1、2018-2019 学年湖南省五市十校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Mx|x20，N，则 MN（ ） Ax|x1 Bx|1x2 Cx|1x2 DR 2 （5 分）已知复数，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为 i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz 的共轭复数 3（5 分） 等比数列an的各项均为正数， 且 a4a6+a3a718， 则 log3a1+log3a2+log3a3+log3
2、a9 （ ） A12 B10 C9 D2+log35 4 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，|）的图象如图所示，为了得到 g（x）cosx 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 5 （5 分）已知函数 f（x）x33x+2sinx，设 a20.3，b0.32，clog20.3，则（ ） Af（b）f（a）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（b）f（c） 6 （5 分）设，则的展开式中的常数项为（ ） A20 B20 C120 D120 第
3、2 页（共 23 页） 7 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多 边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的“割圆术” 思想设计的一个程序框图， 则输出 n 的值为 （ ）（参考数据： sin150.2588， sin7.5 0.1305） A12 B24 C48 D96 8 （5 分）函数 yxsinx 在，上的图象是（ ） A B C D 9 （5 分）设正项等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S20196057，则的最小
4、值 为（ ） A1 B C D 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D，的棱长为 4，动点 E，F 在棱 A1B1上，动点 P， Q 分别在棱 AD，CD 上若 EF2，A1Em，DQnDPp（m，n，p 大于零） ，则四 面体 PEFQ 的体积（ ） 第 3 页（共 23 页） A与 m，n，p 都有关 B与 m 有关，与 n，p 无关 C与 p 有关，与 m，n 无关 D与 n 有关，与 m，p 无关 11 （5 分） 已知抛物线的方程为 y24x， 过其焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 B 两点， 且|AF| 3，O 为坐标原点，则AOF 的面积和BOF 的面积之比为（
5、） A B C D2 12 （5 分）已知点 P 在直径为 2 的球面上，过点 P 作球的两两相互垂直的三条弦 PA，PB， PC，若 PAPB，则 PA+PB+PC 的最大值为（ ） A B4 C D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知非零向量 ， 满足| |4| |，且 （） ，则 与 的夹角为 14 （5 分）精准扶贫期间，5 名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至 少安排一人，则不同的分配方法共有 种 15 （5 分）已知函数 f（x）e2x，则过原点且与曲线 yf（x）相切的直线方程
6、为 16 （5 分）在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图” ，由四个全等的直角 三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分） 若直角三角形中较 小的锐角为 ，现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概 率为，则 cos 第 4 页（共 23 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、解荅过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、解荅过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （题为选考题，考生根据要求作答 （-）必考题：）必考题
7、： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， （cosA，a2b） ， （2c，1） ，且 （1）求角 C 的大小； （2）若 c2，且ABC 的面积为，求ABC 内切圆的半径 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且平 面 PAD平面 ABCD，E 为 PD 中点，AD2 （）求证：平面 AEC平面 PCD （） 若二面角 APCE 的平面角大小 满足 cos， 求四棱锥 PABCD 的体积 19 （12 分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取 60 人，从乙校抽取
