1、2020 年高考（文科）数学二模试卷年高考（文科）数学二模试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1若集合 A1，3，5，7，Bx|2x8，则 AB（ ） A1 B1，3 C5，7 D3，5，7 2欧拉公式 eicos+isin 把自然对数的底数 e，虚数单位 i，三角函数 cos 和 sin 联系 在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足（ei+i） zi， 则|z|（ ） A1 B C D 3若实数 x，y 满足约束条件则 z2xy 的最小值是（ ） A16 B7 C4 D5 4已知数列an是等差数列，若 a22，S639，则 a7（ ） A18 B17 C15
2、D14 5在平行四边形 ABCD 中，若，AE 交 BD 于 F 点，则（ ） A B C D 6函数 f（x）Asin（x+）的部分图象如图所示，则 下列叙述正确的是（ ） A函数 f（x）的图象可由 yAsinx 的图象向左平移个单位得到 B函数 f（x）的图象关于直线对称 C函数 f（x）在区间上单调递增 D函数 f（x）图象的对称中心为（kZ） 7 若函数 F （x） f （x） 2x4是奇函数，为偶函数， 则 f （1） （ ） A B C D 8九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏 晋时期数学家刘徽在其 九章算术注 中利用出入相补原理给出了这个问
3、题的一般解法： 如图 1， 用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形， 每个直角三角形再 分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重 组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a+b，宽为内接正方形的边长 d由刘徽构造的 图形可以得到许多重要的结论，如图 3设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的 内接正方形对角线 AE，过点 A 作 AFBC 于点 F，则下列推理正确的是（ ） 由图 1 和图 2 面积相等可得；由 AEAF 可得； 由 ADAE 可得； 由 ADAF 可得 a2+b22ab A B C D 9已知函数，则 f
4、（x）f（x+1）的解集为（ ） A（1，+） B（1，1） C D 10已知 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，若 C 上存在点 M 满足， 则实数 m 取值范围是（ ） A B C D 11为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A，B，C 三个农业扶贫 项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知，这四个贫困户 甲、乙、丙、丁选择 A，B，C 三个项目的意向如表： 扶贫项目 A B C 选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项， 且每个项目至多有两户选择， 则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（
5、 ） A B C D 12 某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的， 其三视图如图所示 已知半球的半径为， 则当此几何体的体积最小时，它的表面积为（ ） A24 B C21 D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.把答案 填在答题卡上的相应位置. 13曲线 f（x）ex2ex（e 是自然对数的底数）在 x1 处的切线方程为 14若数列an的首项为1，则数列an的前 10 项之和等于 15已知双曲线的右焦点为点 F，点 B 是虚轴的一个端点，点 P 为双曲线 C 左支上的一个动点，则BPF 周长的最小值等于 16在长方体 ABCD
6、A1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，点 P 是线段 B1C 上的一个动 点，则： （1）AP+D1P 的最小值等于 ； （2）直线 AP 与平面 AA1D1D 所成角的正切值的取值范围为 三、解答题：共 5 小题，满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， tanA （2cosCsinA） cosA2sinC （1）求角 B 的大小； （2）若角 B 为锐角，b1，ABC 的面积为，求ABC 的周长 18在矩形 ABCD 中，E，F 在边 CD 上，BCCEEFFD1，如图（1）沿 BE，AF 将C
