1、2019-2020 学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6（ ） A1 B0 C1 D6 2 （5 分）设命题 p：nN，n22n，则p 为（ ） AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 3（5 分） 设 P 是椭圆1 上的动点， 则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 （ ） A2 B2 C2 D4
2、4 （5 分） （2，2m3，1） ， （4，2，3n2） 若 则实数 mn 的值是（ ） A2 B C2 D0 5（5分） 以椭圆+1的对称中心为顶点， 椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程为 （ ） Ay24x By24x 或 y24x Cx24y Dy24x 或 x24y 6 （5 分）已知椭圆+1（ab0）的离心率为，则（ ） A3a24b2 Ba22b2 Ca2b D3a4b 7 （5 分）设等差数列an前 n 项和为 Sn，若 S24S39，则 S5的值是（ ） A15 B30 C13 D25 8 （5 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为
3、 Sn，则“d0”是“S4+S62S5”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）下列叙述中正确的是（ ） A若 a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20” 第 2 页（共 21 页） D “a1，b1”是“ab1”的充分条件 10 （5 分）已知在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 点，且 BM3MC，点 N 是棱 AD 的中 点
4、，若x+y+z其中 x，y，z 为实数，则 x+y+z 的值是（ ） A B C2 D2 11 （5 分）已知椭圆与双曲线 C2：y21（n0）的焦点重 合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则（ ） Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21 12 （5 分）首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+150则 d 的取值范围（ ） Ad2或 d2 B2d2 Cd0 Dd0 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1
5、3 （5 分）若xR，x2+2x+1+a0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 14 （5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则 15 （5 分）已知四棱柱 ABCDA1BC1D1的底面 ABCD 是矩形，AB5，AD3，AA14， BAA1DAA160，则 AC1 第 3 页（共 21 页） 16 （5 分） 双曲线 C 的方程为1 （a0， b0） ， l1， l2为其渐近线， F 为右焦点 过 F 作 ll2且 l 交双曲线 C 于 R，交 l1于 M若，且 （，）则双曲线的离 心率的取值范围为 三、解答题：本大
6、题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在等差数列an中，S540，a410 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在正方体 ABCDA1BC1D1中，点 E 是 CD 的中点 （1）求 D1E 与 AC1所成的角的余弦值； （2）求 EB1与平面 AD1E 所成的角正弦值 19 （12 分）若椭圆 C1：1 与双曲线 C2：x21 有相同的焦点，且椭圆 C1 与双曲线 C2交于点 P（，y） （1）求 m，b 的
7、值； （2）过椭圆 C1的右焦点 F 且斜率为的直线 l 与椭圆 C1交于 A，B 两点，求 AB 的长 度 第 4 页（共 21 页） 20（12 分） 如图， 四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， ADBC， ABAD， BC AB 1，BDPA2 （1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值； （2） 在边 BC 是否存在一点 Q 使二面角 APDQ 的余弦值为， 若存在请确定点 Q 的位置，不存在，请说明理由 21 （12 分）椭圆 C：+1 （a0，b0）的左，右焦应分别是 F1， F2，离心率为， 过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 （1）求
8、椭圆 C 的方程； （2）已知直线 l1：x+2y20 与椭圆 C 切于点 T（，） ，直线 l2平行于 OT， 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且与直线 l1交于点 M证明：存在常数 ，使得|MT|2 |MA|MB|，并求 的值； （3）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1，PF2，设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M（m，0） ，求 m 的取值范围 22 （12 分）设 Sn数列an的前 n 项和，对任意 nN*，都有 Sn（an+b） （a1+an）+c（a， b，c 为常数） （1）当 a0，b，c时，求 Sn； （2）当 a，b0，c0 时，
9、（）求证：数列an是等差数列； （）若数列an为递增数列且 a4+a59，a2a714，设 lgbn，试问是否存在正整 数 p，q（其中 1pq） ，使 b1，p，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 第 5 页（共 21 页） （p，q） ；若不存在，说明理由 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选
10、项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6（ ） A1 B0 C1 D6 【分析】直接利用等差中项求解即可 【解答】解：在等差数列an中，若 a24，a42，则 a4 （a2+a6）2， 解得 a60 故选：B 【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力 2 （5 分）设命题 p：nN，n22n，则p 为（ ） AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 【解答】解：命题的否定是：nN，n22n， 故选：C 【
