2019-2020学年湖南省常德市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)命题“若 a3,则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个 数为( ) A1 B2 C3 D4 2 (5 分)命题xR,exx10 的否定是( ) AxR,exx10 Bx0R,x010 Cx0R,x010 Dx0R,x010 3 (5 分)高三(8)班有学生 54 人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个 容量为 4 的样本,已知 5 号、18 号、44 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号 是( ) A8 B13 C15 D31 4 (5 分)已知一个不透明的袋子中装有

2、3 个白球,2 个黑球,这些球除颜色外完全相同, 若从袋子中一次取出两个球,则“取到的两个球颜色不相同”的概率是( ) A B C D 5 (5 分)如表提供了某工厂节能降耗技术改造后,一种产品的产量 x(单位:吨)与相应 的生产能耗 y(单位:吨)的几组对应数据: x/吨 3 4 5 6 y/吨 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x+0.35,那么表格中 t 的值 为( ) A3 B3.15 C3.25 D3.5 6 (5 分)已知 a,b 是非零实数,则“ab”是“lnaln|b|”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条

3、件 D既不充分也不必要条件 7 (5 分)已知向量 (+1,0,2) , (6,21,2) ,若 ,则 + 的值可以 第 2 页(共 22 页) 是( ) A B C3 D2 8 (5 分)如图所示的茎叶图记录了甲,乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件) 若 这两组数据的中位数相等,且平均数也相等,则 x+y 的值为( ) A10 B9 C8 D7 9 (5 分)已知 A 是圆 M 的圆周上一定点,若在圆 M 的圆周上的其他位置任取一点 B,连 接 AB,则“线段 AB 的长度不大于圆 M 的半径”的概率约为( ) A B C D 10 (5 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左右焦点

4、为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 与 A、B 两点,若AF1B 的周长为,则 C 的方程为( ) A+1 B+y21 C+1 D+1 11 (5 分)如图所示,在三棱锥 PABC 中,D 是棱 PB 的中点,已知 PABC2,AB4, CBAB,PA平面 ABC,则异面直线 PC,AD 所成角的余弦值为( ) A B C D 12 (5 分)已知 F1,F2为双曲线的焦点,过 F2作垂直于实轴的直线交双曲线于 A,B 两点, BF1交虚轴于点 C,若|+|,则双曲线的离心率为( ) 第 3 页(共 22 页) A B C2 D2 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小

5、题小题,每小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)某高级中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例分别 如扇形统计图所示,现要抽取一个容量为 26 的样本,则在该高级中学高中部抽取男教师 的人数为 14 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F,且与该抛物线相 交于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60,则|OA| 15 (5 分)如图,在一个 60的二面角的棱上,有两个点 A、B,AC,BD 分别是在这个二 面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段, 且 AB2, AC3,

6、 BD4, 则 CD 的长为 16 (5 分)已知椭圆的右焦点为 F2,点 M 在O:x2+y23 上,且 M 在第一象 限,过点 M 作O 的切线交椭圆与 P,Q 两点,则PF2Q 的周长为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分) (1)已知命题 p:axa+1,命题 q:x24x0,若 p 是 q 的充分不必要条件, 求 a 的取值范围; (2)已知命题 p: “x0,1,aex” ;命题 q: “x0R,使得 x02+4x0+a0”若命题 “pq”是真命题,求实数 a 的取值范围 18 (12 分)某高校

7、在 2019 年的自主招生笔试成绩(满分 200 分)中,随机抽取 100 名考 生的成绩,按此成绩分成五组,得到如下的频率分布表: 组号 分组 频数 频率 第一组 90,110) 15 a 第二组 110,130) 25 0.25 第 4 页(共 22 页) 第三组 130,150) 30 0.3 第四组 150,170) b c 第五组 170,190 10 0.1 (1)求频率分布表中 a,b,c 的值; (2) 估计笔试成绩的平均数及中位数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;(精 确到 0.1) (3)若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取 6 名学生参加面试,