7、BE 和DAF 折起，使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直，连结 CD，如图 （2） （1）证明：CDAB； （2）求三棱锥 DBCE 的体积 19已知圆（x4）2+（y4）225 经过抛物线 E：y22px（p0）的焦点 F，且与抛物 线 E 的准线 l 相切 （1）求抛物线 E 的标准方程； （2）设经过点 F 的直线 m 交抛物线 E 于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为点 C，若 ACF 的面积为 6，求直线 m 的方程 20随着运动 app 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天 1 万步的健身打卡 现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛
8、流传“健步达人”小王某天统计了他 朋友圈中所有好友（共 500 人）的走路步数，并整理成如表： 分组 （单位：千步） 0，4） 4，8） 8，12） 12，16） 16，20） 20，24） 24，28） 28， 32 频数 60 240 100 60 20 18 0 2 （1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在 区间中点值作代表）； （2）若用 A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件 A 发生的概率； （3）若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在 40 岁以上 的中老年人共有 300 人，其中健步达人恰有 150 人
9、，请填写下面 22 列联表根据列联 表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？ 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 不超过 40 岁 合计 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21已知函数 f（x）exsinx（e 是自然对数的底数） （1）求 f（x）的单调递减区间； （2）若函数 g（x）f（x）2x，证明 g（x）在（0，）上只有两个零点 （参考数据： ） 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的 第一个题目计分， 作答时， 请用 2B 铅笔在答题卡上， 将所选题号对应的
10、方框涂黑.选修 4-4： 坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数）以 坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0），求|MP|+|MQ|的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知不等式|x1|+|3x5|m 的解集为 （1）求 n 的值； （2）若三个正实数 a，b，c 满足 a+b+cm，证明： 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
11、项 是符合题目要求的. 1若集合 A1，3，5，7，Bx|2x8，则 AB（ ） A1 B1，3 C5，7 D3，5，7 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 A1，3，5，7， Bx|2x8x|x3， AB5，7 故选：C 2欧拉公式 eicos+isin 把自然对数的底数 e，虚数单位 i，三角函数 cos 和 sin 联系 在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足（ei+i） zi， 则|z|（ ） A1 B C D 【分析】由已知可得 ei1，再把（ei+i） zi 变形，利用复数代数形式的乘除运算 化简，结合复数模的计算公式求解 解：由 e
12、icos+isin，得 eicos+isin1， 则由（ei+i） zi，得 z ， |z| 故选：B 3若实数 x，y 满足约束条件则 z2xy 的最小值是（ ） A16 B7 C4 D5 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小 值 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由 z2xy，得 y2xz， 平移直线y2xz， 由图象可知当直线y2xz经过点A时， 直线y2xz的截距最大， 此时 z 最小 由 得 ， 即 A（1，3）， 此时 z 的最小值为 z1235， 故选：D 4已知数列an是等差数列，若 a22，S639，则 a7（ ） A18
13、 B17 C15 D14 【分析】利用等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能 求出 a7 解：数列an是等差数列，a22，S639， ， 解得 a11，d3， a71+6317 故选：B 5在平行四边形 ABCD 中，若，AE 交 BD 于 F 点，则（ ） A B C D 【分析】根据题意知，点 E 为 CD 的中点，并设，根据向量加法、数乘的几何 意义及向量的数乘运算即可得出，而根据三点 B，F，D 共线即可得出 的值，从而用表示出 解：如图，E 为 CD 的中点， 设，且 B，F，D 三点共线， ，解得， 故选：D 6函数 f（x）Asin（x+）的部分图象
