1、（3 分）设集合 A1，2，3，Bx|3x24mx+10若 AB1则 m（ ） A1 B C D一 1 2 （3 分）已知函数 yf（x21）的定义域为0，3，则函数 yf（x）的定义域为（ ） A2，11，2 B1，2 C0，3 D 1，8 3 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中角 与角 均以 Ox 为始边它们的终边关于 y 轴对 称若角 是第三象限角，且，则 cos（ ） A B C D 4 （3 分）已知对任意的 xR，2x2+（a1）x+0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （1，3） C （3，+） D （3，1） 5
2、（3 分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（1，32） 从中随机取 一件其长度误差落在区间（4，7）内的概率为 （附：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（+）68.26%，P （2+2）95.44%） （ ） A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 6 （3 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x2）f（x+2） ，且当 x（2，0）时，f （x）3x1，则 f（9）（ ） A2 B2 C D 7 （3 分）函数 f（x）tan（2x）的单调递增区间是（ ） A，+（kZ） B （，+） （kZ） C （k
3、+，k+） （kZ） 第 2 页（共 21 页） Dk，k+（kZ） 8 （3 分）函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线斜率为（ ） A0 B1 C1 D 9 （3 分）已知函数，将其图象向右平移 （0）个单位长度后得 到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）为偶函数，则 的最小值为（ ） A B C D 10 （3 分）已知函数 f（x），则（ ） A B C D 11 （3 分）若 f（x）sin（2x+）+b，对任意实数 x 都有 f（x+）f（x） ，f（） 1，则实数 b 的值为（ ） A2 或 0 B0 或 1 C1 D2 12 （3 分）已知，则
4、（ ） A B C D 13 （3 分）设函数 f（x）ex+2x4，g（x）lnx+2x25，若实数 a，b 分别是 f（x） ，g （x）的零点，则（ ） Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b） Df（b）g（a）0 14 （3 分）已知函数与 g（x）log2（x+a）的图象上存在关于 y 轴 对称的点，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 15 （3 分）已知函数 f（x）lnx+（a1）x+22a（a0） 若不等式 f（x）0 的解集中 整数的个数为 3，则 a 的取值范围是（ ） A （1ln3，0 B （1ln3，2ln2
5、C （0，1ln2 D （1ln3，1ln2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分共分共 15 分）分） 第 3 页（共 21 页） 16 （3 分）已知函数，则 f（log212） 17 （3 分）的展开式中第三项的系数为 18 （3 分）某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前 5 个月的微信推广 费用 x 与利润额 y（单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 p 70 经计算，月微信推广费用 x 与月利润额 y 满足线性回归方程，则 p 的值 为 19 （3 分）已知
6、函数 f（x）Asin（x+） ，xR（其中 A0，0，0）的图 象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为 M（， 2） 则 f（x）的解析式为 20 （3 分）某中学连续 14 年开展“走进新农村”社会实践活动，让同学们开阔视野，学以 致用，展开书本以外的思考，进行课堂之外的磨练今年该中学有四个班级到三个活动 基地，每个活动基地至少分配 1 个班级，则 A、B 两个班级被分到不同活动基地的情况有 种 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 0 分分.共共 40 分）分） 21已知函数 f（x）log2 （1）判断 f（x）奇偶性并证明你的
7、结论； （2）解方程 f（x）1 22 已 知 锐 角 ABC 的 三 个 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 （1）求角 C； （2）若，求 b2a 的取值范围 23某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过已知 6 道 备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成， 2 道题不能完成； 应聘者乙每题正确完成的概率 第 4 页（共 21 页） 都是，且每题正确完成与否互不影响 （）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （）请
