1、一、选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 2 lg(34)Ax yxx=，集合22 x By y=+，U = R，() U C AB =（ ） A.(0 4 , B.(2)+ , C.2 5) , D.(2 4 , 2. 已知i为虚数单位，且复数z满足 20203 (12 )ziii+=+，则复数z的虚部为 （ ） A. 3 5 iB. 3 5 C. 1 5 D.1 3. 已知数列 n a为等比数列，前n项的和为 n S，且 1 1a =， 3 7S =，则 4 a =（ ） A.4 B.27 C.8 D.
2、8或27 4. 2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发， 一方有难八方支援， 全国各地的白衣天使走上战场的第一线， 某医院抽调甲 乙丙三名医生， 抽调, ,A B C三名护士支援武汉第一医院与第二医院， 参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院， 其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为 （ ） A. 1 12 B. 1 6 C. 1 5 D. 1 9 5. 函数( )2020sin2f xxx=+，且满足 2 ()(1)0f xxft+恒成立，则实数t的取值范围为 （ ） A.2)+ , B.1)+ , C. 3 ( 4 , D.(1 , 6
3、. 已知双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab = , 的一条渐近线的倾斜角为 3 ， 且双曲线过点(2 3)P , ， 双曲线两条渐近线与过右焦点F且 垂直于x轴的直线交于,A B两点，则AOB的面积为 （ ） A.4 3B.2 3C.8 D.12 7. 已知函数 2 ( )sin()sincos 3 f xxxx=+的图象向右平移 6 单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数( )g x，则关于函数 ( )g x的结论正确的是 （ ） A.最小正周期为 B.关于 6 x =对称 C.最大值为1 D.关于 (0) 24 , 对称 8. 已知在等边三角形ABC中，2AB =，A
4、D为BC的中线， 以AD为轴将ABD折起， 得到三棱锥ABCD， 使得120BDC=， 则三棱锥ABCD的外接球的表面积为 （ ） A.2B.4 C.6D.7 9. 函数 52sin ( )( 0)(0 ) 33 xx xx f xx + = , , 的图象可能为 （ ） A.B. C.D. 10. 已知圆的方程为 22 1xy+=，点()P x y , 是圆上的任一点，则不等式 2 24xyxytt+恒成立，则实数t的取值范围 为 （ ） A. 2 3 , B. 2 4 , C. 3 1 , D. 3 5 , 11. 函数 10 ( ) 1 ( )0 2 x xx f x x = , 的最大
5、值为1，则 11 ab +的最小值为_. 15. 在ABC中，三个内角A B C , , 所对的边为a b c , , ，且满足 ( coscos)cos1 22 aBbAB ab + = + ，4c =，则ABC的面积的最大值 为_. 16. 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p=的准线方程为2x = ，焦点为F，准线与x轴的交点为A B , 为抛物线C上一点，且满足 52BFAB=，则点F到AB的距离为_. 学校：学校： 班级班级： 姓名姓名： 考号考号： _装装_订订_线线_ 文科数学试题第 4 页（共 4 页） 文科数学试题第 3 页（共 4 页） 三、解答题三、解答题：共 70
6、分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（一）必考题：共 60 分。 17. （12 分）已知数列 n a满足 11 121 nn aaa + =+ , ，数列 n b的前n项的和为 2 n Sn=. （1）求出数列 n a, n b的通项公式; （2）求数列 nnn cb a=的前n项的和 n T. 18. （12 分）在几何体PEABCD中，PDABCD 面，直角梯形 ABCD 中， / /ABADABCD, ，且222CDABAD=， 且/ /ECPD， 1 2 ECPD
7、=. （1）求证：平面EBC 平面PDB; （2）若直线PB与平面PDC所成角的正切值为 2 2 ，求平面PBD分几何体的两部分的体积之比. 19. （12 分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情 况，某学校在网上随机抽取120名学生对于线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人 对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意. （1）完成22列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”; 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 120 （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，
8、利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生中抽取 2 名学生，作线上学 习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率. 参考公式：附： () ()()()() 2 2= n adbc K abadbccd + () 2 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 20. （12 分） 已知离心率为 2 2 的椭圆 22 22 1,(0) xy ab ab +=经过抛物线 2 4xy= 的焦点F， 斜率为1的直线l经过(1 0) , 且 与椭圆交于C D
