1、2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分) 1 (5 分)若复数 zm(m1)+(m1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则( ) Ai Bi C2i D2i 2 (5 分)已知集合 A0,1,2,3,By|yx2+1,xR,PAB,则 P 的子集个数 为( ) A4 B6 C8 D16 3 (5 分)已知函数 f(x),若 f(a)3,则实数 a 的值为( ) A2 B2 C2 D2 或3 4 (5 分)若 a0.20.2,b1.20.2,clog1.20.2,则( ) Aabc Bc
2、ab Cbca Dacb 5 (5 分)如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图,图 2 是该省 2018 年 14 月快 递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( ) A2018 年 14 月的业务量,3 月最高,2 月最低,差值接近 2000 万件 B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%,在 3 月最高 C从两图来看,2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 第 2 页(共 23 页) D从 14 月来看,该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6 (5 分)已知数列an
3、中,a32,a71若数列为等差数列,则 a9( ) A B C D 7 (5 分)已知,且,则( ) A0 B C1 D 8 (5 分)已知函数 f(x)xsinx,f'(x)为 f(x)的导函数,则函数 f'(x)的部分图象大 致为( ) A B C D 9 (5 分)在边长为 3 的等边ABC 中,点 M 满足,则( ) A B C6 D 10 (5 分) 若函数 f (x) Asin (x+) (其中 A0, |) 图象的一个对称中心为 (, 0) ,其相邻一条对称轴方程为 x,该对称轴处所对应的函数值为1,为了得到 g (x)cos2x 的图象,则只要将 f
4、(x)的图象( ) A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 第 3 页(共 23 页) D向右平移个单位长度 11 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A,M 是抛 物线C上的点, 且MFx轴, 若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2, 则p ( ) A2 B2 C4 D4 12 (5 分)已知函数,当 xm,m+1时,不等式 f(2mx) f(x+m)恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A (,4) B (,2) C (2,2) D (,0) 二、填空题:本大
5、题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 (5 分)若实数 x,y 满足约束条件,则 z3xy 的最小值等于 14 (5 分)若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3,E 为正方体内任意一点,则 AE 的长度 大于 3 的概率等于 15 (5 分)已知长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为,且 AA1BC2,则直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为 16 (5 分)在ABC 中,已知 c2,若 sin2A+sin2BsinAsin
6、Bsin2C,则 a+b 的取值范 围 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤;第分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤;第 17-21 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:60 分分 17 (12 分)设 Sn为数列an的前 n 项和, (1)证明:数列an为等差数列,并求 an; (2)设 bn2Sn3n,求数列的前 n 项和 Tn 18 (12 分)峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是
7、将一天 24 小时划分 成两个时间段,把 8:0022:00 共 14 小时称为峰段,执行峰电价,即电价上调;22: 00次日 8:00 共 10 个小时称为谷段,执行谷电价,即电价下调为了进一步了解民众 对峰谷电价的使用情况,从某市一小区随机抽取了 50 户住户进行夏季用电情况调查,各 第 4 页(共 23 页) 户月平均用电量以100, 300) , 300, 500) , 500, 700) , 700, 900) , 900, 1100) , 1100, 1300(单位:度)分组的频率分布直方图如图所示若将小区月平均用电量不低于 700 度的住户称为“大用户” ,月平均用电量低于 70
8、0 度的住户称为“一般用户” 其中,使 用峰谷电价的户数如表: 月平均用 电量(度) 100, 300) 300,500) 500,700) 700,900) 900,1100) 1100,1300 使用峰谷 电价的户 数 3 9 13 7 2 1 (1)估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表) ; (2) (i)将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面 22 的列联表: 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 不使用峰谷电价的用户 (ii)根据(i
9、)中的列联表,能否有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电 价”有关? 附:, P(K2k) 0.025 0.010 0.001 k 5.024 6.635 10.828 19 ( 12 分 ) 已 知 椭 圆经 过 点, 左 焦 点 第 5 页(共 23 页) ,直线 l:y2x+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若OAB 面积为 1,求直线 l 的方程 20 (12 分)如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SBSD (1)证明:BDSA; (2)若面 SBD面 ABCD,SBSD,BAD60,AB1,求
