1、 数学试题 第 1 页 共 14 页 2020 届山东省济宁市嘉祥一中高三第四次质量检测数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第 I 卷选择题部分（单选和多选） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1若复数 2 2za iai0（其中Ra
2、，i为虚数单位） ，则实数a的值为 A0 B1 C1 D1 2已知集合1 , 31 x Ax xBx，则下列结论正确的是（ ） A 0ABx x BAB R C1ABx x DAB 3已知0,1m，令 2 log 2,2m m abmc，那么,a b c之间的大小关系为 Abca Bbac Cabc Dcab 4已知一系列样本点( ,) ii x y(1,2,3,i , )n的回归直线方程为2,yxa若样本点( ,1)r与(1, ) s的残差 相同，则有 Ar s B 2sr C23sr D21sr 5已知扇形AOB，AOB，扇形半径为3，C是弧AB上一点，若 2 33 33 OCOAOB，则
3、 A 6 B 3 C 2 D 2 3 6等差数列 n a，p，q，k，l 为正整数，则“pqkl”是“ pqkl aaaa ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 数学试题 第 2 页 共 14 页 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的壶型众 多，经典的有 西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平 面截去一个锥体得到的)下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为（ ） A100 3 cm B 3 200cm C300 3 cm D400 3
4、 cm 8已知定义在 R 上的偶函数 满足，且当时， 若直线 与曲线 恰有三个公共点，那么实数的取值的集合为 A B C D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.已知点 P 为ABC 所在平面内一点，且，若 E 为 AC 的中点，F 为 BC 的中点，则下 列结论正确的是 A.向量与可能平行； B.向量与可能垂直； C.点 P 在线段 EF 上； D. PE:PF=1:2 10设函数 f x=sin（ 5 x ）(0)，若 f x在0,2有且仅有 5 个零点
5、，则下列结论正确的是 A. f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点； B. f x在（0,2）有且仅有 2 个极小值点； C. f x在0,10 单调递增； D.的取值范围是 12 29 , 5 10 ( )f x(1)(1)fxfx01x 2 1f xx （ ） yxa ( )yf xa 5 ( +1+ )Z 4 kkk ，（） 5 2 +1+Z 4 kkk（，2）（） 5 (21)Z 4 kkk，2（） 5 1Z 4 kkk（，）（） 23PAPBPC 0 PAPCPAPC 数学试题 第 3 页 共 14 页 11如果对于函数 f x定义域内任意的两个自变量的值 12 xx,，当 12
6、 xx时，都有 12 f xf x，且存 在两个不相等的自变量值 12 yy,，使得 12 f yf y，就称 f x为定义域上的“不严格的增函数” 下 列所给的四个函数中为“不严格增函数”的是 A. 1 011 1 xx f xx xx ， ， ， ； B. 1 2 22 x f x sinxx ， ， ； C. 11 011 11 x fxx x ， ， ， ；D. 1 11 xx f x xx ， ， 12在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知点 P 为侧面 BCC1B1上的一动点，则下列结论正确的是 A.若点 P 总保持 PABD，则动点 P 的轨迹是一条线段； B
7、.若点 P 到点 A 的距离为 2 3 3 ，则动点 P 的轨迹是一段圆弧； C.若 P 到直线 AD 与直线 CC1的距离相等，则动点 P 的轨迹是一段抛物线； D.若 P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离比为 1:2，则动点 P 的轨迹是一段双曲线. 第II部分非选择题部分（填空和解答） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 326 1 (31)()xx x 的展开式中的常数项为 . 14我国古代数学名著九章算术记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为 a2b2c2 (a，b， cN*)，把 a，b，c 叫做勾股数下列给出几组勾股数：3,4,5；5,
