1、2019-2020 学年江苏省无锡市江阴市四校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分，请将答案写在答题卡相应位置分，请将答案写在答题卡相应位置 上上. 1 （5 分）不等式 x25x+60 的解集是（ ） Ax|x1 或 x6 Bx|x6 或 x1 Cx|x3 或 x 2 Dx|2x3 2 （5 分）与的等比中项是（ ） A B C D 3 （5 分）已知椭圆的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 的值为（ ） A8 B4 C8 或 4 D以上答案都不对 4 （5 分） “a2”是 “直线 l1：axy+30 与
2、l2： 2x（a+1）y+40 互相平行”的 （ ） 条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5 （5 分）已知数列an是递增的等比数列，a44a2，a1+a517，则 S20192a2019的值为 （ ） A1 B1 C122020 D122019 6 （5 分）若椭圆（其中 ab0）的离心率为，两焦点分别为 F1，F2，M 为 椭圆上一点，且F1F2M 的周长为 16，则椭圆 C 的方程为（ ） A B C D 7 （5 分）若正数 a、b 满足 aba+b+3，则 ab 的取值范围是（ ） A9，+） B （，19，+） 第 2
3、页（共 18 页） C （0，19，+） D1，9 8 （5 分）南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题： “今有十等人，每等一人， 宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出； 中间三人未到者，亦依等次更给问：每等人比下等人多得几斤？” （ ） A B C D 9（5 分） 若关于 x 的不等式 x2mx+40 在 x1， 3上有解， 则实数 m 的取值范围为 （ ） A （，5） B （，5 C （，4） D （，4）（4，+） 10 （5 分）某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库 存货物的运
4、费 y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10km 处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 （ ）km 处 A4 B5 C6 D7 11 （5 分）设 f（n）2+23+25+27+22n+7（nZ） ，则 f（n）等于（ ） A B C D 12 （5 分）已知等差数列an首项为 a，公差为 1，若对任意的正整数 n 都有 bnb5，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，4）（3，+） B （4，3） C （，5）（4，+） D （5，4） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题
5、，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分，请将答案写在答题卡相应位置上分，请将答案写在答题卡相应位置上. 13 （5 分）命题：xR，x2+2x+20 的否定为 14 （5 分）在等比数列an中，anan+1且 a7a116，a4+a145，则 15 （5 分）已知椭圆的方程为（ab0） ，过椭圆右焦点且与 x 轴垂直的直线 与椭圆交于 P，Q 两点，直线与 x 轴交于点 M，若PQM 为正三角形，则椭圆的 第 3 页（共 18 页） 离心率为 16 （5 分）已知 x0，y0，且，则的最大值为 三、解答题：本大题共三、解答题
6、：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分，请将答案写在答题卡相应位置上分，请将答案写在答题卡相应位置上. 17 （10 分）已知关于 x 的不等式：ax22（a+1）x+40，aR （1）当 a4 时，求不等式的解集； （2）当 a0 时，求不等式的解集 18 （12 分）在等差数列an中，a23，a56 （1）求数列an的通项公式： （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+3 （1）当 xR 时，f（x）a 恒成立，求 a 的取值范围 （2）当 a4，6时，f（x）0 恒成立，求 x 的取值范围 20 （12 分）某地区现有一个直
7、角梯形水产养殖区 ABCD，ABC90，ABCD，AB 800m，BC1600m，CD4000m，在点 P 处有一灯塔（如图） ，且点 P 到 BC，CD 的距 离都是 1200m， 现拟将养殖区 ACD 分成两块， 经过灯塔 P 增加一道分隔网 EF， 在AEF 内试验养殖一种新的水产品， 当AEF 的面积最小时， 对原有水产品养殖的影响最小 设 AEd （1）若 P 是 EF 的中点，求 d 的值； （2）求对原有水产品养殖的影响最小时的 d 的值，并求AEF 面积的最小值 21 （12 分）在数列an中，已知 a1，且 2an+1an+1（nN*） （1）求证：数列an1是等比数列； （
