1、 1 第 6 讲提高-尖子-目标教师版 复数的引入 （一）复数的诞生 1545 年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作伟大的艺术， 在书中提出了三次方根的求根公式同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是 10， 乘积是 40？ 在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积 有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在 从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程 2 10400xx的两个根， 这个方程的判别式小于零，故没有实数解 卡丹给出答案：515与515，但并不清楚这有什么意义 于是引发了一个重要
2、问题，1是什么？ 6.1 数系扩充 满分晋级 知识点睛 第 6 讲 让世界充满i 复数与推理证明 2 级 复数、推理与证明 复数与推理证明复数与推理证明 1 1 级级 让世界充满让世界充满i 复数与推理证明 3 级 数学归纳法 2 （二）复数与虚数 笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称1为“虚数 i” 莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于 存在与不存在之间” 欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什 么，它们是纯属虚幻” （三）复数的意义 引入1后，所有的二次方程都有根，由此
3、可以得到所有的n次方程都有根，且必有n个 根（重根重复计算） 一、复数的概念一、复数的概念 1虚数单位i： 2 i1i1 ，； 2复数：所有形如i()ab abR，的数就称为复数（complex number），复数通常用小写字母z表 示，即i()zab abR，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部 注意虚部是一个实数虚部是一个实数如34i的实部为3，虚部为4；34i的虚部为4 3复数的分类：izab（abR，） 若0b ，则z为实数（real number）； 若0b ，则z为虚数（imaginary number）；0a ，0b 时，z称为纯虚数 如34i是一个虚数，但不是一个纯虚数
4、；i是一个纯虚数 可以举例：若(1)(1)izmm，问z是实数、虚数、纯虚数时，m分别为多少？ z是实数1m；z是虚数1m；z是纯虚数1m 4 复数集： 全体复数所构成的集合， 也称复数系， 常用C表示， 即|iz zababCRR， 常见数集的关系为： * NNZQRC苘苘?数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通 的集合CR，等手写时有时习惯多加一道竖线加上区别 5复数相等与比较大小： 相等的复数：iiabcdac且bd； 比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小 注意：如果题目中出现 12 zz，则一定有 12 zz R，；如果出现0z ，则一定有zR 复数能比较大小的说法是错误的，
5、复数不能比较大小的说法也是错误的 两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数 例例： 2 1 (3)iznm， 2 (2 )(3)izmnm，若 12 zz，求mn，的取值范围 只有实数比较大小，故3m ， 2 232nmnn，解得1n 或3n 讲完这些知识点可以先讲例讲完这些知识点可以先讲例 1 6对所有的实系数一元二次方程 2 0axbxc(0)a ， 若 2 40bac ，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根 2 4 i 22 bacb x aa 互为共轭 复数，故实系数方程的虚根成对出现（讲完这个知识点再讲例讲完这个知识点再讲例 2） 考点 1：复数的概念 【例1】 复数的概念 经典精讲
6、 3 第 6 讲提高-尖子-目标教师版 xR，当x取何值时， 22 (2)(32)ixxxx是实数？虚数？纯虚数？ 已知两个复数 1 ()(4)izxyxy()xyR，和 2 520iz ， 当实数xy，取何值时， 1 z 和 2 z相等？ 【解析】 2 320xx时为实数1x或者2x ； 2 320xx时为虚数1x且2x ； 2 20xx且 2 320xx时为纯虚数2x 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： 5xy ，(4)20xy 解这个方程可得 8 3 x y 或 3 8 x y 例 2是解实系数的一元二次方程；第小题涉及到复系数的一元二次方程易知实系数 的一元二次方程与复系数
