1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1的倒数是（ ） A2 B C2 D1 2下列各式中，计算正确的是（ ） A8a3b5ab B（a 2）3a5 Ca 8a4a2 Da 2aa3 3将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则1 的度数为（ ） A60 B65 C75 D85 4一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A B C D 5已知反比例函数y，在下列结论中，不正确的是（ ） A图象必经过点（1，2） By随x的增大而减少 C图象在第一、三象限 D若x1，则y2 6若关于x的一元二次方程x 22x+m0 有实数根，则实数 m的取值范围是
2、（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 7十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有 6000 米的钢轨需要铺设，为确 保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务设 原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ） A15 B15 C20 D20 8如图，在ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于 （ ） A B C D 二、填空题（共有 10 小题） 9若分式有意义，则x的取值范围是 10分解因式：2a 38a 11中国“神威太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250
3、000 000 用科学记数法可表示为 12如图，ABC和DCE都是边长为 2 的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为 13某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商 品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元 14如图所示，一次函数yax+b（a、b为常数，且a0）的图象经过点A（4，1），则不 等式ax+b1 的解集为 15已知不等式组的解集为x1，则k的取值范围是 16如图，在 RtABC中，C90，AM是BC边上的中线，sinCAM，则 tanB的 值为 17关于x的分式方程+1 的解为正数，则a
4、的取值范围是 18如图，在平面直角坐标中，一次函数y4x+4 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两 点 正方形ABCD的顶点C、D在第一象限， 顶点D在反比例函数y （k0） 的图象上 若 正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值 是 三、解答题（共 10 小题） 19（1）计算：|+（1） 2019+2sin30+（ ） 0 （2）解方程： 20先化简，再求值（），其中a满足a 2+3a20 21关于x的方程x 22x+2m10 有实数根，且 m为正整数，求m的值及此时方程的根 22如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE
5、，延长AE交 BC的延长线于点F求证： （1）FCAD； （2）ABBC+AD 23在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标 三角形例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则OAB为此函数的 坐标三角形 （1）求函数yx+3 的坐标三角形的三条边长； （2）若函数yx+b（b为常数）的坐标三角形周长为 16，求此三角形面积 24已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB60m， 并且AB与地面成 45角，欲升高发射塔的高度到CB，同时原地锚线仍使用，若塔升 高后使地锚线与地面成 60角，求电视发射塔升高了多少米（
6、即BB的高度）？ 25 如图， 帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点， 教练船静候于点O， 训练时要求A、B两船始终关于O点对称以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向设A、B两船可近似看成在双曲线y上运动， 湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中档教练船与A、B两船恰好在直线yx上时，三 船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南 45方向上，A船测得 AC与AB的夹角为 60，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C 三船可分别用A、B、C三点表示） （1）发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A（ ，
7、 ）、B （ ， ）和C（ ， ）； （2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救 援， 设A、B两船的速度相等， 教练船与A船的速度之比为 3： 4， 问教练船是否最先赶到？ 请说明理由 26某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元、工厂将该产品进行网络批 发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数 关系 （1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若一次性批发量不超过 60 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是 多少？ 27数学课上，老师出示了如下框中的题目
8、 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况探索结论 当点E为AB的中点时，如图 1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论：AE DB（填“”，“”或“”） （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“”或“”）理由 如下：如图 2，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你接着继续完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，且EDEC若ABC的 边长为 3，AE5，求CD的长（请你直接写出结果） 28如图 1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在
9、x轴上点 F处，折痕为AE，已知AB8，AD10，并设点B坐标为（m，0），其中m0 （1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图 2，设抛物线ya（xm+6） 2+h 经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若 OAM90，求a、h、m的值 参考答案 一、选择题（共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1的倒数是（ ） A2 B C2 D1 解：的到数是2， 故选：A 2下列各式中，计算正确的是（ ） A8a3b5ab B（
10、a 2）3a5 Ca 8a4a2 Da 2aa3 解：A、8a与 3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意； B、（a 2）3a6，故选项 B不合题意； C、a 8a4a4，故选项 C不符合题意； D、a 2aa3，故选项 D符合题意 故选：D 3将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则1 的度数为（ ） A60 B65 C75 D85 解：如图： BCA60，DCE45， 2180604575， HFBC， 1275， 故选：C 4一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A B C D 解：几何体的俯视图是： 故选：C 5已知反比例函数y，在下列结论中，不正确
11、的是（ ） A图象必经过点（1，2） By随x的增大而减少 C图象在第一、三象限 D若x1，则y2 解：A、122，图象必经过点（1，2），故本选项正确； B、 反比例函数y中，k20， 此函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小， 故本选项错误； C、反比例函数y中，k20，此函数的图象在一、三象限，故本选项正确； D、当x1 时，此函数图象在第一象限，0y2，故本选项正确 故选：B 6若关于x的一元二次方程x 22x+m0 有实数根，则实数 m的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 解：关于x的一元二次方程x 22x+m0 有实数根， （2） 24m0， 解得：m1 故选：B
12、7十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有 6000 米的钢轨需要铺设，为确 保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务设 原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ） A15 B15 C20 D20 解：设原计划每天铺设钢轨x米，可得：， 故选：A 8如图，在ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于 （ ） A B C D 解：连接AM， ABAC，点M为BC中点， AMCM（三线合一），BMCM， ABAC5，BC6， BMCM3， 在 RtABM中，AB5，BM3， 根据勾股定理得：AM4， 又SA
13、MCMNACAMMC， MN 故选：C 二、填空题（共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写 在答题卡相应位置上） 9若分式有意义，则x的取值范围是 x4 解：依题意得：x40 解得 x4 故答案是：x4 10分解因式：2a 38a 2a（a+2）（a2） 解：原式2a（a 24）2a（a+2）（a2）， 故答案为：2a（a+2）（a2） 11中国“神威太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为 1.2510 9 解：将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为 1.