8、12,13；7,24,25；9,40,41； ，以此类推， 可猜测第 6 组勾股数的第二个数是_ 15.在ABC中，ACAB ， 点D在边AC上， 且4,2BDDACD， 则ABC的面积最大值为 16双曲线:)0, 0(ba的左、右焦点分别为，已知点 2 F为抛物线xyC14: 2 的 焦点，且到双曲线的一条渐近线的距离为，又点 P 为双曲线上一点，满足. 则（1）双曲线的标准方程为_； （2） 12 PF F的内切圆半径与外接圆半径之比为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 设 n S为等差数列 n a的前n项和， n b是正
9、项等比数列， 且 1143 1,2abab 在 22 ab， 22 22 1 xy ab 1 F 2 F 6 12 60FPF 数学试题 第 4 页 共 14 页 6 243b ， 42 4SS这三个条件中任选一个，回答下列为题： （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）如果( ,*) mn ab m nN，写出 ,m n的关系式 mf n，并求 123ffff n 18 （12 分） 在ABC中， 角A BC， ，所对的边分别为abc， ， ， ()(sinsin)(sinsin)acACbAB. （1）求角 C 的大小； （2）若 3c 且b c，求 1 2 ba的取值范围. 1
10、9 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形， / /ADBC，CDAD，22ADCDBC，平面PAD 平面 ABCD， ,PAPD PAPD （1）求证：CDPA； （2）求二面角CPA D的余弦值 20 （12 分）某摄影协会在 2019 年 10 月举办了主题“庆祖国 70 华诞我们都是追梦人”摄影图片展。 通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲 70 岁的生日献了一份厚礼摄影协会收 到了来自社会各界的大量作品, 从众多照片中选取100张照片展出,其参赛者年龄集中在之间， 根据统计结果，做出频率分布直方图如下： （1）求这 100 位作者年龄的样本平
11、均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表） ； （2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄 X 服从正态分布，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差 （i）利用该正态分布，求； 25 85， x 2 s 2 ( ,)N x 2 2 s(6073.4)PX 数学试题 第 5 页 共 14 页 附：，若，则 . （ii）摄影协会从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了 7 人参加“讲述 图片背后的故事”座谈会，现要从中选出 3 人作为代表发言，设这 3 位发言者的年龄落在区间的 人数是 Y，求变量 Y 的分布列和数学期望 21 （12 分）已知直线: 1l ykx与曲线:C 22 22
12、 1 xy ab (0,0)ab 交于不同的两点 ,A B，O为坐标原点 （1）若1,k |OBOA ，求证：曲线C是一个圆； （2）若曲线C过（0,2） 、 （1,0） ，是否存在一定点Q，使得QA QB为定值？若存在，求出定点Q和定值； 若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数 2x f xx e.（1）求 f x的单调区间； （2）过点1,0P存在几条直线与曲线 yf x相切，并说明理由； （3）若 1f xk x对任意xR恒成立，求实数k的取值范围 数学试题参考答案 1.C【解析】 22 22(1)za iaiaai 为正实数，20a且 2 10a ，解得1a 2.A【解析】集
13、合 |31 x Bx，|0Bx x，集合 1Ax x ，0ABx x， 1ABx x 3.C 【解析】(0,1)m， log 20 m a ， 2 (0,1)bm，21 m c ，即abc 4.C 【解析】 样本点( ,1)r的残差为21ra， 样本点(1, ) s的残差为2 as ， 依题意212raas ， 故23sr. 5.D【解析】由 2 3 3 OCOAOB，两边同时平方得 2 OC = 2 2 3 3 OAOB ，则有 3=4+1+2 2 33 33 OAOB =5+22cos，cos 1 2 ， 2 3 . 6.D【解析】设等差数列的公差为d， 4 .13180 2 ( ,)XN
14、 ()0.6826PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9974PX 45 55，65 75， 45 55， 数学试题 第 6 页 共 14 页 1111 (1)(1)(1)(1) pqkl apdaqdaaaaakdald()()0dpqkl 0d pqkl 或 0d pqkl ，显然由pqkl不一定能推出 pqkl aaaa ，由 pqkl aaaa 也不一定能推出 pqkl，因此pqkl是 pqkl aaaa 的既不充分也不必 要条件 7.B【解析】设大圆锥的高为h，所以 46 10 h h ，解得10h，故 22 11196 51036200 333 V 3 cm，故选 B