7、的一元二次方程都有韦达定理成立， 但实系数一元二次方程的判 别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确见易错门诊 解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得 到两个等式，解得结果这里先看一些最简单的情形，如例 2有实根存在的情形与易错 门诊已知一根的情形 【例2】 解一元二次方程 在复数集内解方程： 2 450xx； 2 10xx ； 42 230xx 若方程 2 2 i1ixmxxm 有实根，求出实数m的值，并求出此实根 【解析】 2 (2)1x，故2ix ，2ix ； 因为1430 ，所以原方程没有实根，只有两复根： 12 11313 i 2222 x
8、， 22 (3)(1)0xx，故 2 3x 或 2 1x ，故此方程的根有3x 与ix ； 方程有实根，xR，利用复数相等的定义有 2 22 1 211 2 xmx xxx xm ；而22mxm， 即2m 时，有实根1；2m 时，有实根1 尖子班学案尖子班学案 1 【拓 2】已知 2 i0xkx 有一个根是i，求另一个根及k的值 【解析】 因i是其根，代入原方程为 2 ii i0k ，由此得1ik ， 设 0 x是另一根，则由根与系数的关系得 0i ix ，从而得 0 1x 目标班学案目标班学案 1 【拓 3】解方程 4 10x 【解析】 将方程变形得： 422 2120xxx ，即 222
9、(1)( 2 )0xx， 因式分解得 22 (21)(21)0xxxx， 2 210xx 无实根，两个虚根为 22i 2 x ； 2 210xx 无实根，两个虚根为 22i 2 x ； 故原方程的解有四个，为 2(1i)2(1i)2( 1i)2( 1i) 2222 ， 4 我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一 元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题 2）；并且我们在 解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在 解决复数问题中经常遇到的 引入：解方程 2 3 i0xx，求x 【解析】 (3i)0
10、0x xx或3ix 关于x的方程 2 (2i)i 10xaxa 有实根，求实数a的取值范围 【解析】 误解：方程有实根， 22 (2i)4(1i)450aaa 解得 5 2 a或 5 2 a 分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程 2 0(0)axbxca根的情况，而该方程中 2ia 与1i a并非实数 正解：设 0 x是其实根，代入原方程变形为 2 000 21 ()i0xaxax ， 由复数相等的定义，得 2 00 0 210 0 xax xa ，解得1a 二、复数的几何意义二、复数的几何意义 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考： 实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应
11、 如1表示数轴上一个点，1表示数轴上另一个点，它们关于0对称， 也可以理解成1绕着原点O逆时针旋转180，得到1，如图 这相当于两次逆时针旋转90： 知识点睛 5 第 6 讲提高-尖子-目标教师版 1 ii1 ，故虚数i就是1绕原点逆时针旋转90，故i在如图所求的位置，它不在数轴 上，在与数轴垂直的直线上 由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面 用平面来理解复数是高斯在 1831 年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建 立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系 这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述， 这个内容我们会放在同
12、步讲解复 数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义 1复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴x轴的单位是1，y轴的单位是i实轴与虚轴的交点 叫做原点，原点(0, 0)对应复数0 复数izab 有序实数对()ab， 点()Z ab， 向量OZ 2复数的模： 设i()OZab abR，则向量OZ的长度叫做复数iab的模（或绝对值），记作|i|ab， 22 |i|abab 【挑战五分钟挑战五分钟】求下列复数的模 34i_；1i_； 13 i 22 _；26i_ 答案：5；2；1；2 2 考点 2：复数的几何意义 【例3】 复数的几
13、何意义 设(3)(21)izmm，若z对应的点在第四象限，求m的范围 设izabC，在复平面内，满足条件0a ，0b ，24z的复数z对应的点的集 合是什么图形？ 在复平面内，点A，点B所对应的复数分别为2i ，15i，那么AB的中点C对应的复 数为_ 【解析】 由题意知 30 210 m m ，解得 1 3 2 m 0a ，0b 表示第一象限的点，24z表示以原点O为圆心、 半径为2和4的两圆所夹的圆环，综合起来是如右图所示的阴影 部分（不包括边界） 经典精讲 42 y Ox 6 1 3i 2 ； 点A的平面直角坐标是( 2 1) ，点B的平面直角坐标是(15)，中点C的坐标是 1 3 2
