1、2018-2019 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学四校高二（下）验中学四校高二（下）3 月联考数学试卷月联考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有分每小题给出的四个选项中，只有 一项满足题目要求）一项满足题目要求） 1 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且 MN平面 PAD， 则（ ） AMNPD BMNPA CMNAD D以上均有可能 2 （5 分）在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个
2、 D4 个 3 （5 分）边长为 4 的正方体，它的外接球的表面积为（ ） A24 B36 C48 D72 4 （5 分）已知三个平面 ，若 ，且 与 相交但不垂直，a，b 分别为 ， 内的直线，则（ ） Aa，a Ba，a Cb，b Db，b 5 （5 分）给出三个命题： 若两条直线和第三条直线所成角相等，则这两条直线互相平行； 若两条直线与第三条直线都垂直，则这两条直线互相平行； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中不正确的命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 6 （5 分）如图所示，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD， BDCD，将其沿对角线 BD
3、 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，则下列说 法中不正确的是（ ） 第 2 页（共 27 页） A平面 ACD平面 ABD BABCD C平面 ABC平面 ACD DAB平面 ABC 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直 线 AC 和 MN 所成的角为（ ） A30 B45 C90 D60 8 （5 分）如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱 AD、AA1、AB 上的截点分别是 E、F、G，则截面EFG（ ） A一定是等边三角形 B一定是钝角三角形 C一定是锐角三角形 D一定是直角三
4、角形 9 （5 分）三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下 面四个结论中不成立的是（ ） ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，M 为棱 BB1的中 点，则下列结论中错误的是（ ） 第 3 页（共 27 页） AD1O平面 A1BC1 BD1O平面 MAC C异面直线 BC1与 AC 所成的角为 60 DMO平面 ABCD 11 （5 分）如图，圆锥的底面直
5、径 AB2，母线长 VA3，点 C 在母线长 VB 上，且 VC1， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到点 C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A B C D 12（5 分） 如图， 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， E 是棱 AB 的中点， F 是侧面 AA1D1D 内一点，若 EF平面 BB1D1D，则 EF 长度的范围为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 4 页（共 27 页） 13 （5 分）设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列四个命题中 （1）若 a，
6、a，则 ； （2）若 a，则 a； （3）若 a，则 a； （4）若 a，b，则 ab 其中所有真命题的序号是 14 （5 分）已知 PD矩形 ABCD 所在的平面，则图中相互垂直的平面有 对 15 （5 分）若一圆锥的底面半径为 3，体积是 12，则该圆锥的侧面积等于 16 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 BC，CC1 的中点，P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题
7、共 6 小题，共小题，共 70 分解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过分解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过 程或演算步骤 ）程或演算步骤 ） 17 （10 分） 如图是一个空间几何体的三视图， 其正视图与侧视图是边长为 4cm 的正三角形、 俯视图中正方形的边长为 4cm （1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤） ； （2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少； 第 5 页（共 27 页） 18 （12 分）如图，平面 ，线段 AB 分别交 ， 于 M，N，线段 AD 分别交 ， 于 C， D，线段 BF 分别交 ， 于 F，E，若 AM9，MN11，NB15，SFM
