1、绝密启用前绝密启用前 2020 年广西南宁市中考数学年广西南宁市中考数学一一模试卷模试卷（04 月月） 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 12019 的相反数是（ ） A B C|2019| D2019 2如图是由 4 个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ） A B C D 3.举世瞩目的港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通营运， 它是迄今为止世界上最长的跨海
2、大桥， 全长约 55000 米55000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A5.510 3 B5510 3 C0.5510 5 D5.510 4 4如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟） 之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A张大爷去时所用的时间少于回家的时间 B张大爷在公园锻炼了 40 分钟 C张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路 D张大爷去时速度比回家时的速度慢 5下列事件为必然事件的是（ ） A五边形的外角和是 360 B打开电视机，它正在播广告 C明天太阳从西方升起 D抛掷一枚硬币，一定正面朝上 6下列运算中，正确的是（ ） A
3、3a+2b=5ab B2a3+3a2=5a5 C3a2b3ba2=0 D5a24a2=1 7不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 8若抛物线 y=x2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式 为（ ） Ay=（x+3）2+2 By=（x3）2+2 Cy=（x3）22 Dy=（x+3） 2 2 9 若一个圆锥的底面圆的半径为 1， 母线长为 3， 则该圆锥侧面展开图的圆心角是 （ ） A90 B120 C150 D180 10如图，O 的直径 AB=20cm，CD 是O 的弦，ABCD，垂足为 E，OE：EB=3：2， 则 CD 的长是（ ） A10cm
4、B14cm C15cm D16cm 11 如图， OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形， 相似比为 1： 2， OCD=90， CO=CD若 B（1，0） ，则点 C 的坐标为（ ） A （1，2） B （1，1） C （，） D （2，1） 12如图，RtABC 的边 BC 在 x 轴正半轴上，点 D 为 AC 的中点，DB 的延长线交 y 轴 负半轴于点 E， 反比例函数 y= （x0） 的图象经过点 A， 若 SBEC=6， 则 k 的值为 （ ） A6 B8 C10 D12 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分
5、）分） 13在 2，1，4，1，0 这五个数中，最小的数是 14要使分式有意义，则字母 x 的取值范围是 15分解因式：x29= 16 如图， 一个含有 30角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上， 若1=20， 则2= 17如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 AB 的高度站在教学楼的 C 处 测得旗杆底端 B 的俯角为 45，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30若旗杆与教学楼的距离 为 9m，则旗杆 AB 的高度是 m（结果保留根号） 18如图，按此规律，第 行最后一个数是 2017 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19计算： （2
6、020）0+|2|4ocs30+（） 2 20先化简，再求值：（1+） ，其中 x=2 21如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABC 的顶点均在格 点上建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（4，1） ，点 B 的坐标为（1，1） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 （2）将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后得到A2B2C2，试在图中画出图形A2B2C2，并 计算点 C 旋转到点 C2所经过的路径长 （结果保留 ） 22 2019 年南宁市教育局组织全市中小学时候参加安全知识网络竞赛， 在安全知识竞赛 结束后，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于 50