8、用简 单随机抽样方法从 6 人中抽取 2 人作为正、副小组长,求“抽取的 2 人为同一组”的概 率 19 (12 分)如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB平面 ABC,SAB 是等边三角形,已 知 AC2AB4,BC2 (1)求证:平面 SAB平面 SAC; (2)求直线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值 20 (12 分)已知椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为, 直线 yk(x1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (1)求椭圆 C 的方程; (2)当AMN 的面积为时,求 k 的值 21 (12 分)如图 1,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,BAD60,将BCD 沿对

9、角线 BD 折起到BCD 的位置,使平面 BCD平面 ABD,E 是 BD 的中点,FA平面 ABD,且 FA2,如图 2 (1)求证:FA平面 BCD; (2)求平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值; 第 5 页(共 22 页) (3)在线段 AD 上是否存在一点 M,使得 CM平面 FBC?若存在,求的值;若不 存在,说明理由 22 (12 分)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 x1,直线 l 与抛物线相交于不同的 A,B 两点 (1)求抛物线的标准方程; (2)如果直线 l 过抛物线的焦点,求的值; (3)如果,直线 l 是否过一定点,若过一定点,求出该定点;

10、若不过一定点, 试说明理由 第 6 页(共 22 页) 2019-2020 学年湖南省常德市高二(上)期末数学试卷学年湖南省常德市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)命题“若 a3,则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个 数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用四个命题的应用求出结果 【解答】解:命题: “若 a3,则

11、a6”为假命题,逆命题: “若 a6,则 a3” 为真命题, 故否命题为真命题,逆否命题为假命题 故假命题的个数为 2 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:四个命题的应用,主要考查学生的转换能力及思维能力, 属于基础题型 2 (5 分)命题xR,exx10 的否定是( ) AxR,exx10 Bx0R,x010 Cx0R,x010 Dx0R,x010 【分析】根据含有量词的命题的否定为:将任意改为存在,结论否定,即可写出命题的 否定 【解答】解:由题意命题xR,exx10 的否定是x0R,x010, 故选:D 【点评】本题的考点是命题的否定,主要考查含量词的命题的否定形式:将任意与存在 互换

12、,结论否定即可 3 (5 分)高三(8)班有学生 54 人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个 容量为 4 的样本,已知 5 号、18 号、44 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号 是( ) 第 7 页(共 22 页) A8 B13 C15 D31 【分析】先求出抽样间隔 f13,再由 5 号、18 号、44 号学生在样本中,能求出 样本中还有一个学生的编号 【解答】解:高三(8)班有学生 54 人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法, 抽取一个容量为 4 的样本, 则抽样间隔 f13, 5 号、18 号、44 号学生在样本中, 样本中还有一个学生的编号是:18+(185

13、)31 故选:D 【点评】本题考查样本中学生编号的求法,考查系统抽亲的性质等基础知识,考查运算 求解能力,是基础题 4 (5 分)已知一个不透明的袋子中装有 3 个白球,2 个黑球,这些球除颜色外完全相同, 若从袋子中一次取出两个球,则“取到的两个球颜色不相同”的概率是( ) A B C D 【分析】从袋子中一次取出两个球,基本事件总数 n10,取到的两个球颜色不相 同包含的基本事件个数 m6,由此能求出“取到的两个球颜色不相同”的概率 【解答】解:一个不透明的袋子中装有 3 个白球,2 个黑球,这些球除颜色外完全相同, 从袋子中一次取出两个球, 基本事件总数 n10, 取到的两个球颜色不相同

14、包含的基本事件个数 m6, 则“取到的两个球颜色不相同”的概率 p 故选:B 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 5 (5 分)如表提供了某工厂节能降耗技术改造后,一种产品的产量 x(单位:吨)与相应 的生产能耗 y(单位:吨)的几组对应数据: x/吨 3 4 5 6 第 8 页(共 22 页) y/吨 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x+0.35,那么表格中 t 的值 为( ) A3 B3.15 C3.25 D3.5 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标,代入线性回归方程即可求得

