1、在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个 数为（ ） A1 B2 C3 D4 2 （5 分）命题xR，exx10 的否定是（ ） AxR，exx10 Bx0R，x010 Cx0R，x010 Dx0R，x010 3 （5 分）高三（8）班有学生 54 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个 容量为 4 的样本，已知 5 号、18 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号 是（ ） A8 B13 C15 D31 4 （5 分）已知一个不透明的袋子中装有
2、3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同， 若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（ ） A B C D 5 （5 分）如表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量 x（单位：吨）与相应 的生产能耗 y（单位：吨）的几组对应数据： x/吨 3 4 5 6 y/吨 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x+0.35，那么表格中 t 的值 为（ ） A3 B3.15 C3.25 D3.5 6 （5 分）已知 a，b 是非零实数，则“ab”是“lnaln|b|”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条
3、件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）已知向量 （+1，0，2） ， （6，21，2） ，若 ，则 + 的值可以 第 2 页（共 22 页） 是（ ） A B C3 D2 8 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若 这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则 x+y 的值为（ ） A10 B9 C8 D7 9 （5 分）已知 A 是圆 M 的圆周上一定点，若在圆 M 的圆周上的其他位置任取一点 B，连 接 AB，则“线段 AB 的长度不大于圆 M 的半径”的概率约为（ ） A B C D 10 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左右焦点
4、为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 与 A、B 两点，若AF1B 的周长为，则 C 的方程为（ ） A+1 B+y21 C+1 D+1 11 （5 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，D 是棱 PB 的中点，已知 PABC2，AB4， CBAB，PA平面 ABC，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 12 （5 分）已知 F1，F2为双曲线的焦点，过 F2作垂直于实轴的直线交双曲线于 A，B 两点， BF1交虚轴于点 C，若|+|，则双曲线的离心率为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C2 D2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小
5、题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）某高级中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例分别 如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为 26 的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师 的人数为 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F，且与该抛物线相 交于 A、B 两点，其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60，则|OA| 15 （5 分）如图，在一个 60的二面角的棱上，有两个点 A、B，AC，BD 分别是在这个二 面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段， 且 AB2， AC3，
6、 BD4， 则 CD 的长为 16 （5 分）已知椭圆的右焦点为 F2，点 M 在O：x2+y23 上，且 M 在第一象 限，过点 M 作O 的切线交椭圆与 P，Q 两点，则PF2Q 的周长为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分） （1）已知命题 p：axa+1，命题 q：x24x0，若 p 是 q 的充分不必要条件， 求 a 的取值范围； （2）已知命题 p： “x0，1，aex” ；命题 q： “x0R，使得 x02+4x0+a0”若命题 “pq”是真命题，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）某高校
7、在 2019 年的自主招生笔试成绩（满分 200 分）中，随机抽取 100 名考 生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第一组 90，110） 15 a 第二组 110，130） 25 0.25 第 4 页（共 22 页） 第三组 130，150） 30 0.3 第四组 150，170） b c 第五组 170，190 10 0.1 （1）求频率分布表中 a，b，c 的值； （2） 估计笔试成绩的平均数及中位数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（精 确到 0.1） （3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取 6 名学生参加面试，