9、, 两点. （1）求COD面积; （2）动直线m与椭圆有且仅有一个交点，且与直线1,2xx=分别交于A B , 两点，且 2 F为椭圆的右焦点，证明 2 2 AF BF 为定值. 21. （12 分）已知函数 2 1 ( )ln () 2 f xxaxx a=+R. （1）当函数( )f x在(1 3) , 内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围; （2）若函数( )f x有两个不同的极值点 12 xx , ，求证： 1 2 315 2 ()2ln2 4 f x x . （二）选考题：（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22
10、. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 4 31 xta yt = =+ ， （t为参数，a为常数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 6 2cos = + . （1）当直线l与曲线C相切时，求出常数a的值; （2）当()x y , 为曲线C上的点，求出23xy+的最大值. 23. 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( )361f xxxax=+(aR). （1）当1a =时，解不等式( )10f x ; （2）若方程( )0f x =有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
11、 学校：学校： 班级班级： 姓名姓名： 考号考号： _装装_订订_线线_ 文科数学答案第 1 页（共 4 页） 文科数学答案第 2 页（共 4 页） 一、选择题一、选择题 1. 【答案】【答案】D 【解析】【解析】集合 A 满足： 2 340xx，(4)(1)0xx+，4x 或 1x ，2By y=，可知() 24 U C ABxx=， 可知函数( )f x为单调递增的奇函数， 2 ()(1)0f xxft+可以变 为 2 ()(1)(1)f xxftf t+ =， 可知 2 1xxt+ ， 2 1txx +， 22 133 1() 244 xxx+ =+， 可知实数 3 4 t ，故实数t的
12、取值范围为 3 ( 4 , 故选 C. 6. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】双曲线的渐近线方程为3yx= ，可知双曲线的方程为 2 2 3 y x=，把点()2 3P , 代入可得43=，1=， 双曲线的方程为 2 2 1 3 y x =， 2 1 34c = +=， 2c =，()2 0F , ，可得 () 2 2 3A , ， () 22 3B , ， 可得 1 2 4 34 3 2 AOB S= = 故选 A. 7. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 2 ( )sin()sincos 3 f xxxx=+ 1cos2 (sin coscos sin)sin 332 x xxx
13、+ =+ 3131313 sin2cos2(sin2cos2 ) 4442224 xxxx=+=+ 13 sin(2) 264 x=+， 把函数( )f x的图象向右平移 6 单位，再把横坐标缩小到原来的一 半，得到函数( )g x，可得 13 ( )sin(4) 264 g xx=+，最小正周期为 2 42 =，故选项 A 错误； ,44 66662 xx=，故选项 B 正确； 最大值为 135 244 +=，故选项 C 错误； 对称中心为 3 ()() 424 4 k kZ+ , ，故选项 D 错误故选 B. 8. 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 可知120BDC=， 且3AD =，
14、1BDDC=， 在BDC 中， 根据余弦定理可得 2 1 12 1 1 cos1203BC = + =，3BC=， 根据正弦定理可得2 sin120 BC r= ， 3 2 3 2 r=，1r =， 1 O为BDC 的外心，过点 1 O作 1 OOBDC 平面，O 为三棱锥 ABCD的外接 球的球心，过点 O 作OKAD，K 为 AD 的中点，连接 OD 即为 外接球的半径 22 37 = 1() 22 R+=，可得外接球的表面积 22 7 44 ()7 2 SR=故选 D. 9. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】因为 5()2sin()52sin ()( ) 3333 xxxx xxxx
15、 fxf x + = ， 所以( )f x是偶函数， 排除 B， D， 因为 5 ()0 33 f = ， 排除 C 故选 A. 10. 【答案】【答案】C 【解析】【解析】点()P x y , 是圆上的任一点，设cosx=，siny=， 则cossincossinxyxy+=+， 设sincosv=+， 2 1 cossin 2 v =，22v , ， 则cossincossinxyxy+=+ 2 2 11 (1)11 22 v vv =+=+ ， 可知 2 241tt+ ， 2 230tt+，31t 故选 C. 11. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数的图象可知，方程 2( )
16、 ( ) 10fxaf x+ =有四个不 同的实根，设( )f xt=，则 2 10tat+ =有两个不同的正根， 满足 2 1 2 12 40 02 10 a t taa tt = = += ，可得实数a的取值范围为(2)+ , 故选 A. 12. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由( )( )sin x g xh xexx+=+ 得()()sin x gxhxexx +=+， 由函数( )f x，( )g x分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数， 得：( )( )sin x g xh xexx =+， 联立方程消元即得：( ) 2 xx ee g x + =， 所以( ) 202020
17、20 2020 2 32 2 xx x ee f x + =，设2020xt= R， 则函数 2 32 2 tt x ee y + =有唯一零点， 设( ) 2 32 2 tt t ee F t + =， ()( ) 2 32 2 tt t ee FtF t + =， ( )F t为偶函数，又( )yF t=与 t 轴有唯一的交点， 此交点的横坐标为 0， 2 12=，解得1= 或 1 2 = 故选 A 二、二、填空填空题题 13. 【答案】【答案】 9 5 5 【解析】【解析】向量ab+ 在a 上的投影为 ()( 1,5) (1,2)9 5 cos 55 ab a ab a + += . 1