7、分为了了解本次大赛的成绩分布 情况，某校随机抽取了其中 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分为 100 分）作为样 本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题： 成绩（分） 频数 频数 50x60 10 b 60x70 20 0.10 70x80 30 0.15 80x90 a 0.30 90x100 80 0.40 （1）频数分布表中 a= ，b= ；本次比赛成绩的中位数会落在 分数 段； （2）请补全频数分布直方图； （3）该校安全知识竞赛成绩满分共有 4 人，其中男生 2 名，女生 2 名，为了激励学生 增强安全意识， 现需要从这 4 人中随机抽取
8、2 人介绍学习经验， 请用“列表法”或“画树状 图”，求恰好选到一男一女的概率 23如图，已知 RtABC 中，ACB=90，以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，E 是 AC 上 一点，且 DE=CE，连接 OE （1）请判断 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：E 为 AC 的中点 24南宁盛产各种特色食品，其中芒果干与桂圆干是大家非常喜爱的两种特产，某旅行 经销店欲购进一批芒果干与桂圆干，已知购买 1 袋芒果干和 1 袋桂圆干共需 75 元，3 袋芒果干和 2 袋桂圆干共需 205 元 （1）求芒果干与桂圆干的进货单价； （2）若芒果干与桂圆干的售价如表：该旅游经销
9、店打算用不超过 2700 元的货款购进芒 果干与桂圆干共 100 袋，如何进货能够使两种特产全部售完后获得最大利润，最大利润 是多少？（不考虑其他因素） 商品 售价（元/袋） 芒果干 65 桂圆干 28 25已知正方形 ABCD，P 为直线 CD 上的一点，以 PC 为边作正方形 PCNM，使点 N 在 直线 BC 上，连接 MB、MD （1）如图 1，若点 P 在线段 DC 的延长线上，求证：MB=MD； （2）如图 2，若点 P 在线段 DC 上，当 P 为 DC 的中点时，判断PMD 的形状，并说明 理由； （3）如图 3，若点 P 在线段 DC 上，连接 BD，当 MP 平分DMB 时
10、，求DMB 的度数 26抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B（1，0） ，交 y 轴于点 C （1）求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴； （2）如图 a，点 P 是抛物线上第二象限内的一动点，若以 AP，AO 为邻边的平行四边形 第四个顶点恰好落在抛物线上，求出此时点 P 的坐标； （3）如图 b，点 D 是抛物线上第二象限内的一动点，过点 O，D 的直线 y=kx 交 AC 于点 E，若 SCDE：SCEO=2：3，求 k 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 3
11、6 分）分） 12019 的相反数是（ ） A B C|2019| D2019 【解答】解：2019 的相反数是2019， 故选：D 2如图是由 4 个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ） A B C D 【分析】主视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 1，2 【解答】解：如图所示：它的主视图是： 故选：B 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键 3举世瞩目的港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海 大桥，全长约 55000 米55000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A5.510 3 B5510
12、3 C0.5510 5 D5.510 4 【分析】科学记数法的表示形式为a10 n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定n的值时， 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对 值大于 10 时，n是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n是负数 【解答】解：55000 这个数用科学记数法可表示为 5.510 4， 故选：D 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10 n的形式，其中 1 |a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 4如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟） 之间
13、的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A张大爷去时所用的时间少于回家的时间 B张大爷在公园锻炼了 40 分钟 C张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路 D张大爷去时速度比回家时的速度慢 【考点】E6：函数的图象 【分析】根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多 少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路， 回家时是否走下坡路 【解答】解：如图， A、张大爷去时所用的时间为 15 分钟，回家所用的时间为 5 分钟，故选项错误； B、张大爷在公园锻炼了 4015=25 分钟，故选项错误； C、据 A 张大爷去时走下坡路，回家时走上