14、2510 9 故答案为：1.2510 9 12如图，ABC和DCE都是边长为 2 的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为 2 解：过D作DFCE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF1 在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF 23 在直角三角形BDF中，BFBC+CF2+13， 根据勾股定理得：BD2 13某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商 品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 2000 元 解：设这种商品的进价是x元， 由题意得，（1+40%）x0.82240 解得：x2000， 故
15、答案为 2000 14如图所示，一次函数yax+b（a、b为常数，且a0）的图象经过点A（4，1），则不 等式ax+b1 的解集为 x4 解：函数yax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增 大， 故不等式ax+b1 的解集是x4 故答案为：x4 15已知不等式组的解集为x1，则k的取值范围是 k2 解： 由得x1； 由得xk+1 不等式组的解集为x1， k+11， 解得k2 故答案为k2 16如图，在 RtABC中，C90，AM是BC边上的中线，sinCAM，则 tanB的 值为 解：RtAMC中，sinCAM， 设MC3x，AM5x，则AC4x M是BC的中点
16、，BC2MC6x 在 RtABC中，tanB 17关于x的分式方程+1 的解为正数，则a的取值范围是 a5 且a3 解：去分母得：1a+2x2， 解得：x5a， 5a0， 解得：a5， 当x5a2 时，a3 不合题意， 故a5 且a3 故答案为：a5 且a3 18如图，在平面直角坐标中，一次函数y4x+4 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两 点 正方形ABCD的顶点C、D在第一象限， 顶点D在反比例函数y （k0） 的图象上 若 正方形ABCD向左平移n个单位后， 顶点C恰好落在反比例函数的图象上， 则n的值是 3 解：过点D作DEx轴，过点C作CFy轴， ABAD， BAODAE， ABAD
17、，BOADEA， ABODAE（AAS）， AEBO，DEOA， 易求A（1，0），B（0，4）， D（5，1）， 顶点D在反比例函数y上， k5， y， 易证CBFBAO（AAS）， CF4，BF1， C（4，5）， C向左移动n个单位后为（4n，5）， 5（4n）5， n3， 故答案为 3； 三、解答题（共 10 小题，共 96 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤） 19（1）计算：|+（1） 2019+2sin30+（ ） 0 （2）解方程： 解：（1）原式+（1）+2+1 +（1）+1+1 1； （2）方程两边同乘以（x2）得：x 2+2+x
18、26，即 x 2+x60， 分解因式得：（x2）（x+3）0， 解得：x12，x23， 检验：当x2 时，x20，故x2 不是方程的根， 则分式方程的解为x3 20先化简，再求值（），其中a满足a 2+3a20 解：（） （） ， a 2+3a20， a 2+3a2， 原式1 21关于x的方程x 22x+2m10 有实数根，且 m为正整数，求m的值及此时方程的根 解：关于x的方程x 22x+2m10 有实数根， b 24ac44（2m1）0， 解得：m1， m为正整数， m1， x 22x+10， 则（x1） 20， 解得：x1x21 22如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连
19、接AE、BE，BEAE，延长AE交 BC的延长线于点F求证： （1）FCAD； （2）ABBC+AD 【解答】证明：（1）ADBC（已知）， ADCECF（两直线平行，内错角相等）， E是CD的中点（已知）， DEEC（中点的定义） 在ADE与FCE中， ， ADEFCE（ASA）， FCAD（全等三角形的性质） （2）ADEFCE， AEEF，ADCF（全等三角形的对应边相等）， BE是线段AF的垂直平分线， ABBFBC+CF， ADCF（已证）， ABBC+AD（等量代换） 23在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标 三角形例如，图中的一次函数的图象
20、与x，y轴分别交于点A，B，则OAB为此函数的 坐标三角形 （1）求函数yx+3 的坐标三角形的三条边长； （2）若函数yx+b（b为常数）的坐标三角形周长为 16，求此三角形面积 解： （1）直线yx+3 与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴交点坐标为（0，3）， 函数yx+3 的坐标三角形的三条边长分别为 3，4，5 （2）直线yx+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴交点坐标为（0，b）， AB|b|， 当b0 时，得b4， 此时，SAOB， 坐标三角形面积为； 当b0 时，得b4， 此时，SAOB|， 坐标三角形面积为 综上，当函数yx+b的坐标三角形周长为 16 时，面积为 24已知
21、电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB），若AB60m， 并且AB与地面成 45角，欲升高发射塔的高度到CB，同时原地锚线仍使用，若塔升 高后使地锚线与地面成 60角，求电视发射塔升高了多少米（即BB的高度）？ 解：在 RtABC中，sin45， BCABsin45得到BC30米 在 RtABC中，sin60， BCABsin6030米 BB30（）米 25 如图， 帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点， 教练船静候于点O， 训练时要求A、B两船始终关于O点对称以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向设A、B两船可近似看