8、分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 24已知 f（x）e x（e 为自然对数的底数） ，g（x）ax（aR） （）当 a1 时，求函数 h（x）f（x）+g（x）的极小值； （）当 t0 时，关于 t 的方程 f（t1）+ln（t+1）eg（t）有且只有一个实数解， 求实数 a 的取值范围 请考生请考生在在 25、26 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做如果多做.则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. 25选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin22acos（a0） ，过点
9、 P（2，4）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点 （）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （）若|PA|PB|AB|2，求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 26已知函数 f（x）|2x+b|+|2xb| （I）若 b1解不等式 f（x）4 （）若不等式 f（a）|b+1|对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题
10、解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 45 分）分） 1 （3 分）设集合 A1，2，3，Bx|3x24mx+10若 AB1则 m（ ） A1 B C D一 1 【分析】由集合间的运算及元素与集合的关系可得：1B，所以 34m+10，即 m1， 得解 【解答】解：由集合 A1，2，3，Bx|3x24mx+10若 AB1， 则 1B， 所以 34m+10， 即 m1， 故选：A 【点评】本题考查了集合的运算及元素与集合的关系，属基础题 2 （3 分）已知函数 yf（x21）的定义域为0，3，则函数 yf（x）的定义域为（ ） A2，11，2 B1，
11、2 C0，3 D 1，8 【分析】根据 yf（x21）的定义域可知 0x3，从而可以求出 x21 的范围，即得 出 yf（x）的定义域 【解答】解：yf（x21）的定义域为0，3； 0x3； 1x218； yf（x）的定义域为1，8 故选：D 【点评】考查函数定义域的定义及求法，已知 fg（x）的定义域求 f（x）的定义域的方 法，以及不等式的性质 3 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中角 与角 均以 Ox 为始边它们的终边关于 y 轴对 第 6 页（共 21 页） 称若角 是第三象限角，且，则 cos（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数的定义和对称性的应用求出结果 【解答】解
12、：角 是第三象限角，且， cos， 由于它们的终边关于 y 轴对称所以角 和角（）对应的正弦值相等 则 sin（， 所以利用三角函数的定义，cos（）cos 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，诱导公式的应用，主要考察学 生的运算能力和转换能力 4 （3 分）已知对任意的 xR，2x2+（a1）x+0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （1，3） C （3，+） D （3，1） 【分析】对任意的 xR，2x2+（a1）x+0 恒成立，则（a1）2420，解 得即可 【解答】解：对任意的 xR，2x2+（a1）x+0 恒成立， （a1）
13、2420， 解得1a3， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的性质和函数恒成立的问题，属于基础题 5 （3 分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（1，32） 从中随机取 一件其长度误差落在区间（4，7）内的概率为 （附：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（+）68.26%，P （2+2）95.44%） （ ） A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 【分析】根据正态分布的对称性质可得：P（47）P（57）P（2 第 7 页（共 21 页） 4） 【解答】解：某批零件的长度误差 （单位：毫米）服从正态分布 N（1，32） P（24）P（13
14、1+3）0.6826，P（57）P（123 1+23）0.9544， 从中随机取一件其长度误差落在区间（4，7）内的概率 P（47）P（5 7）P（24）（0.95440.6826）0.1359 故选：B 【点评】本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （3 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x2）f（x+2） ，且当 x（2，0）时，f （x）3x1，则 f（9）（ ） A2 B2 C D 【分析】可根据 f（x2）f（x+2）得出 f（x）f（x+4） ，即得出 f（x）的周期为 4， 再根据 f （x） 是奇函数， 且 x （2， 0） 时， f