11、点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3（5 分） 设 P 是椭圆1 上的动点， 则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 （ ） A2 B2 C2 D4 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转化求解即 可 【解答】解：椭圆1 的焦点坐标在 x 轴，a， P 是椭圆1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之 和为 2a2 故选：C 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查 4 （5 分） （2，2m3，1） ， （4，2，3n2） 若 则实数 mn 的值是
12、（ ） A2 B C2 D0 【分析】根据空间向量平行公式，列方程，解方程即可求出结论 【解答】解：因为 （2，2m3，1） ， （4，2，3n2） 且 根据空间向量平行的坐标表示公式可得：； 解得：m1，n0； 实数 mn 的值是 0 故选：D 【点评】本题考查空间向量平行的坐标公式应用，及解方程的能力 5（5分） 以椭圆+1的对称中心为顶点， 椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程为 （ ） Ay24x By24x 或 y24x Cx24y Dy24x 或 x24y 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线焦点坐标，然后分类求解得答案 【解答】解：由椭圆+1，
13、得 a24，b23，则， 椭圆的焦点为（1，0） ， （1，0） 若取焦点（1，0） ，则可设抛物线方程为 y22px（p0） ，且，p2， 则抛物线方程为 y24x； 若取焦点（1，0） ，则可设抛物线方程为 y22px（p0） ，且，p2， 则抛物线方程为 y24x 抛物线的方程为 y24x 或 y24x 故选：B 【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查抛物线方程的求法，体现了分类讨论 的数学思想方法，是基础题 6 （5 分）已知椭圆+1（ab0）的离心率为，则（ ） 第 8 页（共 21 页） A3a24b2 Ba22b2 Ca2b D3a4b 【分析】利用椭圆的离心率，推出，a、
14、b 关系即可 【解答】解：椭圆+1（ab0）的离心率为， 可得，即，解得 a22b2 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 7 （5 分）设等差数列an前 n 项和为 Sn，若 S24S39，则 S5的值是（ ） A15 B30 C13 D25 【分析】根据题意，分析可得 a3S3S25，又由 S55a3，即可得答 案 【解答】解：根据题意，等差数列an中 S24S39， 则 a3S3S2945， 则 S55a325； 故选：D 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题 8 （5 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n 项
15、和为 Sn，则“d0”是“S4+S62S5”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S62S5，可以得到 d0，根据充分必要条件的 定义即可判断 【解答】解：S4+S62S5， 4a1+6d+6a1+15d2（5a1+10d） ， 21d20d， d0， 故“d0”是“S4+S62S5”充分必要条件， 故选：C 第 9 页（共 21 页） 【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题 9 （5 分）下列叙述中正确的是（ ） A若 a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条
16、件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20” D “a1，b1”是“ab1”的充分条件 【分析】直接利用简易逻辑的应用和四个条件和命题的否定的应用求出结果 【解答】解：对于选项 A：若 a，b，cR，则一元二次不等式“ax2+bx+c0”当 a0 时，不等式成立的充分条件是“b24ac0”故 A 错误 对于选项 B：若 a，b，cR，则“ab2cb2”是“ac”的充分不必要条件条件，故错误 对于选项 C：命题“对任意 xR有 x20”的否定是“
17、存在 xR，有 x20”故错误 对于选项 D： “a1，b1”是“ab1”的充分条件，正确 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，四个条件和命题的否定的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）已知在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 点，且 BM3MC，点 N 是棱 AD 的中 点，若x+y+z其中 x，y，z 为实数，则 x+y+z 的值是（ ） A B C2 D2 【分析】 根据空间向量的加法、 减法运算， 共线向量定理， 数形结合， 先用向量 ， 表示出向量 ，再对比已知条件x+y+z，分别求出 x，y，z 的值，然后 就可
18、以得到 x+y+z 的值 【解答】解：因为 BM3MC，点 N 是棱 AD 的中点； ，； 第 10 页（共 21 页） +（）+； x+y+z； x，y，z； x+y+z 故选：B 【点评】本题考查了空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，考查了推理能力与计 算能力、数形结合，属于基础题 11 （5 分）已知椭圆与双曲线 C2：y21（n0）的焦点重 合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则（ ） Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21 【分析】由题意可得 m21n2+1，即 m2n2+2，由条件可得 mn，再由离心率公