22、成在双曲线y上运动， 湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中档教练船与A、B两船恰好在直线yx上时，三 船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南 45方向上，A船测得 AC与AB的夹角为 60，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C 三船可分别用A、B、C三点表示） （1） 发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A（ 2 ， 2 ）、B（ 2 ， 2 ）和C（ 2 ， ）； （2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救 援， 设A、B两船的速度相等， 教练船与A船的速度之比为 3： 4， 问教练船是否最先赶到？ 请说明
23、理由 解：（1）CEx轴于E，解方程组得， A（2，2），B（2，2）， 在等边ABC中可求OA2， 则OCOA2， 在 RtOCE中，OECEOCsin452， C（2，2）； （2）作ADx轴于D，连AC、BC和OC， A（2，2）， AOD45，AO2， C在O的东南 45方向上， AOC45+4590， AOBO，ACBC， 又BAC60， ABC为正三角形， ACBCAB2AO4， OC2， 由条件设教练船的速度为 3m，A、B两船的速度都为 4m， 则教练船所用时间为，A、B两船所用时间均为， ， ； 教练船没有最先赶到 26某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元
24、、工厂将该产品进行网络批 发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数 关系 （1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若一次性批发量不超过 60 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是 多少？ 解：（1）当 0x20 且x为整数时，y40； 当 20x60 且x为整数时，yx+50； 当x60 且x为整数时，y20； （2）设所获利润w（元）， 当 0x20 且x为整数时，y40， w（4016）20480 元， 当 20x60 且x为整数时，yx+50， w（y16）x（x+5016）x， wx 2+34x，
25、w（x34） 2+578， 0， 当x34 时，w最大，最大值为 578 元 答：一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元 27数学课上，老师出示了如下框中的题目 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况探索结论 当点E为AB的中点时，如图 1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论：AE DB（填“”，“”或“”） （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“”或“”）理由如 下：如图 2，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你接着继续完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线上A
26、B上，点D在直线BC上，且EDEC若ABC的 边长为 3，AE5，求CD的长（请你直接写出结果） 解：（1）答案为： （2）答案为： 证明：在等边ABC中，ABCACBBAC60，ABBCAC， EFBC， AEFABC，AFEACB， AEFAFEBAC60， AEAFEF， ABAEACAF， 即BECF， ABCEDB+BED，ACBECB+FCE， EDEC， EDBECB， EBCEDB+BED，ACBECB+FCE， EDEC， EDBECB， EBCEDB+BED，ACBECB+FCE， BEDFCE， 在DBE和EFC中 ， DBEEFC（SAS）， DBEF， AEBD， 故
27、答案为： （3）解：分为四种情况： 第一种情况：如图 1： ABAC3，AE5， BDAE5， CD3+58， 第二种情况：如图 2， 过A作ANBC于N，过E作EMCD于M， 等边三角形ABC，ECED， BNCNBC，BMBE（3+5）4，CMMD431，ANEM， CD2CM2； 第三种情况：如图 3， ECDEBC（EBC120），而ECD不能大于 120，否则EDC不符合三角形 内角和定理， 此时不存在ECED； 第四种情况：如图 4， EDCABC，ECBACB， 又ABCACB60， ECDEDC， 即此时EDEC， 此时情况不存在， 答：CD的长是 8 或 2 28如图 1，矩
28、形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点 F处，折痕为AE，已知AB8，AD10，并设点B坐标为（m，0），其中m0 （1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图 2，设抛物线ya（xm+6） 2+h 经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若 OAM90，求a、h、m的值 解：（1）四边形ABCD是矩形，AB8，AD10， ADBC10，ABCD8，DDCBABC90， 由折叠对称性：AFAD10，FEDE， 在 RtABF中，BF6， FC4， 设DEx，则CE8x， 在 RtECF中，4 2+（8
29、x）2x2，得 x5， CE8x3， 点B的坐标为（m，0）， 点E的坐标为（m10，3），点F的坐标为（m6，0）； （2）分三种情形讨论： 若AOAF， ABOF，BF6， OBBF6， m6； 若OFAF，则m610，得m4； 若AOOF， 在 RtAOB中，AO 2OB2+AB2m2+64， （m6） 2m2+64，得 m； 由上可得，m6 或4 或； （3）由（1）知A（m，8），E（m10，3）， 抛物线ya（xm+6） 2+h 经过A、E两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为y（xm+6） 21， 点M的坐标为（m6，1）， 设对称轴交AD于G， G（m6，8）， AG6，GM8（1）9， OAB+BAM90，BAM+MAG90， OABMAG， 又ABOMGA90， AOBAMG， ， 即， 解得，m12， 由上可得，a，h1，m12