8、用简 单随机抽样方法从 6 人中抽取 2 人作为正、副小组长，求“抽取的 2 人为同一组”的概 率 19 （12 分）如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 ABC，SAB 是等边三角形，已 知 AC2AB4，BC2 （1）求证：平面 SAB平面 SAC； （2）求直线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆的一个顶点为 A（2，0） ，离心率为， 直线 yk（x1）与椭圆 C 交与不同的两点 M，N （1）求椭圆 C 的方程； （2）当AMN 的面积为时，求 k 的值 21 （12 分）如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，将BCD 沿对
9、角线 BD 折起到BCD 的位置，使平面 BCD平面 ABD，E 是 BD 的中点，FA平面 ABD，且 FA2，如图 2 （1）求证：FA平面 BCD； （2）求平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值； 第 5 页（共 22 页） （3）在线段 AD 上是否存在一点 M，使得 CM平面 FBC？若存在，求的值；若不 存在，说明理由 22 （12 分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A，B 两点 （1）求抛物线的标准方程； （2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求的值； （3）如果，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；
10、若不过一定点， 试说明理由 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个 数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用四个命题的应用求出结果 【解答】解：命题： “若 a3，则
11、a6”为假命题，逆命题： “若 a6，则 a3” 为真命题， 故否命题为真命题，逆否命题为假命题 故假命题的个数为 2 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：四个命题的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力， 属于基础题型 2 （5 分）命题xR，exx10 的否定是（ ） AxR，exx10 Bx0R，x010 Cx0R，x010 Dx0R，x010 【分析】根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的 否定 【解答】解：由题意命题xR，exx10 的否定是x0R，x010， 故选：D 【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在 互换
12、，结论否定即可 3 （5 分）高三（8）班有学生 54 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个 容量为 4 的样本，已知 5 号、18 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号 是（ ） 第 7 页（共 22 页） A8 B13 C15 D31 【分析】先求出抽样间隔 f13，再由 5 号、18 号、44 号学生在样本中，能求出 样本中还有一个学生的编号 【解答】解：高三（8）班有学生 54 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法， 抽取一个容量为 4 的样本， 则抽样间隔 f13， 5 号、18 号、44 号学生在样本中， 样本中还有一个学生的编号是：18+（185
13、）31 故选：D 【点评】本题考查样本中学生编号的求法，考查系统抽亲的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 4 （5 分）已知一个不透明的袋子中装有 3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同， 若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（ ） A B C D 【分析】从袋子中一次取出两个球，基本事件总数 n10，取到的两个球颜色不相 同包含的基本事件个数 m6，由此能求出“取到的两个球颜色不相同”的概率 【解答】解：一个不透明的袋子中装有 3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同， 从袋子中一次取出两个球， 基本事件总数 n10， 取到的两个球颜色不相同
14、包含的基本事件个数 m6， 则“取到的两个球颜色不相同”的概率 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 5 （5 分）如表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量 x（单位：吨）与相应 的生产能耗 y（单位：吨）的几组对应数据： x/吨 3 4 5 6 第 8 页（共 22 页） y/吨 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x+0.35，那么表格中 t 的值 为（ ） A3 B3.15 C3.25 D3.5 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得
15、t 值 【解答】解：， 样本点的中心的坐标为（4.5，） ， 代入线性回归方程为 0.7x+0.35，得， 解得 t3 故选：A 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 6 （5 分）已知 a，b 是非零实数，则“ab”是“lnaln|b|”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先化简命题，再讨论充要性 【解答】解：lnaln|b|解得 a|b|，且 a0，b0， 则“ab”是“a|b|，且 a0”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题 7 （5 分）已知向量
16、（+1，0，2） ， （6，21，2） ，若 ，则 + 的值可以 是（ ） A B C3 D2 【分析】利用向量平行的性质直接求解 【解答】解：向量 （+1，0，2） ， （6，21，2） ， ， ，t0， 第 9 页（共 22 页） ， 解得或 3， +或 + 故选：A 【点评】本题考查代数式求和，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 8 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若 这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则 x+y 的值为（ ） A10 B9 C8 D7 【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相