14、，所以C所对应的复数为 1 3i 2 【点评】 学习复数加减法的几何意义之后， 111 ()( 2i15i)3i 222 CAB zzz 提高班学案提高班学案 1 【拓 1】设 22 (253)(22)iztttt，tR，则下列命题中一定正确的是（ ） Az的对应点Z在第一象限 Bz的对应点Z在第四象限 Cz不是纯虚数 Dz是虚数 【解析】 D； 22 22(1)10ttt 数系扩充的历史数系扩充的历史 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲 数系的扩充中有很多生动的例子与故事， 下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时 参考 （一）正整数 人类最早认识的是正整数中
15、国的周易中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在 中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法， 其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法 （除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的 60 进制（巴比伦人 曾经就用 60 进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的 象形文字中有 10 进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法 语中还在延续，在法语中 79 就是60109，80就是420，99用得上三则运算了， 是420109，心算不好的千万别学法语！） （二）0 的诞生 0 一开始是用空位表示的，后
16、来用点，再后来用句点 ，最后才成为 0，是从印度诞生 的，通过阿拉伯在 13 世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧 洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）0 的书写方法正好对应中文的 “零”（汉字中很早就有零，在孙子算经中有除百零伍便得之但汉字中的零原义 是加法，并不是真正的零） （三）负数 负数来源自减法运算，解出负数根欧洲在 16-17 世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯 卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）最开始的负 数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现负数比分数出现的 更晚 （四）分数 欧洲 15 世
17、纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前 770 年-前 476 年）就有了分 数运算的法则九章算术章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法， 实如法而一”，“其田同有，直相从之”其中田指分母，子指分子 分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了 （五）无理数 无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关毕达哥拉斯学派主张“万物皆 数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数但毕达 哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻 挡比如边长为1的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比 我们会在证
18、明题三大方法中用反证法证明这个结论 7 第 6 讲提高-尖子-目标教师版 无理数的被承认也经过了很长的时间， 毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无 理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来达芬奇（15 世纪，意大利）称为“没有 道理的数”、开普勒（17 世纪，德国）说“不可名状的数”在中国称无理数为算而不求其 本质有了无理数实数系就形成了 （六）复数系完备的数系的形成 复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之 间满足分配律，满足这些性质的称为数系 到复数系，数系就完备了想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质 三、复数的运算三、复数的运