8、2）若 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 22 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆（ab0）的左、右 第 4 页（共 18 页） 焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方一点，且 PF2垂直于 x 轴，连结 PF1并 延长交椭圆于另一点 Q，设|PQ|F1Q| （1）若点 P 的坐标为（2，3） ，求椭圆 C 的方程及 的值； （2）若 45，求椭圆 C 的离心率的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年江苏省无锡市江阴市四校高二（上）期中数学试学年江苏省无锡市江阴市四校高二（上）期中数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与
9、试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分，请将答案写在答题卡相应位置分，请将答案写在答题卡相应位置 上上. 1 （5 分）不等式 x25x+60 的解集是（ ） Ax|x1 或 x6 Bx|x6 或 x1 Cx|x3 或 x 2 Dx|2x3 【分析】把不等式化为（x2） （x3）0，求出解集即可 【解答】解：不等式 x25x+60 化为（x2） （x3）0， 解得 2x3， 所以不等式的解集是x|2x3 故选：D 【点评】本题考查了求一元二次不等式解集的应用问题，是基础题 2 （5 分）与的等比中项是（ ） A B C
10、 D 【分析】由 a，b，c 成等比数列，可得 b 为 a，c 的等比中项，即有 b代入计 算即可得到所求值 【解答】解：由 a，b，c 成等比数列，可得 b 为 a，c 的等比中项， 即有 b 则两数与的等比中项是 故选：C 【点评】本题考查等比中项的定义和求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于 基础题 3 （5 分）已知椭圆的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 的值为（ ） A8 B4 第 6 页（共 18 页） C8 或 4 D以上答案都不对 【分析】利用椭圆的简单性质列出不等式求出 m 的范围，然后利用椭圆的焦距直接求解 即可 【解答】解：椭圆的长轴在 x 轴上，
11、m210m0，解得 6m10， 椭圆的焦距为 4， c2m210+m4， 解得 m8 故选：A 【点评】本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质 4 （5 分） “a2”是 “直线 l1：axy+30 与 l2： 2x（a+1）y+40 互相平行”的 （ ） 条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案 【解答】解：当 a2 时，l1：2x+y30，l2：2x+y+40，两直线平行，是充分条件； 若直线 l1：axy+30 与 l2：2x（a+1）y+40 互相平
12、行，则 a（a+1）2，解得：a 2，或 a1，不是必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题 5 （5 分）已知数列an是递增的等比数列，a44a2，a1+a517，则 S20192a2019的值为 （ ） A1 B1 C122020 D122019 【分析】由 a44a2，得 q2，再将 a1+a517，转化为 a1的方程，求出 a1，即可求出 S20192a2019的值 【解答】解：依题意，a44a2，所以 q24， 又 a1+a517a1+16a1，所以 a11， 因为数列an是递增的等比数列，所以 q2， 第 7 页（共 18 页
13、） 所以 S20192a2019222019 1220191220191， 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的性质，等比数列的前 n 项和公式，等比数列的通项公式， 属于基础题 6 （5 分）若椭圆（其中 ab0）的离心率为，两焦点分别为 F1，F2，M 为 椭圆上一点，且F1F2M 的周长为 16，则椭圆 C 的方程为（ ） A B C D 【分析】利用三角形F1F2M 的周长以及离心率列出方程求解 a，c，然后求解 b，即可 得到椭圆方程 【解答】解：椭圆（其中 ab0）的两焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆上一 点，且F1F2M 的周长为 16，可得 2a+2c16， 椭
14、圆（其中 ab0）的离心率为，可得，解得 a5，c3，则 b 4， 所以椭圆 C 的方程为： 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 7 （5 分）若正数 a、b 满足 aba+b+3，则 ab 的取值范围是（ ） A9，+） B （，19，+） C （0，19，+） D1，9 【分析】由基本不等式可得，aba+b+3，解不等式可求 【解答】解：正数 a、b 满足 aba+b+3， a+b2，当且仅当 ab 时取等号， 第 8 页（共 18 页） aba+b+3 解不等式可得，3 或1（舍） 则 ab9 故选：A 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解
