1、 2018-2019 学年高三上学期开学考试数学（理）试题考试说明：（1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分, 满分 150 分考试时间为 120 分钟（2）第 I 卷、第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡第 I 卷（选择题, 共 60 分 ）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1下列复数是纯虚数的是A B C D3i2018i2019i41i2某校共有 500 名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩 服从正态分布X，若 ，则该校高二学生语文成绩在 120 分以上的
2、人数210,N.3PX大约为A70 B80 C90 D1003已知集合 ， ，则,|2Rx ,21|RxxB)(BACA B C 或 D12|x|1|2x或|4已知命题 ： ，使得 ，则 为 p0x1)2(0xepA ，总有 B ，使得0x1)2(xe01)2(0xeC ，总有 D ，使得x05.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是xy2301xy2zyA B C. D1 56.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的 12 个球，其中黄球 5 个，蓝球 4 个，绿球 3 个.现从盒子中随机取出两个球，记事件 为“取出的两个球颜色不同” ，事件 为“取出一个黄球，一个绿AB球” ，则 (|)PB
3、A B C D124721204715477方程 至少有一个负根的充要条件是 0xaA B C D 或10a1a10a8设 ，则 的大小关系是0.13592,ln,log10abc,bcA. B. C. D. caacbca9底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.323323210在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为A. B. C D.543)526(4511若 ， ，则 的最小值为,ab1babA B C D32+3231712已知函数 ，
4、若函数 的图象上存在点 ，使得()e,()(0)xfgx)(xfy),(0yxP在点 处的切线与 的图象也相切，则 的取值范围是y0yP(xgyaA B C D(0,1(,2e(1,2e1(2e，第卷（非选择题, 共 90 分 ）2、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡相应的位置上)K13二项式 的展开式中含 项的系数为 7)21(xx14九章算术是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，
5、十二而一”就是说：圆堡壔(圆柱体) 的体积 V (底面的圆周长的平方高)，则该问题中圆周率 的取值为112 _(注：一丈10 尺 )15已知 f(x)log (x2ax3a)在区间2，)上为减函数，则实数 a 的取值范围是12_.16已知 F 是椭圆 C： 的右焦点，P 是椭圆上一点， ，当APF 周长最大时，该2156y36(0,)5A三角形的面积为_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分 12 分）如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点(含端点) ，记 BAD， ADC.（I）求 的最大值；cos2（II）若 B
6、D 1， ，求ABD 的面积718 （本小题满分 12 分）哈三中 2016 级高二期中考试中，某班共 50 名学生，数学成绩的优秀率为20%，物理成绩大于 90 分的为优秀，物理成绩的频率分布直方图如图（I）这 50 名学生在本次考试中，数学、物理优秀的人数分别为多少？（II）如果数学、物理都优秀的有 6 人，补全下列 列联表，并根据列联表，判断是否有2以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？%5.9物理成绩/分60708090100O0030002600240020频率/组距附： ，其中 .22nadbcKdnabcd0k.7.063.8415.026357.8910.22P15.119 （
7、 本题满分 12 分）如图 ， 是边长为 的等边三角形， ， 分别为 ， 靠近 ，ABC6EDABC的三等分点，点 为 边的中点，线段 交线段 于 点，将 沿 翻折，使平CGGF面 平面 ，连接 ， ， 形成如图 所示的几何体AEDB2() 求证： 平面 ；F() 求二面角 的余弦值20 （本题满分 12 分）已知动点 到定点 和定直线 的距离之比为 ，设动点 的M)0,1(F4x12M轨迹为曲线 C（I）求曲线 的方程；（II）设 ，过点 作斜率不为 的直线 与曲线 交于两点 ，设直线 的斜率)0,4(PF0lC,AB,PB分别是 ，求 的值12k12k物理优秀 物理非优秀 总计数学优秀 6
8、数学非优秀总计21（本题满分 12 分）设函数 ， ，(其中 ).21mxgxe()(2)mxfxgeR（I）当 时,求函数 的极值; 1m（II）求证：存在 ，使得 在 内恒成立，且方程 在 内有唯一(0,)()0fx(,)()0fx(,)解.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.(本小题 10 分)已知直线 （ 为参数） ，曲线 （ 为参数）.tyxl21: sin3co2:1yxC（I）求直线 与曲线 的普通方程；l1C（II）已知点 ，若直线 与曲线 相交于 两点（点 在点 的上方） ，求)0,(),Fl1CBA,B的值.|11