8、 50 人进行分析 通过人数 未通过人数 总计 甲校 乙校 30 总计 60 （1）根据题目条件完成上面 22 列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为自主招生 通过情况与学生所在学校有关； （2）现已知甲校 A，B，C 三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，用随 机变量 X 表示 A， B， C 三人在该大学自主招生中通过的人数， 求 X 的分布列及期望 E （X） 参考公式： 第 5 页（共 23 页） 参考数据： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
9、10.828 20 （12 分）已知动圆 P 经过点 N（1，0） ，并且与圆 M： （x+1）2+y216 相切 （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设 G（m，0）为轨迹 C 内的一个动点，过点 G 且斜率为 k 的直线 l 交轨迹 C 于 A、 B 两点，当 k 为何值时 |GA|2+|GB|2是与 m 无关的定值，并求出该值定值 21 （12 分）已知函数 f（x）sinx （1）若 f（x）在0，上有唯一极大值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 a1，g（x）f（x）+ex，且 g（x1）+g（x2）2（x1x2） ，求证：x1+x20 （二）选（二）选考题考题 10 分
10、请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题题 计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系已知点 A 的极坐标为（，） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（）a， （1）若点 A 在直线 l 上，求直线 l 的直角坐标方程； （2）圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，若直线 l 与圆 C 相交的弦长为， 求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax1|，不等式 f（x）
11、3 的解集是x|1x2 （1）求 a 的值； （2）若关于 x 的不等式的解集非空，求实数 k 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年湖南省五市十校高二（下）期末数学试卷（理科）学年湖南省五市十校高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Mx|x20，N，则 MN（ ） Ax|x1 Bx|1x2 Cx|1x2 DR 【
12、分析】可以求出集合 M，N，然后进行并集的运算即可 【解答】解：Mx|x2，Nx|x1； MNR 故选：D 【点评】考查描述法的定义，以及并集的运算 2 （5 分）已知复数，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为 i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz 的共轭复数 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案 【解答】解：， z 的虚部为 1，|z|，z22i 为纯虚数， 正确的结论是 C 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3（5 分） 等比数列an的各项均为正数， 且 a4a6+a3a718， 则 log3a1+log3a2
13、+log3a3+log3a9 （ ） A12 B10 C9 D2+log35 【分析】由等比数列通项公式得 a53，再由 log3a1+log3a2+log3a3+log3a9log3（a1 a2a9）log3a59，能求出结果 【解答】解：等比数列an的各项均为正数，且 a4a6+a3a718， 由等比数列通项公式得 a53， log3a1+log3a2+log3a3+log3a9 第 7 页（共 23 页） log3（a1a2a9） log3a599log339 故选：C 【点评】本题考查对数式求值，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 4 （5 分）函数 f（x）A
14、sin（x+） （其中 A0，|）的图象如图所示，为了得到 g（x）cosx 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 从而求得函数的解析式，利用诱导公式可得 f（x）cos2（x） ，再根据函数 yAsin （x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】解：由函数的图象可得 A1，由 ，可得 2 再根据五点法作图可得 2+ 求得 ， 故函数的解析式为 f（x）sin（2x+） 由 f（x）sin（2x+）cos（2x）cos2（x）
15、 ， 故将 f（x）的图象向左平移个单位，即可得到 g（x）cos2x 的图象 故选：A 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，诱导公式，函数 y Asin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基 第 8 页（共 23 页） 础题 5 （5 分）已知函数 f（x）x33x+2sinx，设 a20.3，b0.32，clog20.3，则（ ） Af（b）f（a）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（b）f（c） 【分析】通过对函数 f（x）求导判断出函数的单调性，然后利用函数性质判断出 a，b，c
