1、2019-2020 学年湖南省长沙市开福区周南教育集团八年级（上期中数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴 对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa6a3a2 Bm2+m2m4 Ca3 （a）2a5 D （2a3 ）38a27 3 （3 分）已知 xa2，xb4，则 x2a+b的值是（ ） A2 B6 C8 D16 4 （3 分）若（x+2） （xa）中不含 x 项，那么 a 的值为（ ） A0 B2 C2 D4 5 （
2、3 分） 在ABC 和DEF 中， AD90， 则下列条件中不能判定ABC 和DEF 全等的是（ ） AABDE，ACDF BACEF，BCDF CABDE，BCEF DCF，BCEF 6 （3 分）如图，是屋架设计图的一部分，立柱 BC 垂直于横梁 AC，AB8m，A30， 则立柱 BC 的长度为（ ） A4m B8m C10m D16m 7 （3 分）如图，在ABC 中，AB10，AC6，BC 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 于 E， 则ADC 的周长等于（ ） 第 2 页（共 26 页） A4 B6 C10 D16 8 （3 分）如图，将一个长方形纸片 ABCD 沿着 EF 折叠
3、，使 C，D 两点分别落在点 C， D处，若BFE70，则AED的度数为（ ） A70 B40 C30 D20 9 （3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B、C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M、N；作直 线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CDAC，A50，则B（ ） A50 B45 C30 D25 10 （3 分）从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成 四个相同的等腰梯形（如图甲） ，然后拼成一个平行四边形（如图乙） 那么通过计算两 个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） Aa2b2（a
4、b）2 B （a+b）2a2+2ab+b2 C （ab）2a22ab+b2 Da2b2（a+b） （ab） 11 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BC4，面积是 16，AC 的垂直平分线 EF 分别 第 3 页（共 26 页） 交 AC，AB 边于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C10 D12 12 （3 分）已知，如图，等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OPOC，下列结论：AC 平分PAD； APODCO；OPC
5、是等边三角形；ACAO+AP； 其中正确的序号是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题，每小题小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）若点 A（a，2）与点 B（3，b）关于 x 轴对称，则 ab 14 （3 分）等腰三角形的两边长分别为 3 和 4，则周长为 15 （3 分）若 x2+mx+9 是关于 x 的完全平方式，则 m 16 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，BE 平分ABC，EDAB 于 D如果A 30，AE6，那么 CE 17 （3 分）如图，某居民小区有一块长为 （3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，计 划将阴影
6、部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为（a+b）米的正方形绿化 的面积是多少平方米 第 4 页（共 26 页） 18 （3 分）已知 x1，计算： （1x） （1+x）1x2， （1x） （1+x+x2）1x3 （1）观察以上各式并猜想： （1x） （1+x+x2+xn） （n 为正整数） （2）根据你的猜想计算： （12） （1+2+22+23+24+25） ； 2+22+23+2n （n 为正整数） 三、解答题（共三、解答题（共 66 分）分） 19 （8 分）计算： （1）2xy2 （3xy4） （2） （y33y2+y）y 20 （8 分）利用乘法公式计算： （1） （2x3y
7、）2（y+3x） （3xy） （2） （a2b+3） （a+2b3） 21 （8 分）已知 x+y7，xy2，求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）2（xy）2 22 （6 分）先化简，再求值： （2+a） （2a）+a（a5b）+3a5b3（a2b）2，其中 ab 2 23 （6 分）如图，写出ABC 的各顶点坐标，并画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，并 求出ABC 的面积 第 5 页（共 26 页） 24 （6 分）如图，AOB，COD 是等腰直角三角形，点 D 在 AB 上 （1）求证：ACOBDO； （2）若BOD30，求ACD 度数 25 （8 分）如图：已知等边AB