17、等，可得 x，y 的值 【解答】解：由已知中甲组数据：56，62，65，74，70+x；的中位数为 65， 故乙组数据：59，61，60+y，67，78；的中位数也为 65，即 y5， 将 y5，代入乙组可得乙组数据的平均数为：66，这两组数据的平均值也相等， 故 x3， 所以：x+y5+38； 故选：C 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础 性题目 9 （5 分）已知 A 是圆 M 的圆周上一定点，若在圆 M 的圆周上的其他位置任取一点 B，连 接 AB，则“线段 AB 的长度不大于圆 M 的半径”的概率约为（ ） A B C D 【分析】由题意数形结
18、合找到满足题意的弧长，然后结合几何概型计算公式即可求得最 终结果 【解答】解：如图所示的圆 O 中，AMD 和AMC 为等边三角形，点 B 位于劣弧 CD 第 10 页（共 22 页） 上时满足题意，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为： P 故选：B 【点评】本题考查了几何概型的计算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的理 解和计算能力，属于基础题 10 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 与 A、B 两点，若AF1B 的周长为，则 C 的方程为（ ） A+1 B+y21 C+1 D+1 【分析】由AF1B 的周长为
19、，4a，求得 a2，根据椭圆的离心率公式 e ，求得 c2，有 b2a2c2，即可求得椭圆的标准方程 【解答】解：由椭圆的性质可知：4a，即 a2， 椭圆的离心率 e，c2， b2a2c21248， 椭圆的方程为：， 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质及椭圆的标准方程，考查计算能力，属于基础题， 第 11 页（共 22 页） 11 （5 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，D 是棱 PB 的中点，已知 PABC2，AB4， CBAB，PA平面 ABC，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，过 B 作平
20、面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PC，AD 所成角的余弦值 【解答】解：在三棱锥 PABC 中，D 是棱 PB 的中点， PABC2，AB4，CBAB，PA平面 ABC， 以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐 标系， 则 P（4，0，2） ，C（0，2，0） ，A（4，0，0） ，B（0，0，0） ，D（2，0，1） ， （4，2，2） ，（2，0，1） ， 设异面直线 PC，AD 所成角为 ， 则 cos 异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查异面
21、直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 第 12 页（共 22 页） 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12 （5 分）已知 F1，F2为双曲线的焦点，过 F2作垂直于实轴的直线交双曲线于 A，B 两点， BF1交虚轴于点 C，若|+|，则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D2 【分析】根据中位线定理， 求得 C 点坐标，由0， 利用向量数量积的坐标运算， 利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率 【解答】解：由题意可知：设双曲线的方程为：， （a0，b0） ， 由 AB 为双曲线的通径，则 A（c，） ，B（c，） ，F1（c，0） ， 由 OC 为F1F
22、2B 中位线， 则|OC|，则 C（0，） ， 则（c，） ，（2c，） ， 由|+|，得， 则 2c20， 整理得：3b44a2c2， 由 b2c2a2，3c410a2c2+3a40， 双曲线的离心率 e，则 3e410e2+30，解得：e23 或 e2， 由 e1，则 e， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率公式，向量数量积的坐 第 13 页（共 22 页） 标运算，考查计算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）某高级中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 1
23、50 名教师，其性别比例分别 如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为 26 的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师 的人数为 9 【分析】利用分层抽样、扇形统计图的性质直接求解 【解答】解：某高级中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师， 其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为 26 的样本， 则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为： 2660%9 故答案为：9 【点评】本题考查该高级中学高中部抽取男教师的人数的求法，考查分层抽样、扇形统 计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y28x 的
