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2019-2020学年湖南省长沙市开福区周南教育集团八年级(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2019-2020 学年湖南省长沙市开福区周南教育集团八年级(上期中数学试卷 一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分)分) 1 (3 分)下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴 对称图形的是( ) A B C D 2 (3 分)下列运算正确的是( ) Aa6a3a2 Bm2+m2m4 Ca3 (a)2a5 D (2a3 )38a27 3 (3 分)已知 xa2,xb4,则 x2a+b的值是( ) A2 B6 C8 D16 4 (3 分)若(x+2) (xa)中不含 x 项,那么 a 的值为( ) A0 B2 C2 D4 5 (

2、3 分) 在ABC 和DEF 中, AD90, 则下列条件中不能判定ABC 和DEF 全等的是( ) AABDE,ACDF BACEF,BCDF CABDE,BCEF DCF,BCEF 6 (3 分)如图,是屋架设计图的一部分,立柱 BC 垂直于横梁 AC,AB8m,A30, 则立柱 BC 的长度为( ) A4m B8m C10m D16m 7 (3 分)如图,在ABC 中,AB10,AC6,BC 的垂直平分线交 AB 于 D,交 BC 于 E, 则ADC 的周长等于( ) 第 2 页(共 26 页) A4 B6 C10 D16 8 (3 分)如图,将一个长方形纸片 ABCD 沿着 EF 折叠

3、,使 C,D 两点分别落在点 C, D处,若BFE70,则AED的度数为( ) A70 B40 C30 D20 9 (3 分)如图,在已知的ABC 中,按以下步骤作图: 分别以 B、C 为圆心,以大于BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点 M、N;作直 线 MN 交 AB 于点 D,连接 CD,若 CDAC,A50,则B( ) A50 B45 C30 D25 10 (3 分)从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后,将其裁成 四个相同的等腰梯形(如图甲) ,然后拼成一个平行四边形(如图乙) 那么通过计算两 个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为( ) Aa2b2(a

4、b)2 B (a+b)2a2+2ab+b2 C (ab)2a22ab+b2 Da2b2(a+b) (ab) 11 (3 分)如图,在ABC 中,ABAC,BC4,面积是 16,AC 的垂直平分线 EF 分别 第 3 页(共 26 页) 交 AC,AB 边于 E,F 点,若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为( ) A6 B8 C10 D12 12 (3 分)已知,如图,等腰ABC,ABAC,BAC120,ADBC 于点 D,点 P 是 BA 延长线上一点,点 O 是线段 AD 上一点,OPOC,下列结论:AC 平分PAD; APODCO;OPC

5、是等边三角形;ACAO+AP; 其中正确的序号是( ) A B C D 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题,每小题小题 3 分,共分,共 18 分)分) 13 (3 分)若点 A(a,2)与点 B(3,b)关于 x 轴对称,则 ab 14 (3 分)等腰三角形的两边长分别为 3 和 4,则周长为 15 (3 分)若 x2+mx+9 是关于 x 的完全平方式,则 m 16 (3 分)如图,在ABC 中,ACB90,BE 平分ABC,EDAB 于 D如果A 30,AE6,那么 CE 17 (3 分)如图,某居民小区有一块长为 (3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,计 划将阴影

6、部分进行绿化,中间将修建一个雕塑,底座是边长为(a+b)米的正方形绿化 的面积是多少平方米 第 4 页(共 26 页) 18 (3 分)已知 x1,计算: (1x) (1+x)1x2, (1x) (1+x+x2)1x3 (1)观察以上各式并猜想: (1x) (1+x+x2+xn) (n 为正整数) (2)根据你的猜想计算: (12) (1+2+22+23+24+25) ; 2+22+23+2n (n 为正整数) 三、解答题(共三、解答题(共 66 分)分) 19 (8 分)计算: (1)2xy2 (3xy4) (2) (y33y2+y)y 20 (8 分)利用乘法公式计算: (1) (2x3y