8、C 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且 CE CD，DMBC，垂足为 M， （1）求证：M 是 BE 的中点 （2）若 CD1，DE，求ABD 的周长 26 （8 分）RtABC 中，ACB90，直线 l 过点 C （1） 当 ACBC 时， 如图 1， 分别过点 A 和 B 作 AD直线 l 于点 D， BE直线 l 于点 E ACD 与CBE 是否全等，并说明理由； （2）当 AC9cm，BC6cm 时，如图 2，点 B 与点 F 关于直线 l 对称，连接 BF、CF， 点 M 在 AC 上，点 N 是 CF 上一点，分别过点 M、N 作 MD直线 l 于点 D，N
9、E直线 l 于点 E，点 M 从 A 点出发，以每秒 1cm 的速度沿 AC 路径运动，终点为 C，点 N 从点 F 出发，以每秒 3cm 的速度沿 FCBCF 路径运动，终点为 F，点 M、N 同时开始 运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为 t 秒 第 6 页（共 26 页） 当CMN 为等腰直角三角形时，求 t 的值； 当MDC 与CEN 全等时，求 t 的值 27 （8 分）如图在直角坐标系中，四边形 ABCO 为正方形，A 点的坐标为（a，0） ，D 点的 坐标为（0，b） ，且 a，b 满足（a3）2+|b|0 （1）求 A 点和 D 点的坐标； （2）若DAEOAB，请
10、猜想 DE，OD 和 EB 的数量关系，说明理由 （3）若OAD30，以 AD 为三角形的一边，坐标轴上是否存在点 P，使得PAD 为 等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点 P，并写出 P 点的坐标，选择一种情况证明 第 7 页（共 26 页） 2019-2020 学年湖南省长沙市开福区周南教育集团八年级（上）学年湖南省长沙市开福区周南教育集团八年级（上） 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与参考答案与试题解析试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中
11、，是轴 对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分沿对称轴折叠后可重合 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa6a3a2 Bm2+m2m4 Ca3 （a）2a5 D （2a3 ）38a27 【分析】分别根据同底数幂的除
12、法法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则以及 积的乘方运算法则逐一判断即可 【解答】解：a6a3a3，故选项 A 不合题意； m2+m22m2，故选项 B 不合题意； a3 （a）2a5，正确，故选项 C 符合题意； （2a3 ）38a9，故选项 D 不合题意 故选：C 第 8 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项法则以及幂的乘方与积的乘方， 熟记幂的运算法则是解答本题的关键 3 （3 分）已知 xa2，xb4，则 x2a+b的值是（ ） A2 B6 C8 D16 【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解：xa2，xb4， x2a
13、+b（xa）2xb2244416 故选：D 【点评】本题主要考查了幂的运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 4 （3 分）若（x+2） （xa）中不含 x 项，那么 a 的值为（ ） A0 B2 C2 D4 【分析】先根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形，再根据题意列式计算即可 【解答】解： （x+2） （xa） x2+2xax2a x2+（2a）x2a， 由题意得，2a0， 解得，a2， 故选：B 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加 5 （3 分） 在ABC 和DEF 中，
14、AD90， 则下列条件中不能判定ABC 和DEF 全等的是（ ） AABDE，ACDF BACEF，BCDF CABDE，BCEF DCF，BCEF 【分析】针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证， 其中 B 虽是两边相等，但不是对应边对应相等，也不能判定三角形全等 【解答】解：A、由 SAS 能判定ABC 和DEF 全等； B、当AD90时，AC 与 EF 不是对应边，不能判定ABC 和DEF 全等； C、由 HL 能判定ABC 和DEF 全等； D、由 AAS 能判定ABC 和DEF 全等 第 9 页（共 26 页） 故选：B 【点评】本题考查了直角三角形全等的
15、判定方法：SSS，ASA，SAS，AAS，HL做题时 要认真验证各选项是否符合全等要求 6 （3 分）如图，是屋架设计图的一部分，立柱 BC 垂直于横梁 AC，AB8m，A30， 则立柱 BC 的长度为（ ） A4m B8m C10m D16m 【分析】根据含 30 度角的直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半，即可得出 答案 【解答】解：BCAC，A30， 在 RtACB 中，BCAB84m 故选：A 【点评】此题主要考查学生对含 30 度角的直角三角形这一知识点的理解和掌握，此题与 实际生活联系密切，体现了学以致用的思想，同时此题难度不大，也便于激发学生的学 习兴趣 7 （3 分