15、t 值 【解答】解:, 样本点的中心的坐标为(4.5,) , 代入线性回归方程为 0.7x+0.35,得, 解得 t3 故选:A 【点评】本题考查线性回归方程,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础 题 6 (5 分)已知 a,b 是非零实数,则“ab”是“lnaln|b|”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先化简命题,再讨论充要性 【解答】解:lnaln|b|解得 a|b|,且 a0,b0, 则“ab”是“a|b|,且 a0”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】本题考查充要性,以及解不等式,属于基础题 7 (5 分)已知向量

16、(+1,0,2) , (6,21,2) ,若 ,则 + 的值可以 是( ) A B C3 D2 【分析】利用向量平行的性质直接求解 【解答】解:向量 (+1,0,2) , (6,21,2) , , ,t0, 第 9 页(共 22 页) , 解得或 3, +或 + 故选:A 【点评】本题考查代数式求和,考查向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 8 (5 分)如图所示的茎叶图记录了甲,乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件) 若 这两组数据的中位数相等,且平均数也相等,则 x+y 的值为( ) A10 B9 C8 D7 【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等,且平均值也相

17、等,可得 x,y 的值 【解答】解:由已知中甲组数据:56,62,65,74,70+x;的中位数为 65, 故乙组数据:59,61,60+y,67,78;的中位数也为 65,即 y5, 将 y5,代入乙组可得乙组数据的平均数为:66,这两组数据的平均值也相等, 故 x3, 所以:x+y5+38; 故选:C 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了中位数与平均数的应用问题,是基础 性题目 9 (5 分)已知 A 是圆 M 的圆周上一定点,若在圆 M 的圆周上的其他位置任取一点 B,连 接 AB,则“线段 AB 的长度不大于圆 M 的半径”的概率约为( ) A B C D 【分析】由题意数形结

18、合找到满足题意的弧长,然后结合几何概型计算公式即可求得最 终结果 【解答】解:如图所示的圆 O 中,AMD 和AMC 为等边三角形,点 B 位于劣弧 CD 第 10 页(共 22 页) 上时满足题意,由几何概型计算公式可得,满足题意的概率值为: P 故选:B 【点评】本题考查了几何概型的计算,数形结合解题等,重点考查学生对基础概念的理 解和计算能力,属于基础题 10 (5 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 与 A、B 两点,若AF1B 的周长为,则 C 的方程为( ) A+1 B+y21 C+1 D+1 【分析】由AF1B 的周长为

19、,4a,求得 a2,根据椭圆的离心率公式 e ,求得 c2,有 b2a2c2,即可求得椭圆的标准方程 【解答】解:由椭圆的性质可知:4a,即 a2, 椭圆的离心率 e,c2, b2a2c21248, 椭圆的方程为:, 故选:D 【点评】本题考查椭圆的简单性质及椭圆的标准方程,考查计算能力,属于基础题, 第 11 页(共 22 页) 11 (5 分)如图所示,在三棱锥 PABC 中,D 是棱 PB 的中点,已知 PABC2,AB4, CBAB,PA平面 ABC,则异面直线 PC,AD 所成角的余弦值为( ) A B C D 【分析】以 B 为原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,过 B 作平

20、面 ABC 的垂线为 z 轴,建立空 间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 PC,AD 所成角的余弦值 【解答】解:在三棱锥 PABC 中,D 是棱 PB 的中点, PABC2,AB4,CBAB,PA平面 ABC, 以 B 为原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐 标系, 则 P(4,0,2) ,C(0,2,0) ,A(4,0,0) ,B(0,0,0) ,D(2,0,1) , (4,2,2) ,(2,0,1) , 设异面直线 PC,AD 所成角为 , 则 cos 异面直线 PC,AD 所成角的余弦值为 故选:D 【点评】本题考查异面

21、直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的 第 12 页(共 22 页) 位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 12 (5 分)已知 F1,F2为双曲线的焦点,过 F2作垂直于实轴的直线交双曲线于 A,B 两点, BF1交虚轴于点 C,若|+|,则双曲线的离心率为( ) A B C2 D2 【分析】根据中位线定理, 求得 C 点坐标,由0, 利用向量数量积的坐标运算, 利用双曲线的性质,即可求得双曲线的离心率 【解答】解:由题意可知:设双曲线的方程为:, (a0,b0) , 由 AB 为双曲线的通径,则 A(c,) ,B(c,) ,F1(c,0) , 由 OC 为F1F