19、算 复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必 深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可讲完运算可以接着做后面的练习 1复数的加法 定义：设 1 izab()abR， 2 izcd()cd R，定义 12 ()()izzacbd 复数的加法运算满足交换律、结合律 几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则 2复数的减法： 定义： 12 (i)(i)()()izzabcdacbd 几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则 3复数的乘法 定义： 12 (i) (i)()()izzabcdacbdbcad 复数的乘法符合多项式的运算，且满
20、足交换律、结合律和乘法对加法的分配律 4共轭复数： 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数 复数z的共轭复数用z表示，即当izab时，izabzz 共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方即 2 z zz “轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走 共轭即为按一定的规律相配的一对通俗点说就是孪生 有共轭双曲线的概念， 22 22 1 xy ab 与 22 22 1 yx ba 称为共轭双曲线，它们共渐近线 引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用
21、 2 z zz复数的除法就是上下同乘 分母的共轭复数 讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解 例：在下列命题中，正确命题的有_ 对任意复数z，有zz为纯虚数对任意复数z，有zz R z是虚数的一个充要条件是zz R；zR的一个充要条件是zz 答案：；错误，zz可以为0；错误，z为实数时，也有zzR 5复数的除法 22 i(i)(i) (i)(i) i ababcd abcd cdcd ， 知识点睛 8 222 11ii i(i)(i)| ababz zababababz ， 1 z 称为复数z（0z ）的倒数 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍
22、复数的三 角形式与棣莫佛定理，in与 k 的性质及与此相关的较复杂的复数的计算 复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来， 如1i表示模长为2，角度为45（称为幅角）的向量， 一个复数乘以1i即表示这个复数逆时针旋转45，模长再伸长到原来的2倍，如 (34i)(1i)17i ，如下图 这样(1 i)(1 i)2i就非常好理解了 这些内容我们会在春季同步时稍微展开， 可以在假期有同学发问时适当引导， 但不建议假这些内容我们会在春季同步时稍微展开， 可以在假期有同学发问时适当引导， 但不建议假 期时展开期时展开 【挑战十分钟挑战十分钟】计算下列各小题： (32i)2(
23、1i)(5i 1)； 2 (1 i)；(2i)(3i)；(34i)(43i)； 1i i ； 1i 1i ； 43i43i 43i43i ； 2 (1i)3(1i) 2i ； 2 13i 1i 【解析】 2i；2i；7i；247i；1i；i； 14 25 ； 2i 33i3i(3i)(2i)55i 1i 2i2i55 ； 2 13i22 3i13i 3i 1i2ii 考点 3：复数的运算 【铺垫】已知 2 (i)2ia，其中i是虚数单位，那么实数a 已知复数z满足 1 i 1 z z ，则1z等于_ 【解析】 1；注意a是实数，复数为纯虚数，则实部为0， 22 (i)1 2 i2iaaa ，则
24、 2 1a 且221aa ； 2； 1i 1i(1)i ii 1i zzzz ，故11i2z 【例4】 复数的运算 设复数 1 1iz ， 2 2izx()xR，若 12 z z为实数，则x等于 若复数 3i () 12i a a R为纯虚数，则实数a _ 经典精讲 9 第 6 讲提高-尖子-目标教师版 如果复数 2i 12i b z 的实部与虚部互为相反数，则3zzzz_ 【解析】 2； 复数为实数，虚部为0，而 1 2 1 i2i22iz zxxx，所以20x，2x 6； 3i(3i)(12i)(6)(32 )i 12i55 aaaa 为纯虚数，故606aa ； 4； 2i 12i b (
25、2i)(12i) (12i)(12i) b 224 i 55 bb ，又实部与虚部互为相反数，即 224 55 bb ， 解得 2 3 b ，故 2 (1i) 3 z ， 2 (1i) 3 z ， 2 222 33(1i)(1i)(1i)(1i) 3 333 zzzz 84 4 33 提高班学案提高班学案 2 【拓 1】若复数1iz ，求实数a b，使 2 2(2 )azbzaz（其中z为z的共轭复数） 【解析】 由1iz ，可知1iz ，代入 2 2(2 )azbzaz得： (1i)2 (1 i)ab 2 2(1i)a，即2(2 )iabab 2 2a44(2)ia 则 2 224 24(2