9、BAF23.（本小题 10 分）已知关于 x 的不等式|2x 1|x 1|log 2a(其中 a0)（I）当 a4 时，求不等式的解集；（II）若不等式有解，求实数 a 的取值范围四川省棠湖中学 2018-2019 学年高三上学期开学考试数学（理）答案1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.D 10.A 11.D 12.B13. 143 15. 16.8354,a51417解：(1)由 ABC 是等边三角形，得 ， 30 ，故 2cos cos =2cos cos sin ， 3 ( 3) 3 ( 3)故当 ，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 . 6 3(2)
10、由 cos ，得 sin ，17 437故 sin sin sin cos cos sin ，( 3) 3 3 3314由正弦定理 ，ABsin ADB BDsin BAD故 AB BD 1 ，故 S ABD ABBDsin B 1 .sin sin 4373314 83 12 12 83 32 23318.（1）10,12 （2） 有2.K19.解：（）证明：在图 1 中，由ABC 是等边三角形，E ，D 分别为 AB，AC 的三等分点，点 G为 BC 边的中点，则 DE AF，DEGF ，DEBC. 在图 2 中，因为 DEAF，DEGF，AF FGF，所以 DE平面 AFG.又 DE B
11、C，所以 BC平面 AFG. ()解：因为平面 AED平面 BCDE，平面 AED平面BCDEDE ，AF DE，所以， 平面 又因为 DEGF，AFBCDE所以 FA，FD ，FG 两两垂直 以点 F 为坐标原点，分别以 FG，FD，FA 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz.则A(0， 0，2 )，B( ，3，0)，E(0，2，0)，3 3所以 ( ， 3，2 )， ( ，1 ，0)AB 3 3 BE 3设平面 ABE 的法向量为 n(x，y，z )，则 即 取 x1 ，则 y ，z 1 ，则 n(1， ，1) nAB 0，nBE 0， ) 3x 3y 23
12、z 0， 3x y 0， ) 3 3显然 m(1，0，0)为平面 ADE 的一个法向量，所以 cosm，n . 由图形可知二面角 BAED 为钝角，mn|m|n| 55所以，二面角 BAE D 的余弦值为 . 5520.解：（I）设 ,则依题意有 ，Mxy214)(2xy整理得 ,即为曲线 的方程. 2143C（）设直线 ,则)0(:tyxl ),1(),(21ytBytA由 联立得：12432tyx 096432tt9,6221 tyt ；即12k 09639)(2)(33212121 ttyttytt 120k21.解：（I）当 时, , mxgxe 1xxxxgeee令 ,得 , ,当
13、变化时, 的变化如下表:0gx12ln(),00ln2lln2,f0xA极大值 A极小值 A由表可知, ； ；2(ln)lngx极 小 (0)1gx极 大（II）设 ， ， ，若 要有解，需 有单减区间，则0m()mfe01f()ffx要有解()fx，由 ， ，记 为函数 的导数2(2)xmxe()0fm()f()f则 ，当 时 单增，令 ，由 ，得 ，需考察()f)0()fxx012lnxm与区间 的关系：0x,当 时， ， ，在 上 ， 单增，2mln0x(,)0()fxf()fx()fxf故 单增， ， 无解；()1xf()fx当 ，时， ， ，因为 单增，在 上 ，在 上2mln02l
14、n0m()fx0(,)x(f0(,)x()0fx当 时，min0()()fxf12ln22l)(ln)l(1ln)emm（i）若 ，即 时， ， 单增， ， 无解；21lmin()0fxfx(0fx0fx（ii）若 ，即 ， ，在 上， ， 单减；n02ei0,)()， ， 在区间 上有唯一解，记为 ；在 上，(0)fm()fx()0fx0(,)x1x0,单增 ， ，当 时 ，故 在区间 上有唯一,x0f()f(,)x解，记为 ，则在 上 ，在 上 ，在 上 ，当 时，21(,)(f12(,)(2,f2取得最小值 ，此时()fx2fxme若要 恒成立且 有唯一解，当且仅当 ，即 ，由 有0()
15、02()0fx20mxe2()0fx2mxe联立两式 解得 .综上，当 时，20x2xm0e2()0fx22.解：（1）由直线已知直线 （ 为参数） ，消去参数 得：21,:,xtlyt10xy曲线 （ 为参数）消去参数 得： .12cos,:3inxCy1342yx（2）设 21,2, tBtA将直线 的参数方程代入 得： l 342yx01867tt由韦达定理可得： 结合图像可知 ，,62121tt 0,21t由椭圆的定义知： ；1FABFA. 21267FBtt23.解：(1)当 a4 时，log 2a2，当 x 时， x22，得4 x ；当 x1 时，3 x2，得 x ；12 12 12 12 23当 x1 时，此时 x 不存在所以不等式的解集为 x|4 x 23(2)设 f(x)|2 x1| x1| x 2， x 12，3x， 12 x 1，x 2， x 1， )由 f(x)的图象知 f(x) ， f(x)min .log 2a ， a .所以实数 a 的取值范围是32 32 32 24 ，).24