16、）如图，在ABC 中，AB10，AC6，BC 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 于 E， 则ADC 的周长等于（ ） A4 B6 C10 D16 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DCDB，根据三角形的周长公式计算即可 【解答】解：DE 是 BC 的垂直平分线， DCDB， ADC 的周长AC+AD+DCAC+AD+DBAC+AB16， 故选：D 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段 第 10 页（共 26 页） 的两个端点的距离相等是解题的关键 8 （3 分）如图，将一个长方形纸片 ABCD 沿着 EF 折叠，使 C，D 两点分别落在点 C
17、， D处，若BFE70，则AED的度数为（ ） A70 B40 C30 D20 【分析】 依据平行线的性质， 即可得到DEFBFE70， 进而得出DED2DEF 140，依据邻补角即可得到AED的度数 【解答】解：ADBC， DEFBFE70， 由折叠可得，DED2DEF140， AED18014040， 故选：B 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等 9 （3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B、C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M、N；作直 线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CDAC，A50，则B（
18、 ） A50 B45 C30 D25 【分析】先根据题意得出 MN 是线段 BC 的垂直平分线，故可得出 CDBD，即B BCD，再由 CDAC，可得出CDAA，根据三角形外角的性质即可得出结论 【解答】解：根据题意得出 MN 是线段 BC 的垂直平分线， CDBD，即BBCD CDAC， 第 11 页（共 26 页） CDAA50， B+BCDCAD， BCDA25 故选：D 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键 10 （3 分）从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成 四个相同的等腰梯形（如图甲） ，然后拼成一个平行
19、四边形（如图乙） 那么通过计算两 个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） Aa2b2（ab）2 B （a+b）2a2+2ab+b2 C （ab）2a22ab+b2 Da2b2（a+b） （ab） 【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而 得到可以验证成立的公式 【解答】解：由图 1 将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为 a b，即平行四边形的高为 ab， 两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积a2b2，乙的面积（a+b） （ab） 即：a2b2（a+b） （ab） 所以验证成立的公式为：a2b2（a+b） （ab） 故选：D
20、【点评】 本题主要考查了平方差公式， 运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键 本 题主要利用面积公式求证明 a2b2（a+b） （ab） 11 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BC4，面积是 16，AC 的垂直平分线 EF 分别 交 AC，AB 边于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（ ） 第 12 页（共 26 页） A6 B8 C10 D12 【分析】连接 AD，AM，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC， 再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平
21、分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD，AM ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABCBCAD4AD16，解得 AD8， EF 是线段 AC 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， MAMC， ADAM+MD， AD 的长为 CM+MD 的最小值， CDM 的周长最短（CM+MD）+CDAD+BC8+48+210 故选：C 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答 此题的关键 12 （3 分）已知，如图，等腰ABC，
22、ABAC，BAC120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OPOC，下列结论：AC 平分PAD； APODCO；OPC 是等边三角形；ACAO+AP； 其中正确的序号是（ ） 第 13 页（共 26 页） A B C D 【分析】根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论； 因为点 O 是线段 AD 上一点，所以 BO 不一定是ABD 的角平分线，可作判断； 证明POC60且 OPOC，即可证得OPC 是等边三角形； 首先证明OPACPE，则 AOCE，ACAE+CEAO+AP； 【解答】解：ABAC，BAC120，ADBC； CADBAC6