18、4. 【答案】【答案】52 6+ + 【解析】【解析】首先作出可行域，把(0,0)zaxby ab=+变形为 az yx bb = +，根据图象可知当目标函数过点 A 时， 取最大值为 1， 10 (3,2) 240 xy A xy = = ， 代入可得321ab+=， 则 113232abab abab + +=+ 2323 325252 6 baba abab =+=+， 当且仅当 6 2 ba=时取等号，可知最小值为52 6+. 15. 【答案】【答案】 4 3 3 【解析】【解析】 ( coscos )cos1 22 aBbAB ab + = + ，根据正弦定理可得 2( coscos
19、 )cos2aBbABab+=+， 2 cos2cBab=+， 2sincos2sinsinCBAB=+， 2sincos2sin()sinCBBCB=+， 可得sin(2cos1)0BC +=， 1 cos 2 C= ， 0C ， 所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. -6 分 文科数学答案全解全析 文科数学答案第 3 页（共 4 页） 文科数学答案第 4 页（共 4 页） （2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， 可设男生分为 1 A， 2 A， 3 A， 女生分为 1 B， 2 B， 3 B， 4 B， 5 B，可知所有的可能情况为： 12 ( , )AA，
20、 13 ()AA , ， 11 ()AB , ， 12 ()AB , ， 13 ()AB , ， 14 ()AB , ， 15 ()AB , ， 23 ()AA , ， 23 ()AA , ， 22 ()AB , ， 23 ()AB , ， 24 ()AB , ， 25 ()AB , ， 31 ()AB , ， 32 ()AB , ， 33 ()AB , ， 34 ()AB , ， 35 ()AB , ， 12 ()BB , ， 13 ()BB , ， 14 ()BB , ， 15 ()BB , ， 23 ()BB , ， 24 ()BB , ， 25 ()BB , ， 34 ()BB , ，
21、 35 ()BB , ， 45 ()BB , ，-10 分 共有 28 组，其中一男生一女生情况有 15 组，所求的概率为 15 28 p =，故所求的概率为 15 28 .-12 分 20. 【解析】【解析】（1） 2 4xy= ， 焦点(01)F , ， 代入得1b =， 2 2 c e a = ， 222 abc=+，解得 2 2a =， 2 1b =， 2 2 1 2 x y+=，-2 分 直线的斜率为 1，且经过(1 0) , ，则直线方程为1yx=， 联立 2 2 1 2 1 x y yx += = ，解得 0 1 x y = = 或 4 3 1 3 x y = = ， (01)C
22、， 4 1 () 3 3 D，-4 分 4 2 3 CD=，又原点 O 到直线1yx=的距离 d 为 2 2 ， 114 222 22323 COD SCD d= .-6 分 （2）根据题意可知直线m的斜率存在，可设直线m的方程为： ykxt=+，联立 2 2 1 2 ykxt x y =+ += ， 222 (21)4220kxktxt+=，可得 222 (4 )4(21)(22)0ktkt =+=，整理可得 22 21tk=+， 可知 2(1,0) F，(1,)Akt+，(2,2)Bkt+，-8 分 则 22 2 22 2 (1 1)(0) (2 1)(20) AFkt BF kt + =
23、 + 22 22 2 1(44) kktt kktt + = + 22 22 22 2 242 kktt kktt + = + 为定值. -12 分 21. 【解析】【解析】 （1）函数( )f x的定义域为(0)+ , ， 2 11 ( ) xax fxxa xx + =+=. 设 2 ( )1h xxax=+，函数( )h x在(1 3) , 内有且只有一个零点， 满足(1)(3)0hh = ，- 6 分 2 111 22 33 2 ()22lnf xxaxx xx =+ 222 11211111 2()2ln3222ln3xxxxxxxxxx=+=+ 2 111 2ln32xxx= +-
24、8 分 设 2 ( )2ln32F xxxx= +， 2 2232 ( )23 xx F xx xx + = +=， 令( )0F x =，可得 1 2 x =，2x = （舍去） ， 可知函数( )F x在 1 (0) 2 , 单调递增，在 1 () 2 + , 单调递减， max 111115 ( )( )2ln322ln2 24224 F xF= + = ， 故可证得： 1 2 315 2 ()2ln2 4 f x x .-12 分 22. 【解析】【解析】（1） 由题可知， 222 2cos6+=， 222 2()6xyx+=， 曲线 C 的直角坐标方程为 22 1 32 yx +=，
25、 直线l的普通方程为34430xya+=，-3 分 两方程联立可得 22 336 (43 )(43 )480xa xa+ +=， 可知 22 6 (43 )4 33 (43 )480aa =+ +=，解得 664 3 a =或 664 3 a =.-6 分 （2）曲线 C 的方程 22 1 32 yx +=，可设 2cos 3sin x y = = ， 则 22 232 2cos3 3sin(2 2)(3 3) sin()xy+=+=+， 其中 2 6 tan 9 =，可知最大值为 22 (2 2)(3 3)35+=. -10 分 23. 【解析】【解析】 （1）当1a =时，( )36110
26、f xxxx=+， 当1x 时，(36)(1)10xxx+，解得1x ， 可得1x 时，(36)(1)10xxx+，解得5x ， 综上可得51x xx 或.-4 分 （2）由( )0f x =可知，( )3610f xxxax=+=， 361xxax+=， 设( )361g xxx=+，( )h xax=， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，-6 分 451 ( )2712 452 xx g xxx xx + , , , ，可得(2 3)A , ， 当函数( )h x与函数( )g x的图象有两个交点时， 方程( )0f x =有两个不同的实数根，-8 分 由函数图象可知，当 3 4 2 a时，有两个不同的解， 故实数a的取值范围为 3 (4)