16、的大小关系，最终可比价大小 【解答】解：根据函数性质可得 120.32；00.321；2log20.31； 故可判断出范围为 cba 则 f（x）3x23+2cosx，其中3x233 恒成立，而 cosx1，1也是恒成立 故 f（x）0 恒成立，即函数 f（x）是单调递减的， 由 cba 得，f（c）f（b）f（a） 故选：D 【点评】本题考查了利用函数的单调性比较函数值得大小，导数的应用是求解单调性的 关键 6 （5 分）设，则的展开式中的常数项为（ ） A20 B20 C120 D120 【分析】求定积分得到 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于零，求 得 r 的值，可
17、得展开式中的常数项 【解答】解：（5cosx+sinx）（0+1）（5+0） 6， 则 的展开式的通项公式为 Tr+1 （1）rx6 2r， 令 62r0，求得 r3，可得展开式中的常数项为20， 故选：B 【点评】本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系 数的性质，属于基础题 7 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多 边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率 第 9 页（共 23 页） 精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的“割圆术” 思
18、想设计的一个程序框图， 则输出 n 的值为 （ ）（参考数据： sin150.2588， sin7.5 0.1305） A12 B24 C48 D96 【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】解：模拟执行程序，可得： n6，S3sin60， 不满足条件 S3.10，n12，S6sin303， 不满足条件 S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056， 满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24 故选：B 【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于 基础题 8 （5 分）函数 yxsinx
19、 在，上的图象是（ ） A B C D 第 10 页（共 23 页） 【分析】本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出和 f（）的值， 排除不满足条件的答案，可得结论 【解答】解：yx 和 ysinx 均为奇函数 根据“奇奇偶”可得函数 yf（x）xsinx 为偶函数， 图象关于 y 轴对称，所以排除 D 又，排除 B 又f（）sin0，排除 C， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，根据函数的解析式，分析出函数的性质及特 殊点的函数值，是解答的关键 9 （5 分）设正项等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S20196057，则的最小值 为（ ） A1 B C D 【
20、分析】 由差数列的前 n 项和公式， 求出 a1+a20196 由等差数列的性质得 a2+a20186， 由此利用基本不等式能求出最小值 【解答】解：依题：， 当且仅当 a42，a20184 时取等号， 故选：D 【点评】本题融合等差数列的前 n 项和，等差数列的性质，基本不等式等知识，意在考 查学生对数列、均值不等式基本知识和基本技能的综合应用能力 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D，的棱长为 4，动点 E，F 在棱 A1B1上，动点 P， Q 分别在棱 AD，CD 上若 EF2，A1Em，DQnDPp（m，n，p 大于零） ，则四 面体 PEFQ 的体积（ ） 第 11
21、页（共 23 页） A与 m，n，p 都有关 B与 m 有关，与 n，p 无关 C与 p 有关，与 m，n 无关 D与 n 有关，与 m，p 无关 【分析】设 P 到平面 A1DCB1的距离为 h，由 VPEFQSEFQh 即可得出结论 【解答】解：设 P 到平面 A1DCB1的距离为 h，显然 h 与 P 在 AD 上的位置有关， 又 EF1，Q 在 CD 上，且 A1B1CD，故 SEFQ为定值， 因为 VPEFQSEFQh， VPEFQ的值与 p 有关，与 m，n 的值无关 故选：C 【点评】本题考查了棱锥的体积公式，属于基础题 11 （5 分） 已知抛物线的方程为 y24x， 过其焦点
22、 F 的直线与抛物线交于 A、 B 两点， 且|AF| 3，O 为坐标原点，则AOF 的面积和BOF 的面积之比为（ ） A B C D2 【分析】如图所示，F（1，0） 由|AF|3，可得 xA+13，解得 xA，代入抛物线方程可 得42，解得 yA可得直线 AB 的方程与抛物线方程联立可得 yB利用AOF 的面 积和BOF 的面积之比即可得出 【解答】解：如图所示，F（1，0） |AF|3，xA+13，解得 xA2 代入抛物线方程可得42，解得 yA 直线 AB 的方程为：，化为 y2x2 联立，化为0， 第 12 页（共 23 页） 4， 解得 yB AOF 的面积和BOF 的面积之比2