23、0，PAC180CAB60， PACDAC， AC 平分PAD，故正确； 由知：APOABO，DCODBO， 点 O 是线段 AD 上一点， ABO 与DBO 不一定相等，则APO 与DCO 不一定相等， 故不正确； APC+DCP+PBC180， APC+DCP150， APO+DCO30， OPC+OCP120， POC180（OPC+OCP）60， OPOC， OPC 是等边三角形； 故正确； 如图，在 AC 上截取 AEPA， PAE180BAC60， 第 14 页（共 26 页） APE 是等边三角形， PEAAPE60，PEPA， APO+OPE60， OPE+CPECPO60，
24、APOCPE， OPCP， 在OPA 和CPE 中， ， OPACPE（SAS） ， AOCE， ACAE+CEAO+AP； 故正确 故选：A 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等 三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）若点 A（a，2）与点 B（3，b）关于 x 轴对称，则 ab 9 【分析】利用关于 x 轴对称的点的坐标特征得到 a3，b2，然后根据乘方的意义计 算 【解答】解：点 A（a，2）与点 B（3，b）关于 x 轴对称
25、， a3，b2， ab（3）29 故答案为 9 【点评】本题考查了关于 x、y 轴对称的点的坐标特征：点 P（x，y）关于 x 轴的对称点 P的坐标是（x，y） 点 P（x，y）关于 y 轴的对称点 P的坐标是（x，y） 14 （3 分）等腰三角形的两边长分别为 3 和 4，则周长为 10 或 11 【分析】因为等腰三角形的两边分别为 3 和 4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两 种情况，需要分类讨论 【解答】解：当 3 为底时，其它两边都为 4，3、4、4 可以构成三角形，周长为 11； 第 15 页（共 26 页） 当 3 为腰时，其它两边为 3 和 4，3、3、4 可以构成三角形，周
26、长为 10 故填 10 或 11 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角 形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨 论 15 （3 分）若 x2+mx+9 是关于 x 的完全平方式，则 m 6 【分析】当二次项系数为 1 时，完全平方式满足：一次项系数一半的平方等于常数项， 即（）29，由此可求 m 的值 【解答】解：根据完全平方公式，得 （）29， 解得 m6， 故答案为：6 【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就 构成了一个完全平方式，注意积的 2 倍的符号，避免漏解，难度适
27、中 16 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，BE 平分ABC，EDAB 于 D如果A 30，AE6，那么 CE 3 【分析】根据直角三角形的性质求出 DE，根据角平分线的性质定理解答 【解答】解：ADE90，A30， DEAE3， BE 平分ABC，EDAB，ECBC， CEDE3， 故答案为：3 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到 角的两边的距离相等是解题的关键 17 （3 分）如图，某居民小区有一块长为 （3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，计 第 16 页（共 26 页） 划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为（
28、a+b）米的正方形绿化 的面积是多少平方米 5a2+3ab 【分析】先根据图形列出算式，再根据多项式乘以多项式和乘法公式算乘法，最后合并 同类项即可 【解答】解：绿化的面积是（3a+b） （2a+b）（a+b）2 6a2+3ab+2ab+b2a22abb2 5a2+3ab， 故答案为：5a2+3ab 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，整式的乘法，列代数式等知识点，能正确根据 运算法则进行计算是解此题的关键 18 （3 分）已知 x1，计算： （1x） （1+x）1x2， （1x） （1+x+x2）1x3 （1）观察以上各式并猜想： （1x） （1+x+x2+xn） 1xn+1 （n 为正整数
29、） （2）根据你的猜想计算： （12） （1+2+22+23+24+25） 63 ； 2+22+23+2n 2n+12 （n 为正整数） 【分析】 （1）根据题意易得（1x） （1+x+x2+xn）1xn+1； （2）利用猜想的结论得到（12） （1+2+22+23+24+25）12616463； 先变形 2+22+23+24+2n2 （1+2+22+23+24+2n 1） 2 （12） （1+2+22+23+24+ +2n 1） ，然后利用上述结论写出结果 【解答】解： （1） （1x） （1+x+x2+xn）1xn+1； 所以答案为：1xn+1； （2）（12） （1+2+22+23+24
