1、8.1 第第 2 课时课时 圆柱圆柱、圆锥圆锥、圆台圆台、球球、简单组合体简单组合体 学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. 3.了解简单组合体的概念及结构特征. 知识点一 圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边 旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱 OO 相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴 的边 思考 圆柱的轴截面有_个，它们_(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有
2、 _条，它们与圆柱的高_. 答案 无穷多 全等 无穷多 相等 知识点二 圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义： 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥 SO 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 思考 圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都 是母线吗？ 答案 圆锥的轴截面有无穷多个， 母线有无穷多条， 圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线 都是母线. 知识点三 圆台的结构特征 圆台 图
3、形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面 之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台 OO 相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 知识点四 球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的 曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球 O 相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点五 简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组
4、合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式： 一种是由简单几何体拼接而成， 另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.( ) 2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( ) 3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.( ) 4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( ) 一、旋转体的结构特征 例 1 下列说法正确的是_.(填序号) 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴， 其余各边旋转一周形成的曲面所围成 的几何体是圆锥； 用一个平面
5、去截球，得到的截面是一个圆面. 答案 解析 以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台； 它们的底面为 圆面；正确. 反思感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法 明确由哪个平面图形旋转而成. 明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. 在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 跟踪训练 1 下列说法，正确的是( ) 圆柱的母线与它的轴可以不平行； 圆锥的顶点、 底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角 形； 在圆台的上、下两底面圆周上各取
6、一点，则这两点的连线是圆台的母线； 圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. A. B. C. D. 答案 D 解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知正确，错误. 二、简单组合体的结构特征 例 2 (1)请描述如图所示的几何体是如何形成的. 解 是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体； 是由一个长方体截去一个三棱锥后得 到的几何体；是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体. (2)如图所示，已知梯形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC.当梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转 一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征. 解 如下图所示， 旋转所得的几何体可
7、看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合 体. 反思感悟 (1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征， 其次要有一定的空间想象能力. (2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面 图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的. 跟踪训练 2 (1)如图所示的简单组合体的组成是( ) A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥 C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱 答案 B (2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个
8、圆锥 答案 D 解析 图是一个等腰梯形，CD 为较长的底边，以 CD 边所在直线为旋转轴旋转一周所得 几何体为一个组合体，如图，包括一个圆柱、两个圆锥. 三、旋转体的有关计算 例 3 一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4 cm2和 25 cm2，求： (1)圆台的高； (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD(如图所示). 由已知可得 O1A2 cm，OB5 cm. 又由题意知腰长 AB12 cm， 所以高 AM 122522 3 15(cm). (2)如图所示，延长 BA，OO1，CD，交于点 S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为 l
9、， 则由SAO1SBO，可得l12 l 2 5， 解得 l20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm. 反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全 等或相似)， 同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质， 利用相似三角形中的相 似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. 跟踪训练 3 如图所示，用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底 面的面积之比为 116，截去的圆锥的母线长是 3 cm，求圆台 OO 的母线长. 解 设圆台的母线长为 l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为 116，可设截得的圆台 的上、下底面的
10、半径分别为 r cm,4r cm.过轴 SO 作截面，如图所示. 则SOASOA，SA3 cm. 所以SA SA OA OA . 所以 3 3l r 4r 1 4. 解得 l9，即圆台的母线长为 9 cm. 1.下列说法中正确的是( ) A.将正方形旋转不可能形成圆柱 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 答案 C 解析 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以 A 错误；B 中没有说明这两个 平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确， 所以 B 错误；通过圆
11、台侧面上一点，只有一条母线，所以 D 错误. 2.(多选)下列命题中正确的是( ) A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 答案 ACD 3.下列几何体是台体的是( ) 答案 D 解析 台体包括棱台和圆台两种，A 的错误在于四条侧棱没有交于一点，B 的错误在于截面 与圆锥底面不平行.C 是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知 D 正确. 4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是( ) A.圆柱 B.圆台 C.球体 D.棱台 答案 D 解析 圆
12、柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆 台)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形. 5.两相邻边长分别为 3 cm 和 4 cm 的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积 为_ cm2. 答案 16 或 9 解析 当以 3 cm 长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为 4 cm，底面积为 16 cm2； 当以 4 cm 长的一边所在直线为轴旋转时， 得到的圆柱的底面半径为 3 cm， 底面积为 9 cm2. 1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征. (2)球的结构特征. (3)简单组合体的结构特征. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