15、中的应用，属于基础试题 8 （5 分）南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题： “今有十等人，每等一人， 宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出； 中间三人未到者，亦依等次更给问：每等人比下等人多得几斤？” （ ） A B C D 【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为 d，根据题意和等差 数列的前 n 项和公式列出方程组，求出公差 d 即可得到答案 【解答】解：设第十等人得金 a1斤，第九等人得金 a2斤，以此类推，第一等人得金 a10 斤， 则数列an构成等差数列，设公差为 d，则每一等人比下一等人多得 d 斤金， 由题意得，
16、即， 解得 d， 每一等人比下一等人多得斤金 故选：B 【点评】本题考查等差数列的定义，前 n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想， 是基础题 9（5 分） 若关于 x 的不等式 x2mx+40 在 x1， 3上有解， 则实数 m 的取值范围为 （ ） A （，5） B （，5 C （，4） D （，4）（4，+） 【分析】由题意可得 mx+在 x1，3上能成立设 f（x）x+，求出函数 f（x） 在 x1，3上的最大值，可得 m 的范围 【解答】解：关于 x 的不等式 x2mx+40 在 x1，3上有解， 即 mx+在 x1，3上能成立 第 9 页（共 18 页
17、） 设 f（x）x+，则 f（x）在（0，2上单调递减，在2，+）上单调递增， 故当 x2 时，f（x）取得最小值 4， 又 f（1）5，f（3），故当 x1 时，函数 f（x）取得最大值 则实数 m5， 故选：A 【点评】本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应用问题，考查 构造法以及转化思想的应用是基本知识的考查，属于中档题 10 （5 分）某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库 存货物的运费 y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10km 处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库
18、应建在距离车站 （ ）km 处 A4 B5 C6 D7 【分析】据题意用待定系数法设出两个函数 y1，y2k2x，将两点（10，2）与（10， 8）代入求出两个参数再建立费用的函数解析式用基本不等式求出等号成立的条件即 可 【解答】解：由题意可设 y1，y2k2x， k1xy1，k2， 把 x10，y12 与 x10，y28 分别代入上式得 k120，k20.8， y1，y20.8x（x 为仓库与车站距离） ， 费用之和 yy1+y20.8x+248， 当且仅当 0.8x，即 x5 时等号成立 当仓库建在离车站 5km 处两项费用之和最小 故选：B 【点评】本题是函数应用中费用最少的问题，考查
19、学生建立数学模型的能力及选定系数 求解析式，基本不等式求最值的相关知识与技能 11 （5 分）设 f（n）2+23+25+27+22n+7（nZ） ，则 f（n）等于（ ） 第 10 页（共 18 页） A B C D 【分析】依题意，f（n）可以看作以 2 为首选，4 为公比的等比数列的前 n+4 项的和，代 入等比数列的求和公式即可 【解答】解：依题意，f（n）可以看作以 2 为首选，4 为公比的等比数列的前 n+4 项的和， 所以 f（n）， 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和，找到公比和项数是解题关键，本题属于基础 题 12 （5 分）已知等差数
20、列an首项为 a，公差为 1，若对任意的正整数 n 都有 bnb5，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，4）（3，+） B （4，3） C （，5）（4，+） D （5，4） 【分析】直接利用数列的递推关系式求出函数的关系式，进一步利用函数的最小值和不 等式的解法求出结果 【解答】解：等差数列an首项为 a，公差为 1， 所以 ana+n1， 所以， 则， 若对任意的正整数 n 都有 bnb5， 所以（bn）minb5， 所以， 解得5a4 故选：D 第 11 页（共 18 页） 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的关系式的应用， 恒成立问题的应用，主
21、要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分，请将答案写在答题卡相应位置上分，请将答案写在答题卡相应位置上. 13 （5 分）命题：xR，x2+2x+20 的否定为 xR，x2+2x+20 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，x2+2x+20”的否 定为：命题“xR，x2+2x+20” 故答案为：xR，x2+2x+20 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 14 （5 分）