15、 8.B【解析】( )f x为周期是 2 的偶函数，当11x 时， 2 ( )1.f xx 当1a时，yxa与 2 ( )11,1f xxx 有两个公共点； 当yxa与 2 ( )11,1f xxx 相切时， 5 4 a . 当 5 4 a 时，yxa与 2 ( )1f xxxR 有两个公共点； 由 图 象 知 ， 当 5 , 1 4 a 即 5 1, 4 a 时 ， 直 线yxa 与 2 ( )1f xxxR 有三个公共点；结合周期 T=2 知， 5 2 +1+Z 4 akkk ，2（）. 9.BC【解析】E 为 AC 的中点，F 为 BC 的中点，则)( 2 1 ),( 2 1 PCPBP
16、FPCPAPE,代入 可得 PFPE2 ，则点P在线段 EF 上，且，而向量PA与PC不可能 平行，可能垂直. 10.ACD【解析】当 0,2 x 时，,2 555 x f（x）在0,2 有且仅有 5 个零点，526 5 ，12 29 510 ，故 D 正确；由 526 5 ，知,2 555 x 时，令 59 , 5222 x 时取得极大值，A 正确；极 小值点不确定，可能是 2 个也可能是 3 个，故 B 不正确； 23PAPBPC 0 : 2 1PE PF y x 1 2 12341234 O 数学试题 第 7 页 共 14 页 当0,10x 时， (2) , 5510 x ，若 f（x）
17、在0,10 单调递增，则 (2) 102 ，即3， 1229 510 ，故 C 正确 11.AC【解析】由已知可知函数 f x定义域内任意的两个自变量的值 12 xx,，当 12 xx时，都有 12 f xf x，且存在两个不相等的自变量值 12 yy,，使得 12 f yf y，就称 f x为定义域上的 不严格的增函数A. 1 011 1 xx f xx xx ， ， ， ，满足条件，为定义在 R 上的不严格的增函数；B. 1 2 22 x f x sinxx ， ， ，当 x1 2 ，x2（ 2 ， 2 ） ，f（x1）f（x2） ，故不是不严格的增函数； C. 11 011 11 x f
18、 xx x ， ， ， ， 满足条件， 为定义在 R 上的不严格的增函数； D. 1 11 xx f x xx ， ， ， 当 x1 1 2 ， x2（1， 3 2 ） ，f（x1）f（x2） ，故不是不严格的增函数，故已知的四个函数中为不严格增函数的是 AC 12.ABD 【解析】对于 A： 过 A 作 BD1的垂面 ACD1， 交面 BCC1B1于直线 BC1， 故动点 P 的轨迹为线段 BC1， 正确；对于 B：点 P 的轨迹为以 A 为球心、半径为 2 3 3 的球面与面 BCC1B1的交线，即为一段圆弧，正确; 对于 C：作 PEBC，EFAD，连接 PF，则 PFCC1；作 PQC
19、C1.由PF = PQ，在面 BCC1B1内，以 C 为原点、 以直线 CB、 CC1为xy、轴建立平面直角坐标系， 设 P, x y， 则 2 1 + yx， 化简得， 22 1xy， P 点轨迹所在曲线是一段双曲线.错误。对于 D：点 P 到点 C1的距离与点 P 到直线 BC 的距离之比为 2:1， 故点 P 的轨迹为以点 C1、直线 BC 为对应准线的双曲线，正确. 13.-33【解析】 26 1 ()x x 展开式通项为 2612 3 66 1 ()()( 1) rrrrrr TCxC x x ，令 12-3r=0 得：r=4,它的常数 项是 44 6 ( 1)15,C令 12-3r
20、=-3 得：r=5,它的 3 x项系数为： 55 6 ( 1)6C ；故 326 1 (31)()xx x 的展开式 中常数项为:3 ( 6)( 1) 1533 14.84【解析】先找出所给勾股数的规律：以上各组数均满足 222 cba，最小的数a为奇数；其余两 个数是连续的正整数；最小奇数的平方是另两个连续整数的和.如 4140819 ;2524497 ;1312255 ; 5493 2222 ，依次类推，第六组的奇数为13，则 数学试题 第 8 页 共 14 页 222 ) 1(13xx，解得84x. 15. 9 【解析】设xAD，则xACAB3 ，在ABD中，由余弦定理得16cos69
21、222 Axxx， 2 3 8 3 5 cos x A，则 2 2) 3 8 3 5 (1sin x A，则 222 2 2 )104(36 2 3 ) 3 8 3 5 (19 2 1 sin33 2 1 x x xAxxS，当 2 10 x时， 9)( max ABC S. 16. 另解： 以点B为原点，BD所在直线为x轴建立直角坐标系， 设点 ),(yxA，)0 , 4(),0 , 0(DB， ADAB3， 2222 9)4(9yxyx，整理得 4 9 ) 2 9 ( 22 yx，则9 2 3 4 2 1 3)(3)( maxmax ABD SS ABC . 16.（1） 22 1 25
