为左右顶点时, F1MF2最

19、大, 因为, F1MF2, F1MO , 所以 tanF1MO1,即 1,解得 0m, 故选:A 11为了实施“科技下乡,精准脱贫”战略,某县科技特派员带着 A,B,C 三个农业扶贫 项目进驻某村,对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知,这四个贫困户 甲、乙、丙、丁选择 A,B,C 三个项目的意向如表: 扶贫项目 A B C 选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项, 且每个项目至多有两户选择, 则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( ) A B C D 【分析】由题意可知,甲乙只能选 A,B 项目,丁只能选 A,C 项目,

20、丙则都可以所以 分成三类将所有情况计算出来,套用概率公式计算即可 解:由题意:甲乙只能选 A,B 项目,丁只能选 A,C 项目,丙则都可以 由题意基本事件可分以下三类: (1)甲乙都选 A,则丁只能选 C,丙则可以选 B,C 任一个,故共有 2 种方法; (2)甲乙都选 B,则丁可以选 A 或 C,丙也可选 A 或 C,故共有种方法 (3)甲乙分别选 AB 之一,然后丁选 A 时,丙只能选 B 或 C;丁选 C 时,丙则 A,B,C 都可以选故有种方法 故基本事件共有 2+4+1016 种 甲乙选同一种项目的共有 2+46 种 故甲乙选同一项目的概率 P 故选:A 12 某几何体是由一个半球挖

21、去一个圆柱形成的, 其三视图如图所示 已知半球的半径为, 则当此几何体的体积最小时,它的表面积为( ) A24 B C21 D 【分析】设半球的内接圆柱底面半径为 r,高为 h;写出几何体的体积,利用导数求出体 积的最小值以及对应的 h 和 r 的值,再求该几何体的表面积 解:设半球的内接圆柱底面半径为 r,高为 h; 则球的半径为 R,且 r2+h26; 此时几何体的体积为 VV半球V圆柱r2h4(6h2)h (h36h+4 ); 设 f(h)h36h+4,h(0, ), 则 f(h)3h26, 令 f(h)0,解得 h; 所以 h(0,)时,f(h)0,f(h)单调递减; h(,)时,f(

22、h)0,f(h)单调递增; 所以 h时,f(h)取得最小值为 f()26+444 此时圆柱的底面半径为 2,高为; 所以该几何体的表面积为 S 4+2 2(18+4) 故选:D 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.第 16 题第一空 2 分,第二空 3 分.把答案 填在答题卡上的相应位置. 13曲线 f(x)ex2ex(e 是自然对数的底数)在 x1 处的切线方程为 yexe 【分析】分别求出切点坐标和切点处的导数值,然后代入点斜式求切线方程 解:f(x)2exex, kf(1)e,又 f(1)0 故切线方程为 ye(x1), 即 yexe 故答案为:yexe 14若数列

23、an的首项为1,则数列an的前 10 项之和等于 31 【分析】将中的 n 换为 n1,n2,nN*,两式相除可得数列的奇数项 和偶数项均为公比为 2 的等比数列,求得 a2,计算可得所求和 解:数列an的首项为1, , 可得 an1an2n1,n2,nN*, 相除可得2, 可得数列的奇数项和偶数项均为公比为 2 的等比数列, 由 a22,可得前 10 项之和为(124816)+(2+4+8+16+32)32131 故答案为:31 15已知双曲线的右焦点为点 F,点 B 是虚轴的一个端点,点 P 为双曲线 C 左支上的一个动点,则BPF 周长的最小值等于 【分析】先由双曲线的几何性质写出 B

24、和 F 的坐标,并求得|BF|的长,然后设双曲线的 左焦点为 E,由双曲线的定义可知,|PF|PE|2a,而BPF 的周长为|BF|+|PF|+|PB| |BF|+2a+ (|PE|+|PB|) , 求出|PE|+|PB|的最小值即可得BPF 周长的最小值, 当且仅当 B、 P、E 三点共线时,可得解 解: 双曲线,F, 如图所示,不妨设 B 为 x 轴上方的虚轴端点,则 B(0,1),|BF|2, 设双曲线的左焦点为 E, 由双曲线的定义可知, |PF|PE|2a, 即|PF|PE|+, BPF 的周长为|BF|+|PF|+|PB|BF|+(|PE|+)+|PB|2+|PE|+|PB|2+

25、+|BE|4+, 当且仅当 B、P、E 三点共线时,等号成立 所以BPF 周长的最小值等于 4+ 故答案为:4+ 16在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA13,点 P 是线段 B1C 上的一个动 点,则: (1)AP+D1P 的最小值等于 ; (2)直线 AP 与平面 AA1D1D 所成角的正切值的取值范围为 【分析】(1)将AB1C 与D1B1C 以公共边 B1C 为邻边展开成一个平行四边形,其对 角线 AD1的长度即为所求 (2) P 点在 B1C 上移动, 它在平面 ADD1上的摄影 H 落在 A1D 上, 此时 PH 是定值 A1B1, 只需研究 AH 的范围即可