7、)2(y+3x) (3xy) (2) (a2b+3) (a+2b3) 21 (8 分)已知 x+y7,xy2,求下列各式的值: (1)x2+y2; (2)2(xy)2 22 (6 分)先化简,再求值: (2+a) (2a)+a(a5b)+3a5b3(a2b)2,其中 ab 2 23 (6 分)如图,写出ABC 的各顶点坐标,并画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1,并 求出ABC 的面积 第 5 页(共 26 页) 24 (6 分)如图,AOB,COD 是等腰直角三角形,点 D 在 AB 上 (1)求证:ACOBDO; (2)若BOD30,求ACD 度数 25 (8 分)如图:已知等边AB

8、C 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的一点,且 CE CD,DMBC,垂足为 M, (1)求证:M 是 BE 的中点 (2)若 CD1,DE,求ABD 的周长 26 (8 分)RtABC 中,ACB90,直线 l 过点 C (1) 当 ACBC 时, 如图 1, 分别过点 A 和 B 作 AD直线 l 于点 D, BE直线 l 于点 E ACD 与CBE 是否全等,并说明理由; (2)当 AC9cm,BC6cm 时,如图 2,点 B 与点 F 关于直线 l 对称,连接 BF、CF, 点 M 在 AC 上,点 N 是 CF 上一点,分别过点 M、N 作 MD直线 l 于点 D,N

9、E直线 l 于点 E,点 M 从 A 点出发,以每秒 1cm 的速度沿 AC 路径运动,终点为 C,点 N 从点 F 出发,以每秒 3cm 的速度沿 FCBCF 路径运动,终点为 F,点 M、N 同时开始 运动,各自达到相应的终点时停止运动,设运动时间为 t 秒 第 6 页(共 26 页) 当CMN 为等腰直角三角形时,求 t 的值; 当MDC 与CEN 全等时,求 t 的值 27 (8 分)如图在直角坐标系中,四边形 ABCO 为正方形,A 点的坐标为(a,0) ,D 点的 坐标为(0,b) ,且 a,b 满足(a3)2+|b|0 (1)求 A 点和 D 点的坐标; (2)若DAEOAB,请

10、猜想 DE,OD 和 EB 的数量关系,说明理由 (3)若OAD30,以 AD 为三角形的一边,坐标轴上是否存在点 P,使得PAD 为 等腰三角形,若存在,直接写出有多少个点 P,并写出 P 点的坐标,选择一种情况证明 第 7 页(共 26 页) 2019-2020 学年湖南省长沙市开福区周南教育集团八年级(上)学年湖南省长沙市开福区周南教育集团八年级(上) 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与参考答案与试题解析试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分)分) 1 (3 分)下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志,在这四个标志中

11、,是轴 对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析 【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,故此选项错误; C、不是轴对称图形,故此选项错误; D、是轴对称图形,故此选项正确; 故选:D 【点评】此题主要考查了轴对称图形,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部 分沿对称轴折叠后可重合 2 (3 分)下列运算正确的是( ) Aa6a3a2 Bm2+m2m4 Ca3 (a)2a5 D (2a3 )38a27 【分析】分别根据同底数幂的除

12、法法则,合并同类项的法则,同底数幂的乘法法则以及 积的乘方运算法则逐一判断即可 【解答】解:a6a3a3,故选项 A 不合题意; m2+m22m2,故选项 B 不合题意; a3 (a)2a5,正确,故选项 C 符合题意; (2a3 )38a9,故选项 D 不合题意 故选:C 第 8 页(共 26 页) 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法,合并同类项法则以及幂的乘方与积的乘方, 熟记幂的运算法则是解答本题的关键 3 (3 分)已知 xa2,xb4,则 x2a+b的值是( ) A2 B6 C8 D16 【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解:xa2,xb4, x2a

13、+b(xa)2xb2244416 故选:D 【点评】本题主要考查了幂的运算,熟记幂的运算法则是解答本题的关键 4 (3 分)若(x+2) (xa)中不含 x 项,那么 a 的值为( ) A0 B2 C2 D4 【分析】先根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形,再根据题意列式计算即可 【解答】解: (x+2) (xa) x2+2xax2a x2+(2a)x2a, 由题意得,2a0, 解得,a2, 故选:B 【点评】本题考查的是多项式乘多项式,多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式 相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加 5 (3 分) 在ABC 和DEF 中,