22、2B 中位线, 则|OC|,则 C(0,) , 则(c,) ,(2c,) , 由|+|,得, 则 2c20, 整理得:3b44a2c2, 由 b2c2a2,3c410a2c2+3a40, 双曲线的离心率 e,则 3e410e2+30,解得:e23 或 e2, 由 e1,则 e, 故选:B 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,考查双曲线的离心率公式,向量数量积的坐 第 13 页(共 22 页) 标运算,考查计算能力,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)某高级中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 1

23、50 名教师,其性别比例分别 如扇形统计图所示,现要抽取一个容量为 26 的样本,则在该高级中学高中部抽取男教师 的人数为 9 【分析】利用分层抽样、扇形统计图的性质直接求解 【解答】解:某高级中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师, 其性别比例分别如扇形统计图所示,现要抽取一个容量为 26 的样本, 则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为: 2660%9 故答案为:9 【点评】本题考查该高级中学高中部抽取男教师的人数的求法,考查分层抽样、扇形统 计图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 14 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y28x 的

24、焦点 F,且与该抛物线相 交于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60,则|OA| 【分析】由题意可知求得直线 l 的方程,代入抛物线方程,点 A 在 x 轴上方,即可求得 A 点坐标,利用两点之间的距离公式,即可求得|OA| 【解答】解:抛物线 y28x 的焦点 F 的坐标为(2,0) , 直线 l 过 F,倾斜角为 60,即斜率 ktan, 直线 l 的方程为:y(x2) ,即 xy+2, ,点 A 在 x 轴上方,解得:, 即 A(6,4) , 第 14 页(共 22 页) 则|OA|, 故答案为:2 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直线的点斜式

25、方程,考查计算能力, 属于中档题 15 (5 分)如图,在一个 60的二面角的棱上,有两个点 A、B,AC,BD 分别是在这个二 面角的两个半平面内垂直于AB的线段, 且AB2, AC3, BD4, 则CD的长为 【分析】由题设条件知,由此利用向量法能求出 CD 的长 【解答】解:在一个 60的二面角的棱上, 有两个点 A、B,AC、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段, 且 AB2,AC3,BD4, 4+9+16+234cos120 17 CD 的长: 故答案为: 【点评】本题考查线段长的求法,解题时要注意空间思维能力的培养,注意向量法的合 理运用 16 (5 分)已知

26、椭圆的右焦点为 F2,点 M 在O:x2+y23 上,且 M 在第一象 限,过点 M 作O 的切线交椭圆与 P,Q 两点,则PF2Q 的周长为 4 【分析】画出图形,设出 P、Q 坐标,利用已知条件转化求解三角形的周长即可 【解答】解:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 PM2OP2OM2x12+y123x12+33x12 PM,同理,QM,PQ+, 第 15 页(共 22 页) 又 PF2, 同理 QF2, PF2Q 的周长为:PQ+PF1+PF24, 故答案为:4 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题 三、解答题:解答应写出文字说明、证明

27、过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分) (1)已知命题 p:axa+1,命题 q:x24x0,若 p 是 q 的充分不必要条件, 求 a 的取值范围; (2)已知命题 p: “x0,1,aex” ;命题 q: “x0R,使得 x02+4x0+a0”若命题 “pq”是真命题,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)令 Mx|axa+1,Nx|x24x0x|0x4由 p 是 q 的充分 不必要条件,得 MN,列出不等式组能求出 a 的取值范围 (2)由命题“pq”是真命题,得命题 p,q 都是真命题由x0,1,aex,得 a e;由x0R,知164a