8、C78求END 的面积 19 （12 分）如图所示，设 A，B，C，D 是不共面的四点，P，Q，R，S 分别是 AC，BC， BD，AD 的中点，若 AB12，CD4，且四边形 PQRS 的面积是 12， （1）求证：S，R，Q，P 四点共面 （2）求异面直线 AB 和 CD 所成角的大小 20 （12 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知 DCDD12AD2AB，AD DC，ABDC （1）求证：D1CAC1； （2）设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使 D1E平面 A1BD，并说明理由 第 6 页（共 27 页） 21 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中
9、，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （）求证：平面 BDE平面 PAC； （）若 PA平面 BDE，求三棱锥 EBCD 的体积 22 （12 分）如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形，GAD 为等边三角形，BF平 面 ABCD，GDC90，点 E 是线段 GC 上除两端点外的一点，若点 P 为线段 GD 的 中点 （）求证：AP平面 GCD； （）求证：平面 ADG平面 FBC； （）若 AP平面 BDE，求的值 第 7 页（共 27 页） 2018-2019 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实学年江西省南昌
10、市八一中学、洪都中学、十七中、实 验中学四校高二（下）验中学四校高二（下）3 月联考数学试卷月联考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有分每小题给出的四个选项中，只有 一项满足题目要求）一项满足题目要求） 1 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且 MN平面 PAD， 则（ ） AMNPD BMNPA CMNAD D以上均有可能 【分析】直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可 【解答】解：四棱锥 PA
11、BCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且 MN平面 PAD， MN平面 PAC，平面 PAC平面 PADPA， 由直线与平面平行的性质定理可得：MNPA 故选：B 【点评】本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，基本知识的考查 2 （5 分）在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，即可得出正确的结论 【解答】解：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定 3 个平面，如图所示； PA、PB、PC 相较于一点 P，且 PA、PB、PC 不共面， 则 PA、PB 确定一个平面 PAB， PB
12、、PC 确定一个平面 PBC， PA、PC 确定一个平面 PAC 第 8 页（共 27 页） 故选：C 【点评】本题考查了确定平面的条件是什么，解题时应画出图形，以便说明问题，是基 础题目 3 （5 分）边长为 4 的正方体，它的外接球的表面积为（ ） A24 B36 C48 D72 【分析】根据正方体与其外接球之间的关系，想办法求出外接球的半径即可 【解答】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，故 2R4，故 R2 所以 S4R24（2）248 故选：C 【点评】本题考查了正方体的外接球问题，一般的会考虑正方体的棱长、体对角线等与 其外接球、内切球的半径间的关系解决问题 4 （5 分）
13、已知三个平面 ，若 ，且 与 相交但不垂直，a，b 分别为 ， 内的直线，则（ ） Aa，a Ba，a Cb，b Db，b 【分析】在 A 中，a，a，则 与 垂直，与题设条件 与 相交但不垂直矛盾； 在 B 中，一定a，a；在 C 中，b 与 相交、平行或 b；在 D 中，b 与 相交、 平行或 b 【解答】解：三个平面 ，且 与 相交但不垂直，a，b 分别为 ， 内 的直线， 在 A 中，若a，a，则 与 垂直，与题设条件 与 相交但不垂直矛盾，故 A 错误； 在 B 中，一定a，a，故 B 正确； 在 C 中，b，b 与 相交、平行或 b，故 C 错误； 第 9 页（共 27 页） 在
14、D 中，b，b 与 相交、平行或 b，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 5 （5 分）给出三个命题： 若两条直线和第三条直线所成角相等，则这两条直线互相平行； 若两条直线与第三条直线都垂直，则这两条直线互相平行； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中不正确的命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】 命题和命题都是在同一平面内正确的命题， 但推广到空间它们就不正确了， 可以在正方体中举出反例说明它们是错误的；而对于，是对于直线平行的传递性的描 述，根据立体几何公