14、如图所示，则 下列叙述正确的是（ ） A函数 f（x）的图象可由 yAsinx 的图象向左平移个单位得到 B函数 f（x）的图象关于直线对称 C函数 f（x）在区间上单调递增 D函数 f（x）图象的对称中心为（kZ） 【分析】根据题意求出解析式，然后判断选项，根据难度判断 ABD，如果有正确选项， 则选择，如果没有，则选 B 解：由图象可知 A2，f（0）1， f（0）2sin1，且， ， f（x）2sin（x+）， f（）0 且为单调递减时候零点， ，kZ， ，kZ， 由图象知 ， ， 又0， 2， f（x）2sin（2x+）， 函数 f（x）的图象可由 yAsinx 的图象向左平移个单位得
15、， A 错， 令 2x+ ，kZ，对称轴为 x，则 B 错， 令 2x+2k，kZ，则 xk ，则 D 对， 故选：D 7 若函数 F （x） f （x） 2x4是奇函数，为偶函数， 则 f （1） （ ） A B C D 【分析】根据题意，可得 f（1）+f（1）4，及，两式联立即可求得 f（1） 解：函数 F（x）f（x）2x4是奇函数， F（1）+F（1）0，即 f（1）2+f（1）20，则 f（1）+f（1）4， 为偶函数， G（1）G（1），即，则， 由解得， 故选：C 8九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏 晋时期数学家刘徽在其 九章算术注 中利
16、用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图 1， 用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形， 每个直角三角形再 分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重 组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a+b，宽为内接正方形的边长 d由刘徽构造的 图形可以得到许多重要的结论，如图 3设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的 内接正方形对角线 AE，过点 A 作 AFBC 于点 F，则下列推理正确的是（ ） 由图 1 和图 2 面积相等可得；由 AEAF 可得； 由 ADAE 可得； 由 ADAF 可得 a2+b22ab A B
17、C D 【分析】根据题意求出 AD，AE，AF，然后可判断对，根据面积相等，可判断 对 解：由图 1 和图 2 面积相等 ab（a+b）d，可得，对； 由题意知图 3 面积为，AF， AD ， 图 3 设正方形边长为 x，由三角形相似，解之得 x，则 AE； 可以化简判断对， 故选：A 9已知函数，则 f（x）f（x+1）的解集为（ ） A（1，+） B（1，1） C D 【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得 x 的范围 解：函数，则 f（x）f（x+1）， 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1），即 x21（x+1）21，求得x1 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1），即
18、log2xlog2（x+1），求得 x1 综上可得，不等式的解集为（，+）， 故选：C 10已知 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，若 C 上存在点 M 满足， 则实数 m 取值范围是（ ） A B C D 【分析】椭圆上的点 M 与焦点构成的角中，当点在短轴的顶点时角F1MF2最大，分焦 点在 x，y 轴两种情况讨论可得实数 m 的范围 解：当焦点在 x 轴上时，a2m，b21，m1， 当 M 为上下顶点时，F1MF2最大， 因为坐标， F1MF2， F1MO， 所以 tanF1MO 1，即1，解得 m2； 当焦点在 y 轴上时，a21，b2m，0m1， 当 M 为左右顶点时， F1MF2最
19、大， 因为， F1MF2， F1MO ， 所以 tanF1MO1，即 1，解得 0m， 故选：A 11为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A，B，C 三个农业扶贫 项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶经过前期走访得知，这四个贫困户 甲、乙、丙、丁选择 A，B，C 三个项目的意向如表： 扶贫项目 A B C 选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项， 且每个项目至多有两户选择， 则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（ ） A B C D 【分析】由题意可知，甲乙只能选 A，B 项目，丁只能选 A，C 项目，