23、 故选：D 【点评】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、三角 形面积之比，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知点 P 在直径为 2 的球面上，过点 P 作球的两两相互垂直的三条弦 PA，PB， PC，若 PAPB，则 PA+PB+PC 的最大值为（ ） A B4 C D3 【分析】由已知，PA，PB，PC 两两垂直，点 P 在直径为 2 的球面上，可知球直径等于 以 PA，PB，PC 为棱的长方体的对角线，得到 2PB2+PC24，再结合三角换元法，由三 角函数的性质得到 PA+PB+PC 的最大值 【解答】解：PA，PB，PC 两两垂直，点
24、P 在直径为 2 的球面上， 以 PA，PB，PC 为棱的长方体的对角线即为球的一条直径 4PA2+PB2+PC2，又 PAPB，2PB2+PC24， 设 PBcos，PC2sin， 则 PA+PB+PC2PB+PC2cos+2sinsin（+） 则 PA+PB+PC 的最大值为， 故选：A 【点评】本题考查球的内接几何体，训练了利用三角函数求最值，根据已知条件得到棱 锥的外接球直径等于以 PA，PB，PC 为棱的长方体的对角线是解答本题的关键，是中档 第 13 页（共 23 页） 题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5
25、 分）已知非零向量 ， 满足| |4| |，且 （） ，则 与 的夹角为 【分析】由题意求出 2，计算 cos 的值，从而求得 与 的夹角 【解答】解：由| |4| |0，且 （） ， 所以 （ +2 ） +20， 求得 2， 所以 cos， 又 0， 所以 与 的夹角为 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题 14 （5 分）精准扶贫期间，5 名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至 少安排一人，则不同的分配方法共有 150 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，将 5 名扶贫干部分成 3 组，再将分好的 三组对应 3 个贫困村，由排列数公
26、式可得其对应方法数目；由分步计数原理计算可得答 案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将 5 名扶贫干部分成 3 组， 若分为 1、2、2 的三组，有15 种分组方法； 若分为 1、1、3 的三组，有10 种分组方法； 则有 10+1525 种分组方法， ，再将分好的三组对应 3 个贫困村，有 A336 种情况， 则共有 256150 种不同的分配方案 第 14 页（共 23 页） 故答案为：150 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 15 （5 分）已知函数 f（x）e2x，则过原点且与曲线 yf（x）相切的直线方程为 2exy 0 【分析】设切
27、点为（m，n） ，求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式， 解方程可得 m，n，进而得到所求切线方程 【解答】解：设切点为（m，n） ， 函数 f（x）e2x的导数为 f（x）2e2x， 可得切线的斜率为 2e2m， 由切线过原点，可得2e2m， 解得 m，ne， 则切线方程为 y2ex 故答案为：2exy0 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题 16 （5 分）在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图” ，由四个全等的直角 三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分） 若直角三角形中较 小的锐角为 ，现向大正方形
28、区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概 率为，则 cos 【分析】根据概率设出大正方形的边长，求得小正方形的边长，继而有勾股定理求得值， 放到直角三角形中求出三角函数值即可 【解答】解：由题意，不妨设大正方形的边长为 2，则根据条件中的概率可知小正方形的 边长为 1， 设图中直角三角形的较短直角边为 x，则 x2+（x+1）24， 第 15 页（共 23 页） 解得， 所以图中直角三角形中较小锐角的正余弦值 cos 故答案为： 【点评】本题考查几何概型几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验 的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内分布，所以随机事件的概率 大
29、小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、解荅过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、解荅过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （题为选考题，考生根据要求作答 （-）必考题：）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， （cosA，a2b） ， （2c，1） ，且 （1）求角 C 的大小； （2）若 c2，且ABC 的面积为，求ABC 内切圆的半径 【分析】
30、（1）可由得出，从而得出 2ccosA+a2b0，然后根据正弦定理 及 sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC 即可得出 2sinAcosCsinA，据题意可知 sinA 0，从而得出，再根据 0C 即可得出 C； （2） 根据ABC 的面积可得出， 从而得出 ab4， ，而根据余弦定理即可得出 a2+b244，从而求出 a+b4，这样即可求 出ABC 内切圆的半径 r 【解答】解： （1）由得，2ccosA+a2b0； 由正弦定理，2sinCcosA+sinA2sinAcosC2sinCcosA0； 2sinAcosCsinA； 在ABC 中，0A； sinA0； ，且