22、6 4 xy ， （2） 2 7 【解析】 2 F到其双曲线的渐近线的距离为6b，而抛物线xy14 2 的 焦点)0 , 2 7 ( 2 F， 4 25 6 4 49 222 bca，则双曲线的标准方程为 22 1 25 6 4 xy ；设点P在双曲线的 右支上，,| 2 xPF 则5| 1 xPF， 则)5()5(49 22 xxxx， 解得8, 3xx（舍去） ， 设 21PF F 的内切圆和外接圆的半径分别为Rr,rS FPF )783 ( 2 1 36 30tan 6 0 21 ，r 3 32 ， 3 37 3 7 R， 7 2 R r . 17.【解析】 （1）若选： 设等差数列 n
23、 a的公差为d，等比数列 n b的公比为0q q ，则 2 1, 1 32 dq dq ， 解得 2 3 d q 或 1 0 d q (舍)，则 1 21,3n nn anb -4 分 若选： 设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为0q q ，则由 6 5 1 q b b 得 1 3,3n n qb ，又 数学试题 第 9 页 共 14 页 43 2,1 39,2,21 n abddan -4 分 若选： 设等差数列 n a的公差为d， 等比数列 n b的公比为0q q ， 则 2 4 3 44 1 1, 2 1 32 d d dq ， 解得 2, 3 d q 或 2, 3 d
24、 q (舍)，则 1 21,3n nn anb -4 分 （2） mn ab， 1 213nm ，即 1 1 31 2 n m ，-6 分 1 01 1 12(31)(31)+(31) 2 n fff n 011 1 333 2 n n -8 分 1 1 3 21 3 n n 321 4 n n -10 分 18.【解析】 （1）()(sin sin)(sinsin)acACbAB 由正弦定理，()()()ac acb ab，即 222 acabb -2 分 由余弦定理， 222 bc1 cos 2 b2 a C a ，-4 分 又C(0, ) ，C. 3 -6 分 （2）因为3c 且bc，由
25、正弦定理得 3 2 sinsinsin3 2 bac BAC ，-7 分 2sin,2sinbB aA ，-8 分 数学试题 第 10 页 共 14 页 2 3 BA ， 2 3 AB ，bcBC， 2 33 B -9 分 12 2sinsin2sinsin 23 baBABB 33 sincos 22 BB 3sin() 6 B -10 分 662 B ， 1 sin1 26 B ， 13 , 3 22 ba .-12 分 19.【解析】 （1）在四棱锥PABCD中， 因为平面PAD 平面ABCD， 平面PAD平面 ABCDAD， 又因为CDAD，CD 平面ABCD，所以CD平 面PAD，
26、因为PA平面PAD，所以CDPA-4 分 （2）取AD中点O，连接,OP OB， 因为PAPD，所以POAD 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 因为PO平面PAD，所以PO平面ABCD，所以,POOA POOB 因为,/,2CDAD BCAD ADBC，所以/,BCOD BCOD， 所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBAD-6 分 如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,0), (1,0,0), (0,2,0),( 1,2,0),( 1,0,0),(0,0,1).OABCDP ( 2,2,0),( 1,0,1)ACAP -7 分 数学试题 第 11 页 共 1
27、4 页 设平面PAC的法向量为( , , )nx y z，则 0, 0. AC n AP n 即 220, 0. xy xz 令1x ，则1,1yz，所以(1,1,1)n -9 分 因为平面PAD的法向量(0,2,0)OB ，-10 分 所以 3 cos,. 3 n OB n OB n OB -11 分 由图可知二面角CPA D为锐二面角，所以二面角CPA D的余弦值为 3 3 .-12 分 20.【解析】 （1）这 100 位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 2 分 4 分 （2）（i）由（1）知， 从而3413. 06826. 0 2 1 )4 .13604 .1360( 2 1 )4
28、 .7360(XPXP； （由于在教材中6827. 0)(XP，这样 0.3414 也可给分）7 分 （ii）根据分层抽样的原理，可知这 7 人中年龄在内有 3 人，在内有 4 人，故可能的取 值为 0，1，2，3 ， 所以的分布列为 Y 0 1 2 3 P 11 分 所以 Y 的数学期望为 x 2 s 300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x 222222 ( 30)0.05( 20)0.1 ( 10)0.150 0.35 100.2200.15180s )18060(，NX 45 55，65 75， Y 35 4 ) 0( 3 7 3 4 0 3 C CC