14、AD90, 则下列条件中不能判定ABC 和DEF 全等的是( ) AABDE,ACDF BACEF,BCDF CABDE,BCEF DCF,BCEF 【分析】针对选项提供的已知条件,结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证, 其中 B 虽是两边相等,但不是对应边对应相等,也不能判定三角形全等 【解答】解:A、由 SAS 能判定ABC 和DEF 全等; B、当AD90时,AC 与 EF 不是对应边,不能判定ABC 和DEF 全等; C、由 HL 能判定ABC 和DEF 全等; D、由 AAS 能判定ABC 和DEF 全等 第 9 页(共 26 页) 故选:B 【点评】本题考查了直角三角形全等的

15、判定方法:SSS,ASA,SAS,AAS,HL做题时 要认真验证各选项是否符合全等要求 6 (3 分)如图,是屋架设计图的一部分,立柱 BC 垂直于横梁 AC,AB8m,A30, 则立柱 BC 的长度为( ) A4m B8m C10m D16m 【分析】根据含 30 度角的直角三角形中,30 度所对的直角边等于斜边的一半,即可得出 答案 【解答】解:BCAC,A30, 在 RtACB 中,BCAB84m 故选:A 【点评】此题主要考查学生对含 30 度角的直角三角形这一知识点的理解和掌握,此题与 实际生活联系密切,体现了学以致用的思想,同时此题难度不大,也便于激发学生的学 习兴趣 7 (3 分

16、)如图,在ABC 中,AB10,AC6,BC 的垂直平分线交 AB 于 D,交 BC 于 E, 则ADC 的周长等于( ) A4 B6 C10 D16 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DCDB,根据三角形的周长公式计算即可 【解答】解:DE 是 BC 的垂直平分线, DCDB, ADC 的周长AC+AD+DCAC+AD+DBAC+AB16, 故选:D 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段 第 10 页(共 26 页) 的两个端点的距离相等是解题的关键 8 (3 分)如图,将一个长方形纸片 ABCD 沿着 EF 折叠,使 C,D 两点分别落在点 C

17、, D处,若BFE70,则AED的度数为( ) A70 B40 C30 D20 【分析】 依据平行线的性质, 即可得到DEFBFE70, 进而得出DED2DEF 140,依据邻补角即可得到AED的度数 【解答】解:ADBC, DEFBFE70, 由折叠可得,DED2DEF140, AED18014040, 故选:B 【点评】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,内错角相等 9 (3 分)如图,在已知的ABC 中,按以下步骤作图: 分别以 B、C 为圆心,以大于BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点 M、N;作直 线 MN 交 AB 于点 D,连接 CD,若 CDAC,A50,则B(

18、 ) A50 B45 C30 D25 【分析】先根据题意得出 MN 是线段 BC 的垂直平分线,故可得出 CDBD,即B BCD,再由 CDAC,可得出CDAA,根据三角形外角的性质即可得出结论 【解答】解:根据题意得出 MN 是线段 BC 的垂直平分线, CDBD,即BBCD CDAC, 第 11 页(共 26 页) CDAA50, B+BCDCAD, BCDA25 故选:D 【点评】本题考查的是作图基本作图,熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键 10 (3 分)从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后,将其裁成 四个相同的等腰梯形(如图甲) ,然后拼成一个平行

19、四边形(如图乙) 那么通过计算两 个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为( ) Aa2b2(ab)2 B (a+b)2a2+2ab+b2 C (ab)2a22ab+b2 Da2b2(a+b) (ab) 【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积,从而 得到可以验证成立的公式 【解答】解:由图 1 将小正方形一边向两方延长,得到两个梯形的高,两条高的和为 a b,即平行四边形的高为 ab, 两个图中的阴影部分的面积相等,即甲的面积a2b2,乙的面积(a+b) (ab) 即:a2b2(a+b) (ab) 所以验证成立的公式为:a2b2(a+b) (ab) 故选:D