31、0C； 第 16 页（共 23 页） ； （2）由等积法：； ； 由余弦定理，； （a+b）243ab12； a+b4； 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，正余弦定理，三角形面积 公式，以及两角和的正弦公式 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且平 面 PAD平面 ABCD，E 为 PD 中点，AD2 （）求证：平面 AEC平面 PCD （） 若二面角 APCE 的平面角大小 满足 cos， 求四棱锥 PABCD 的体积 【分析】 （）取 AD 中点为 O，BC 中点为 F，由已知得 PO平面 ABCD，则 FO
32、PO， 再由 FOAD，得 FO平面 PAD，得到 FOAE，可得 CDAE，由 E 是 PD 中点，可 得 AEPD，利用线面垂直的判定定理知 AE平面 PCD，进一步得到平面 AEC平面 PCD； （） 如图所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz， 令 ABa， 求出 P， A， C 的坐标， 由 （） 知（）为平面 PCE 的法向量，进一步求出平面 PAC 的一个法向量， 由二面角 APCE 的平面角大小 满足 cos求出 a 值，再由棱锥体积公式求四 棱锥 PABCD 的体积 【解答】 （）证明：取 AD 中点为 O，BC 中点为 F， 第 17 页（共 23 页） 由侧面 PAD 为正
33、三角形，且平面 PAD平面 ABCD，得 PO平面 ABCD，故 FOPO， 又 FOAD，则 FO平面 PAD，FOAE， 又 CDFO，则 CDAE， 又 E 是 PD 中点，则 AEPD， 由线面垂直的判定定理知 AE平面 PCD， 又 AE平面 AEC，故平面 AEC平面 PCD； （）解：如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz， 令 ABa，则 P（0，0，） ，A（1，0，0） ，C（1，a，0） 由（）知（）为平面 PCE 的法向量， 令 （1，y，z）为平面 PAC 的法向量， 由于（1，0，） ，（2，a，0）均与 垂直， ，解得，则， 由 cos |，解得 a 故四棱锥 P
34、ABCD 的体积 VSABCDPO22 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解二面角的平面角，是中档题 19 （12 分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取 60 人，从乙校抽取 50 人进行分析 通过人数 未通过人数 总计 第 18 页（共 23 页） 甲校 乙校 30 总计 60 （1）根据题目条件完成上面 22 列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为自主招生 通过情况与学生所在学校有关； （2）现已知甲校 A，B，C 三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，用随 机变量 X 表示 A， B， C 三人在该大学自主招生
35、中通过的人数， 求 X 的分布列及期望 E （X） 参考公式： 参考数据： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）根据题意填写 22 列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （2）根据题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期 望值 【解答】解： （1）根据题意，填写 22 列联表如下； 通过 未通过 总计 甲校 40 20 60 乙校 20 30 50 总计 60 50 110 由 K2算得， K2
36、7.8 6.635， 所以有 99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关； （2）设 A，B，C 自主招生通过分别记为事件 M，N，R，则 P（M），P（N）P （R）， 随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3； P（X0）P（）， 第 19 页（共 23 页） P（X1）P（M+ N +R）+， P（X2）P（MN + NR+M R）+， P（X3）P（MNR）； 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为 E（X）0+1+2+3 【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列 与数学期望计算问题，是中档题 20 （12 分
37、）已知动圆 P 经过点 N（1，0） ，并且与圆 M： （x+1）2+y216 相切 （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设 G（m，0）为轨迹 C 内的一个动点，过点 G 且斜率为 k 的直线 l 交轨迹 C 于 A、 B 两点，当 k 为何值时 |GA|2+|GB|2是与 m 无关的定值，并求出该值定值 【分析】 （1）由题意可得点 P 的轨迹 C 是以 M、N 为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距 的长度，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，G（m，0） （2m2） ，直线 l：yk（xm） ，联 立直线方程与椭圆方程，利用根与系