14、坡路，故选项错误 D、 张大爷去时用了 15 分钟， 回家时候用了 5 分钟， 因此去时的速度比回家时的速度慢， 故选项正确 故选 D 5下列事件为必然事件的是（ ） A五边形的外角和是 360 B打开电视机，它正在播广告 C明天太阳从西方升起 D抛掷一枚硬币，一定正面朝上 【考点】X1：随机事件 【分析】分别利用必然事件以及不可能事件、随机事件的定义分析得出答案 【解答】解：A、五边形的外角和是 360，是必然事件，符合题意； B、打开电视机，它正在播广告，是随机事件，不合题意； C、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不合题意； D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，不合题意； 故选：
15、A 6下列运算中，正确的是（ ） A3a+2b=5ab B2a3+3a2=5a5 C3a2b3ba2=0 D5a24a2=1 【考点】35：合并同类项 【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即 系数相加作为系数，字母和字母的指数不变计算进行判断 【解答】解：A、3a 和 2b 不是同类项，不能合并，A 错误； B、2a3和 3a2不是同类项，不能合并，B 错误； C、3a2b3ba2=0，C 正确； D、5a24a2=a2，D 错误， 故选：C 7不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据在数轴上
16、表示不等式解集的方法进行解答即可 【解答】解：原不等式组的解集为 1x2，1 处是空心圆点且折线向右；2 处是实心圆 点且折线向左， 故选：B 8若抛物线 y=x2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式 为（ ） Ay=（x+3）2+2 By=（x3）2+2 Cy=（x3）22 Dy=（x+3） 2 2 【考点】H6：二次函数图象与几何变换 【分析】根据平移规律，可得答案 【解答】解：由题意，得 y=（x3）22， 故选：C 9 若一个圆锥的底面圆的半径为 1， 母线长为 3， 则该圆锥侧面展开图的圆心角是 （ ） A90 B120 C150 D180 【考点】MP
17、：圆锥的计算 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长， 然后根据弧长公式即可求解 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：21=2（cm） ， 设圆心角的度数是 n 度则=2， 解得：n=120 故选 B 10如图，O 的直径 AB=20cm，CD 是O 的弦，ABCD，垂足为 E，OE：EB=3：2， 则 CD 的长是（ ） A10cm B14cm C15cm D16cm 【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理 【分析】根据垂径定理与勾股定理即可求出答案 【解答】解：连接 OC， 设 OE=3x，EB=2x， OB=OC=5x， AB=20 10x=20 x=
18、2， 由勾股定理可知：CE=4x=8， CD=2CE=16 故选（D） 11 如图， OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形， 相似比为 1： 2， OCD=90， CO=CD若 B（1，0） ，则点 C 的坐标为（ ） A （1，2） B （1，1） C （，） D （2，1） 【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质 【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出 A 点坐标，再利用位似是特殊的相似，若 两个图形ABC 和ABC以原点为位似中心，相似比是 k，ABC 上一点的坐标是（x， y） ，则在ABC中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（kx，ky） ，进而求出即可 【解
19、答】解：OAB=OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD 是 位似图形，点 B 的坐标为（1，0） ， BO=1，则 AO=AB=， A（，） ， 等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：2， 点 C 的坐标为： （1，1） 故选：B 12如图，RtABC 的边 BC 在 x 轴正半轴上，点 D 为 AC 的中点，DB 的延长线交 y 轴 负半轴于点 E， 反比例函数 y= （x0） 的图象经过点 A， 若 SBEC=6， 则 k 的值为 （ ） A6 B8 C10 D12 【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义