20、【点评】 本题主要考查了平方差公式, 运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键 本 题主要利用面积公式求证明 a2b2(a+b) (ab) 11 (3 分)如图,在ABC 中,ABAC,BC4,面积是 16,AC 的垂直平分线 EF 分别 交 AC,AB 边于 E,F 点,若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为( ) 第 12 页(共 26 页) A6 B8 C10 D12 【分析】连接 AD,AM,由于ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,故 ADBC, 再根据三角形的面积公式求出 AD 的长,再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平

21、分线可知,点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A,故 AD 的长为 CM+MD 的最小值,由此即可得出结论 【解答】解:连接 AD,AM ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点, ADBC, SABCBCAD4AD16,解得 AD8, EF 是线段 AC 的垂直平分线, 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A, MAMC, ADAM+MD, AD 的长为 CM+MD 的最小值, CDM 的周长最短(CM+MD)+CDAD+BC8+48+210 故选:C 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答 此题的关键 12 (3 分)已知,如图,等腰ABC,

22、ABAC,BAC120,ADBC 于点 D,点 P 是 BA 延长线上一点,点 O 是线段 AD 上一点,OPOC,下列结论:AC 平分PAD; APODCO;OPC 是等边三角形;ACAO+AP; 其中正确的序号是( ) 第 13 页(共 26 页) A B C D 【分析】根据等腰三角形的性质,邻补角的定义即可得到结论; 因为点 O 是线段 AD 上一点,所以 BO 不一定是ABD 的角平分线,可作判断; 证明POC60且 OPOC,即可证得OPC 是等边三角形; 首先证明OPACPE,则 AOCE,ACAE+CEAO+AP; 【解答】解:ABAC,BAC120,ADBC; CADBAC6

23、0,PAC180CAB60, PACDAC, AC 平分PAD,故正确; 由知:APOABO,DCODBO, 点 O 是线段 AD 上一点, ABO 与DBO 不一定相等,则APO 与DCO 不一定相等, 故不正确; APC+DCP+PBC180, APC+DCP150, APO+DCO30, OPC+OCP120, POC180(OPC+OCP)60, OPOC, OPC 是等边三角形; 故正确; 如图,在 AC 上截取 AEPA, PAE180BAC60, 第 14 页(共 26 页) APE 是等边三角形, PEAAPE60,PEPA, APO+OPE60, OPE+CPECPO60,

24、APOCPE, OPCP, 在OPA 和CPE 中, , OPACPE(SAS) , AOCE, ACAE+CEAO+AP; 故正确 故选:A 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等 三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解决问题的关键 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 13 (3 分)若点 A(a,2)与点 B(3,b)关于 x 轴对称,则 ab 9 【分析】利用关于 x 轴对称的点的坐标特征得到 a3,b2,然后根据乘方的意义计 算 【解答】解:点 A(a,2)与点 B(3,b)关于 x 轴对称

25、, a3,b2, ab(3)29 故答案为 9 【点评】本题考查了关于 x、y 轴对称的点的坐标特征:点 P(x,y)关于 x 轴的对称点 P的坐标是(x,y) 点 P(x,y)关于 y 轴的对称点 P的坐标是(x,y) 14 (3 分)等腰三角形的两边长分别为 3 和 4,则周长为 10 或 11 【分析】因为等腰三角形的两边分别为 3 和 4,但没有明确哪是底边,哪是腰,所以有两 种情况,需要分类讨论 【解答】解:当 3 为底时,其它两边都为 4,3、4、4 可以构成三角形,周长为 11; 第 15 页(共 26 页) 当 3 为腰时,其它两边为 3 和 4,3、3、4 可以构成三角形,周

26、长为 10 故填 10 或 11 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系;对于底和腰不等的等腰三角 形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨 论 15 (3 分)若 x2+mx+9 是关于 x 的完全平方式,则 m 6 【分析】当二次项系数为 1 时,完全平方式满足:一次项系数一半的平方等于常数项, 即()29,由此可求 m 的值 【解答】解:根据完全平方公式,得 ()29, 解得 m6, 故答案为:6 【点评】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的 2 倍,就 构成了一个完全平方式,注意积的 2 倍的符号,避免漏解,难度适