26、) aba aba ，解得 4 2 a b 或 2 1 a b 尖子班学案尖子班学案 2 【拓 2】已知 22 1 i1zxx， 2 2 ()izxa，对于任意xR，均有 12 zz成立，试求实数a的取值 范围 【解析】 12 zz， 4222 1()xxxa ， 22 (1 2 )(1)0a xa对xR恒成立 当120a， 即 1 2 a 时， 不等式恒成立； 当120a时， 2 120 1 1 24(12 )(1)0 a a aa 综上， 1 1 2 a ， 证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法 直接证明： 综合法：从已知条件和某些数学定义
27、、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论是 从原因推导到结果的思维方法； 分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被 证明的事实是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法 分析法是在一步步寻求结论成立的“充分条件”分析法在思考过程中用得比较多，综合法 在书写过程中用得比较多比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综 合法与分析法得到结果讲完直接证明可以先讲例题讲完直接证明可以先讲例题 5 及其拓展及其拓展 6.2 证明题三大方法 知识点睛 10 间接证明：常用的有反证法 反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运
28、用演绎推理，导出矛盾，说 明假设错误，从而肯定结论的真实性 常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单 事实、原命题中的已知条件矛盾等 反证法是由pq转向证明：qrt ，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从 而判定q为假，推出为真的方法 它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论非真即假 考虑使用反证法的情况有： 条件太少； 一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及 无限结论的命题等 反证法首先需要正确的进行反设 例：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是（ ） A假设三个内角都大
29、于60 B假设三个内角都不大于60 C假设三个内角至多有一个大于60 D假设三个内角至多有两个大于60 答案：A 反证法的小例子： 伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的 学说，据传说是在 1589 年，实际上是假的） 线面平行的判定定理和性质定理的证明 （判定定理：ababa ， 简单证明：如果a与不平行，则aA；ab，确定平面，则b，b， AA，于是Ab，从而abA，这与条件中ab矛盾 性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去） 证明质数有无限多个 （古希腊经典证明，欧几里得几何原本的命题 20，原文“预先给定几个
30、质数，那么有 比它们更多的质数”） 简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为 12n ppp， ， 则 12 1 n Np pp不是质数，故它一定有质因子，即存在某个 i p， i NpM， 即 12ii12i 1i 1 1()1 nn p ppp Mp Mp pppp ，这不可能 故假设错误，即质数有无穷多个 证明2是无理数 简单证明： 如果结论不成立， 即2是有理数， 则mnZ，mn，互素， 使得2 m n ， 故2mn， 两边平方得 22 2mn 从而2是m的因子， 从而4是 2 m的因子， 故2是 2 n 的因子，故mn，有公因子2，它与mn，互素矛盾 上面这些例子可以选讲，
31、讲完这些例子后，可以接着讲后面的例上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例 6 及拓展及拓展 考点 4：分析法与综合法 【例5】 分析法与综合法 已知abcR， ，0abc， 求证：0abbcac 经典精讲 11 第 6 讲提高-尖子-目标教师版 若0abc ，求证： 111 0 abc 若abc，求证：0a ，且2 c a ； 若abc，求证： 2 3 bac a 【解析】 由0abc得abc ； ()()()abbcaca bcbcbc bcbc 2 222 3 0 24 c bbccbc 111bcacab abcabc ， 由知0abbcac，当且仅当00 2 c cb
32、，即0abc时取等号， 0abc ，故等号取不到，即0abbcac， 又0abc ， 111 0 bcacab abcabc abc，所以30aabc，即0a ； 又bac ，ab，所以aac ， 所以2ac ，又0a ，所以2 c a ，所以2 c a 法一：分析法 因为abc，且0abc， 所以0a ，0c ，要证明原不等式成立，只需证明 2 3baca， 即证 22 3baca，从而只需证明 22 ()3acaca， 即()(2)0acac， 因为0ac，20acacaab， 所以()(2)0acac成立，故原不等式成立 法二：综合法 因为abc，且0abc，所以0a ，0c ， 2 2