30、+25）12616463； 所以答案为：63； 第 17 页（共 26 页） 2+22+23+24+2n2（1+2+22+23+24+2n 1）2（12） （1+2+22+23+24+2n 1）2（12n）2n+12； 所以答案为：2n+12 【点评】此题考查了整式的混合运算及数字变化类问题，根据题意熟练得到数字变化规 律是解本题的关键 三三、解答题（共、解答题（共 66 分）分） 19 （8 分）计算： （1）2xy2 （3xy4） （2） （y33y2+y）y 【分析】 （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）根据整式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式6x2y6； （2
31、）原式y2y+1； 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础 题型 20 （8 分）利用乘法公式计算： （1） （2x3y）2（y+3x） （3xy） （2） （a2b+3） （a+2b3） 【分析】 （1）利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （2）将原式变形为a（2b3）a+（2b3），然后利用平方差公式计算即可 【解答】解： （1）原式4x212xy+9y2（9x2y2） 4x212xy+9y29x2+y2 5x212xy+10y2； （2）原式a（2b3）a+（2b3） a2（2b3）2 a24b2+12b9 【点评】本题主要考查的是完全平方公式和
32、平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键 21 （8 分）已知 x+y7，xy2，求下列各式的值： （1）x2+y2； 第 18 页（共 26 页） （2）2（xy）2 【分析】 （1）根据完全平方公式得出 x2+y2（x+y）22xy，代入求出即可； （2）根据完全平方公式得出（xy）2（x+y）24xy，代入求出即可 【解答】解： （1）x+y7，xy2， x2+y2（x+y）22xy722245； （2）x+y7，xy2， 2（xy）22（x+y）24xy 27242 82 【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键 22 （6 分）先化简，再求值： （2+a）
33、（2a）+a（a5b）+3a5b3（a2b）2，其中 ab 2 【分析】直接利用整式的混合运算法则分别化简得出答案 【解答】解：原式4a2+a25ab+3a5b3（a4b2） 4a2+a25ab+3ab 2ab+4， 当 ab2 时，原式8 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键 23 （6 分）如图，写出ABC 的各顶点坐标，并画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，并 求出ABC 的面积 【分析】首先根据坐标系写出 A、B、C 三点坐标，再确定 A、B、C 三点关于 y 轴对称的 点的坐标，然后连接可得A1B1C1，最后计算出面积即可 【解答】解：A
34、（3，2） ，B（4，3） ，C（1，1） ， 第 19 页（共 26 页） ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1如图所示： ABC 的面积：351523236.5 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对 称点的位置 24 （6 分）如图，AOB，COD 是等腰直角三角形，点 D 在 AB 上 （1）求证：ACOBDO； （2）若BOD30，求ACD 度数 【分析】 （1）因为AOBCOD90，由等量代换可得DOBAOC，又因为 AOB 和COD 均为等腰直角三角形，所以 OCOD，OAOB，则ACOBDO； （2）可求出BODACO30，CAOOBD45，
35、得出ACO105，则 ACD 可求出 【解答】 （1）证明：AOB，COD 是等腰直角三角形， OCOD、AOBO、COA+AODDOB+AOD90， COADOB， ACOBDO （SAS） ， （2）解：ACOBDO， BODACO30，CAOOBD45， ACO1803045105， ACDACOOCD1054560 第 20 页（共 26 页） 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练 掌握全等三角形的判定与性质 25 （8 分）如图：已知等边ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且 CE CD，DMBC，垂足为 M， （1
36、）求证：M 是 BE 的中点 （2）若 CD1，DE，求ABD 的周长 【分析】 （1）连接 BD，根据等边三角形的性质得出ABCACB60，ABBC， 根据等腰三角形的性质得出DBCABC30， 求出DBCE， 根据等腰三角 形的判定得出 BDED，根据等腰三角形的性质得出即可； （2）求出 ADDC1，BDDE，求出 AB，即可求出答案 【解答】解： （1）连接 BD， ABC 是等边三角形， ABCACB60，ABBCAC， D 为 AC 的中点， DBCABC30， CDCE， ECDE， E+CDEACB60， E30， DBCE， BDED， 第 21 页（共 26 页） DMBE