26、 解:做出长方体如图所示,AB1,AD2,AA13,点 P 是线段 B1C 上的一个动点 (1)由长方体的性质可知, 将AB1C 与D1CB1以 B1C 为公共边展开成一平面四边形 AB1D1C,如图: 易证四边形 AB1D1C 是平行四边形, 所以当 APD1三点共线时, 即 AP+D1PAD1时最小 根据平行四边形对角线和四条边的性质即:, 代入数据得:,解得 AP+D1P 的最小值等于 (2)由长方体的性质可知,对角面 A1B1CD平面 ADD1A1于直线 A1D 所以由点 P 向直线 A1D 作垂线 PH,则 PH平面 ADD1A1 连接 AH,则PAH 即为直线 PA 与平面 AA1

27、D1D 所成角 显然 PHAB1 为定值 设 RtA1AD 斜边上的高为 h,则 A1D hAD AA1,求得 h ,此时 AH 最短 结合 A1A3,所以 , 所以 tanPAH 故答案为:, 三、解答题:共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, tanA (2cosCsinA) cosA2sinC (1)求角 B 的大小; (2)若角 B 为锐角,b1,ABC 的面积为,求ABC 的周长 【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可求 B 的值 (2)由 B 是锐角,可求,利

28、用三角形的面积公式可求 ac 的值,进而根据余弦定 理可求 a+c 的值,进而可求三角形的周长 解:(1)tanA(2cosCsinA)cosA2sinC, 2sinAcosCsin2Acos2A2cosAsinC 化简得,即, ,即 或 (2)B 是锐角, , 由,得, 在ABC 中,由余弦定理得, , , ABC 的周长为 18在矩形 ABCD 中,E,F 在边 CD 上,BCCEEFFD1,如图(1)沿 BE,AF 将CBE 和DAF 折起,使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直,连结 CD,如图 (2) (1)证明:CDAB; (2)求三棱锥 DBCE 的体积 【分析

29、】(1)分别取 AF,BE 的中点 M,N,连结 DM,CN,MN根据条件可证得平 面 ADF平面 ABEF,则 DM平面 ABEF同理 CN平面 ABEF,从而 DMCN可 得 MNAB,则 CDAB; (2)根据体积关系以及线段长度关系可得 V三棱锥BDCE2V三棱锥BEFC2V三棱锥CEFB由 (1)知,CN平面 BEF,即可得所求 解:(1)证明:分别取 AF,BE 的中点 M,N,连结 DM,CN,MN 由图(1)可得,ADF 与BCE 都是等腰直角三角形且全等, DMAF,CNBE,DMCN 平面 ADF平面 ABEF,交线为 AF,DM平面 ADF,DMAF, DM平面 ABEF

30、 同理,CN平面 ABEF,DMCN 又DMCN,四边形 CDMN 为平行四边形,CDMN M,N 分别是 AF,BE 的中点, MNAB, CDAB; (2)由图可知,V三棱锥DBCEV三棱锥BDCE, EF1,AB3,CDMN2, V三棱锥BDCE2V 三棱锥BEFC2V三棱锥CEFB 由(1)知,CN平面 BEF , 19已知圆(x4)2+(y4)225 经过抛物线 E:y22px(p0)的焦点 F,且与抛物 线 E 的准线 l 相切 (1)求抛物线 E 的标准方程; (2)设经过点 F 的直线 m 交抛物线 E 于 A,B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为点 C,若 ACF 的面积

31、为 6,求直线 m 的方程 【分析】(1)根据抛物线的定义即可得解; (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 C(x2,y2),由抛物线的定义可知,|AF|x1+1, |CF|x2+1设直线 AB 的方程为 yk(x1),将其与抛物线的方程联立,消去 y 可得 关于 x 的一元二次方程,写出韦达定理;设直线 m(AB)的倾斜角为 ,则 tank,且 sinAFC|sin(2)|sin2|2sincos,将其转化为只含 k 的代数式,再利用正 弦面积公式得,并结合前面写出的韦达定理表达式,化 简整理可得,从而解出 k 的值,进而求得直线 m 的方程 解:(1)由已知可得:圆心(4,4)