15、 （x） 3x1， 从而得出 f （9） 【解答】解：f（x2）f（x+2） ； f（x）f（x+4） ； f（x）的周期为 4； 又 f（x）是 R 上的奇函数，当 x（2，0）时，f（x）3x1； f（9）f（1+24）f（1）f（1） 故选：D 【点评】考查奇函数、周期函数的定义，以及已知函数求值的方法 7 （3 分）函数 f（x）tan（2x）的单调递增区间是（ ） A，+（kZ） B （，+） （kZ） C （k+，k+） （kZ） Dk，k+（kZ） 【分析】由正切函数的单调性的性质即可得到结论 第 8 页（共 21 页） 【解答】解
16、：由2x， 即x+， （kZ） ， 故函数的单调性增区间为（，+） （kZ） ， 故选：B 【点评】本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本 题的关键 8 （3 分）函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线斜率为（ ） A0 B1 C1 D 【分析】先求函数 f（x）excosx 的导数，因为函数图象在点（0，f（0） ）处的切线的斜 率为函数在 x0 处的导数，就可求出切线的斜率 【解答】解：f（x）excosxexsinx， f（0）e0（cos0sin0）1， 函数图象在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为 1 故选：C 【点评】本题考查了导
17、数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系， 属于综合题 9 （3 分）已知函数，将其图象向右平移 （0）个单位长度后得 到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）为偶函数，则 的最小值为（ ） A B C D 【分析】利用三角函数的奇偶性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，即可求得 的最小值 【解答】解：函数 f（x）sin（2x+）sin2（x+）， 将其图象向右平 （0） 个单位后得到的函数 g （x） sin2 （x+） sin （2x+ 2）为偶函数， 可得：2k+，kZ，即：k，kZ， 由于：0， 第 9 页（共 21 页） 故 的最小值为， 故选：B 【点评】本题
18、主要考查三角函数的奇偶性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属 于基础题 10 （3 分）已知函数 f（x），则（ ） A B C D 【分析】先根据条件可化为（x+1）2dx+dx，再根据定积 分以及定积分的几何意义，求出即可 【解答】解：（x+1）2dx+dx， （x+1）2dx（x+1）3， dx 表示以原点为圆心以 1 为为半径的圆的面积的四分之一， 故dx， （x+1）2dx+dx， 故选：B 【点评】本题主要考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于基础题 11 （3 分）若 f（x）sin（2x+）+b，对任意实数 x 都有 f（x+）f（x） ，f（） 1，则实数 b 的
19、值为（ ） A2 或 0 B0 或 1 C1 D2 【分析】由 f（x+）f（x）可得，函数 f（x）的图象关于直线 x对称，再分 直线 x经过函数图象的最高点、最低点两种情况，分别求得 值，可得函数的解析 式，再由 f（）1，求得实数 b 的值 【解答】解：由 f（x+）f（x） ，可得函数 f（x）的图象关于直线 x对称， 2+k+，kz 第 10 页（共 21 页） 当直线 x经过函数图象的最高点时，可得 ；当直线 x经过函数图象的 最低点时，可得 ， f（x）sin（2x+）+b，或 f（x）sin（2x）+b 若 f（x）sin（2x+）+b，则由 f（）1sin+b1+b，b0 若
20、 f（x）sin（2x）+b，则由 f（）1sin+b1+b，b2 综上可得，b0，或 b2， 故选：A 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，体现了分类讨论 的数学思想，属于基础题 12 （3 分）已知，则（ ） A B C D 【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值 【解答】解：， ， 故选：B 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题 13 （3 分）设函数 f（x）ex+2x4，g（x）lnx+2x25，若实数 a，b 分别是 f（x） ，g （x）的零点，则（ ） Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（
21、a） C0g（a）f（b） Df（b）g（a）0 【分析】根据函数的解析式判断单调性，运用 f（1）e20，g（1）0+250， 得出 a1，b1，再运用单调性得出 g（a）g（1）0，f（b）f（1）0，即可选 第 11 页（共 21 页） 择答案 【解答】解：函数 f（x）ex+2x4，g（x）lnx+2x25， f（x）与 g（x）在各自的定义域上为增函数， f（1）e20，g（1）0+250， 若实数 a，b 分别是 f（x） ，g（x）的零点， a1，b1， g（a）g（1）0，f（b）f（1）0， 故选：A 【点评】本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，