10、B 到平面 SAD 的距离 21 (12 分)已知函数 f(x)lnx2ax,aR (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)xax2在 x1 时恒成立,求 a 的取值范围 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) 在极 坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴
11、为极 轴)中,圆 C 的方程为 2sin (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1,) ,求|PA|+|PB|的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23关于 x 的不等式|x2|m(mN*)的解集为 A,且A,A (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c 均为正实数,且 ab+bc+camabc,求证:a+4b+9c36 第 6 页(共 23 页) 2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二(下)期末数学试卷(文科)学年湖南省衡阳八中高二(下)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选
12、择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分) 1 (5 分)若复数 zm(m1)+(m1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则( ) Ai Bi C2i D2i 【分析】由纯虚数的定义可得 m0,故,化简可得 【解答】解:复数 zm(m1)+(m1)i 是纯虚数,故 m(m1)0 且(m1) 0, 解得 m0,故 zi,故i 故选:A 【点评】本题考查复数的分类和复数的乘除运算,属基础题 2 (5 分)已知集合 A0,1,2,3,By|yx2+1,xR,PAB,则 P 的子集个数 为( ) A4 B6 C8 D16 【分析】可解出 By|y1,从而进行交集的运算
13、即可得出 P1,2,3,从而根据组 合知识即可得出集合 P 的子集个数 【解答】解:By|y1,A0,1,2,3; PAB1,2,3; P 的子集个数为: 故选:C 【点评】考查列举法、描述法的定义,交集的运算,以及集合子集个数的求法 3 (5 分)已知函数 f(x),若 f(a)3,则实数 a 的值为( ) A2 B2 C2 D2 或3 【分析】当 a1 时,f(a)3,解得 a2;当 a1 时,f(a)a213, 解得 a2 或 a2(舍) 由此能求出实数 a 的值 第 7 页(共 23 页) 【解答】解:函数 f(x),f(a)3, 当 a1 时,f(a)3,解得 a2; 当 a1 时,
14、f(a)a213,解得 a2 或 a2(舍) 综上,实数 a 的值为2 故选:C 【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查 函数与方程思想,是基础题 4 (5 分)若 a0.20.2,b1.20.2,clog1.20.2,则( ) Aabc Bcab Cbca Dacb 【分析】容易得出 00.20.21,1.20.21,log1.20.20,从而可得出 a,b,c 的大小关 系 【解答】解:00.20.20.201,1.20.21.201,log1.20.2log1.210; cab 故选:B 【点评】考查指数函数、对数函数的单调性,增函数和减函数的定义
15、5 (5 分)如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图,图 2 是该省 2018 年 14 月快 递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( ) A2018 年 14 月的业务量,3 月最高,2 月最低,差值接近 2000 万件 第 8 页(共 23 页) B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%,在 3 月最高 C从两图来看,2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 D从 14 月来看,该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【分析】根据统计图,结合对应数据分别进行判断即可 【
16、解答】解:选项 A,B 显然正确; 对于选项 C,2 月份业务量同比增长率为 53%,而收入的同比增长率为 30%,所以 C 是 正确的 ;对于选项 D,1,2,3,4 月收入的同比增长率分别为 55%,30%,60%,42%,并不 是逐月增长,D 错误 故选:D 【点评】本题主要考查合情推理的应用,结合统计数据进行判断是解决本题的关键比 较基础 6 (5 分)已知数列an中,a32,a71若数列为等差数列,则 a9( ) A B C D 【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解:依题意得:a32,a71,因为数列为等差数列, 所以, 所以, 所以, 故选:D 【点评】本题考
17、查了等差数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题 7 (5 分)已知,且,则( ) A0 B C1 D 【分析】解法一:由题意先求出角 ,从而求得的值 第 9 页(共 23 页) 解法二:由题意求得 cos() ,再根据 cos()+吧, 利用两角差的三角公式求得结果 【解答】解:由,且,可得, 代入,可得cos01, 故选:C 解法二:由,且,可得, 所以 , 故选:C 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用,属于基础题 8 (5 分)已知函数 f(x)xsinx,f'(x)为 f(x)的导函数,则函数 f'(x)的部分图象大 致为( ) A B