20、【分析】先根据题意证明BOECBA，根据相似比及面积公式得出 BOAB 的值即为 |k|的值，再由函数所在的象限确定 k 的值 【解答】解：BD 为 RtABC 的斜边 AC 上的中线， BD=DC，DBC=ACB， 又DBC=EBO， EBO=ACB， 又BOE=CBA=90， BOECBA， =，即 BCOE=BOAB 又SBEC=6， BCEO=6， 即 BCOE=12=BOAB=|k| 又反比例函数图象在第一象限，k0 k 等于 12 故选 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13在 2，1，4，1，0 这五个数
21、中，最小的数是 4 【考点】18：有理数大小比较 【分析】先根据各数的符号找出其中的负数，再根据其绝对值的大小，找出其中最小的 数 【解答】解：正数大于负数和 0， 可排除 2、1 和 0， 又|4|1|， 41 最小的数是4 故答案为：4 14要使分式有意义，则字母 x 的取值范围是 x3 【考点】62：分式有意义的条件 【分析】根据分母不能为零，可得答案 【解答】解：由题意，得 x+30， 解得 x=3， 故答案为：x3 15分解因式：x29= （x+3） （x3） 【考点】54：因式分解运用公式法 【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式 【解答】解：x29=（x+
22、3） （x3） 故答案为： （x+3） （x3） 16 如图， 一个含有 30角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上， 若1=20， 则2= 110 【考点】JA：平行线的性质 【分析】将矩形各顶点标上字母，根据平行线的性质可得2=DEG=1+FEG，从而 可得出答案 【解答】解：如图，四边形 ABCD 是矩形， ADBC， 2=DEG=1+FEG=110 故答案为：110 17如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 AB 的高度站在教学楼的 C 处 测得旗杆底端 B 的俯角为 45，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30若旗杆与教学楼的距离 为 9m，则旗杆 AB 的高度是 3+9 m
23、（结果保留根号） 【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】根据在 RtACD 中，tanACD=，求出 AD 的值，再根据在 RtBCD 中，tan BCD=，求出 BD 的值，最后根据 AB=AD+BD，即可求出答案 【解答】解：在 RtACD 中， tanACD=， tan30=， =， AD=3m， 在 RtBCD 中， BCD=45， BD=CD=9m， AB=AD+BD=3+9（m） 故答案为：3+9 18如图，按此规律，第 673 行最后一个数是 2017 【考点】37：规律型：数字的变化类 【分析】每一行的最后一个数字分别是 1，4，7，10，易得第 n 行的最后一
24、个数字为 1+3（n1）=3n2，由此建立方程求得最后一个数是 2017 在哪一行 【解答】解：每一行的最后一个数分别是 1，4，7，10， 第 n 行的最后一个数字为 1+3（n1）=3n2， 3n2=2017 解得 n=673 因此第 673 行最后一个数是 2017 故答案为：673 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19计算： （2020）0+|2|4ocs30+（） 2 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂 【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的 性质分别化简，然后根据实数的运
25、算法则求得计算结果 【解答】解： （2017）0+|2|4ocs30+（） 2 =1+24+9 =122 20先化简，再求值：（1+） ，其中 x=2 【考点】6D：分式的化简求值 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式， 再将 x 代入求值即可得 （1+） 【解答】解：原式=（+） = = =， 当 x=2 时，原式= 21如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABC 的顶点均在格 点上建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（4，1） ，点 B 的坐标为（1，1） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 （2）将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后得
26、到A2B2C2，试在图中画出图形A2B2C2，并 计算点 C 旋转到点 C2所经过的路径长 （结果保留 ） 【考点】R8：作图旋转变换；MN：弧长的计算；P7：作图轴对称变换 【分析】 （1）根据轴对称的性质，找出点 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1、B1、C1的位置， 然后顺次连接即可； （2）分别找出点 A、B、C 绕点 O 逆时针旋转 90的对应点 A2、B2、C2的位置，然后顺 次连接即可，根据点 C 所经过的路线是半径为，圆心角是 90的扇形，然后根据弧 长公式进行计算即可求解 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）如图所示，A2B2C2即为所求； OC=