24、焦点 F，且与该抛物线相 交于 A、B 两点，其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60，则|OA| 【分析】由题意可知求得直线 l 的方程，代入抛物线方程，点 A 在 x 轴上方，即可求得 A 点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得|OA| 【解答】解：抛物线 y28x 的焦点 F 的坐标为（2，0） ， 直线 l 过 F，倾斜角为 60，即斜率 ktan， 直线 l 的方程为：y（x2） ，即 xy+2， ，点 A 在 x 轴上方，解得：， 即 A（6，4） ， 第 14 页（共 22 页） 则|OA|， 故答案为：2 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的点斜式
25、方程，考查计算能力， 属于中档题 15 （5 分）如图，在一个 60的二面角的棱上，有两个点 A、B，AC，BD 分别是在这个二 面角的两个半平面内垂直于AB的线段， 且AB2， AC3， BD4， 则CD的长为 【分析】由题设条件知，由此利用向量法能求出 CD 的长 【解答】解：在一个 60的二面角的棱上， 有两个点 A、B，AC、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段， 且 AB2，AC3，BD4， 4+9+16+234cos120 17 CD 的长： 故答案为： 【点评】本题考查线段长的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合 理运用 16 （5 分）已知
26、椭圆的右焦点为 F2，点 M 在O：x2+y23 上，且 M 在第一象 限，过点 M 作O 的切线交椭圆与 P，Q 两点，则PF2Q 的周长为 4 【分析】画出图形，设出 P、Q 坐标，利用已知条件转化求解三角形的周长即可 【解答】解：设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则 PM2OP2OM2x12+y123x12+33x12 PM，同理，QM，PQ+， 第 15 页（共 22 页） 又 PF2， 同理 QF2， PF2Q 的周长为：PQ+PF1+PF24， 故答案为：4 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明
27、过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分） （1）已知命题 p：axa+1，命题 q：x24x0，若 p 是 q 的充分不必要条件， 求 a 的取值范围； （2）已知命题 p： “x0，1，aex” ；命题 q： “x0R，使得 x02+4x0+a0”若命题 “pq”是真命题，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）令 Mx|axa+1，Nx|x24x0x|0x4由 p 是 q 的充分 不必要条件，得 MN，列出不等式组能求出 a 的取值范围 （2）由命题“pq”是真命题，得命题 p，q 都是真命题由x0，1，aex，得 a e；由x0R，知164a
28、0，得 a4，由此能求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）命题 p：axa+1，命题 q：x24x0， 令 Mx|axa+1，Nx|x24x0x|0x4 p 是 q 的充分不必要条件，MN， 解得 0a3 a 的取值范围是（0，3） （2）若命题“pq”是真命题，那么命题 p，q 都是真命题 由x0，1，aex，得 ae； 由x0R，知164a0，得 a4， 第 16 页（共 22 页） ea4 实数 a 的取值范围是e，4 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查充分条件、必要条件、真假命题等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 18 （12 分）某高校在 2019 年的自主招生
29、笔试成绩（满分 200 分）中，随机抽取 100 名考 生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第一组 90，110） 15 a 第二组 110，130） 25 0.25 第三组 130，150） 30 0.3 第四组 150，170） b c 第五组 170，190 10 0.1 （1）求频率分布表中 a，b，c 的值； （2） 估计笔试成绩的平均数及中位数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（精 确到 0.1） （3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取 6 名学生参加面试，用简 单随机抽样方法从 6 人中抽取 2 人作为正、副
30、小组长，求“抽取的 2 人为同一组”的概 率 【分析】 （1）利用频率分布表的性质能求出 a，b，c （2）利用频率分布表能求出笔试成绩的平均数和中位数 （3）依题意：第 4 组抽取 4 人，记为 A1，A2，A3，A4，第 5 组抽取 2 人，记为 B1，B2， 利用列举法能求出“抽取的 2 人为同一组”的概率 【解答】解： （1）依题意：a0.15，b20，c0.2 （2）笔试成绩的平均数为：1000.15+1200.25+1400.3+1600.2+1800.1137， 因为第 1 组与第 2 组的频率之和为：0.4 所以中位数为：130+136.7 （3）依题意：第 4 组抽取 4 人
31、，记为 A1，A2，A3，A4，第 5 组抽取 2 人，记为 B1，B2， 则基本事件为：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4， 第 17 页（共 22 页） A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共 15 种，其中满足题意的有 7 种 所以“抽取的 2 人为同一组”的概率为：P 【点评】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布表、列举法等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 ABC，SAB 是等边三角形，已 知 AC2AB4，BC2 （1）求证：平面
32、 SAB平面 SAC； （2）求直线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值 【分析】 （1）证明 ABAC通过平面垂直，推出 AC平面 SAB然后证明平面 SAB 平面 SAC （2）建立空间直角坐标系，求出平面 SBC 的法向量然后利用空间向量的数量积求解直 线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在BCA 中，AB2，CA4，BC2， AB2+AC2BC2，故 ABAC 又平面 SAB平面 ABC，平面 SAB平面 ABCAB， AC平面 SAB 又 AC平面 SAC，所以平面 SAB平面 SAC （2）解：如图建立空间直角坐标系，A（0，0，0） ， B（2，0，