18、 C D 【分析】先求出函数的导数,判断函数的奇偶性以及函数的单调性,利用排除法进行求 解即可 【解答】解:函数的导数 f'(x)sinx+xcosx 为奇函数,图象关于原点对称,排除 C,D, 设 g(x)f'(x) ,则 g'(x)2cosxxsinx,g'(0)20,排除 B, 故选:A 第 10 页(共 23 页) 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用排除法是解决本题的关键 9 (5 分)在边长为 3 的等边ABC 中,点 M 满足,则( ) A B C6 D 【分析】将转化为三角形边上的向量后再相乘可得 【解答】解:依题
19、意得: , 故选:D 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属基础题 10 (5 分) 若函数 f (x) Asin (x+) (其中 A0, |) 图象的一个对称中心为 (, 0) ,其相邻一条对称轴方程为 x,该对称轴处所对应的函数值为1,为了得到 g (x)cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( ) A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值, 可得 f(x)的解析式,再根据函数 yAsin(x+)的图象变换规律,
20、诱导公式,得出 结论 【解答】解:根据已知函数 f(x)Asin(x+) (其中 A0,|)的图象过点(,0) , (,1) , 可得 A1, 解得:2 第 11 页(共 23 页) 再根据五点法作图可得 2+, 可得:, 可得函数解析式为:f(x)sin(2x+) 故把 f(x)sin(2x+)的图象向左平移个单位长度, 可得 ysin(2x+)cos2x 的图象, 故选:B 【点评】本题主要考查由函数 yAsin(x+)的部分图象求解析式,由函数的图象的 顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,函数 yAsin(x+)的 图象变换规律,诱导公式的应用,属于中档题 11 (5
21、 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A,M 是抛 物线C上的点, 且MFx轴, 若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2, 则p ( ) A2 B2 C4 D4 【分析】求出直线 AM 的方程,根据垂径定理列方程得出 p 的值 【解答】解:把 x代入 y22px 可得 yp,不妨设 M 在第一象限, 则 M(,p) , 又 A(,0) ,直线 AM 的方程为 yx+,即 xy+0, 原点 O 到直线 AP 的距离 d, 以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2, ,解得 p2 故选:B 【点评】本题考查了抛物线的性质,直线
22、与圆的位置关系,属于中档题 12 (5 分)已知函数,当 xm,m+1时,不等式 f(2mx) f(x+m)恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A (,4) B (,2) C (2,2) D (,0) 第 12 页(共 23 页) 【分析】先判断分段 f(x)在 xR 上单调递减,再把 f(2mx)f(x+m)化为 2mx x+m,求 2xm 在 xm,m+1上恒成立时 m 的取值范围即可 【解答】解:当 x0 时,f(x)+4 单调递减,且 f(x)f(0)5; 当 x0 时,f(x)x3x+5,f(x)3x210,f(x)单调递减,且 f(x) f(0)5; 所以函数在 xR 上单调递
23、减, 因为 f(2mx)f(x+m) ,所以 2mxx+m, 即 2xm,在 xm,m+1上恒成立, 所以 2(m+1)m, 解得 m2 即 m 的取值范围是(,2) 故选:B 【点评】本题考查了判断分段函数的单调性与应用问题,也考查了不等式恒成立问题, 是中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 (5 分)若实数 x,y 满足约束条件,则 z3xy 的最小值等于 【分析】作出不等式组对应的平面区域,通过目标函数的几何意义,利用数形结合即可 的得到结论 【解
24、答】解:依题意,可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域,目标函数化为:y 3xz, 则 z 的最小值即为动直线在 y 轴上的截距的最大值通过平移可知在 A 点处动直线在 y 轴上的截距最大 因为解得, 所以 z3xy 的最小值 故答案为: 第 13 页(共 23 页) 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,通过数形结合是解决本题 的关键 14 (5 分)若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3,E 为正方体内任意一点,则 AE 的长度 大于 3 的概率等于 1 【分析】先求以 A 为球心,3 为半径的球的个球体的体积,再结合几何概型中的体积 型运算可得解 【解答】解:
25、由题意可知总的基本事件为正方体内的点,其体积 3327, 满足|AE|3 的基本事件为以 A 为球心,3 为半径的球内部在正方体中的部分的点, 其体积为, 由几何概型中的体积型可得: 则 AE 的长度大于 3 的概率 故答案为:1 【点评】本题考查了几何概型中的体积型及球的定义,属中档题 15 (5 分)已知长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为,且 AA1BC2,则直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为 【分析】求出长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球半径为 R2,从而 A1C , 进而 由 A1B1平面BB1C1C, 得 A1C与平面BB1C1C 所成的角为A1CB1,