15、理 4，可得它是正确的命题由此不难得到正确答案 【解答】解：对于，两条直线和第三条直线所成角相等， 以正方体 ADCDA1B1C1D1为例， 过点 A 的三条棱 AA1、AB、AD 当中， AB、AD 与 AA1所成的角相等， 都等于 90，但 AB、AD 不平行，故错误； 对于，两条直线与第三条直线都垂直， 以正方体 ADCDA1B1C1D1为例， 过点 A 的三条棱 AA1、AB、AD 当中， 两条直线 AB、AD 都与 AA1垂直， 但 AB、AD 不平行，故错误； 对于，若直线 a、b、c 满足 ab 且 bc 根据立体几何公理 4，可得 ac， 说明两条直线都与第三条直线平行，则这两
16、条直线互相平行 故是正确的 综上所述，不正确的为，2 个 故选：C 【点评】本题以命题真假的判断为载体，考查了一些在平面内成立的命题推广到空间能 第 10 页（共 27 页） 否为真命题等知识点，属于基础题 6 （5 分）如图所示，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD， BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，则下列说 法中不正确的是（ ） A平面 ACD平面 ABD BABCD C平面 ABC平面 ACD DAB平面 ABC 【分析】由已知条件推导出 CD平面 ABD，从而得到平面 ACD平面 ABD；由已知得 ABAD，ABCD
17、，从而 AB平面 ACD， 进而 ABCD；由 AB平面 ACD，得平面 ABC平面 ACD；由 AB平面 ABC，得 AB 平面 ABC 不成立 【解答】解：BDCD，平面 ABD平面 BCD， CD平面 ABD， CD平面 ACD， 平面 ACD平面 ABD，故 A 正确； 平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD， ABAD， 又 CD平面 ABD，ABCD， 又 ADCDD， AB平面 ACD， CD平面 ACD，ABCD，故 B 正确； AB平面 ACD，AB平面 ABC， 平面 ABC平面 ACD，故 C 正确； AB平面 ABC，AB平面 ABC 不成立，故 D 错误 故选
18、：D 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力 第 11 页（共 27 页） 的培养 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直 线 AC 和 MN 所成的角为（ ） A30 B45 C90 D60 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线 AC 和 MN 所成的角 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1
19、中棱长为 2， M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点， M（1，2，0） ，N（0，2，1） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ， （1，0，1） ，（2，2，0） ， 设异面直线 AC 和 MN 所成的角为 ， 则 cos， 60 异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想， 是基础题 8 （5 分）如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱 AD、AA1、AB 上的截点分别是 E、F、G，则截面EFG（ ） 第 1
20、2 页（共 27 页） A一定是等边三角形 B一定是钝角三角形 C一定是锐角三角形 D一定是直角三角形 【分析】由已知得EGF90，EFG90，GEF90，从而截面EFG 是锐 角三角形 【解答】解：用小刀切一块长方体橡皮的一个角， 在棱 AD、AA1、AB 上的截点分别是 E、F、G， 则EGFABD90， 同理EFG90，GEF90， 截面EFG 是锐角三角形， 故选：C 【点评】本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能 力的培养 9 （5 分）三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下 面四个结论中不成立的
21、是（ ） ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC 【分析】A利用三角形的中位线定理可得 BCDF，再利用线面平行的判定定理可得 第 13 页（共 27 页） BC平面 PDF，故 A 正确； BD由等腰三角形的性质可得 BCAE，BCPE，利用线面垂直的判定定理得 BC 平面 PAE， 进而得到 DF平面 PAE， 再利用面面垂直的性质定理得平面 PAE平面 ABC， 故 B、D 都正确 利用排除法可得，C 不正确 【解答】解：AD、F 分别是 AB、CA 的中点，由三角形的中位线定理可得：BCDF， BC平面 P
22、DF，DF平面 PDF，BC平面 PDF，故 A 正确； BDACAB，BEEC，BCAE 同理 BCPE， PEAEE，BC平面 PAE， BCDF，DF平面 PAE， DF平面 ABC， 平面 PAE平面 ABC， 故 B、D 都正确 排除 A，B，D，故 C 不正确 故选：C 【点评】熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、线面与面面垂直的判定和 性质定理即可得出 10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，M 为棱 BB1的中 点，则下列结论中错误的是（ ） AD1O平面 A1BC1 BD1O平面 MAC C异面