20、丙则都可以所以 分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可 解：由题意：甲乙只能选 A，B 项目，丁只能选 A，C 项目，丙则都可以 由题意基本事件可分以下三类： （1）甲乙都选 A，则丁只能选 C，丙则可以选 B，C 任一个，故共有 2 种方法； （2）甲乙都选 B，则丁可以选 A 或 C，丙也可选 A 或 C，故共有种方法 （3）甲乙分别选 AB 之一，然后丁选 A 时，丙只能选 B 或 C；丁选 C 时，丙则 A，B，C 都可以选故有种方法 故基本事件共有 2+4+1016 种 甲乙选同一种项目的共有 2+46 种 故甲乙选同一项目的概率 P 故选：A 12 某几何体是由一个半球挖
21、去一个圆柱形成的， 其三视图如图所示 已知半球的半径为， 则当此几何体的体积最小时，它的表面积为（ ） A24 B C21 D 【分析】设半球的内接圆柱底面半径为 r，高为 h；写出几何体的体积，利用导数求出体 积的最小值以及对应的 h 和 r 的值，再求该几何体的表面积 解：设半球的内接圆柱底面半径为 r，高为 h； 则球的半径为 R，且 r2+h26； 此时几何体的体积为 VV半球V圆柱r2h4（6h2）h （h36h+4 ）； 设 f（h）h36h+4，h（0， ）， 则 f（h）3h26， 令 f（h）0，解得 h； 所以 h（0，）时，f（h）0，f（h）单调递减； h（，）时，f（
22、h）0，f（h）单调递增； 所以 h时，f（h）取得最小值为 f（）26+444 此时圆柱的底面半径为 2，高为； 所以该几何体的表面积为 S 4+2 2（18+4） 故选：D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.把答案 填在答题卡上的相应位置. 13曲线 f（x）ex2ex（e 是自然对数的底数）在 x1 处的切线方程为 yexe 【分析】分别求出切点坐标和切点处的导数值，然后代入点斜式求切线方程 解：f（x）2exex， kf（1）e，又 f（1）0 故切线方程为 ye（x1）， 即 yexe 故答案为：yexe 14若数列
23、an的首项为1，则数列an的前 10 项之和等于 31 【分析】将中的 n 换为 n1，n2，nN*，两式相除可得数列的奇数项 和偶数项均为公比为 2 的等比数列，求得 a2，计算可得所求和 解：数列an的首项为1， ， 可得 an1an2n1，n2，nN*， 相除可得2， 可得数列的奇数项和偶数项均为公比为 2 的等比数列， 由 a22，可得前 10 项之和为（124816）+（2+4+8+16+32）32131 故答案为：31 15已知双曲线的右焦点为点 F，点 B 是虚轴的一个端点，点 P 为双曲线 C 左支上的一个动点，则BPF 周长的最小值等于 【分析】先由双曲线的几何性质写出 B
24、和 F 的坐标，并求得|BF|的长，然后设双曲线的 左焦点为 E，由双曲线的定义可知，|PF|PE|2a，而BPF 的周长为|BF|+|PF|+|PB| |BF|+2a+ （|PE|+|PB|） ， 求出|PE|+|PB|的最小值即可得BPF 周长的最小值， 当且仅当 B、 P、E 三点共线时，可得解 解： 双曲线，F， 如图所示，不妨设 B 为 x 轴上方的虚轴端点，则 B（0，1），|BF|2， 设双曲线的左焦点为 E， 由双曲线的定义可知， |PF|PE|2a， 即|PF|PE|+， BPF 的周长为|BF|+|PF|+|PB|BF|+（|PE|+）+|PB|2+|PE|+|PB|2+
25、+|BE|4+， 当且仅当 B、P、E 三点共线时，等号成立 所以BPF 周长的最小值等于 4+ 故答案为：4+ 16在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，点 P 是线段 B1C 上的一个动 点，则： （1）AP+D1P 的最小值等于 ； （2）直线 AP 与平面 AA1D1D 所成角的正切值的取值范围为 【分析】（1）将AB1C 与D1B1C 以公共边 B1C 为邻边展开成一个平行四边形，其对 角线 AD1的长度即为所求 （2） P 点在 B1C 上移动， 它在平面 ADD1上的摄影 H 落在 A1D 上， 此时 PH 是定值 A1B1， 只需研究 AH 的范围即可
26、 解：做出长方体如图所示，AB1，AD2，AA13，点 P 是线段 B1C 上的一个动点 （1）由长方体的性质可知， 将AB1C 与D1CB1以 B1C 为公共边展开成一平面四边形 AB1D1C，如图： 易证四边形 AB1D1C 是平行四边形， 所以当 APD1三点共线时， 即 AP+D1PAD1时最小 根据平行四边形对角线和四条边的性质即：， 代入数据得：，解得 AP+D1P 的最小值等于 （2）由长方体的性质可知，对角面 A1B1CD平面 ADD1A1于直线 A1D 所以由点 P 向直线 A1D 作垂线 PH，则 PH平面 ADD1A1 连接 AH，则PAH 即为直线 PA 与平面 AA1
