1、 数学（理科）试题 第 1 页 共 15 页 姓姓 名名 准考证号准考证号 湖南省湖南省 2020 届高三六校联考试题届高三六校联考试题 数学（理科）数学（理科） 考生注意：考生注意： 1.本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题卷（非选择题）两部分。时量两部分。时量 120 分钟，满分分钟，满分 150 分。分。 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名
2、是否一致。与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.作答选择题， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，作答选择题， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。本试卷上无效。 3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
3、60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的。 1.已知集合 1 2xAy y ， 4 0| 2 x Bx x ，则AB （ ） A.0,4 B. C.2, D.2, 2.若复数 z 满足21 1 z i i i （i为虚数单位） ，则在复平面内复数 z 对应的点在（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.已知条件 p：1k ,条件 q：直线1ykx与圆 22 1 2 xy相切，则 p 是 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 数学（理科）
4、试题 第 2 页 共 15 页 4.若 3 1 log 3 a a ， 3 1 3 b b ， 1 3 3 c c ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A. cab B. cba C. acb D.bca 5.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和 数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是 以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知， 自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。”这首歌决的大 意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三
5、岁，并且 儿子们的年龄之和为 207 岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算。”在这个 问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄为 n a，则 3 a （ ） A.17 B.29 C.23 D.35 6.函数 2 1 xx x ee f x x 的部分图象大致是（ ） 7.已知非等向量AB与AC满足0 ABAC BC ABAC ，且3BCAB，则ABC 为 （ ） A.等腰非等边三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.三边均不相等的三角形 8.在正方体内随机放入 n 个点， 恰有 m 个点落入正方体的内切球内， 则的近似值为 （ ） A. 2m n B. 2 m n C. 6m n
6、 D. 6 m n 9.执行如图所示的程序框图，若输出的数 S=3，那么判断框内可以填写的是（ ） 数学（理科）试题 第 3 页 共 15 页 A. 6?k B.6?k C. 7?k D.7?k 10.已知函数 sinf xcosxx，给出下列四个说法： 20153 64 f ，函数 f x的一个周期为2; f x在区间 3 , 44 上单调递减； f x的图象关于点（，0）中心对称. 其中正确说法的序号是（ ） A. B. C. D. 11.定义在R上的奇函数 f x， 其导函数为 fx， 当0x时， 恒有 0 3 x fxfx， 若 3 g xx f x，则不等式21 3gxgx的解集为（
7、 ） A. 1 ,1 5 B. 1 , 5 C. 1 , 5 D. 1 ,1, 5 12.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的 直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为 2cm 时，则切面的面积为（ ） 数学（理科）试题 第 4 页 共 15 页 A. 2 4 15 3 cm B. 2 16 3 cm C. 2 10 2 3 cm D. 2 8 3 3 cm 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.在 71 21xx x 的展开式中x的系数为 . 14.记 n S为数列 n a
8、的前 n 项和， 若 1 1a ， 1 21 nn aS nN ， 则 3456 aaaa . 15.若实数x，y 满足不等式 1 5 220 x xy y ，则 1 y x 的最大值为 . 16.若点 P 是曲线 1 C： 2 16yx上的动点， 点 Q 是曲线 2 C: 2 2 49xy上的动点， 点O 为坐标原点，则 PQ OP 的最小值是 . 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、
9、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题，共（一）必考题，共 60 分。分。 17.（本小题满分 12 分） 数学（理科）试题 第 5 页 共 15 页 在三角形 ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 2 2 c os2c os 2 C aab cA . （1）求角 A 的大小； （2）若3a 时，求2bc的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC；中，ACBC， 1 4ACCC，BC=2，D 为棱 11 AC上的 动点. （1）若 D 为 11 AC的中点，求证： 1 BC平面
10、1 ADB； （2）若平面 11 A ACC平面 ABC，且 11 60AAC.是否存 在点 D，使二面角 11 B ADC-的平面角的余弦值为 3 4 ？ 若存在，求出 1 1 AD C D 的值，若不存在，说明理由。 数学（理科）试题 第 6 页 共 15 页 19.（本小题满分 12 分） 已知圆 C： 22 232xy（），点 D（2，0） ，点 P 是圆 C 上任意一点，线段 PD 的垂直平 分线交线段 CP 于点 Q. （1）求点 Q 的轨迹方程. （2）设点 A（0，2)，M，N 是 Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以 MN 为直径的圆过点 A.求证直线 MN 过定点，并求出该定
11、点的坐标. 20.（本小题满分 12 分） 自从新型冠状病毒爆发以来， 全国范围内采取了积极的措施进行防控， 并及时通报各项数据 以便公众了解情况，做好防护。以下是湖南省 2020 年 1 月 28 日一 31 日这 9 天的新增确诊 数学（理科）试题 第 7 页 共 15 页 人数. 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31 时间 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 新增确诊人数 y 15 19 26 31 43 78 56 55 57 经过医学研究， 发现新型冠状病毒极易传染， 一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达 14天的潜伏期， 这个期间如果不采取防护措施，
12、则感染者与一位健康者接触时间超过15秒， 就有可能传染病毒. （1） 将 1 月 23 日作为第 1 天， 连续 9 天的时间作为变量 x， 每天新增确诊人数作为变量 y， 通过回归分析，得到模型用于对疫情进行分析. 对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理） ： 根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到 0.1） ，并依据该模型预测第 10 天新增确 诊人数. （2） 如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为 0.3， 在一次 12 人的家庭聚餐中， 只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X，求Xk最有可能（即 概率最大）的值是多少.
13、附：对于一组数据 11 ,u v， 22 ,u v，, nn u v，其回归直线vu的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 数学（理科）试题 第 8 页 共 15 页 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 cos x f xaex, 2 aR x . （1）证明：当 a=1 时， f x有最小值，无最大值； （2）若在区间, 2 上方程 0f x 恰有一个实数根，求的取值范围， （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分。一题记分。 22.（本小题满分 10 分）选修
14、 4 一 4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线 1 C的参数方程为 2 21 1 22 2 xt ytt ttR为参数，以原 点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin， 02. （1）求曲线 1 C的极坐标方程； 数学（理科）试题 第 9 页 共 15 页 （2）射线l的极方程为0,0 ，若射线l与曲线 1 C， 2 C分别交于异于 原点的 A，B 两点，且4OAOB，求 a 的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4 一 5：不等式选讲 若不等式13xmx的解集非空。 （1）求实数 m 的取值范围； （2）设 m 的最大值为 M，若baR、，且 a+b=M，求 22 a 11 b ba 的最小值。 数学（理科）试题 第 10 页 共 15 页 数学（理科）试题 第 11 页 共 15 页 数学（理科）试题 第 12 页 共 15 页 数学（理科）试题 第 13 页 共 15 页 数学（理科）试题 第 14 页 共 15 页 数学（理科）试题 第 15 页 共 15 页
