1、2019-2020 学年江西省吉安市四校高二（上）期中数学试卷（文科一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）直线 l：x+y30 的倾斜角为（ ） A30 B60 C120 D90 2 （5 分）已知直线 l：y+m（x+1）0 与直线 my（2m+1）x1 平行，则直线 l 在 x 轴上 的截距是（ ） A1 B C1 D2 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A命题“x0，sinxx”的否定是“x0，sinxx B命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题是真命题 C两平行线 2x+2y10 与 2x+2y30 之间的距
2、离为 D直线 l1：ax+y+10，l2：x+ay20，l1l2的充要条件是 a1 4 （5 分）已知命题 p：xR，；命题 q：x0R，sinx01，则下列 命题中为真命题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 5 （5 分）直线 l 与圆 x2+y2+2x4y+10 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点（2，3） ， 则直线 l 的方程为（ ） Ax+y30 Bx+y10 Cxy+50 Dxy50 6 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线，、 是三个不同的平面，给出下列命题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，则 m； 若 m，m，则 ； 若 ，则 其中正确命题的序号是（ ） A
3、 B C D 7 （5 分）设 F1，F2是椭圆+1（ab0）的左右焦点，过点 F1，F2作 x 轴的垂 第 2 页（共 22 页） 线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 8 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A2+ B4+ C2+2 D5 9 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为（ ） A3 B4 C8 D9 10 （5 分）当曲线 y与直线 kxy+2k40 有两个相异的交点时，实数 k 的取 值范围是（ ） A （0，） B （， C （，1 D （，+） 11 （5 分）直线与圆 O：x2+y24
4、交于 A、B 两点，则（ ） A2 B2 C4 D4 12 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PA PDAD3，则四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为（ ） A20 B18 C16 D12 二、填空题（每大题共二、填空题（每大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）等腰梯形 ABCD 中，上底 CD1，腰，下底 AB3，以下底所在直 线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为 14 （5 分）一个圆锥的表面积为 a（cm2） ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底 面半径为 第 3 页
5、（共 22 页） 15 （5 分）已知 P：Ax|（x1） （x2）0，q：Bx|xa0，若 p 是 q 的必要不 充分条件，则实数x|xa0的取值范围为 16 （5 分）已知过点（2，4）的直线 l 被圆 C：x2+y22x4y50 截得的弦长为 6，则直 线 l 的方程为 三、解答题三、解答题 17（10分） 已知命题p： 关于x的方程x2ax+40有实根； 命题q： 关于x的函数y2x2+ax+4 在3，+）上是增函数，若“p 或 q”是真命题， “p 且 q”是假命题，求实数 a 的取值 范围 18（12 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形
6、， PA底面 ABCD， PA1，点 M 是棱 PC 上的一点，且 AMPB （）求三棱锥 CPBD 的体积； （）证明：AM平面 PBD 19 （12 分）已知圆 C 经过点 A（2，0） ，B（0，2） ，且圆心 C 在直线 yx 上，又直线 l： ykx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点 （1）求圆 C 的方程； （2）若，求实数 k 的值 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，DAB60，PD底面 ABCD，PDDC2，E，F，G 分别是 AB，PB，CD 的中点 （1）求证：ACPB； （2）求证：GF平面 PAD； （3）求点 G 到平面 PA