22、再结合单调性求 解即可 14 （3 分）已知函数与 g（x）log2（x+a）的图象上存在关于 y 轴 对称的点，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】若函数与 g（x）log2（x+a）的图象上存在关于 y 轴对 称的点，则函数与 g（x）log2（x+a）的图象有交点，进而得到答 案 第 12 页（共 21 页） 【解答】解：若函数与 g（x）log2（x+a）的图象上存在关于 y 轴对称的点， 则函数与 g（x）log2（x+a）的图象有交点， 由当 x0 时，y，若 g（x）log2（x+a）的图象过（0，）则 a， 则 a 故选：B 【点评】本题考查的知识点是指数函数和
23、对数函数的图象和性质，函数图象的对称变换， 难度中档 15 （3 分）已知函数 f（x）lnx+（a1）x+22a（a0） 若不等式 f（x）0 的解集中 整数的个数为 3，则 a 的取值范围是（ ） A （1ln3，0 B （1ln3，2ln2 C （0，1ln2 D （1ln3，1ln2 【分析】本题关键 1：将不等式 f（x）0 转化成 lnx（1a） （x2） ，设 g（x）lnx， （x0） ，h（x）（1a） （x2） （a0） ，这样可以看作两个简单函数大小的比较 g （x）h（x） 关键 2 画出 g（x）和 h（x）的图象，利用数形结合的思想，直观得出 g（3）h
24、（3） ， g（4）h（4）能够满足题目的条件，最后就是解不等式 【解答】解：函数 f（x）lnx+（a1）x+22a（a0） 不等式 f（x）0 的解集中 整数的个数为 3 即 lnx+（a1）x+22a0（a0） 即 lnx（1a） （x2） （a0）的解集中整数的 个数为 3 设 g（x）lnx， （x0） ，h（x）（1a） （x2） （a0） ， lnx（1a） （x2） （a0）g（x）h（x）的解集中整数的个数为 3 由题可知 1a0，即 a1，所以在坐标系中做出 g（x）和 h（x）的图象，如图所示 g（x）过定点（1，0） ，h（x） 过定点（2，0） 要满足 g（3）h（3
25、） g（4）h（4） 即 ln3（1a） （32） ln4（1a） （42） 第 13 页（共 21 页） 由解得 1ln3a1ln2 而又 0a1 0a1ln2 故选：C 【点评】学生在平时的学习中要培养转化化归的数学思想，不等式与函数、方程的相互 转化是常用的一种数学思想，数学结合的数学思想同样也是解本题的关键本题属于偏 难题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分共分共 15 分）分） 16 （3 分）已知函数，则 f（log212） 3 【分析】容易看出 log2122，从而可以得出 【解答】解：log212log242； 故答案为：3 【点评】考查分段函数的定义，以
26、及对数的运算，对数函数的单调性，已知函数求值的 方法 17 （3 分）的展开式中第三项的系数为 6 【分析】利用通项即求解 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：的展开式中第三项，通项公式 可得 T3 第三项的系数为6 故答案为：6 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性 质，属基础题 18 （3 分）某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前 5 个月的微信推广 费用 x 与利润额 y（单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 p 70 经计算，月微信推广费用 x 与月利润额 y 满
27、足线性回归方程，则 p 的值为 50 【分析】求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得 p 值 【解答】解：， 样本点的中心的坐标为（5，40+） ， 代入，得，解得 p50 故答案为：50 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 19 （3 分）已知函数 f（x）Asin（x+） ，xR（其中 A0，0，0）的图 象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为 M（， 2） 则 f（x）的解析式为 f（x）2sin（2x+） 【分析】由图象最低点得出 A 的值，由图象与 x 轴的交点中相邻两个交点之间的距离求 出周期 T
28、，得出 ，再根据图象过点 M 求出 的值即可 【解答】解：由题意得 A2，周期 T2，得 2， 此时 f（x）2sin（2x+） ， 第 15 页（共 21 页） 将 M（，2）代入 f（x）得22sin（+） ， 即 sin（+）1，0， 解得 ，所以 f（x）2sin（2x+） 故答案为：f（x）2sin（2x+） 【点评】本题主要考查了由三角函数的图象与性质求解析式的应用问题，是基础题目 20 （3 分）某中学连续 14 年开展“走进新农村”社会实践活动，让同学们开阔视野，学以 致用，展开书本以外的思考，进行课堂之外的磨练今年该中学有四个班级到三个活动 基地，每个活动基地至少分配 1 个