28、0,得 a4,由此能求出实数 a 的取值范围 【解答】解: (1)命题 p:axa+1,命题 q:x24x0, 令 Mx|axa+1,Nx|x24x0x|0x4 p 是 q 的充分不必要条件,MN, 解得 0a3 a 的取值范围是(0,3) (2)若命题“pq”是真命题,那么命题 p,q 都是真命题 由x0,1,aex,得 ae; 由x0R,知164a0,得 a4, 第 16 页(共 22 页) ea4 实数 a 的取值范围是e,4 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查充分条件、必要条件、真假命题等基础 知识,考查运算求解能力,是基础题 18 (12 分)某高校在 2019 年的自主招生

29、笔试成绩(满分 200 分)中,随机抽取 100 名考 生的成绩,按此成绩分成五组,得到如下的频率分布表: 组号 分组 频数 频率 第一组 90,110) 15 a 第二组 110,130) 25 0.25 第三组 130,150) 30 0.3 第四组 150,170) b c 第五组 170,190 10 0.1 (1)求频率分布表中 a,b,c 的值; (2) 估计笔试成绩的平均数及中位数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;(精 确到 0.1) (3)若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取 6 名学生参加面试,用简 单随机抽样方法从 6 人中抽取 2 人作为正、副

30、小组长,求“抽取的 2 人为同一组”的概 率 【分析】 (1)利用频率分布表的性质能求出 a,b,c (2)利用频率分布表能求出笔试成绩的平均数和中位数 (3)依题意:第 4 组抽取 4 人,记为 A1,A2,A3,A4,第 5 组抽取 2 人,记为 B1,B2, 利用列举法能求出“抽取的 2 人为同一组”的概率 【解答】解: (1)依题意:a0.15,b20,c0.2 (2)笔试成绩的平均数为:1000.15+1200.25+1400.3+1600.2+1800.1137, 因为第 1 组与第 2 组的频率之和为:0.4 所以中位数为:130+136.7 (3)依题意:第 4 组抽取 4 人

31、,记为 A1,A2,A3,A4,第 5 组抽取 2 人,记为 B1,B2, 则基本事件为:A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4, 第 17 页(共 22 页) A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2共 15 种,其中满足题意的有 7 种 所以“抽取的 2 人为同一组”的概率为:P 【点评】本题考查频率、频数、概率的求法,考查频率分布表、列举法等基础知识,考 查运算求解能力,是基础题 19 (12 分)如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB平面 ABC,SAB 是等边三角形,已 知 AC2AB4,BC2 (1)求证:平面

32、 SAB平面 SAC; (2)求直线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值 【分析】 (1)证明 ABAC通过平面垂直,推出 AC平面 SAB然后证明平面 SAB 平面 SAC (2)建立空间直角坐标系,求出平面 SBC 的法向量然后利用空间向量的数量积求解直 线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值 【解答】 (1)证明:在BCA 中,AB2,CA4,BC2, AB2+AC2BC2,故 ABAC 又平面 SAB平面 ABC,平面 SAB平面 ABCAB, AC平面 SAB 又 AC平面 SAC,所以平面 SAB平面 SAC (2)解:如图建立空间直角坐标系,A(0,0,0) , B(2,0,

33、0) ,S(1,0,) ,C(0,4,0) , (1,4,) ,(2,4,0) ,(1,0,) , 设平面 SBC 的法向量 (x,y,z) , 由,则 (2,1,) 第 18 页(共 22 页) , 所以直线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法,平面与平面垂直的判断定理的应用,考查 空间想象能力体积计算能力 20 (12 分)已知椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为, 直线 yk(x1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (1)求椭圆 C 的方程; (2)当AMN 的面积为时,求 k 的值 【分析】 (1)将点 A 的坐标代入椭圆 C 的方程

34、可求出 a 的值,由离心率可求出 c 的值, 进而求出 b 的值,从而得出椭圆 C 的方程; (2)设,将直线 MN 的方程表示为 xmy+1,并设点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,将 直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立,列出韦达定理,利用三角形的面积公式,结合 AMN 的面积并代入韦达定理可计算出 m 的值,于是可求出 k 的值 【解答】解: (1)设椭圆 C 的焦距为 2c(c0) , 将点 A 的坐标代入椭圆 C 的方程可得 a2,由于椭圆 C 的离心率为 e, c, 则 b, 因此,椭圆 C 的方程为1; (2)设点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,易知,k0