22、在等比数列an中，anan+1且 a7a116，a4+a145，则 【分析】根据等比中项的性质可知 a7a11a4a14求得 a4a14的值，进而根据韦达定理 判断出 a4和 a14为方程 x25x+60 的两个根，求得 a4和 a14，则可求 【解答】解：a7a11a4a146 a4和 a14为方程 x25x+60 的两个根，解得 a42，a143 或 a43，a142 anan+1 a43，a142 q10 故 故答案为： 【点评】本题主要考查等比数列的性质解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项 当做方程的根来解，简便了解题过程 15 （5 分）已知椭圆的方程为（ab0） ，过椭圆右焦点
23、且与 x 轴垂直的直线 与椭圆交于 P，Q 两点，直线与 x 轴交于点 M，若PQM 为正三角形，则椭圆的 离心率为 第 12 页（共 18 页） 【分析】设 F 为右焦点，先求出 FQ 的长，直角三角形 FMQ 中，由边角关系得 tan30 ，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值 【解答】解：因为椭圆的方程为（ab0） ，过椭圆右焦点 F 且与 x 轴垂直 的直线与椭圆交于 P，Q 两点， 椭圆的右准线与 x 轴交于点 M，若PQM 为正三角形，得 FQ，MF c， 所以 tan30e， 所以 e， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大
24、小 16 （5 分）已知 x0，y0，且，则的最大值为 25 【分析】，所以，即 x+yxy，且 x1，y1，再结合基本不等式即可 得到的最大值 【解答】解：依题意，x0，y0，且，所以 x1，y1，且，即 x+y xy， 所以+94（+） ， 因为0，0， 所以13 （+） 132132 131225 当且仅当 x，y时等号成立 故答案为：25 【点评】本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键本 第 13 页（共 18 页） 题属于难题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分，请将答案写在答题卡相应位置上分，请将答案
25、写在答题卡相应位置上. 17 （10 分）已知关于 x 的不等式：ax22（a+1）x+40，aR （1）当 a4 时，求不等式的解集； （2）当 a0 时，求不等式的解集 【分析】 （1）根据题意，当 a4 时，原不等式化为4x2+6x+40，解可得 x 的取值 范围，即可得不等式的解集； （2）当 a0 时，原不等式变形可得（x） （x2）0，按 a 的取值范围分情况讨论， 求出不等式的解集，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，当 a4 时，原不等式化为4x2+6x+40， 变形可得：2x23x20，解可得：x2， 即不等式的解集为（，2） ； （2）当 a0 时，原不等式变形可得（
26、x） （x2）0， 若 a1，则不等式为（x2）20，其解集为x|x2， 若 a1， （x） （x2）0x2 或 x，不等式的解集为x|x2 或 x； 若 a1， （x） （x2）0x2 或 x，不等式的解集为x|x或 x2； 综合可得：a1 时，不等式的解集为x|x2， a1 时，不等式的解集为x|x2 或 x； a1 时，不等式的解集为x|x或 x2 【点评】本题考查不等式的解法，涉及含有参数问题的讨论，属于基础题 18 （12 分）在等差数列an中，a23，a56 （1）求数列an的通项公式： （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）利用等差数列关系式求出公差，然
27、后求解数列的通项公式 （2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可 【解答】解：等差数列an中，a23，a56 第 14 页（共 18 页） 可得 d1，a1a2d2 所以 ann+1 （2）bn 数列bn的前 n 项和 Sn 【点评】本题考查数列通项公式的求法，数列求和的方法：裂项消项法的应用，考查计 算能力 19 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+3 （1）当 xR 时，f（x）a 恒成立，求 a 的取值范围 （2）当 a4，6时，f（x）0 恒成立，求 x 的取值范围 【分析】 （1）f（x）a 恒成立，x2+ax+3a0 对任意 xR 恒成立，根据判别式进而求 解；