27、D1D 所成角 显然 PHAB1 为定值 设 RtA1AD 斜边上的高为 h，则 A1D hAD AA1，求得 h ，此时 AH 最短 结合 A1A3，所以 ， 所以 tanPAH 故答案为：， 三、解答题：共 5 小题，满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， tanA （2cosCsinA） cosA2sinC （1）求角 B 的大小； （2）若角 B 为锐角，b1，ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可求 B 的值 （2）由 B 是锐角，可求，利
28、用三角形的面积公式可求 ac 的值，进而根据余弦定 理可求 a+c 的值，进而可求三角形的周长 解：（1）tanA（2cosCsinA）cosA2sinC， 2sinAcosCsin2Acos2A2cosAsinC 化简得，即， ，即 或 （2）B 是锐角， ， 由，得， 在ABC 中，由余弦定理得， ， ， ABC 的周长为 18在矩形 ABCD 中，E，F 在边 CD 上，BCCEEFFD1，如图（1）沿 BE，AF 将CBE 和DAF 折起，使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直，连结 CD，如图 （2） （1）证明：CDAB； （2）求三棱锥 DBCE 的体积 【分析
29、】（1）分别取 AF，BE 的中点 M，N，连结 DM，CN，MN根据条件可证得平 面 ADF平面 ABEF，则 DM平面 ABEF同理 CN平面 ABEF，从而 DMCN可 得 MNAB，则 CDAB； （2）根据体积关系以及线段长度关系可得 V三棱锥BDCE2V三棱锥BEFC2V三棱锥CEFB由 （1）知，CN平面 BEF，即可得所求 解：（1）证明：分别取 AF，BE 的中点 M，N，连结 DM，CN，MN 由图（1）可得，ADF 与BCE 都是等腰直角三角形且全等， DMAF，CNBE，DMCN 平面 ADF平面 ABEF，交线为 AF，DM平面 ADF，DMAF， DM平面 ABEF
30、 同理，CN平面 ABEF，DMCN 又DMCN，四边形 CDMN 为平行四边形，CDMN M，N 分别是 AF，BE 的中点， MNAB， CDAB； （2）由图可知，V三棱锥DBCEV三棱锥BDCE， EF1，AB3，CDMN2， V三棱锥BDCE2V 三棱锥BEFC2V三棱锥CEFB 由（1）知，CN平面 BEF ， 19已知圆（x4）2+（y4）225 经过抛物线 E：y22px（p0）的焦点 F，且与抛物 线 E 的准线 l 相切 （1）求抛物线 E 的标准方程； （2）设经过点 F 的直线 m 交抛物线 E 于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为点 C，若 ACF 的面积
31、为 6，求直线 m 的方程 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解； （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 C（x2，y2），由抛物线的定义可知，|AF|x1+1， |CF|x2+1设直线 AB 的方程为 yk（x1），将其与抛物线的方程联立，消去 y 可得 关于 x 的一元二次方程，写出韦达定理；设直线 m（AB）的倾斜角为 ，则 tank，且 sinAFC|sin（2）|sin2|2sincos，将其转化为只含 k 的代数式，再利用正 弦面积公式得，并结合前面写出的韦达定理表达式，化 简整理可得，从而解出 k 的值，进而求得直线 m 的方程 解：（1）由已知可得：圆心（4，4）
32、到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离相等，即点（4， 4）在抛物线 E 上， 168p，解得 p2 抛物线 E 的标准方程为 y24x （2）由已知可得，直线 m 斜率存在，否则点 C 与点 A 重合 设直线 m 的斜率为 k（k0），则直线 AB 的方程为 yk（x1） 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立消去 y 得 k2x22（k2+2）x+k20 ，x1x21 由对称性可知，C（x2，y2），|AF|x1+1，|CF|x2+1 设直线 m（AB）的倾斜角为 ，则 tank， ， 由已知可得，解得 直线 m 的方程为，即 2x3y20 20随着运动 app 和手环的普及和应用
33、，在朋友圈、运动圈中出现了每天 1 万步的健身打卡 现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传“健步达人”小王某天统计了他 朋友圈中所有好友（共 500 人）的走路步数，并整理成如表： 分组 （单位：千步） 0，4） 4，8） 8，12） 12，16） 16，20） 20，24） 24，28） 28， 32 频数 60 240 100 60 20 18 0 2 （1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在 区间中点值作代表）； （2）若用 A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件 A 发生的概率； （3）若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人