35、第 19 页(共 22 页) 令m,则直线 MN 的方程为 xmy+1,直线 MN 过定点 T(1,0) , 将直线 MN 的方程与椭圆的方程联立,消去 x 化简得(m2+2)y2+2my3 0, 4m2+12(m2+2)8(2m2+3)0 恒成立, 由韦达定理可得 y1+y2,y1y2, 所以,SAMN , 化简得 5m4+2m270,即(5m2+7) (m21)0,解得 m1, 因此,k1 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在 椭圆综合问题中的应用,属于中等题 21 (12 分)如图 1,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,BAD60,将BCD 沿对

36、角线 BD 折起到BCD 的位置,使平面 BCD平面 ABD,E 是 BD 的中点,FA平面 ABD,且 FA2,如图 2 (1)求证:FA平面 BCD; (2)求平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值; (3)在线段 AD 上是否存在一点 M,使得 CM平面 FBC?若存在,求的值;若不 存在,说明理由 第 20 页(共 22 页) 【分析】 (1) 由题意可得 CEBD, 又平面 BCD平面 ABD, 且平面 BCD平面 ABD BD,再由面面垂直的性质可得 CEABD,结合已知可得 FACE,由线面平行的 判定可得 FA平面 BCD; (2)以 DB 所在直线为 x 轴,AE 所在直

37、线为 y 轴,EC所在直线为 z 轴建立空间直角 坐标系,求出所用点的坐标,求得平面 FBC与平面 ABD 的一个法向量,由两法向量所 成角的余弦值可得平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值; (3)假设在线段 AD 上存在 M(x,y,z) ,使得 CM平面 FBC,由求得 M 的坐标,得到,由加以判断 【解答】 (1)证明:BCCD,E 为 BD 的中点,CEBD, 又平面 BCD平面 ABD,且平面 BCD平面 ABDBD, CEABD, FA平面 ABD,FACE,而 CE平面 BCD,FA平面 BCD, FA平面 BCD; (2)解:以 DB 所在直线为 x 轴,AE 所在直线为

38、 y 轴,EC所在直线为 z 轴建立空间 直角坐标系, 则 B(1,0,0) ,A(0,0) ,D(1,0,0) ,F(0,) , C(0,0,) , , 设平面 FBC的一个法向量为, 则,取 z1,则 又平面 ABD 的一个法向量为 第 21 页(共 22 页) cos 则平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值为; (3)解:线段 AD 上不存点 M,使得 CM平面 FBC 假设在线段 AD 上存在 M(x,y,z) ,使得 CM平面 FBC, 设,则(x,y,z)(1,0)(,0) , x,y,z0 则(,) 由,得,即错误 线段 AD 上不存点 M,使得 CM平面 FBC 【点评】

39、本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用 空间向量求解二面角的平面角,是中档题 22 (12 分)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 x1,直线 l 与抛物线相交于不同的 A,B 两点 (1)求抛物线的标准方程; (2)如果直线 l 过抛物线的焦点,求的值; (3)如果,直线 l 是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点, 试说明理由 【分析】 (1)由抛物线的准线方程可知:,p2即可求得抛物线方程; (2)设 l:myx1,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可 求得的值; 第 22 页(共 22 页) (3)设直线

40、 l 方程,myx+n,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算, 即可求得 n 的值,可知直线 l 过定点 【解答】解: (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 x1, 所以,p2 抛物线的标准方程为 y24x (2)设 l:myx1,与 y24x 联立,得 y24my40, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,y1+y24m,y1y24, (3)解:假设直线 l 过定点,设 l:myx+n, ,得 y24my+4n0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,y1+y24m,y1y24n 由,解得 n2, l:myx2 过定点(2,0) 【点评】本题考查抛物线的简单几何性质,考查直线与抛物线的位置关系,韦达定理及 向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题

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