38、数的关系求得 A，B 的横坐标与纵坐标的和与积，再 由 |GA|2+|GB|2是与 m 无关的定值求得 k，进一步得到该定值 【解答】解： （1）由题设得：|PM|+|PN|4， 点 P 的轨迹 C 是以 M、N 为焦点的椭圆， 2a4，2c2， 椭圆方程为； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，G（m，0） （2m2） ，直线 l：yk（xm） ， 由，得（3+4k2）x28k2mx+4k2m2120， 第 20 页（共 23 页） ， y1+y2k（x1m）+k（x2m）2km |GA|2+|GB|2的值与 m 无关，4k230， 解得此时 |GA|2+|GB|27 【点评】
39、本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而 不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）sinx （1）若 f（x）在0，上有唯一极大值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 a1，g（x）f（x）+ex，且 g（x1）+g（x2）2（x1x2） ，求证：x1+x20 【分析】 （1）求函数的导数，结合极值和导数的关系进行判断求解即可 （2）利用分析法进行转化证明，构造新函数 F（x）g（x）+g（x）2，求的导数， 判断的单调性进行证明即可 【解答】解： （1）函数的导数 f（x）cosxax， 当 a0 时，f（x）0，此时 f
40、（x）在0，上为增函数，f（x）不存在极值，不满 足条件 当 a0 时，f（x）sinxa0，即 f（x）在0，上单调递减，由 f（0） 10，f（）a0， 故存在唯一的 x00，使得 x（0，x0）时，f（x）0 函数为增函数，x（x0，） 时，f（x）0 函数为减函数， 此时 x0是唯一一个极大值点，综上 a0 第 21 页（共 23 页） （2）若 a1，则 f（x）sinxx2则 g（x）sinxx2+ex， 则 g（x）cosxx+ex1+cosx0， g（x）sinxx2+ex，在 R 上单调递增， g（0）1，x10x2， 欲证明：x1+x20，等价证明：x1x2，等价 g（x1
41、）g（x2） ， g（x1）+g（x2）2，等价证明 0g（x2）+g（x2）2， 令 F（x）g（x）+g（x）2ex+e xx22， （x0） ， F（x）exe x2x， （x0） ，F（x）ex+ex20， 故 x0 时，F（x）单调递增，F（x）F（0）0， F（x）单调递增，则 F（x）F（0）0，得证 【点评】本题主要考查导数的应用，涉及极值点存在，切线放缩 exx+1，二阶导数的应 用，构造函数解决不等式的证明，考查学生的函数数学，转化能力，有一定的难度 （二）选考题（二）选考题 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作
42、答，如果多做，则按所做的第-题题 计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系已知点 A 的极坐标为（，） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（）a， （1）若点 A 在直线 l 上，求直线 l 的直角坐标方程； （2）圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，若直线 l 与圆 C 相交的弦长为， 求 a 的值 【分析】 （1）通过点在直线，列出方程得到 a，然后求解直线 l 的直角坐标方程； （2）消去参数，求出（ 为参数）的普通方程，通过圆心到直线的距离半 径半弦长的关系，即可求 a 的
43、值 【解答】 （本小题满分 10 分） 解： （1）由点在直线 cos（）a 上，可得 a 所以直线 l 的方程可化为 cos+sin2 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y20 （4 分） （2）由已知得圆 C 的直角坐标方程为（x2）2+y21 第 22 页（共 23 页） 所以圆 C 的圆心为（2，0） ，半径 r1， 而直线 l 的直角坐标方程为，若直线 l 与圆 C 相交的弦长为 则圆心到直线 l 的距离为，所以 求得或（10 分） 【点评】本题考查坐标系与参数方程的知识，转化思想的应用，考查直线与圆的位置关 系，考查计算能力 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数
44、 f（x）|ax1|，不等式 f（x）3 的解集是x|1x2 （1）求 a 的值； （2）若关于 x 的不等式的解集非空，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）根据条件分 a0 和 a0 两种情况建立关于 a 的不等式组，解出 a 即可； （2）不等式的解集非空，只需 k，根据绝对值 三角不等求出的最小值，可得 k 的范围 【解答】解：当 a0 时， 不等式 f（x）3 的解集是x|1x2， ，解得 a2， 当 a0 时， 不等式 f（x）3 的解集是x|1x2， ，该式无解， a2； （2）， 当且仅当（2x1） （2x+1）0，即时取等号， 第 23 页（共 23 页） 要使存在实数解，只需， 即实数 k 的取值范围是 【点评】本题考查了绝对值不等的解法和不等式有解问题，考查了转化思想和计算能力， 属中档题