23、直线 BC1与 AC 所成的角为 60 DMO平面 ABCD 第 14 页（共 27 页） 【分析】在 A 中，取 A1C1中点 E，则 D1OBE，从而 D1O平面 A1BC1；在 B 中，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能证明 D1O平面 MAC； 在 C 中，由 ACA1C1，得BC1A1是异面直线 BC1与 AC 所成的角，由A1C1B 是正三 角形，得异面直线 BC1与 AC 所成的角为 60；在 D 中，MB平面 ABCD，MOMB M，故 MO 与平面 ABCD 不垂直 【解答】解：在 A 中，取 A1
24、C1中点 E，则 D1OBE， D1O平面 A1BC1，BE平面 A1BC1， D1O平面 A1BC1，故 A 正确； 在 B 中，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标 系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2， 则 O（1，1，0） ，D1（0，0，2） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，M（2，2，1） ， （1，1，2） ，（0，2，1） ，（2，2，0） ， 0，0，D1OAM，D1OAC， D1O平面 MAC，故 B 正确； 在 C 中，ACA1C1，BC1A1是异面直线 BC1与 AC 所成的角， 又A1C1B 是正
25、三角形， 异面直线 BC1与 AC 所成的角为 60，故 C 正确； 在 D 中，MB平面 ABCD，MOMBM，故 MO 与平面 ABCD 不垂直，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查三有形面积和四边形面积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）如图，圆锥的底面直径 AB2，母线长 VA3，点 C 在母线长 VB 上，且 VC1， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到点 C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ） 第 15 页（共 27 页） A B C D 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之
26、间线段最 短”得出结果 【解答】解：由题意知，底面圆的直径为 2，故底面周长等于 2， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，23， 解得：， AOA， 则1， 过 C 作 CFOA， C 为 OB 的三等分点，BO3， OC1， 160， OCF30， FO， CF2CO2OF2， AO3，FO， AF， 在 RtAFC 中，利用勾股定理得：AC2AF2+FC27， 则 AC 故选：B 第 16 页（共 27 页） 【点评】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧 长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面
27、展开成扇 形， “化曲面为平面” ，用勾股定理解决 12（5 分） 如图， 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， E 是棱 AB 的中点， F 是侧面 AA1D1D 内一点，若 EF平面 BB1D1D，则 EF 长度的范围为（ ） A B C D 【分析】过 E 作出与平面 BB1D1D 平行的截面，得出 F 的轨迹，从而得出 EF 的长度范 围 【解答】解：取 AD 的中点 N，A1D1的中点 M，连结 MN，NE，ME， 则 NEBD，MNDD1， 平面 MNE平面 BDD1B1， 当 F 在线段 MN 上时，EF 始终与平面 BB1D1D 平行， 故 EF 的最小值为 NE，最
28、大值为 ME 故选：C 第 17 页（共 27 页） 【点评】本题考查了线面平行的判定与性质，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列四个命题中 （1）若 a，a，则 ； （2）若 a，则 a； （3）若 a，则 a； （4）若 a，b，则 ab 其中所有真命题的序号是 （1） （4） 【分析】运用面面垂直的判定定理：经过一个平面的一条垂线的平面垂直于这个平面， 即可判断（1） ； 由线面平行和面面垂直的性质，可得线面的位
29、置关系，即可判断（2） ； 由线面垂直和面面垂直的性质定理，结合线面的位置关系，即可判断（3） ； 由线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，即可判断（4） 【解答】解：对于（1） ，若 a，a，由面面垂直的判定定理可得 ，则（1）正 确； 对于（2） ，若 a，则 a 或 a 或 a，则（2）错误； 对于（3） ，若 a，则 a 或 a，则（3）错误； 对于（4） ，若 a，b，由线面垂直的性质定理，可得 ab，则（4）正确 故答案为： （1） （4） 【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质 定理，注意定理的条件是解题的关键，属于基础题和易错题