29、班级，则 A、B 两个班级被分到不同活动基地的情况有 30 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：将四个班级分成 3 组，要求 A、B 两个班级不 分到同一组，将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，由分步计数原理计算可得 答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 将四个班级分成 3 组，要求 A、B 两个班级不分到同一组，有 C4215 种分组方法； 将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，有 A336 种情况， 则有 5630 种不同的情况； 故答案为：30 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 三、解答题（每小三、解答题（每小题题
30、0 分分.共共 40 分）分） 21已知函数 f（x）log2 （1）判断 f（x）奇偶性并证明你的结论； （2）解方程 f（x）1 【分析】 （1）根据题意，先求出函数的定义域，再分析 f（x）与 f（x）的关系，结合 奇偶性的定义分析可得结论； （2）根据题意，f（x）1，求出 x 的取值范 围，结合函数的定义域分析可得答案 【解答】解： （1）根据题意，f（x）为奇函数； 第 16 页（共 21 页） 证明：，所以 f（x）定义为（1，1） ，关于原点对称； 任取 x（1，1） ， 则 则有 f（x）f（x） ，f（x）为奇函数； （2）由（1）知1x1， f（x）1， ， 即， ， 又
31、由1x1，则有1x， 综上，不等式解集为 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析 函数的定义域 22 已 知 锐 角 ABC 的 三 个 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 （1）求角 C； （2）若，求 b2a 的取值范围 【分析】 （1）由余弦定理，得 a2+b2c22abcosC，从而， 进而，由此能求出 C （2）由正弦定理，得，从而，进 而，由此能求出 b2a 的取值范围 【解答】解： （1）由余弦定理，可得 a2+b2c22abcosC， ， ， 第 17 页（共 21 页） ， 又， （2）由正弦定
32、理， ， ABC 是锐角三角形， 得， ， b2a 的取值范围是（3，0） 【点评】本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的代数式的取值范围的求法，考 查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求 解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 23某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过已知 6 道 备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成， 2 道题不能完成； 应聘者乙每题正确完成的概率 都是，且每题正确完成与否互不影响 （）分别求甲、乙两人正
33、确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 【分析】 （）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分 布列，并计算其数学期望； （）确定 DD，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大 【解答】解： （）设甲正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 1，2，3（1 分） P （ 1 ） ； P （ 2 ） ； P （ 3 ） 第 18 页（共 21 页） ； （3 分） 考生甲正确完成题数 的分布列为 1 2 3 P
34、 E1+2+32（4 分） 设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 0，1，2，3（5 分） P（0）；P（1），P（2） ，P（3）（7 分） 考生乙正确完成题数 的分布列为： 0 1 2 3 P E0+1+2+32（8 分） （）因为 D，（10 分） Dnpq（12 分） 所以 DD 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较 稳定；从至少完成 2 道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大（13 分） 【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查概率的计算，确定概率是关键 24已知 f（x）e x（e 为自然对数的底数） ，g（x）ax（aR）
35、（）当 a1 时，求函数 h（x）f（x）+g（x）的极小值； （）当 t0 时，关于 t 的方程 f（t1）+ln（t+1）eg（t）有且只有一个实数解， 求实数 a 的取值范围 【分析】 （）代入 a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值即可； （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的解的个 数确定 a 的范围即可 【解答】解： （）当 a1 时，h（x）f（x）+g（x）e x+x， 第 19 页（共 21 页） h（x）e x+1，令 h（x）0，解得：x0， x，h（x） ，h（x）的变化如下： x （，0） 0 （0，+