7、B 的距离 第 4 页（共 22 页） 21 （12 分）如图（1）在四边形 PBCD 中，BCPD，ABPD，PA6，ABBC4，AD 8，沿 AB 把三角形 PAB 折起，使 P，D 两点的距离为 10，得到如图（2）所示图形 （）求证：平面 PCD平面 PAC； （ ） 若 点E是PD的 中 点 ， 求 三 棱 锥A PCE的 体 积 22 （12 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的离心率是，A1，A2分别为椭圆 E 的左右顶点，B 为上顶点，A1BA2的面积为 2直线 l 过点 D（1，0）且与椭圆 E 交于 P，Q 两点 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）求OPQ 面积的最大值；
8、 （3）设直线 A1P 与直线 QA2交于点 N，证明：点 N 在定直线上，并写出该直线方程 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年江西省吉安市四校高二（上）期中数学试卷（文学年江西省吉安市四校高二（上）期中数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）直线 l：x+y30 的倾斜角为（ ） A30 B60 C120 D90 【分析】将直线方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，再由斜率公式，即可得到所求 倾斜角 【解答】解：直线 l：x+y30，
9、 可得 y3x， 即有直线的斜率为 k， 设倾斜角为 ， 即有 tan， 由 为钝角，可得 120， 故选：C 【点评】本题考查直线的倾斜角，注意运用直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力， 属于基础题 2 （5 分）已知直线 l：y+m（x+1）0 与直线 my（2m+1）x1 平行，则直线 l 在 x 轴上 的截距是（ ） A1 B C1 D2 【分析】 由直线的平行可得 m 的值， 进而可得直线 l 的方程， 令 y0 解得 x 值即为所求 【解答】解：化直线的方程为一般式可得 l：mx+y+m0， （2m+1）xmy10， 由直线平行可得（2m+1）m2， 解得 m1， 经验证当 m1
10、 时，满足两直线平行， 直线 l：yx10， 令 y0 可得 x1， 第 6 页（共 22 页） 直线 l 在 x 轴上的截距为：1 故选：C 【点评】本题考查直线的平行和直线的截距，属基础题 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A命题“x0，sinxx”的否定是“x0，sinxx B命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题是真命题 C两平行线 2x+2y10 与 2x+2y30 之间的距离为 D直线 l1：ax+y+10，l2：x+ay20，l1l2的充要条件是 a1 【分析】根据特称命题的否定方法可判断 A；写出原命题的否命题，可判断 B；利用平行 线的距离判断 C 的正误；根据
11、互为逆否的两个命题真假性相同，求出 l1l2的充要条件， 可判断 D 【解答】解：命题“x0，sinxx”的否定是“x0，sinxx，所以 A 错误； 命题“若 xy，则 sinxsiny”为假命题，故其逆否命题为假命题，所以 B 错误； 两平行线 2x+2y10 与 2x+2y30 之间的距离为：，所以 C 正确； 直线 l1：ax+y+10，l2：x+ay20，l1l2的充要条件是 a0，故 D 不正确； 故选：C 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知 识点，综合性强，难度中档 4 （5 分）已知命题 p：xR，；命题 q：x0R，sinx01，则下
12、列 命题中为真命题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：x2+2x+3（x+1）2+22， log2（x2+2x+3）log221， 即命题 p 是假命题， xR，1sinx1，命题 q 是假命题， 则pq 是真命题，其余为假命题， 故选：A 第 7 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题 p，q 的真假是解决 本题的关键 5 （5 分）直线 l 与圆 x2+y2+2x4y+10 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点（2，3） ， 则直线 l 的方程为（
13、） Ax+y30 Bx+y10 Cxy+50 Dxy50 【分析】圆 x2+y2+2x4y+10 化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线 l 的直 线的斜率，再求出直线 l 的斜率，利用点斜式可得直线方程 【解答】解：圆 x2+y2+2x4y+10 化为标准方程为（x+1）2+（y2）24，圆心坐标 为 C（1，2） 弦 AB 的中点 D（2，3） ， kCD1， 直线 l 的斜率为 1， 直线 l 的方程为 y3x+2，即 xy+50 故选：C 【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键 6 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线，、 是三个不同的平面，