27、， 点 C 旋转到点 C2所经过的路径长为：l= 22 2019 年南宁市教育局组织全市中小学时候参加安全知识网络竞赛， 在安全知识竞赛 结束后，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于 50 分为了了解本次大赛的成绩分布 情况，某校随机抽取了其中 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分为 100 分）作为样 本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题： 成绩（分） 频数 频数 50x60 10 b 60x70 20 0.10 70x80 30 0.15 80x90 a 0.30 90x100 80 0.40 （1）频数分布表中 a= 60 ，b= 0.05 ；本
28、次比赛成绩的中位数会落在 80x90 分数段； （2）请补全频数分布直方图； （3）该校安全知识竞赛成绩满分共有 4 人，其中男生 2 名，女生 2 名，为了激励学生 增强安全意识， 现需要从这 4 人中随机抽取 2 人介绍学习经验， 请用“列表法”或“画树状 图”，求恰好选到一男一女的概率 【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图； W4：中位数 【分析】 （1）根据第二组的频数是 20，频率是 0.10，求得数据总数，再用数据总数乘以 第四组频率可得 a 的值，用第三组频数除以数据总数可得 b 的值；根据中位数的定义， 将这组数据按照从小到大的顺序
29、排列后， 处于中间位置的数据 （或中间两数据的平均数） 即为中位数； （2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概 率 【解答】解： （1）样本容量是：200.10=200， a=2000.30=60，b=10200=0.05； 因为一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100 个与第 101 个数据都落在 第四个分数段， 所以这次比赛成绩的中位数会落在 80x90 分数段； （2）补全频数分布直方图，如下： （3）画树状图如下： 所有等可能的情况有 12 种，其中一男一女有 8 种， 恰好选到
30、一男一女的概率= 故答案为 60，0.05；80x90 23如图，已知 RtABC 中，ACB=90，以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，E 是 AC 上 一点，且 DE=CE，连接 OE （1）请判断 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：E 为 AC 的中点 【考点】MB：直线与圆的位置关系；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形 的判定与性质 【分析】 （1）连接 OD，根据全等三角形的性质得到ODE=ACB=90，于是得到结论； （2） 根据全等三角形的性质得到DOE=COE=COD， 根据圆周角定理得到B= COD，等量代换得到COE=B，推出 OEAB
31、，根据平行线分线段成比例定理得到 ，于是得到结论 【解答】解： （1）DE 与O 相切， 理由：连接 OD， 在ODE 与OCE 中， ODEOCE， ODE=ACB=90， ODDE， DE 与O 相切； （2）证明：由（1）证得ODEOCE， DOE=COE=COD， B=COD， COE=B， OEAB， ， OC=OB， =1， CE=AE， E 为 AC 的中点 24南宁盛产各种特色食品，其中芒果干与桂圆干是大家非常喜爱的两种特产，某旅行 经销店欲购进一批芒果干与桂圆干，已知购买 1 袋芒果干和 1 袋桂圆干共需 75 元，3 袋芒果干和 2 袋桂圆干共需 205 元 （1）求芒果干
32、与桂圆干的进货单价； （2）若芒果干与桂圆干的售价如表：该旅游经销店打算用不超过 2700 元的货款购进芒 果干与桂圆干共 100 袋，如何进货能够使两种特产全部售完后获得最大利润，最大利润 是多少？（不考虑其他因素） 商品 售价（元/袋） 芒果干 65 桂圆干 28 【考点】FH：一次函数的应用 【分析】 （1）设芒果干的进货单价为 x 元，桂圆干的进货单价为 y 元，根据购买 1 袋芒 果干和 1 袋桂圆干共需 75 元， 3 袋芒果干和 2 袋桂圆干共需 205 元， 建立方程组求出其 解即可； （2）设该旅游经销店购进芒果干 m 袋，获得的利润为 W 元，根据进价不超过 2700 元
33、建立不等式组求出 m 的取值范围；再根据利润=m 袋芒果干的利润+袋桂圆干的利润建 立 W 与 m 之间的关系式，由一次函数的性质求出其解即可 【解答】解： （1）设芒果干的进货单价为 x 元，桂圆干的进货单价为 y 元， 由题意，得， 解得： 答：芒果干的进货单价为 55 元，桂圆干的进货单价为 20 元； （2）设该旅游经销店购进芒果干 m 袋，获得的利润为 W 元， 由题意，得 55m+202700， 解得：m20 W=（6555）m+（2820）=2m+800 k=20， W 随 m 的增大而增大， 当 m=20 时，W最大=220+800=840，此时 100m=80 答：购进芒果干