37、， M 是 BE 的中点； （2）由题意可知，BDDE， D 为 AC 的中点， ADCD1，ABAC2CD2， 则ABD 的周长 AB+AD+BD3+ 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质 等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键 26 （8 分）RtABC 中，ACB90，直线 l 过点 C （1） 当 ACBC 时， 如图 1， 分别过点 A 和 B 作 AD直线 l 于点 D， BE直线 l 于点 E ACD 与CBE 是否全等，并说明理由； （2）当 AC9cm，BC6cm 时，如图 2，点 B 与点 F 关于直线 l 对称，连接 BF、
38、CF， 点 M 在 AC 上，点 N 是 CF 上一点，分别过点 M、N 作 MD直线 l 于点 D，NE直线 l 于点 E，点 M 从 A 点出发，以每秒 1cm 的速度沿 AC 路径运动，终点为 C，点 N 从点 F 出发，以每秒 3cm 的速度沿 FCBCF 路径运动，终点为 F，点 M、N 同时开始 运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为 t 秒 当CMN 为等腰直角三角形时，求 t 的值； 当MDC 与CEN 全等时，求 t 的值 【分析】 （1）根据垂直的定义得到DACECB，利用 AAS 定理证明ACDCBE； （2）分点 F 沿 CB 路径运动和点 F 沿 BC 路径
39、运动两种情况，根据等腰三角形的 第 22 页（共 26 页） 定义列出算式，计算即可； 分点 F 沿 FC 路径运动，点 F 沿 CB 路径运动，点 F 沿 BC 路径运动，点 F 沿 CF 路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算 【解答】解： （1）ACD 与CBE 全等理由如下： AD直线 l， DAC+ACD90， ACB90， BCE+ACD90， DACECB， 在ACD 和CBE 中， ACDCBE（AAS） ； （2）由题意得，AMt，FN3t， 则 CM8t， 由折叠的性质可知，CFCB6， CN63t， 点 N 在 BC 上时，CMN 为等腰直角三角形， 当点 N
40、 沿 CB 路径运动时，由题意得，9t3t6， 解得，t， 当点 N 沿 BC 路径运动时，由题意得，9t183t， 解得，t， 综上所述，当 t秒或秒时，CMN 为等腰直角三角形； 由折叠的性质可知，BCEFCE， MCD+CMD90，MCD+BCE90， NCECMD， 当 CMCN 时，MDC 与CEN 全等， 当点 N 沿 FC 路径运动时，9t63t， 解得，t（不合题意） ， 第 23 页（共 26 页） 当点 N 沿 CB 路径运动时，9t3t6， 解得，t， 当点 N 沿 BC 路径运动时，由题意得，9t183t， 解得，t， 当点 N 沿 CF 路径运动时，由题意得，9t3t
41、18， 解得，t， 综上所述，当 t秒或秒或 6秒时，MDC 与CEN 全等 【点评】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性 质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用 分情况讨论思想是解题的关键 27 （8 分）如图在直角坐标系中，四边形 ABCO 为正方形，A 点的坐标为（a，0） ，D 点的 坐标为（0，b） ，且 a，b 满足（a3）2+|b|0 （1）求 A 点和 D 点的坐标； （2）若DAEOAB，请猜想 DE，OD 和 EB 的数量关系，说明理由 （3）若OAD30，以 AD 为三角形的一边，坐标轴上是否存在点 P
42、，使得PAD 为 等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点 P，并写出 P 点的坐标，选择一种情况证明 【分析】 （1）利用非负数的性质求出 a、b 即可解决问题； （2）如图 1 中，连接 AF，只要证明AOFABE（SAS） ，AFDAED（SAS） ， 可得结论； （3）分三种情形讨论求解：ADDP 或 ADAP 或 PDAP，分别画图根据 AD 和 OA 的长确定点 P 的坐标 【解答】解： （1）（a3）2+|b|0， 第 24 页（共 26 页） a3，b， D（0，） ，A（3，0） ； （2）DEOD+EB； 理由如下： 如图 1，在 CO 的延长线上找一点 F，使 OFBE，连
43、接 AF， 在AOF 和ABE 中， ， AOFABE（SAS） ， AFAE，OAFBAE， 又OAB90，DAE， BAE+DAO45， DAFOAF+DAO45， DAFEAD， 在AFD 和AED 中， ， AFDAED（SAS） ， DFDEOD+EB； （3）有 3 种情况共 6 个点： 第 25 页（共 26 页） 当 DADP 时，如图 2， RtADO 中，OD，OA3， AD2， P1（3，0） ，P2（0，3） ，P3（0，） ； 当 AP4DP4时，如图 3， ADP4DAP430， OP4D60， RtODP4中，ODP430，OD， OP41， P4（1，0） ； 当 ADAP 时，如图 4， 第 26 页（共 26 页） ADAP5AP62， P5（3+2，0） ，P6（32，0） ， 综上，点 P 的坐标为：P（3，0）或（0，3）或（0，）或（1，0）或（3+2， 0）或（32，0） 证明：P5（3+2，0） ， OAD30且ADO 是直角三角形， 又AO3，DO， DA2， 而 P5A|3+23|2， P5ADA， P5AD 是等腰三角形 【点评】本题是四边形的综合题，考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三 角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常 用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题