14、给出下列命题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，则 m； 若 m，m，则 ； 若 ，则 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去 判定，不正确的只需取出反例即可 【解答】解：若 n，经过 n 的平面与 交于 a，根据线面平行的性质定理，可得 n a，m，则 ma，mn，正确； 若 ，则 ，由 m，可得 m，正确； 若 m，m，则 或 ， 相交，故不正确； 若 ，则 或 ， 相交，故不正确； 第 8 页（共 22 页） 故选：A 【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及直线与平面之间的位 置关系，
15、考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 7 （5 分）设 F1，F2是椭圆+1（ab0）的左右焦点，过点 F1，F2作 x 轴的垂 线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率 e 为（ ） A B C D 【分析】由题意推出椭圆上的点的坐标，代入椭圆方程，得到 abc 的关系，然后求解椭 圆的离心率即可 【解答】解：F1，F2是椭圆+1（ab0）的左右焦点，过点 F1，F2作 x 轴的 垂线交椭圆四点构成一个正方形，所以（c，c）是椭圆上的点，可得：， 即， a2c2c4+a2c2a4a2c2， 可得 e43e2+10解得 e 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆
16、的离心率的求法，考查计算能力 8 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A2+ B4+ C2+2 D5 【分析】根据三视图可判断直观图为：OA面 ABC，ACAB，E 为 BC 中点，EA2， 第 9 页（共 22 页） EAEB1，OA1， ：BC面 AEO，AC，OE 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积 【解答】解：根据三视图可判断直观图为： OA面 ABC，ACAB，E 为 BC 中点， EA2，ECEB1，OA1， 可得 AEBC，BCOA， 由直线与平面垂直的判定定理得：BC面 AEO，AC，OE SABC222，SOACSOAB1 SBCO2 故
17、该三棱锥的表面积是 2， 故选：C 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢 复直观图，得出几何体的性质 9 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为（ ） A3 B4 C8 D9 【分析】利用约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成 求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可 【解答】解：由实数 x，y 满足，画出可行域如图： 目标函数 z2x+y 可化为：y2x+z， 第 10 页（共 22 页） 得到一簇斜率为2，截距为 z 的平行线， 要求 z 的最大值，须满足截距最大， 当目标函数过点 A 时截距最大， 又，
18、x2，y4， 点 A 的坐标为（2，4） ， z 的最大值为：22+48； 故选：C 【点评】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边 界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度属简单题 10 （5 分）当曲线 y与直线 kxy+2k40 有两个相异的交点时，实数 k 的取 值范围是（ ） A （0，） B （， C （，1 D （，+） 【分析】曲线 y是以 O（0，0）为圆心，以 2 为半径的下半圆，直线 kxy+2k 40 过定点 D（2，4） ，由此作出图形，结合图形得当曲线 y与直线 kxy+2k40 有两个相异的交点时，实数 k 的取值
19、范围 【解答】解：如图，曲线 y是以 O（0，0）为圆心，以 2 为半径的下半圆， 直线 kxy+2k40 过定点 D（2，4） ， A（2，0） ，B（2，0） ，kBD1， 设直线 kxy+2k40 与圆相切时， 第 11 页（共 22 页） 圆心 O（0，0）到直线的距离： d2，解得 k， 结合图形得当曲线 y与直线 kxy+2k40 有两个相异的交点时， 实数 k 的取值范围是（，1 故选：C 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等 基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想， 是中档题 11 （5 分）直线与圆