30、14 （5 分）已知 PD矩形 ABCD 所在的平面，则图中相互垂直的平面有 5 对 第 18 页（共 27 页） 【分析】直接利用面面垂直的判定定理判断即利用题目中的条件找出线面垂直即可 【解答】解：PD矩形 ABCD 所在的平面且 PD面 PDA，PD面 PDC，PD面 PDB 面 PDA面 ABCD，面 PDC面 ABCD，面 PDB面 ABCD 又四边形 ABCD 为矩形 BCCD，CDAD PD矩形 ABCD 所在的平面 PDBC，PDCD PDADD，PDCDD CD面 PAD，BC面 PDC CD面 PDC，BC面 PBC 面 PDC面 PAD，面 PBC面 PCD 综上相互垂直
31、的平面有 5 对 故答案为：5 【点评】本体主要考察了面面垂直的判定，属中档题，有一定的难度解题的关键是熟 记线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理！ 15 （5 分）若一圆锥的底面半径为 3，体积是 12，则该圆锥的侧面积等于 15 【分析】首先根据圆锥的体积求出圆锥的高度，然后求出母线长度，根据侧面积公式解 答 【解答】解：由已知得到圆锥的体积 12，解得 h4，所以圆锥的母线长 度为5，所以圆锥的侧面积为15； 故答案为：15 【点评】本题考查了圆锥的体积和侧面积公式的运用；属于基础题 16 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 BC，
32、CC1 的中点，P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是 第 19 页（共 27 页） 【分析】分别取棱 BB1、B1C1的中点 M、N，连接 MN，易证平面 A1MN平面 AEF，由 题意知点 P 必在线段 MN 上，由此可判断 P 在 M 或 N 处时 A1P 最长，位于线段 MN 中 点处时最短，通过解直角三角形即可求得 【解答】解：如下图所示： 分别取棱 BB1、B1C1的中点 M、N，连接 MN，连接 BC1， M、N、E、F 为所在棱的中点，MNBC1，EFBC1， MNEF，又 MN平面 AEF，EF平面 AEF， MN平面 AEF
33、； AA1NE，AA1NE，四边形 AENA1为平行四边形， A1NAE，又 A1N平面 AEF，AE平面 AEF， A1N平面 AEF， 又 A1NMNN，平面 A1MN平面 AEF， P 是侧面 BCC1B1内一点，且 A1P平面 AEF， 则 P 必在线段 MN 上， 在 RtA1B1M 中，A1M， 同理，在 RtA1B1N 中，求得 A1N， A1MN 为等腰三角形， 当 P 在 MN 中点 O 时 A1PMN，此时 A1P 最短，P 位于 M、N 处时 A1P 最长， A1O， A1MA1N， 所以线段 A1P 长度的取值范围是 第 20 页（共 27 页） 故答案为： 【点评】本
34、题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属 中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找 P 点位置 三、解答题三、解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过分解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过 程或演算步骤 ）程或演算步骤 ） 17 （10 分） 如图是一个空间几何体的三视图， 其正视图与侧视图是边长为 4cm 的正三角形、 俯视图中正方形的边长为 4cm （1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤） ； （2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少； 【分析】 （1）利用三视图的画法，画出几何体
35、的直观图即可 （2）判断几何体的形状，然后求解几何体的高即可 【解答】解： （1） （2）正四棱锥，它的高是（10 分） 第 21 页（共 27 页） 【点评】本题考查三视图与直观图的关系，几何体的数据与几何体的高的求法，考查计 算能力 18 （12 分）如图，平面 ，线段 AB 分别交 ， 于 M，N，线段 AD 分别交 ， 于 C， D，线段 BF 分别交 ， 于 F，E，若 AM9，MN11，NB15，SFMC78求END 的面积 【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解 【解答】解：平面 ， 又平面 AND平面 MC，平面 AND平面 ND， MCND，
36、 同理 ENFM， 又 AM9，MN11，NB15， ， 又FMCEND， 所以， SFMC78， 第 22 页（共 27 页） SEND100 故END 的面积为：100 【点评】此题考查了面面平行的性质定理，难度不大 19 （12 分）如图所示，设 A，B，C，D 是不共面的四点，P，Q，R，S 分别是 AC，BC， BD，AD 的中点，若 AB12，CD4，且四边形 PQRS 的面积是 12， （1）求证：S，R，Q，P 四点共面 （2）求异面直线 AB 和 CD 所成角的大小 【分析】 （1）根据三角形的中位线的性质定理证出四边形 SRQP 是平行四边形，即可证 明 S，R，Q，P 四