27、中 16 (3 分)如图,在ABC 中,ACB90,BE 平分ABC,EDAB 于 D如果A 30,AE6,那么 CE 3 【分析】根据直角三角形的性质求出 DE,根据角平分线的性质定理解答 【解答】解:ADE90,A30, DEAE3, BE 平分ABC,EDAB,ECBC, CEDE3, 故答案为:3 【点评】本题考查的是直角三角形的性质,角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到 角的两边的距离相等是解题的关键 17 (3 分)如图,某居民小区有一块长为 (3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,计 第 16 页(共 26 页) 划将阴影部分进行绿化,中间将修建一个雕塑,底座是边长为(

28、a+b)米的正方形绿化 的面积是多少平方米 5a2+3ab 【分析】先根据图形列出算式,再根据多项式乘以多项式和乘法公式算乘法,最后合并 同类项即可 【解答】解:绿化的面积是(3a+b) (2a+b)(a+b)2 6a2+3ab+2ab+b2a22abb2 5a2+3ab, 故答案为:5a2+3ab 【点评】本题考查了多项式乘以多项式,整式的乘法,列代数式等知识点,能正确根据 运算法则进行计算是解此题的关键 18 (3 分)已知 x1,计算: (1x) (1+x)1x2, (1x) (1+x+x2)1x3 (1)观察以上各式并猜想: (1x) (1+x+x2+xn) 1xn+1 (n 为正整数

29、) (2)根据你的猜想计算: (12) (1+2+22+23+24+25) 63 ; 2+22+23+2n 2n+12 (n 为正整数) 【分析】 (1)根据题意易得(1x) (1+x+x2+xn)1xn+1; (2)利用猜想的结论得到(12) (1+2+22+23+24+25)12616463; 先变形 2+22+23+24+2n2 (1+2+22+23+24+2n 1) 2 (12) (1+2+22+23+24+ +2n 1) ,然后利用上述结论写出结果 【解答】解: (1) (1x) (1+x+x2+xn)1xn+1; 所以答案为:1xn+1; (2)(12) (1+2+22+23+24

30、+25)12616463; 所以答案为:63; 第 17 页(共 26 页) 2+22+23+24+2n2(1+2+22+23+24+2n 1)2(12) (1+2+22+23+24+2n 1)2(12n)2n+12; 所以答案为:2n+12 【点评】此题考查了整式的混合运算及数字变化类问题,根据题意熟练得到数字变化规 律是解本题的关键 三三、解答题(共、解答题(共 66 分)分) 19 (8 分)计算: (1)2xy2 (3xy4) (2) (y33y2+y)y 【分析】 (1)根据整式的运算法则即可求出答案; (2)根据整式的运算法则即可求出答案 【解答】解: (1)原式6x2y6; (2

31、)原式y2y+1; 【点评】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础 题型 20 (8 分)利用乘法公式计算: (1) (2x3y)2(y+3x) (3xy) (2) (a2b+3) (a+2b3) 【分析】 (1)利用完全平方公式和平方差公式计算即可; (2)将原式变形为a(2b3)a+(2b3),然后利用平方差公式计算即可 【解答】解: (1)原式4x212xy+9y2(9x2y2) 4x212xy+9y29x2+y2 5x212xy+10y2; (2)原式a(2b3)a+(2b3) a2(2b3)2 a24b2+12b9 【点评】本题主要考查的是完全平方公式和

32、平方差公式的应用,熟记公式是解题的关键 21 (8 分)已知 x+y7,xy2,求下列各式的值: (1)x2+y2; 第 18 页(共 26 页) (2)2(xy)2 【分析】 (1)根据完全平方公式得出 x2+y2(x+y)22xy,代入求出即可; (2)根据完全平方公式得出(xy)2(x+y)24xy,代入求出即可 【解答】解: (1)x+y7,xy2, x2+y2(x+y)22xy722245; (2)x+y7,xy2, 2(xy)22(x+y)24xy 27242 82 【点评】本题考查了完全平方公式,能灵活运用公式进行变形是解此题的关键 22 (6 分)先化简,再求值: (2+a)