28、 （2）设 g（a）x2+ax+3，转化成关于 a 的一次函数，进而求解 【解答】解： （1）函数 f（x）x2+ax+3，当 xR 时，f（x）a 恒成立， x2+ax+3a0 对任意 xR 恒成立， a24（3a）0， 化简得 a2+4a120， 解得：6a2； （2）设 g（a）x2+ax+3， 则由题可得：当 a4，6时，恒有 g（a）0， 即 解得， 即 x3或 x3+， x 的取值范围是x|x3或 x3+ 【点评】 （1）考查不等式恒成立，不等式与二次函数的联系，判别式的应用； （2）考查转化思想，将关于 x 的函数转化为关于 a 的函数 20 （12 分）某地区现有一个直角梯形水
29、产养殖区 ABCD，ABC90，ABCD，AB 800m，BC1600m，CD4000m，在点 P 处有一灯塔（如图） ，且点 P 到 BC，CD 的距 离都是 1200m， 现拟将养殖区 ACD 分成两块， 经过灯塔 P 增加一道分隔网 EF， 在AEF 内试验养殖一种新的水产品， 当AEF 的面积最小时， 对原有水产品养殖的影响最小 设 第 15 页（共 18 页） AEd （1）若 P 是 EF 的中点，求 d 的值； （2）求对原有水产品养殖的影响最小时的 d 的值，并求AEF 面积的最小值 【分析】 （1）建立平面坐标系，求出直线 AD，AC 的方程，根据 P 为 EF 的中点列方程
30、 得出 E 点坐标，从而可计算 d； （2）根据基本不等式得出 AEAF 的最小值，进而求出AEF 的面积最小值 【解答】解： （1）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标 系， 则 C（800，1600） ，B（800，0） ，P（400，400） ，D（3200，1600） AC 所在直线方程为 y2x，AD 所在直线方程为 yx 设 E（2m，m） ，F（n，2n） ，m0，0 P 是 EF 的中点，解得， E（960，480） ， d|AE|480 （2）EF 经过点 P，kPEkPF， 即，化简得 80m+240nmn 由基本不等式得：mn80m+2
31、40n160， 即 mn76800，当且仅当 m3n480 时等号成立 kACkAD1，ACAD， SAEFAEAFmnmn76800192000， 此时 E（960，480） ，dAE480 故对原有水产品养殖的影响最小时，d480AEF 面积的最小值为 192000 m2 第 16 页（共 18 页） 【点评】本题考查了直线方程的应用，基本不等式的应用，属于中档题 21 （12 分）在数列an中，已知 a1，且 2an+1an+1（nN*） （1）求证：数列an1是等比数列； （2）若 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由已知可得，2（an+11）an1，从而可证
32、明数列an1是等比数列； （2）由（1）可求 an，进而可求 bn，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错 位相减求和方法即可求解 【解答】解： （1）2an+1an+1（nN*） 2（an+11）an1， ， a11且 an10， ， 数列an1是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）可得：an1， an bnnann， Tn（）+（1+2+n） ， 令 An， +（n1）+n， 第 17 页（共 18 页） 两式相减可得， 1 An22n2 Tn2 【点评】本题主要考查了利用等比数列的定义证明等比数列，体现了转化思想的应用， 还考查了等差数列的求和公式及错位相减求和方法的应用 2
33、2 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆（ab0）的左、右 焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方一点，且 PF2垂直于 x 轴，连结 PF1并 延长交椭圆于另一点 Q，设|PQ|F1Q| （1）若点 P 的坐标为（2，3） ，求椭圆 C 的方程及 的值； （2）若 45，求椭圆 C 的离心率的取值范围 【分析】 （1）由 PF2x 轴，且点 P 的坐标为（2，3） ，可得关于 a，b，c 的方程，联立 求得 a，b 的值，则椭圆方程可求，写出直线 PF1的方程，与椭圆方程联立，解得 Q 的 横坐标，由 求解 的值； （2）由 PF2x 轴，不妨设 P 在
34、x 轴上方，可得 P（c，y0） ，y00，设 Q（x1，y1） ，由 P 在椭圆上，解得 P（c，） ，再由已知向量等式得 Q 的坐标，结合点 Q 在椭圆上，可 得再由 45，即可求得椭圆 C 的离心率的取值范围 【解答】解： （1）PF2x 轴，且点 P 的坐标为（2，3） ， 第 18 页（共 18 页） a2b2c24，1， 解得：a216，b212， 椭圆 C 的方程为1 F1（2，0） ，直线 PF1 的方程为 y（x+2） ， 将 y（x+2）代入椭圆方程，解得 xQ， ； （2）PF2x 轴，不妨设 P 在 x 轴上方， P（c，y0） ，y00，设 Q（x1，y1） P 在椭圆上，1，解得 y0，即 P（c，） F1（c，0） ，由 PQF1Q，得 cx1（cx1） ， 解得 x1c，y1，Q（c，） ， 点 Q 在椭圆上，1，即（+1）2e2+（1e2）（ 1）2 （+2）e22，从而 e2 45，解得 椭圆 C 的离心率的取值范围是 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题