26、由此能求出直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角 第 14 页(共 23 页) 【解答】解:设长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球半径为 R, 因为长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为,所以 R2, 即 A1C, 因为 AA1BC2,所以 因为 A1B1平面 BB1C1C, 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为A1CB1, 在 RtA1CB1中,因为 AA1BC2, 所以, 所以 故答案为: 【点评】该题考查线面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运 算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 16 (5 分)在ABC 中,已知 c2,若 sin2A
27、+sin2BsinAsinBsin2C,则 a+b 的取值范围 (2,4 【分析】sin2A+sin2BsinAsinBsin2C,由余弦定理可得:a2+b2abc2,再利用余弦 定理可得 C由正弦定理可得:,解出 a,b 代入 a+b, 利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出 【解答】解:sin2A+sin2BsinAsinBsin2C,由余弦定理可得:a2+b2abc2, 可得 cosC,C(0,) ,C 第 15 页(共 23 页) 由正弦定理可得:, asinA,bsinB,BA 则 a+bsinA+sinBsinA+sin(A) 4sin, A,sin, a+b(2,4 故答案
28、为: (2,4 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤;第分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤;第 17-21 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:60 分分 17 (12 分)设 Sn为数列an的前 n 项和, (1)证明:数列an为等差数列,并求 an; (2)设 bn2Sn3n,求数列的前 n 项和
29、Tn 【分析】 (1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步利用定义证明数列为等 差数列 (2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解: (1)证明:当 n2 时,anSnSn12n2+5n2(n1)25(n1) 4n+3, 当 n1 时,a1S17, 也满足 an4n+3,故 an4n+3 an+1an4, 数列an是首项为 7 公差为 4 的等差数列,an4n+3 (2), , 第 16 页(共 23 页) , 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和 中的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型 18 (12
30、分)峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是将一天 24 小时划分 成两个时间段,把 8:0022:00 共 14 小时称为峰段,执行峰电价,即电价上调;22: 00次日 8:00 共 10 个小时称为谷段,执行谷电价,即电价下调为了进一步了解民众 对峰谷电价的使用情况,从某市一小区随机抽取了 50 户住户进行夏季用电情况调查,各 户月平均用电量以100, 300) , 300, 500) , 500, 700) , 700, 900) , 900, 1100) , 1100, 1300(单位:度)分组的频率分布直方图如图所示若将小区月平均用电量不低于 700 度的住户称为“大用户”
31、,月平均用电量低于 700 度的住户称为“一般用户” 其中,使 用峰谷电价的户数如表: 月平均用 电量(度) 100, 300) 300,500) 500,700) 700,900) 900,1100) 1100,1300 使用峰谷 电价的户 数 3 9 13 7 2 1 (1)估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表) ; (2) (i)将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面 22 的列联表: 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 25 10 不使用峰谷电价的用户 5 10 (ii
32、)根据(i)中的列联表,能否有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电 价”有关? 附:, P(K2k) 0.025 0.010 0.001 第 17 页(共 23 页) k 5.024 6.635 10.828 【分析】 (1)根据频率分布直方图能求出 100 度到 300 度的频率,并能估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数 (2)依题意,作出 22 列联表,求出 K2的观测值,从而不能有 99%的把握认为“用电 量的高低”与“使用峰谷电价”有关 【解答】解: (1)根据频率分布直方图的得到 100 度到 300 度的频率为: 10.0012000.00152000.00
33、122000.00062000.00022000.1, (2 分) 估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数为:(度) ; (3 分) 估计所抽取的 50 户的月均用电量的平均数为: (度) (6 分) (2)依题意,22 列联表如下: 一般用户 大用户 使用峰谷电价的用户 25 10 不使用峰谷电价的用户 5 10 (8 分)K2的观测值(11 分) 所以不能有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关 (12 分) 【点评】本题考查频率、众数、平均数的求法,考查独立性检验的应用,考查频率分布 直方图等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题 19 ( 12 分
34、) 已 知 椭 圆经 过 点, 左 焦 点 ,直线 l:y2x+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点 第 18 页(共 23 页) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若OAB 面积为 1,求直线 l 的方程 【分析】 (1)利用焦点坐标求出 c,利用椭圆的圆的求出 a,然后求解 b,即可得到椭圆 方程 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由消去 y,通过判别式,弦长公式,利用 三角形的面积求出 m,即可得到直线方程 【 解 答 】 解 :( 1 ) 依 题 意 可 得 解 得, 右 焦 点, 0 ), ,所以 a2,则 b2a2c21, 所以椭圆 C 的标准方程