33、(2a)+a(a5b)+3a5b3(a2b)2,其中 ab 2 【分析】直接利用整式的混合运算法则分别化简得出答案 【解答】解:原式4a2+a25ab+3a5b3(a4b2) 4a2+a25ab+3ab 2ab+4, 当 ab2 时,原式8 【点评】此题主要考查了整式的混合运算,正确掌握整式的混合运算法则是解题关键 23 (6 分)如图,写出ABC 的各顶点坐标,并画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1,并 求出ABC 的面积 【分析】首先根据坐标系写出 A、B、C 三点坐标,再确定 A、B、C 三点关于 y 轴对称的 点的坐标,然后连接可得A1B1C1,最后计算出面积即可 【解答】解:A

34、(3,2) ,B(4,3) ,C(1,1) , 第 19 页(共 26 页) ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1如图所示: ABC 的面积:351523236.5 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换,关键是正确确定组成图形的关键点的对 称点的位置 24 (6 分)如图,AOB,COD 是等腰直角三角形,点 D 在 AB 上 (1)求证:ACOBDO; (2)若BOD30,求ACD 度数 【分析】 (1)因为AOBCOD90,由等量代换可得DOBAOC,又因为 AOB 和COD 均为等腰直角三角形,所以 OCOD,OAOB,则ACOBDO; (2)可求出BODACO30,CAOOBD45,

35、得出ACO105,则 ACD 可求出 【解答】 (1)证明:AOB,COD 是等腰直角三角形, OCOD、AOBO、COA+AODDOB+AOD90, COADOB, ACOBDO (SAS) , (2)解:ACOBDO, BODACO30,CAOOBD45, ACO1803045105, ACDACOOCD1054560 第 20 页(共 26 页) 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形内角和定理,解题的关键是熟练 掌握全等三角形的判定与性质 25 (8 分)如图:已知等边ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的一点,且 CE CD,DMBC,垂足为 M, (1

36、)求证:M 是 BE 的中点 (2)若 CD1,DE,求ABD 的周长 【分析】 (1)连接 BD,根据等边三角形的性质得出ABCACB60,ABBC, 根据等腰三角形的性质得出DBCABC30, 求出DBCE, 根据等腰三角 形的判定得出 BDED,根据等腰三角形的性质得出即可; (2)求出 ADDC1,BDDE,求出 AB,即可求出答案 【解答】解: (1)连接 BD, ABC 是等边三角形, ABCACB60,ABBCAC, D 为 AC 的中点, DBCABC30, CDCE, ECDE, E+CDEACB60, E30, DBCE, BDED, 第 21 页(共 26 页) DMBE

37、, M 是 BE 的中点; (2)由题意可知,BDDE, D 为 AC 的中点, ADCD1,ABAC2CD2, 则ABD 的周长 AB+AD+BD3+ 【点评】本题考查了等边三角形的性质,等腰三角形的性质和判定,三角形的外角性质 等知识点,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键 26 (8 分)RtABC 中,ACB90,直线 l 过点 C (1) 当 ACBC 时, 如图 1, 分别过点 A 和 B 作 AD直线 l 于点 D, BE直线 l 于点 E ACD 与CBE 是否全等,并说明理由; (2)当 AC9cm,BC6cm 时,如图 2,点 B 与点 F 关于直线 l 对称,连接 BF、

38、CF, 点 M 在 AC 上,点 N 是 CF 上一点,分别过点 M、N 作 MD直线 l 于点 D,NE直线 l 于点 E,点 M 从 A 点出发,以每秒 1cm 的速度沿 AC 路径运动,终点为 C,点 N 从点 F 出发,以每秒 3cm 的速度沿 FCBCF 路径运动,终点为 F,点 M、N 同时开始 运动,各自达到相应的终点时停止运动,设运动时间为 t 秒 当CMN 为等腰直角三角形时,求 t 的值; 当MDC 与CEN 全等时,求 t 的值 【分析】 (1)根据垂直的定义得到DACECB,利用 AAS 定理证明ACDCBE; (2)分点 F 沿 CB 路径运动和点 F 沿 BC 路径