36、） h（x） 0 + h（x） 递减 极小值 递增 h（x）极小值h（0）1； （）设 （t）f（t1）+ln（t+1）eg（t）et+1at+ln（t+1）e， 令 t+1x（x1） ，F（x）exax+lnxe+a，x1， F（x）exa+，设 t（x）F（x）exa+，t（x）ex， 由 x1 得，x21，01，exe， t（x）ex0，t（x）在（1，+）单调递增， 即 F（x）在（1，+）单调递增，F（1）e+1a， 当 e+1a0，即 ae+1 时，x（1，+）时，F（x）F（1）0，F（x）在 （1，+）单调递增， 又 F（1）0，故当 x1 时，关于 x 的方程 e
37、xax+lnxe+a0 有且只有一个实数解， 当 e+1a0，即 ae+1 时， F（1）0，F（lna）aa+aa0，又 lnaln（e+1）1， 故x0（1，lna） ，F（x0）0，当 x（1，x0）时，F（x）0，F（x）单调递减， 又 F（1）0， 故当 x（1，x0时，F（x）0， 在1，x0）内，关于 x 的方程 exax+lnxe+a0 有一个实数解 x1， 又 x（x0，+）时，F（x）0，F（x）单调递增， 且 F（a）ea+lnaa2+aeeaa2+1， 令 k（x）exx2+1（x1） ， s（x）k（x）ex2x，s（x）ex2e20， 故 k（x）在（1，+）单调递
38、增，又 k（1）0， 故 k（x）在（1，+）单调递增，故 k（a）k（1）0，故 F（a）0， 第 20 页（共 21 页） 又 ax0，由零点存在定理可知，x1（x0，a） ，F（x1）0， 故在（x0，a）内，关于 x 的方程 exax+lnxe+a0 有一个实数解 x1， 此时方程有两个解 综上，ae+1 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思 想，转化思想，是一道综合题 请考生在请考生在 25、26 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做如果多做.则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. 25选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标
39、系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin22acos（a0） ，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点 （）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （）若|PA|PB|AB|2，求 a 的值 【分析】 （） 利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐 标方程，利用消去参数 t 即可得到直线 l 的直角坐标方程； （） 将直线 L 的参数方程， 代入曲线 C 的方程， 利用参数的几何意义即可得出|PA|PB|， 从而建立关于 a 的方程，
40、求解即可 【解答】解： （I）由 sin22acos（a0）得 2sin22acos（a0） 曲线 C 的直角坐标方程为 y22ax（a0）（2 分） 直线 l 的普通方程为 yx2（4 分） （II）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y22ax 中， 得 t22（4+a）t+8（4+a）0 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 则有 t1+t22（4+a） ，t1t28（4+a）（6 分） |PA| |PB|AB|2 |t1t2|（t1t2）2，即（t1+t2）25t1t2（8 分） 2（4+a）240（4+a） 化简得，a2+3a40 第 21 页（共 21 页）
41、 解之得：a1 或 a4（舍去） a 的值为 1（10 分） 【点评】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线 L 的参数方程中的参 数的几何意义是解题的关键 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 26已知函数 f（x）|2x+b|+|2xb| （I）若 b1解不等式 f（x）4 （）若不等式 f（a）|b+1|对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围 【分析】 （）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式 f（x）4 的解集； （）利用绝对值不等式求出 f（a）的最小值，再解对应的不等式 【解答】解： （）函数 f（x）|2x+b|+|2xb|， b1 时，不等式 f（x）4 为|2x+b|+|2xb|4， 它等价于或或， 解得 x1 或 x1 或 x； 不等式 f（x）4 的解集为（，1）（1，+） （）f（a）|2a+b|+|2ab| |2a+b|+|b2a|（2a+b）+（b2a）|2b|， 当且仅当（2a+b） （b2a）0 时 f（a）取得最小值为|2b|； 令|2b|b+1|，得（2b）2（b+1）2， 解得 b或 b1， b 的取值范围是（，）（1，+） 【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题