34、”，小王朋友圈中岁数在 40 岁以上 的中老年人共有 300 人，其中健步达人恰有 150 人，请填写下面 22 列联表根据列联 表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？ 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 不超过 40 岁 合计 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）由数据和平均值的计算公式可得答案，（2）由频率约等概率可得答案， （3）根据题目所给的数据填写 22 列联表即可，计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表 格，得出统计结论 解 ： （ 1 ） 由 题 意 可 得 这 一 天 小 王 朋 友 圈
35、中 好 友 走 路 步 数 的 平 均 数 为 ： ， 所以这一天小王 500 名好友走路的平均步数约为 8.432 步 （2）由频率约等概率可得：， 所以事件 A 的概率约为 0.6216 （3）根据题目所给的数据填写 22 列联表如下： 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 150 150 300 不超过 40 岁 50 150 200 合计 200 300 500 ， 有 99.9%以上的把握认为，健步达人与年龄有关 21已知函数 f（x）exsinx（e 是自然对数的底数） （1）求 f（x）的单调递减区间； （2）若函数 g（x）f（x）2x，证明 g（x）在（0，）上只有两个零
36、点 （参考数据： ） 【分析】（1）由 f（x）0 得，利用正弦函数的单调性质可得 f（x） 的单调递减区间； （2）依题意可得 g（x）ex（sinx+cosx）2，分析其单调情况并作出图象，利用零点 存在性定理可得，g（x）在（x1，x2）和（x2，）内各有一个零点，从而可证得结论成 立 【解答】（本小题满分 12 分） 解：（1）f（x）exsinx，定义域为 R. 由 f（x）0 得，解得（kZ） f（x）的单调递减区间为 （kZ） （2）g（x）ex（sinx+cosx）2，g（x）2excosx x（0，），当时，g（x）0；当时，g（x）0 g（x）在上单调递增，在上单调递减，
37、又g（0）120，g（）e20， g（x）在（0，）上图象大致如右图 ，使得 g（x1）0，g（x2）0， 且当 x（0，x1）或 x（x2，）时，g（x）0；当 x（x1，x2）时，g（x）0 g（x）在（0，x1）和（x2，）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增 g（0）0，g（x1）0 ，g（x2）0， 又g（）20，由零点存在性定理得，g（x）在（x1，x2）和（x2，）内各有一 个零点， 函数 g（x）在（0，）上有两个零点 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的 第一个题目计分， 作答时， 请用 2B 铅笔在答题卡上， 将所选题号
38、对应的方框涂黑.选修 4-4： 坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数）以 坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0），求|MP|+|MQ|的值 【分析】（1）曲线 C 的参数方程，利用平方关系消去参数 得 ， 可 得 曲 线C的 普 通 方 程 由， 可 得 ，利用互化公式可得：直线 l 的直角坐标方程 （2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程 并化简得
39、7t26t630，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出 解：（1）曲线 C 的参数方程消去参数 得，曲线 C 的普通方 程为 ， 直线 l 的直角坐标方程为 （2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数）， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t26t630， 点 M（2，0）在直线 l 上， 选修 4-5：不等式选讲 23已知不等式|x1|+|3x5|m 的解集为 （1）求 n 的值； （2）若三个正实数 a，b，c 满足 a+b+cm，证明： 【分析】（1）依题意，为方程|x1|+|3x5|m 的根，代入可解得 m1，进而求得不 等式的解集为，由此求得； （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 a+b+c 1 ， 而 ，由此得证 解：（1）由题意知，为方程|x1|+|3x5|m 的根， ，解得 m1， 由|x1|+|3x5|1 解得， ； （2）证明：由（1）知，a+b+c1， ， 成立