32、到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离相等,即点(4, 4)在抛物线 E 上, 168p,解得 p2 抛物线 E 的标准方程为 y24x (2)由已知可得,直线 m 斜率存在,否则点 C 与点 A 重合 设直线 m 的斜率为 k(k0),则直线 AB 的方程为 yk(x1) 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去 y 得 k2x22(k2+2)x+k20 ,x1x21 由对称性可知,C(x2,y2),|AF|x1+1,|CF|x2+1 设直线 m(AB)的倾斜角为 ,则 tank, , 由已知可得,解得 直线 m 的方程为,即 2x3y20 20随着运动 app 和手环的普及和应用

33、,在朋友圈、运动圈中出现了每天 1 万步的健身打卡 现象,“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛流传“健步达人”小王某天统计了他 朋友圈中所有好友(共 500 人)的走路步数,并整理成如表: 分组 (单位:千步) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20) 20,24) 24,28) 28, 32 频数 60 240 100 60 20 18 0 2 (1)请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在 区间中点值作代表); (2)若用 A 表示事件“走路步数低于平均步数”,试估计事件 A 发生的概率; (3)若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人

34、”,小王朋友圈中岁数在 40 岁以上 的中老年人共有 300 人,其中健步达人恰有 150 人,请填写下面 22 列联表根据列联 表判断,有多大把握认为,健步达人与年龄有关? 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 不超过 40 岁 合计 附: P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】(1)由数据和平均值的计算公式可得答案,(2)由频率约等概率可得答案, (3)根据题目所给的数据填写 22 列联表即可,计算 K 的观测值 K2,对照题目中的表 格,得出统计结论 解 : ( 1 ) 由 题 意 可 得 这 一 天 小 王 朋 友 圈

35、中 好 友 走 路 步 数 的 平 均 数 为 : , 所以这一天小王 500 名好友走路的平均步数约为 8.432 步 (2)由频率约等概率可得:, 所以事件 A 的概率约为 0.6216 (3)根据题目所给的数据填写 22 列联表如下: 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 150 150 300 不超过 40 岁 50 150 200 合计 200 300 500 , 有 99.9%以上的把握认为,健步达人与年龄有关 21已知函数 f(x)exsinx(e 是自然对数的底数) (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若函数 g(x)f(x)2x,证明 g(x)在(0,)上只有两个零

36、点 (参考数据: ) 【分析】(1)由 f(x)0 得,利用正弦函数的单调性质可得 f(x) 的单调递减区间; (2)依题意可得 g(x)ex(sinx+cosx)2,分析其单调情况并作出图象,利用零点 存在性定理可得,g(x)在(x1,x2)和(x2,)内各有一个零点,从而可证得结论成 立 【解答】(本小题满分 12 分) 解:(1)f(x)exsinx,定义域为 R. 由 f(x)0 得,解得(kZ) f(x)的单调递减区间为 (kZ) (2)g(x)ex(sinx+cosx)2,g(x)2excosx x(0,),当时,g(x)0;当时,g(x)0 g(x)在上单调递增,在上单调递减,

37、又g(0)120,g()e20, g(x)在(0,)上图象大致如右图 ,使得 g(x1)0,g(x2)0, 且当 x(0,x1)或 x(x2,)时,g(x)0;当 x(x1,x2)时,g(x)0 g(x)在(0,x1)和(x2,)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增 g(0)0,g(x1)0 ,g(x2)0, 又g()20,由零点存在性定理得,g(x)在(x1,x2)和(x2,)内各有一 个零点, 函数 g(x)在(0,)上有两个零点 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的 第一个题目计分, 作答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上, 将所选题号

38、对应的方框涂黑.选修 4-4: 坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 为参数)以 坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点,M(2,0),求|MP|+|MQ|的值 【分析】(1)曲线 C 的参数方程,利用平方关系消去参数 得 , 可 得 曲 线C的 普 通 方 程 由, 可 得 ,利用互化公式可得:直线 l 的直角坐标方程 (2)设直线 l 的参数方程为(t 为参数),将其代入曲线 C 的直角坐标方程 并化简得

39、7t26t630,利用根与系数的关系、弦长公式即可得出 解:(1)曲线 C 的参数方程消去参数 得,曲线 C 的普通方 程为 , 直线 l 的直角坐标方程为 (2)设直线 l 的参数方程为(t 为参数), 将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t26t630, 点 M(2,0)在直线 l 上, 选修 4-5:不等式选讲 23已知不等式|x1|+|3x5|m 的解集为 (1)求 n 的值; (2)若三个正实数 a,b,c 满足 a+b+cm,证明: 【分析】(1)依题意,为方程|x1|+|3x5|m 的根,代入可解得 m1,进而求得不 等式的解集为,由此求得; ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 a+b+c 1 , 而 ,由此得证 解:(1)由题意知,为方程|x1|+|3x5|m 的根, ,解得 m1, 由|x1|+|3x5|1 解得, ; (2)证明:由(1)知,a+b+c1, , 成立

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