19、式， 即可得到结论 【解答】解：由题意可得 m21n2+1，即 m2n2+2， 又 m1，n0，则 mn， 由 e12e22 1+1， 则 e1e21 故选：A 【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以 及转化思想和运算能力，属于中档题 12 （5 分）首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+150则 d 的取值范围（ ） Ad2或 d2 B2d2 第 11 页（共 21 页） Cd0 Dd0 【分析】结合等差数列的求和公式表示已知，有解，结合二次 方程的根的存在条件可求 【解答】解：足 S5S6+150，
20、 则（5a1+10d） （6a1+15d）+150， 整理可得，有解， 故81d28（1+10d2）0， 解可得，d或 d 故选：A 【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若xR，x2+2x+1+a0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 a0 【分析】运用判别式小于 0，解不等式可得所求范围 【解答】解：若xR，x2+2x+1+a0 恒成立， 可得44（1+a）0，解得 a0， 故答案为：a0 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用二次函数的图
21、象和性质，属于基础 题 14 （5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则 【分析】根据题意，设等比数列an的公比为 q，由等比数列的通项公式可得 8a2a2q3 0，解可得 q 的值，结合结合等比数列的前 n 项和公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 8a2a50，则有 8a2a2q30， 解可得 q2， 则； 第 12 页（共 21 页） 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和，涉及等比数列的性质，属于基础题 15 （5 分）已知四棱柱 ABCDA1BC1D1的底面 ABCD 是矩形，AB5，AD3，AA14， BAA1D
22、AA160，则 AC1 【分析】由已知结合向量的加减法运算及数量积运算求解 【解答】解：， 25+9+16+82 故答案为： 【点评】本题考查线段长度的求法，考查向量知识的运用，是基础题 16 （5 分） 双曲线 C 的方程为1 （a0， b0） ， l1， l2为其渐近线， F 为右焦点 过 F 作 ll2且 l 交双曲线 C 于 R，交 l1于 M若，且 （，）则双曲线的离 心率的取值范围为 （，2） 【分析】根据双曲线的离心率方程，联立方程组分别求得 R 与 M 点坐标，根据向量的坐 标运算，求得 e 的表达式，根据 的取值范围，求得 e 的取值范围 【解答】解：由题意设直
23、线 l1：yx，直线 l2：yx，l：y（xc） ， 第 13 页（共 21 页） 由l交双曲线C于R， 联立方程组， 解此方程组得R （，） ， 由 l 交 l1于 M，联立方程组解此方程组得 M（，） 故有（，） ，（，） 由，即（，）（，） 所以，整理得 a2（1）c2，即 e2， 又 （，） ， 所以 e2（2，4） ，即 e（，2） 故答案为（，2） 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的渐近线方程的应用，解题的关 键是联立方程解出两交点的坐标，得到关于 e 的方程，本题计算量大，极易出错，但解 题思维难度低，这是圆锥曲线问题的特点，做题时要严谨，避免计算失误
24、造成解题无法 进行，考查计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在等差数列an中，S540，a410 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，则数列an的 通项公式可求； （2）把数列an的通项公式代入 bn，再由裂项相消法求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d， S540，a410，
25、 ，解得 an4+2（n1）2n+2； 第 14 页（共 21 页） （2）由（1）由 bn， 得 【点评】 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和， 训练了利用裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题 18 （12 分）如图，在正方体 ABCDA1BC1D1中，点 E 是 CD 的中点 （1）求 D1E 与 AC1所成的角的余弦值； （2）求 EB1与平面 AD1E 所成的角正弦值 【分析】 （1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为 2，推导出 D1E 与 AC1所成的角的余弦值 （2）推导出平面 AD1E 的一个法向
26、量，利用向量法能求出 EB1与平面 AD1E 所成的角的 正弦值 【解答】解： （1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐 标系，设正方体棱长为 2， 则 A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，E（0，1，0） ，B1（2，2，2） ，C1（0，2，2） ，D1（0， 0，2） （0，1，2） ，（2，2，2） ，设 D1E 与 AC1所成的角为 ， 则 cos|cos| D1E 与 AC1所成的角的余弦值为 （2）（2，0，2） ，（2，1，0） ，（2，1，2） ， 设平面 AD1E 的一个法向量为 （x，y，z） 第 15 页（共 21
27、页） 由，取 x1，则 （1，2，1） ， 设 EB1与平面 AD1E 所成的角为 ， 则 sin|cos， | EB1与平面 AD1E 所成的角的正弦值为 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题 19 （12 分）若椭圆 C1：1 与双曲线 C2：x21 有相同的焦点，且椭圆 C1 与双曲线 C2交于点 P（，y） （1）求 m，b 的值； （2）过椭圆 C1的右焦点 F 且斜率为的直线 l 与椭圆 C1交于 A，B 两点，求 AB 的长 度 【分析】本题第（1）题根据椭圆 C1
28、与双曲线 C2有相同焦点可得 10m1+b，然后将 点 P（，y）代入椭圆 C1与双曲线 C2的方程，解关于 m 和 b 的方程组即可得到 m， b 的值；第（2）题先根据第（1）题写出椭圆 C1方程即右焦点 F 的坐标，即可得到直线 l 的方程，然后联立直线 l 与椭圆 C1的方程，消去整理得到一元二次方程，根据韦达定 理有 x1+x25，x1x2然后根据弦长公式|AB|可 计算出 AB 的长度 【解答】解： （1）由题意，椭圆 C1与双曲线 C2有相同焦点，且两曲线交于点 P（， 第 16 页（共 21 页） y） ， 整理，得，即 解得 m1，b8 （2）由（1） ，可知：椭圆 C1方程