20、 O：x2+y24 交于 A、B 两点，则（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与 AO 的夹角，然后求数量积 【解答】解：圆 O：x2+y24 的圆心是（0，0） ，由此知圆心到直线的距 离是2 所以直线与圆相交 故 AB22r，所以AOB 所以22cos2 故选：A 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，向量的数量积，基础题考查了数形结合解题 的思想及转化的思想 第 12 页（共 22 页） 12 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PA PDAD3，则四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为（ ） A20 B1
21、8 C16 D12 【分析】由平面 PAD平面 ABCD，PAPDAD3，求底面 ABCD 矩形外 接圆半径 r四棱锥 PABCD 的高为：利用球心与圆心构造直角三角形， 求解外接球半径 R 即可 【解答】解：由题意，由平面 PAD平面 ABCD，PAPDAD3， 底面 ABCD 矩形外接圆半径 r 四棱锥 PABCD 的高为： 球心与圆心的距离为 d，构造直角三角形， 即 d2+r2R2， 解得：R25 四棱锥 PABCD 的外接球的表面积 S4R220 故选：A 【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能 力的培养 二、填空题二、填空题（每大题共（每大题共
22、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）等腰梯形 ABCD 中，上底 CD1，腰，下底 AB3，以下底所在直 线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为 【分析】根据斜二测画法的规则分别求出等腰梯形的直观图的上底和下底，以及高即可 求出面积 【解答】解：在等腰梯形 ABCD 中，上底 CD1，腰，下底 AB3， 高 DE1， 根据斜二测画法的规则可知，ABAB3，DCDC1，OD， 直观图中的高 DFODsin45， 直观图 ABCD的面积为， 第 13 页（共 22 页） 故答案为：； 【点评】本题主要考查斜二测画法的规则，注意平行于
23、坐标轴的直线平行性不变，平行 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的长度减半 14 （5 分）一个圆锥的表面积为 a（cm2） ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底 面半径为 cm 【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是半圆，求出母线与半径的关系，再 结合圆锥的表面积，构造方程求出半径 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，圆锥的母线为 l， 则由 l2r，解得 l2r； 又圆锥的表面积为 Sr2+r2r3r2a， 解得 r2，所以 r 故答案为：cm 【点评】本题考查了扇形和圆锥的相关计算问题，解题时要弄清圆锥的母线长等于侧面 展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形
24、弧长 15 （5 分）已知 P：Ax|（x1） （x2）0，q：Bx|xa0，若 p 是 q 的必要不 充分条件，则实数x|xa0的取值范围为 （，1） 【分析】利用 p 是 q 的必要不充分条件求解 【解答】解：P：Ax|（x1） （x2）0； P：x|x1 或 x2； q：Bx|xa0； q：x|xa； 又p 是 q 的必要不充分条件； 第 14 页（共 22 页） a1； 故 a 的取值范围为： （，1） 【点评】本题考查了条件的充分性，必要性；属于基础题 16 （5 分）已知过点（2，4）的直线 l 被圆 C：x2+y22x4y50 截得的弦长为 6，则直 线 l 的方程为 x20 或
25、 3x4y+100 【分析】设过点（2，4）的直线 l 的方程为 yk（x2）+4，求出圆 C 的圆心 C（1，2） ， 半径 r，圆心 C（1，2）到直线 l 的距离 d，由此能求出直线 l 的方程；当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2 也满足条件由此能求出直线 l 的方程 【解答】解：设过点（2，4）的直线 l 的方程为 yk（x2）+4， 圆 C：x2+y22x4y50 的圆心 C（1，2） ，半径 r， 圆心 C（1，2）到直线 l 的距离 d， 过点（2，4）的直线 l 被圆 C：x2+y22x4y50 截得的弦长为 6， 由勾股定理得：，即， 解得 k，直线 l 的