29、 YP 35 18 ) 1( 3 7 2 4 1 3 C CC YP 35 12 )2( 3 7 1 4 2 3 C CC YP 35 1 ) 3( 3 7 0 4 3 3 C CC YP Y 35 4 35 18 35 12 35 1 4181219 ( )0123 353535357 E Y 数学试题 第 12 页 共 14 页 （Y服从超几何分布，3, 7MnN， 7 9 7 33 )( N nM YE也一样得分）12 分 21.【解析】 （1）证明：设直线l与曲线C的交点为),(),( 2211 yxByxA |OBOA 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 即： 2 2 2 2
30、2 1 2 1 yxyx, 2 1 2 2 2 2 2 1 yyxx BA,在C上,1 2 2 1 2 2 1 b y a x ，1 2 2 2 2 2 2 b y a x , 两式相减得：)( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 yy b a xx 1 2 2 b a 即： 22 ba 曲线C是一个圆 5 分 另证：设直线l与曲线C的交点为 112212 ( ,), (,)A x yB xyxx（ |OBOA 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx， 22 22 1122 11,xxxx 1212 210,xxxx 12 1xx 由 22 22 1 1 yx xy ab 得， 2222
31、22 210abxa xab,0 2 12 22 2a xx ab ， 2 22 22 2 = 1 a ab ab ，,曲线C是一个圆. 5 分 （2）由题意知，椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 y x 6 分 假设存在点 00 ,Q x y ，设交点为),(),( 2211 yxByxA， 由 2 2 1 1 4 ykx y x 得， 22 4230kxkx 1212 22 23 , 44 k xxx x kk 8 分 直线:1l ykx恒过椭圆内定点（0,1） ，故0 恒成立. 10102020 =,),)QA QBxx yyxx yy（ 10201020 )xxxxyyyy=（ 数学试
32、题 第 13 页 共 14 页 2 1 201201020 ()11x xx xxxkxykxy 2 22 1 2001200 111kx xkyxxxxy 2 22 0000 22 32 111 44 k kkyxxy kk 2 200 2 00 2 3 121 1 4 kkyxk xy k 2 2 002 00 2 2523 1 4 ykx k xy k 10 分 当 0 0 0 3 25 4 x y 时，即 00 17 0, 8 xy时 2 3933 =+=. 4864 QA QB 故存在定点 17 0 8 ，不论 k 为何值， 33 = 64 QA QB为定值. 12 分 22.【解析
33、】 （1）解： 2 22 xx fxxx ex xe ， 0fx 得，2x或0x； 0fx 得，20x ， f x的单调增区间为, 2 ，0,；单调减区间为 2,0-3 分 （2）解：过1,0P点可做 f x的三条切线；-4 分 理由如下： 设切点坐标为 0 2 00 , x x x e ，切线斜率 0 000 2 x xxkxe f ， 过切点的切线方程为： 00 22 0000 2 xx x exxexyx ， 切线过1,0P点，代入得 00 22 0000 210 xx x exxex ，化简得 0 000 220 x xxxe， 方程有三个解， 0 0x ， 0 2x ， 0 2x ，
34、即三个切点横坐标， 过1,0P点可做 f x的三条切线-7 分 （3）解：设 2 1 x g xx ek x， 0k 时， 2 0x ，0 x e ，显然 2 0 x x e 对任意xR恒成立； k0时，若0x，则 000 1fkk不成立，k0不合题意 数学试题 第 14 页 共 14 页 0k 时，1x时， 2 10 x g xx ek x显然成立，只需考虑1x 时情况； 转化为 2 1 x x e k x 对任意1,x恒成立， 令 2 1 x x e h x x （1x ） ，则 minkh x， 22 22 22 (2 )1 11 x xx x xxe xx exx e h x xx ， 当12x时， 0h x ， h x单调减； 当 2x 时， 0h x ， h x单调增， 2 2 min 2 22 22 21 h xh e e ， 2 22 2ke 综上所述，k的取值范围 2 0, 22 2 e -12 分