34、 20 袋，桂圆干 80 袋，全部售完后获得最大利润，最大利润是 840 元 25已知正方形 ABCD，P 为直线 CD 上的一点，以 PC 为边作正方形 PCNM，使点 N 在 直线 BC 上，连接 MB、MD （1）如图 1，若点 P 在线段 DC 的延长线上，求证：MB=MD； （2）如图 2，若点 P 在线段 DC 上，当 P 为 DC 的中点时，判断PMD 的形状，并说明 理由； （3）如图 3，若点 P 在线段 DC 上，连接 BD，当 MP 平分DMB 时，求DMB 的度数 【考点】LO：四边形综合题 【分析】 （1）根据正方形的性质证明BNMDPM，可得 MB=MD； （2）根
35、据小正方形的性质得：DPM=CPM=90，由中点结合得：PD=PM，所以PMD 是等腰直角三角形； （3）如图 3，作辅助线，构建等腰直角三角形 EFD，设 CD=a，PC=b，则 PD=ab，由 PMBC，得PMECBE，所以，代入可计算得：a=b，根据正方形对角线 平分直角得：CDB=45，得DEF 是等腰直角三角形，求 EF 和 CE 的长，得 EF=EC，根 据角平分线的逆定理得：BE 平分DBC，最后由平行线和已知的角平分线可得结论 【解答】证明： （1）如图 1，四边形 ABCD 和四边形 CPMN 是正方形， BC=DC，CN=CP，P=N=90， BC+CN=DC+PC，即 B
36、N=DP， BNMDPM， MB=MD； （2）PMD 是等腰直角三角形； 理由如下：如图 2， P 是 CD 的中点， PD=PC， 四边形 CPMN 是正方形， PM=PC，DPM=CPM=90， PD=PM， PMD 是等腰直角三角形； （3）如图 3，设 PC 与 BM 相交于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F， 设 CD=a，PC=b，则 PD=ab， MP 平分DME，MPDE， PE=PD=ab，CE=a（2a2b）=2ba， PMBC， PMECBE， ，即， a=b， CDB=45， EF=DEsin45=2（ab）=（bb）=2bb， CE=2ba=2bb， EF=
37、EC，EFBD，ECBC， BE 平分DBC， EBF=EBC=DBC=22.5， PMBC， PME=EBC=22.5， DMB=45 26抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B（1，0） ，交 y 轴于点 C （1）求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴； （2）如图 a，点 P 是抛物线上第二象限内的一动点，若以 AP，AO 为邻边的平行四边形 第四个顶点恰好落在抛物线上，求出此时点 P 的坐标； （3）如图 b，点 D 是抛物线上第二象限内的一动点，过点 O，D 的直线 y=kx 交 AC 于点 E，若 SCDE：SCEO=2：3，求 k 的值 【考点】HF：
38、二次函数综合题 【分析】 （1）把点 A、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解 方程组求得它们的值即可；利用抛物线对称轴方程解答求得抛物线的对称轴方程； （2）根据平行四边形的对边平行且相等的性质得到：PQAO，PQ=AO=3，由抛物线的 对称性质推知点 P 的横坐标， 然后根据二次函数图象上点的坐标特征求得点 P 的纵坐标 即可； （3）欲求 k 的值，只需推知点 D 的坐标即可；利用抛物线的解析式 y=x22x+3 中求得 C（0，3） 由待定系数法解得直线 AC 的解析式为：y=x+3，如图 b，过点 D 作 DQAB 于点 Q，交 AC 于点 F，则 DFOC，构
39、建相似三角形：DEFOEC，结合该相似三角 形的对应边成比例推知 DF=2设点 F（x，3x） ，点 D 的坐标为（x，x22x+3） ，利用 两点间的距离公式不难求得 x 的值，则易得点 D 的坐标 【解答】解： （1）把 A（3，0）和 B（1，0）代入 y=ax2+bx+3，得 ， 解得， 故抛物线的解析式是：y=x22x+3， 对称轴 x=1； （2）如图 a， 以 AP、AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点 Q 恰好在抛物线上， PQAO，PQ=AO=3 点 P、Q 都在抛物线上， P、Q 关于直线 x=1 对称， P 点的横坐标是 当 x=时，y=（）22（）+3=， 点 P 的坐
40、标是（，） ； （3）在抛物线 y=x22x+3 中，当 x=0 时，y=3，则 C（0，3） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0） ， 将 A（3，0） 、C（0，3）代入，得 ， 解得， 故直线 AC 的解析式为：y=x+3， 如图 b，过点 D 作 DQAB 于点 Q，交 AC 于点 F，则 DFOC SCDE：SCEO=2：3， DE：OE=2：3 DFOC， DEFOEC， = 又 DE：OE=2：3，OC=3， DF=2 设点 F（x，3x） ，点 D 的坐标为（x，x22x+3） ， DF=（x22x+3）（x+3）=x23x x23x=2， 解得 x1=1，x2=2， 当 x=1 时，y=4 当 x=2 时，y=3 即点 D 的坐标是（1，4）或（2，3） 又点 D 在直线 y=kx 上， k=4 或 k=