33、22 13 24 bacaaccc aaa ， 而1012 cbcb aaaa ，又0 c a ， 故( 2 0) c a ，故 2 13 3 24 c a ，从而 2 3 bac a 提高班学案提高班学案 3 【拓 1】已知：00ab，求证： ab ab ba 【解析】 法一：综合法 00ab， 22 aa bba bb ，2 b ab a ， 两式相加化简得 ab ab ba 法二：分析法 12 00ab，要证 ab ab ba ，即证：a ab ba bb a， 移项整理得即证明()()0abab，即证明 2 ()()0abab， 这显然成立，故原不等式得证 目标班学案目标班学案 2 【
34、拓 3】求证： 22 33()ababab 【解析】 法一： 22 22ababab， 2 32 32 3aaa ， 2 32 32 3bbb ， 将此三式相加得 2 22 (3)22 32 3ababab 22 33()ababab 法二： 要证 22 33()ababab，即证 22 233()0ababab ， 左边可以写成： 222 ()(3)(3)0abab， 此不等式显然成立，且在3ab时取到等号，故原不等式得证 法三： 把原式视作关于变量a的不等式，即证： 22 3330ababb； 那么该不等式恒成立等价于其判别式 2 2 34330bbb 恒成立； 整理得 2 2 36 39
35、330bbb 恒成立， 所以不等式即原不等式成立 考点 5：反证法 【铺垫】已知abcd R， ， ，且1abcd ，1acbd，求证：abcd， ， ，中至少有一个是负 数 【解析】 假设abcd， ， ，都是非负数， 1abcd，()()1ab cd 又()()1ab cdacbdadbcacbd，即1 1，矛盾； abcd， ， ，中至少有一个是负数 【例6】 反证法 已知非零实数abc， ，成等差数列，且公差0d ，求证： 111 abc ， ，不可能是等差数列 【解析】 假设 111 abc ， ，是等差数列，则 211 bac ，又2bac， 两式联立消去b得 411 acac ，
36、化简得： 2 ()0ac，故ac， 这与0d 矛盾，故 111 abc ， ，不可能是等差数列 【点评】 本题结论还可以推广：abc， ，与 111 abc ， ，均不可能构成等比数列 尖子班学案尖子班学案 3 【拓 2】证明：238，不可能是同一等差数列中的三项 13 第 6 讲提高-尖子-目标教师版 【解析】 假设结论不成立，即存在一个等差数列 n a，公差为d，使得238，是其中三项，不 妨记 1 2(1) k aakd， 1 3(1) m aamd， 1 8(1) n aand 于是32() mk aamk d，83() nm aanm d， 将这两个式子相除得 83 (2 23)(
37、32)16 32 mk nm ， 由 * mnkN， ，知 mk nm Q，故16Q，这不可能，故假设错误， 238，不可能是同一等差数列中的三项 目标班学案目标班学案 3 【拓 3】实数abc， ，满足000abcabbcacabc，求证：abc， ，均大于零 【解析】 假设结论不成立，即abc， ，中存在不大于零的数，不妨设0a，由0abc 知， 0a ，且0bc ，不妨设00bc， 由0abc知0cab ，0ab 于是 22 ()()()abbcacabab cabababaabb 2 2 3 0 24 b ab ， 这与已知中0abbcac矛盾，故假设不正确，即abc， ，均大于零 【
38、演练 1】已知(32 )(5)i1910iabab()abR，则a ，b 【解析】 35，； 3219 3 510 ab a ab ，5b 【演练 2】若3iz ，则 2 z的共轭复数是 【解析】 22 3i； 22 ( 3i)22 3iz ， 2 22 3iz 【演练 3】实数m分别取什么数值时？复数 22 (56)(215)izmmmm 与复数2 12i相等； 与复数1216i互为共轭； 对应的点在x轴上方 【解析】 根据复数相等的充要条件得 2 2 562 21512 mm mm 解得1m 根据共轭复数的定义得 2 2 5612 21516 mm mm 解得1m 根据复数z对应点在x轴上
39、方可得 2 2150mm，解之得3m 或5m (3)(5)m ， 实战演练 14 【演练 4】若复数 3i 1i a （aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） A2 B4 C3 D6 【解析】 C 由 3i(3i)(1i)3(3)i33 i 1i(1i)(1i)222 aaaaaa 因为复数 3i 1i a 是纯虚数，所以 3 0 2 a 且 3 0 2 a 解得3a 【演练 5】若1x ，1y ，证明：1 1 xy xy 【解析】 用分析法证明： 要证明1 1 xy xy ，即证明1xyxy，即证明 2222 21 2xyxyxyx y ， 不等式移项得即证明 222222 1(1)(1)0x yxyxy 由11xy，知， 22 11xy，故此不等式成立，原命题得证 【演练 6】已知非零实数abc， ，成等差数列，且公差0d ，求证：abc， ，不可能是等比数列 【解析】 假设结论不成立，即abc， ，构成等比数列，则 2 bac 又2bac，故 2 2 2 ac bac ，整理得： 2 ()0ac，故acb， 这与已知中的公差0d 矛盾，故假设不成立，所以abc， ，不可能是等比数列