35、为 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由得 17x2+16mx+4m240, 则(16m)24174(m21)16m2+1617 由0 得 m217,则, 所以 因为 O 到 AB 的距离, 所以 得,直线 l 的方程为 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合 应用,考查转化思想以及计算能力 20 (12 分)如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SBSD (1)证明:BDSA; (2)若面 SBD面 ABCD,SBSD,BAD60,AB1,求 B 到平面 SAD 的距离 第 19 页(共 23 页) 【分析】
36、 (1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 SO,推导出 BDSO,BD面 SAC,由此能证 明 BDSA (2)推导出 SO 是三棱锥 SABD 的高,设 B 到平面 SAD 的距离为 h,由 VBSADVS ABD,由此能求出 B 到平面 SAD 的距离 【解答】 (本小题满分 12 分) 证明: (1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 SO(1 分) 在菱形 ABCD 中,BDAC,O 是 BD 的中点, 又因为 SBSD,所以 BDSO,又 ACSOO, 所以 BD面 SAC(4 分) 又 SA面 SAC,所以 BDSA(5 分) 解: (2)因为面 SBD面 ABCD,面 SBD面
37、 ABCDBD,SOBD,SO面 SBD, 所以 SO面 ABCD,即 SO 是三棱锥 SABD 的高(7 分) 依题意可得,ABD 是等边三角形,所以 BDAD1, 在等腰 RtSBD, (9 分) 经计算得,SA1, 等腰三角形 ASD 的面积为(10 分) 设 B 到平面 SAD 的距离为 h, 则由 VBSADVSABD,得,解得, 所以 B 到平面 SAD 的距离为(12 分) 第 20 页(共 23 页) 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 21 (1
38、2 分)已知函数 f(x)lnx2ax,aR (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)xax2在 x1 时恒成立,求 a 的取值范围 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间; (2)不等式等价于 lnx+ax2(2a+1)x0 在 x1 恒成立,令 g(x)lnx+ax2(2a+1) x,x1,求出函数的导数,根据函数的单调性确定 a 的范围即可 【解答】解: (1)f(x)2a(x0) , 若 a0,f(x)0,f(x)在(0,+)递增, 若 a0,令 f(x)0,解得:x, 故 f(x)在(0,)递增,在(,+)递减, 综上,若 a0,
39、f(x)在(0,+)递增, 若 a0,f(x)在(0,)递增,在(,+)递减; (2)不等式考核 lnx+ax2(2a+1)x0 在 x1 恒成立, 令 g(x)lnx+ax2(2a+1)x,x1, g(x), 若 a0,g(x)0,g(x)在(1,+)递减, 故 g(x)g(1)a1, 故不等式恒成立等价于a10,故 a1, 故1a0, 第 21 页(共 23 页) 若 0a,则1, 当 1x时,g(x)0, 当 x时,g(x)0, 故 g(x)在(1,)递减,在(,+)递增, 故 g(x)g() ,+) ,不合题意, 若 a,当 x1 时,g(x)0, 故 g(x)在(1,+)递增, 故
40、g(x)(g(1) ,+) ,不合题意, 综上,a1,0 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转 化思想,是一道综合题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) 在极 坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴)中,圆 C 的方程为 2sin (1
41、)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1,) ,求|PA|+|PB|的值 【分析】 (1)圆 C 的方程 l 转化为,由此能求出圆 C 的直角坐标方 程 (2)将直线 l 的参数方程为代入5,得, 由此能求出|PA|+|PB| 【解答】解: (1)圆 C 的方程为 2sin,即, 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y22y, 第 22 页(共 23 页) 即 x2+(y)25 (2)将直线 l 的参数方程为(t 为参数)代入5,得: (1+t)2+(t)25,即, 2+160, 设 t1,t2是上述方程的根,则 t1+t2,t1t24, 点
42、 P 的坐标为(1,) , |PA|+|PB|t1t2|3 【点评】本题考查圆的直角坐标方程的求法,考查两线段和的求法,考查直角坐标方程、 参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23关于 x 的不等式|x2|m(mN*)的解集为 A,且A,A (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c 均为正实数,且 ab+bc+camabc,求证:a+4b+9c36 【分析】 (1)根据题意可得|2|m,|m,即可求出 m 的值, (2)由 1)及以及条件知+1,再利用乘 1 法即可证明 【解答】解: (1)A,A, |2|m,|m, m, mN*, m1 证明(2) :由(1)及以及条件知+1,a,b,c 均为正实数, a+4b+9c(a+4b+9c) (+)14+ 14+2+2+236, 当且仅当 a2b3c 时等号成立, 第 23 页(共 23 页) 故 a+4b+9c36 【点评】本题主要考基本不等式,不等式的解法,体现了转化论的数学思想,属于基础 题