26、方程为 y（x2）+4，即 3x4y+100， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2， 圆心 C（1，2）到直线 x2 的距离 d1， 满足，故 x20 是直线 l 的方程 综上，直线 l 的方程为 x20 或 3x4y+100 故答案为：x20 或 3x4y+100 【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点 到直线的距离公式的合理运用 三、解答题三、解答题 17（10分） 已知命题p： 关于x的方程x2ax+40有实根； 命题q： 关于x的函数y2x2+ax+4 在3，+）上是增函数，若“p 或 q”是真命题， “p 且 q”是假命题，求实
27、数 a 的取值 范围 【分析】由已知中，命题 p：关于 x 的方程 x2ax+40 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y2x2+ax+4 在3，+）上是增函数，我们可以求出命题 p 与命题 q 为真或假时，实数 a 第 15 页（共 22 页） 的取值范围，又由“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，构造关于 a 的不等式组，解不等式组 即可得到实数 a 的取值范围 【解答】解：若 p 真：则a2440 a4 或 a4（4 分） 若 q 真：， a12（8 分） 由“p 或 q”是真命题， “p 且 q”是假命题得：p、q 两命题一真一假（10 分） 当 p 真 q 假时：a12；当 p
28、假 q 真时：4a4（12 分） 综上，a 的取值范围为（，12）（4，4） （14 分） 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题 p 与命题 q 为真或假时，实数 a 的取值范围，是解答本题的关键 18（12 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA底面 ABCD， PA1，点 M 是棱 PC 上的一点，且 AMPB （）求三棱锥 CPBD 的体积； （）证明：AM平面 PBD 【分析】 （）先求三棱锥 PBCD 的高为 PA1，即可求三棱锥 CPBD 的体积 VCPBDVPBCD （）先证明 PABD，BD
29、AC，即可证明 BD平面 PAC，从而可证 BDAM，又 AM PB，即可证明 AM平面 PBD 【解答】 解：（） PA底面 ABCD， PA1， 即三棱锥 PBCD 的高为 PA1， 2 分 所以，三棱锥 CPBD 的体积 VCPBDVPBCD，4 分 APSBCD6 分 第 16 页（共 22 页） （）由于 PA底面 ABCD，所以 PABD，7 分 设 AC，BD 的交点为 O， 由正方形知，BDAC，8 分 所以，BD平面 PAC，9 分 从而，BDAM10 分 又 AMPB，所以，AM平面 PBD12 分 【点评】本题主要考察了直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的求法，考察了转化思
30、想， 属于中档题 19 （12 分）已知圆 C 经过点 A（2，0） ，B（0，2） ，且圆心 C 在直线 yx 上，又直线 l： ykx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点 （1）求圆 C 的方程； （2）若，求实数 k 的值 【分析】 （1）圆心在直线 yx 上，设圆 C（a，a）半径 r，|AC|BC|r，求得 a，r， 得到圆 C 的方程 （2）可求得POQ，进而求出圆心到直 l：kxy+10 的距离，再去求 k 【解答】解： （I）设圆 C（a，a）半径 r因为圆经过 A（2，0） ，B（0，2） 所以：|AC|BC|r，解得 a0，r2， 所以 C 的方程 x2+y24 （II）方
31、法一： 因为， 所以，POQ120， 所以圆心到直 l：kxy+10 的距离 d1，所以 k0 方法二：P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，因，代入消元（1+k2）x2+2kx30 由题意得4k24（1+k2） （3）0 且和 因为， 又 y1y2（kx1+1） （kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+1， 第 17 页（共 22 页） 所以， 化简得：5k23+3（k2+1）0， 所以：k20 即 k0 【点评】本题考查求圆的方程的常用方法， （II）中用向量的数量积，求角，解三角形， 点到直线的距离等知识是中档题 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD
32、为菱形，DAB60，PD底面 ABCD，PDDC2，E，F，G 分别是 AB，PB，CD 的中点 （1）求证：ACPB； （2）求证：GF平面 PAD； （3）求点 G 到平面 PAB 的距离 【分析】 （1）证明 AC平面 PBD 即可； （2）取 PA 中点 H，连接 HD，HF，构造平行四边形证明 GFHD； （3）利用等体积法即可求得点 G 到平面 PAB 的距离 【解答】 （1）证明：如图，连接 AC，BD， 因为 PD面 ABCD，且 AC平面 ABCD， 所以 ACPD， 又因为四边形 ABCD 为菱形， 所以 ACBD， 又 PDBDD，PD，BD平面 PBD， 所以 AC平面