37、点共面 （2）得到SRQ 是要求的异面直线所成的角，根据所给的条件写出角所在的三角形中的 线段的长，得到要求的角的正弦值，得到结果 【解答】 （1）证明：由题意知 SR 是ABD 的中位线， SRAB，SRAB， 同理 PQAB，PQAB， SRPQ，SRPQ， 四边形 SRQP 是平行四边形， S，R，Q，P 四点共面 （2）解：由（1）可得SRQ 是要求的异面直线所成的角， 在四边形 SRQP 中，SR6，RQ2， 四边形 PQRS 的面积是 12， SR 上的高为 sinSRQ， SRQ45， 异面直线 AB 和 CD 所成角的大小为 45 第 23 页（共 27 页） 【点评】本题考查
38、异面直线所成的角，本题解题的过程是先做出角，再证明角是异面直 线所成的角，最后求出角的大小 20 （12 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知 DCDD12AD2AB，AD DC，ABDC （1）求证：D1CAC1； （2）设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使 D1E平面 A1BD，并说明理由 【分析】 （1）要证 D1CAC1；需证 D1C平面 ADC1即可 （2）确定 E 的位置，使 D1E平面 A1BD，设 AD1A1DM，BDAEN，连接 MN， 证明 MND1E 即可 【解答】解： （1）证明：在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 连接 C1D，DC
39、DD1， 四边形 DCC1D1是正方形DC1D1C 又 ADDC，ADDD1，DCDD1D， AD平面 DCC1D1，D1C平面 DCC1D1， ADD1CAD，DC1平面 ADC1， 且 ADDCD，D1C平面 ADC1， 又 AC1平面 ADC1，D1CAC1 （2）连接 AD1，连接 AE， 设 AD1A1DM，BDAEN，连接 MN，平面 AD1E平面 A1BDMN， 要使 D1E平面 A1BD， 须使 MND1E， 又 M 是 AD1的中点N 是 AE 的中点 第 24 页（共 27 页） 又易知ABNEDN，ABDE 即 E 是 DC 的中点 综上所述，当 E 是 DC 的中点时，
40、可使 D1E平面 A1BD 【点评】本题考查直线与平面的平行，空间中直线与平面的位置关系，是中档题 21 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （）求证：平面 BDE平面 PAC； （）若 PA平面 BDE，求三棱锥 EBCD 的体积 【分析】 （）证明 PA平面 ABC，推出 PABD，BDAC，证明 BD平面 PAC，然 后证明平面 BDE平面 PAC； 第 25 页（共 27 页） （）求出底面面积与高，即可求解几何体的体积 【解答】 20 （本小题满分 12 分） （）证明：PAAB
41、，PABCPA平面 ABC 又BD平面 ABCPABD ABBC，D 为 AC 中点BDAC 又PAACABD平面 PAC 又BD平面 BDE平面 BDE平面 PAC（6 分） （）解：PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDEDEPADE D 为 AC 中点， 由（）知 PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC 所以三棱锥 EBCD 的体积（12 分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，平面与平面垂直的判定定理的应 用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 22 （12 分）如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形，GAD 为等边三角形，BF平 面 ABCD，G
42、DC90，点 E 是线段 GC 上除两端点外的一点，若点 P 为线段 GD 的 中点 （）求证：AP平面 GCD； （）求证：平面 ADG平面 FBC； （）若 AP平面 BDE，求的值 第 26 页（共 27 页） 【分析】 （）推导出 APGD，ADCD，GDCD，从而 CD平面 GAD，CDAP， 由此能证明 AP平面 GCD （）推导 BFCD，BCCD，CD平面 FBC，CD平面 GAD，由此能证明平面 ADG 平面 FBC （）连接 PC 交 DE 于点 M，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM，M 是 PC 中点过 P 作 PNDE，交 CG 于点 N，由此能求出结果 【解
43、答】证明： （）因为GAD 是等边三角形，点 P 为线段 GD 的中点，故 APGD， 因为 ADCD，GDCD，且 ADGDD，AD，GD平面 GAD，故 CD平面 GAD， 又 AP平面 GAD，故 CDAP， 又 CDGDD，CD，GD平面 GCD， 故 AP平面 GCD（4 分） （）BF平面 ABCD，BFCD， BCCD，BFBCB，BF，BC平面 FBC，CD平面 FBC， 由（）知 CD平面 GAD，平面 ADG平面 FBC（8 分） 解： （）连接 PC 交 DE 于点 M，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM， AP平面 BDE，APOM，O 是 AC 中点，M 是 PC 中点 过 P 作 PNDE，交 CG 于点 N， 则 N 是 GE 中点，E 是 CN 中点，（12 分） 第 27 页（共 27 页） 【点评】本题考查线面垂直的线面的证明，考查面面平行的证明，考查两线段比值的求 法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中 档题