39、运动两种情况,根据等腰三角形的 第 22 页(共 26 页) 定义列出算式,计算即可; 分点 F 沿 FC 路径运动,点 F 沿 CB 路径运动,点 F 沿 BC 路径运动,点 F 沿 CF 路径运动四种情况,根据全等三角形的判定定理列式计算 【解答】解: (1)ACD 与CBE 全等理由如下: AD直线 l, DAC+ACD90, ACB90, BCE+ACD90, DACECB, 在ACD 和CBE 中, ACDCBE(AAS) ; (2)由题意得,AMt,FN3t, 则 CM8t, 由折叠的性质可知,CFCB6, CN63t, 点 N 在 BC 上时,CMN 为等腰直角三角形, 当点 N

40、 沿 CB 路径运动时,由题意得,9t3t6, 解得,t, 当点 N 沿 BC 路径运动时,由题意得,9t183t, 解得,t, 综上所述,当 t秒或秒时,CMN 为等腰直角三角形; 由折叠的性质可知,BCEFCE, MCD+CMD90,MCD+BCE90, NCECMD, 当 CMCN 时,MDC 与CEN 全等, 当点 N 沿 FC 路径运动时,9t63t, 解得,t(不合题意) , 第 23 页(共 26 页) 当点 N 沿 CB 路径运动时,9t3t6, 解得,t, 当点 N 沿 BC 路径运动时,由题意得,9t183t, 解得,t, 当点 N 沿 CF 路径运动时,由题意得,9t3t

41、18, 解得,t, 综上所述,当 t秒或秒或 6秒时,MDC 与CEN 全等 【点评】本题是三角形综合题目,考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性 质、等腰直角三角形的性质等知识,掌握全等三角形的判定定理和性质定理,灵活运用 分情况讨论思想是解题的关键 27 (8 分)如图在直角坐标系中,四边形 ABCO 为正方形,A 点的坐标为(a,0) ,D 点的 坐标为(0,b) ,且 a,b 满足(a3)2+|b|0 (1)求 A 点和 D 点的坐标; (2)若DAEOAB,请猜想 DE,OD 和 EB 的数量关系,说明理由 (3)若OAD30,以 AD 为三角形的一边,坐标轴上是否存在点 P

42、,使得PAD 为 等腰三角形,若存在,直接写出有多少个点 P,并写出 P 点的坐标,选择一种情况证明 【分析】 (1)利用非负数的性质求出 a、b 即可解决问题; (2)如图 1 中,连接 AF,只要证明AOFABE(SAS) ,AFDAED(SAS) , 可得结论; (3)分三种情形讨论求解:ADDP 或 ADAP 或 PDAP,分别画图根据 AD 和 OA 的长确定点 P 的坐标 【解答】解: (1)(a3)2+|b|0, 第 24 页(共 26 页) a3,b, D(0,) ,A(3,0) ; (2)DEOD+EB; 理由如下: 如图 1,在 CO 的延长线上找一点 F,使 OFBE,连

43、接 AF, 在AOF 和ABE 中, , AOFABE(SAS) , AFAE,OAFBAE, 又OAB90,DAE, BAE+DAO45, DAFOAF+DAO45, DAFEAD, 在AFD 和AED 中, , AFDAED(SAS) , DFDEOD+EB; (3)有 3 种情况共 6 个点: 第 25 页(共 26 页) 当 DADP 时,如图 2, RtADO 中,OD,OA3, AD2, P1(3,0) ,P2(0,3) ,P3(0,) ; 当 AP4DP4时,如图 3, ADP4DAP430, OP4D60, RtODP4中,ODP430,OD, OP41, P4(1,0) ; 当 ADAP 时,如图 4, 第 26 页(共 26 页) ADAP5AP62, P5(3+2,0) ,P6(32,0) , 综上,点 P 的坐标为:P(3,0)或(0,3)或(0,)或(1,0)或(3+2, 0)或(32,0) 证明:P5(3+2,0) , OAD30且ADO 是直角三角形, 又AO3,DO, DA2, 而 P5A|3+23|2, P5ADA, P5AD 是等腰三角形 【点评】本题是四边形的综合题,考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三 角形的性质和判定等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常 用辅助线,构造全等三角形,属于中考压轴题