33、 PBD， 又 PB平面 PBD， 所以 ACPB； （2）证明：如图取 PA 中点 H，连接 FH，HD， 第 18 页（共 22 页） 因为 F 为 PB 中点， 所以 HFAB，且 HFAB， 又因为四边形 ABCD 为菱形，且 G 为 CD 中点， 所以 DGAB，且 DGAB， 所以 HFDG，且 HFDG， 所以四边形 HDGF 为平行四边形， 所以 GFHD， 因为 GF平面 PAD，HD平面 PAD， 所以 GF平面 PAD， （3）解：设 G 到平面 PAB 的距离为 h， 因为 DCAB，DC平面 PAB，AB平面 PAB， 所以 DC平面 PAB， 所以 VGPABVDP
34、ABVPABD， 所以， 所以 h， 所以 G 到平面 PAB 的距离为 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题考查了线面垂直和线面平行的证明，及等积法求点面距离的方法，属于基 础题 21 （12 分）如图（1）在四边形 PBCD 中，BCPD，ABPD，PA6，ABBC4，AD 8，沿 AB 把三角形 PAB 折起，使 P，D 两点的距离为 10，得到如图（2）所示图形 （）求证：平面 PCD平面 PAC； （ ） 若 点E是PD的 中 点 ， 求 三 棱 锥A PCE的 体 积 【分析】 （）推导出 PAAD，PAAB，从而 PA平面 ABCD，进行 PACD，再求出 ACCD，从而
35、CD平面 PAC，由此能证明平面 PCD平面 PAC （）由 PA平面 ABCD，得平面 PAD平面 ABCD，从而 AB平面 PAD，三棱锥 A 第 20 页（共 22 页） PCE 的体积：VAPCEVCPAEVCPAE，由此能求出结果 【解答】证明： （）由已知在图（2）中，PA6，AD8，PD10， PA2+AD2PD2，PAAD， PAAB，PA平面 ABCD， PACD， ABBC4，AD8， 由平面几何知识得 ACCD4， AC2+CD2AD2，ACCD， PAACA，CD平面 PAC， CD平面 PCD，平面 PCD平面 PAC 解： （）由（）知 PA平面 ABCD， 平面
36、PAD平面 ABCD， ABAD，且平面 PAD 与平面 ABCD 的交线为 AD， AB平面 PAD， 又BCAD，BC平面 PAD， 三棱锥 APCE 的体积： VAPCEVCPAEVCPAE416 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 22 （12 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的离心率是，A1，A2分别为椭圆 E 的左右顶点，B 为上顶点，A1BA2的面积为 2直线 l 过点 D（1，0）且与椭圆 E 交于 P，Q 两点 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）求OPQ
37、面积的最大值； 第 21 页（共 22 页） （3）设直线 A1P 与直线 QA2交于点 N，证明：点 N 在定直线上，并写出该直线方程 【分析】 （1）根据离心率和三角形的面积即可求出 a2，b1， （2）分两种情况，当 PQ 斜率不存在时，SOPQ，当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为 yk（x1） ，k0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、 ，函数的 性质，结合已知条件能求出OPQ 的面积的最大值 （3）分两种情况，PQ 斜率不存在时，易知 N（4，） ，当直线 PQ 的斜率存在时，直 线 A1P 的方程为 y（x+2） ，直线 A2Q 的方程为 y（x2） ，即可整理化
38、 简可得，解得即可 【解答】解：由题意知 e， ，即 a2b， A1BA2的面积为 2， ab2， 解得 a2，b1， 椭圆 C 的标准方程为+y21， （2）PQ 斜率不存在时，易知 P（1，） ，Q（1，） ，此时 SOPQ， 当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为 yk（x1） ，k0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 将 yk（x1）代入+y21，整理可得（1+4k2）x28k2x+4k240， x1+x2，x1x2， 第 22 页（共 22 页） |x1x2|， SOPQ1|y1y2|x1x2|， 令 1+4k2t，t1， SOPQ， 故OPQ 面积的最大值 证明（3）PQ 斜率不存在时，易知 N（4，） ， 当直线 PQ 的斜率存在时，直线 A1P 的方程为 y（x+2） ，直线 A2Q 的方程为 y （x2） ， （x+2）（x2） ， ， 解得 x4，即 N 点的横坐标为 4， 综上所述，点 N 在定直线 x4 上 【点评】本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、考查考查推理论证能 力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档 题