33、0） ，S（1，0，） ，C（0，4，0） ， （1，4，） ，（2，4，0） ，（1，0，） ， 设平面 SBC 的法向量 （x，y，z） ， 由，则 （2，1，） 第 18 页（共 22 页） ， 所以直线 SA 与平面 SBC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查 空间想象能力体积计算能力 20 （12 分）已知椭圆的一个顶点为 A（2，0） ，离心率为， 直线 yk（x1）与椭圆 C 交与不同的两点 M，N （1）求椭圆 C 的方程； （2）当AMN 的面积为时，求 k 的值 【分析】 （1）将点 A 的坐标代入椭圆 C 的方程
34、可求出 a 的值，由离心率可求出 c 的值， 进而求出 b 的值，从而得出椭圆 C 的方程； （2）设，将直线 MN 的方程表示为 xmy+1，并设点 M（x1，y1） 、N（x2，y2） ，将 直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式，结合 AMN 的面积并代入韦达定理可计算出 m 的值，于是可求出 k 的值 【解答】解： （1）设椭圆 C 的焦距为 2c（c0） ， 将点 A 的坐标代入椭圆 C 的方程可得 a2，由于椭圆 C 的离心率为 e， c， 则 b， 因此，椭圆 C 的方程为1； （2）设点 M（x1，y1） 、N（x2，y2） ，易知，k0
35、第 19 页（共 22 页） 令m，则直线 MN 的方程为 xmy+1，直线 MN 过定点 T（1，0） ， 将直线 MN 的方程与椭圆的方程联立，消去 x 化简得（m2+2）y2+2my3 0， 4m2+12（m2+2）8（2m2+3）0 恒成立， 由韦达定理可得 y1+y2，y1y2， 所以，SAMN ， 化简得 5m4+2m270，即（5m2+7） （m21）0，解得 m1， 因此，k1 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在 椭圆综合问题中的应用，属于中等题 21 （12 分）如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，将BCD 沿对
36、角线 BD 折起到BCD 的位置，使平面 BCD平面 ABD，E 是 BD 的中点，FA平面 ABD，且 FA2，如图 2 （1）求证：FA平面 BCD； （2）求平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值； （3）在线段 AD 上是否存在一点 M，使得 CM平面 FBC？若存在，求的值；若不 存在，说明理由 第 20 页（共 22 页） 【分析】 （1） 由题意可得 CEBD， 又平面 BCD平面 ABD， 且平面 BCD平面 ABD BD，再由面面垂直的性质可得 CEABD，结合已知可得 FACE，由线面平行的 判定可得 FA平面 BCD； （2）以 DB 所在直线为 x 轴，AE 所在直
37、线为 y 轴，EC所在直线为 z 轴建立空间直角 坐标系，求出所用点的坐标，求得平面 FBC与平面 ABD 的一个法向量，由两法向量所 成角的余弦值可得平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值； （3）假设在线段 AD 上存在 M（x，y，z） ，使得 CM平面 FBC，由求得 M 的坐标，得到，由加以判断 【解答】 （1）证明：BCCD，E 为 BD 的中点，CEBD， 又平面 BCD平面 ABD，且平面 BCD平面 ABDBD， CEABD， FA平面 ABD，FACE，而 CE平面 BCD，FA平面 BCD， FA平面 BCD； （2）解：以 DB 所在直线为 x 轴，AE 所在直线为
38、 y 轴，EC所在直线为 z 轴建立空间 直角坐标系， 则 B（1，0，0） ，A（0，0） ，D（1，0，0） ，F（0，） ， C（0，0，） ， ， 设平面 FBC的一个法向量为， 则，取 z1，则 又平面 ABD 的一个法向量为 第 21 页（共 22 页） cos 则平面 ABD 与平面 FBC所成角的余弦值为； （3）解：线段 AD 上不存点 M，使得 CM平面 FBC 假设在线段 AD 上存在 M（x，y，z） ，使得 CM平面 FBC， 设，则（x，y，z）（1，0）（，0） ， x，y，z0 则（，） 由，得，即错误 线段 AD 上不存点 M，使得 CM平面 FBC 【点评】
39、本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用 空间向量求解二面角的平面角，是中档题 22 （12 分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A，B 两点 （1）求抛物线的标准方程； （2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求的值； （3）如果，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点， 试说明理由 【分析】 （1）由抛物线的准线方程可知：，p2即可求得抛物线方程； （2）设 l：myx1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可 求得的值； 第 22 页（共 22 页） （3）设直线
40、 l 方程，myx+n，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算， 即可求得 n 的值，可知直线 l 过定点 【解答】解： （1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x1， 所以，p2 抛物线的标准方程为 y24x （2）设 l：myx1，与 y24x 联立，得 y24my40， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，y1+y24m，y1y24， （3）解：假设直线 l 过定点，设 l：myx+n， ，得 y24my+4n0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，y1+y24m，y1y24n 由，解得 n2， l：myx2 过定点（2，0） 【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及 向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题