29、为+y21，则其右焦点为 F（3，0） 直线 l 的方程为 y（x3） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立， 消去由，整理得 6x230x+350 则 x1+x25，x1x2 |AB| AB 的长度为 【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的基础知识，及直线与椭圆的综合问题，考查了方 程思想的应用，弦长公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题 第 17 页（共 21 页） 20（12 分） 如图， 四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， ADBC， ABAD， BC AB 1，BDPA2 （1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值； （2） 在
30、边 BC 是否存在一点 Q 使二面角 APDQ 的余弦值为， 若存在请确定点 Q 的位置，不存在，请说明理由 【分析】 （1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由此能求出 BD 与 PC 所成角的余弦值 （2）求出平面 PAD 的一个法向量和平面 PDQ 的一个法向量，利用向量法能求出当 Q 满 足 BQ时，能使二面角 APDQ 的余弦值 【解答】解： （1）四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADBC，ABAD，BC AB1，BDPA2 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
31、 BD2AB2+AD2，AB1，BD2，AD， B（1，0，0） ，D（0，0） ，P（0，0，2） ，C（1，0） ， （1，0） ，（1，2） ，设 BD 与 PC 所成角为 ， 则 cos|cos| BD 与 PC 所成角的余弦值为 （2）设 Q（1，a，0） ， （0a） ，（1，a，0） ，（0，2） ， 平面 PAD 的一个法向量为 （1，0，0） ， 第 18 页（共 21 页） 设平面 PDQ 的一个法向量为 （x，y，z） ， 由，取 y2，则 （2） ， 设二面角 APDQ 的平面角为 ， 则 cos|cos|， 整理，得3，解得 a，或 a，又 0，a 当 Q
32、 满足 BQ时，能使二面角 APDQ 的余弦值为 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的求法与应用，考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题 21 （12 分）椭圆 C：+1 （a0，b0）的左，右焦应分别是 F1， F2，离心率为， 过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知直线 l1：x+2y20 与椭圆 C 切于点 T（，） ，直线 l2平行于 OT， 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且与直线 l1交于点 M证明：存在常数 ，使得|MT|2 |MA|MB|，并求 的值
33、； （3）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1，PF2，设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M（m，0） ，求 m 的取值范围 【分析】 （1）运用椭圆的离心率公式和通径长，结合 a，b，c 的关系解方程可得 a，b， 进而得到所求椭圆方程； 第 19 页（共 21 页） （2）求得 OT 的斜率，设 l2的方程为 yx+m，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公 式，化简整理可判断存在性； （3）运用角平分线的定义和向量数量积的定义，化简整理可得所求范围 【解答】解： （1）由 e，1，a2b2+c2，解得 a2，b1，c， 所以椭圆 C 的方程为+y21； （
34、2）证明：T（，） ，kOT，又 l2OT，设 l2的方程为 yx+m， 由可得 x2+2mx+2m220， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则4m24（2m22）0，x1+x22m，x1x22m22， 由可得 xMm， 1， |MT|2|MA|MB|，即存在 1 满足条件； （3）由题意可知：， 设 P（x0，y0）其中 x024，F1（，0） ，F2（，0） ，（x0，y0） ， （x0，y0） ，（mx0，y0） ， 将向量坐标代入并化简得： m（4x0216）3x0212x0，因为 x024，所以 mx0， 而 x0（2，2） ，所以 m（，） 【点评】本题考查
35、椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理， 以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题 22 （12 分）设 Sn数列an的前 n 项和，对任意 nN*，都有 Sn（an+b） （a1+an）+c（a， 第 20 页（共 21 页） b，c 为常数） （1）当 a0，b，c时，求 Sn； （2）当 a，b0，c0 时， （）求证：数列an是等差数列； （）若数列an为递增数列且 a4+a59，a2a714，设 lgbn，试问是否存在正整 数 p，q（其中 1pq） ，使 b1，p，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 （p，q） ；若不存在，说明理由
36、 【分析】 （1）a0，b，c时，Sn，则 n2 时， ，联立两式可得an以 1 为首项，4 为公比的等比数列，则 Sn 可求； （ 2 ） （ ） 当 a ， b 0 ， c 0 时 ， 当 n 2 时 ， ，联立两式可得（n2）an（n1）an1a1，进一步得到（n 1）an+1nana1，由此可知 an+1ananan1，得an是等差数列； （）由an为递增等差数列，结合已知求得 ann，假设存在正整数数组（p，q） ，使 b1，bp，bq成成等比数列，则 lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，得到 ，由此可得存在唯一正整数数对（p，q）（2，3） ，使 b1，bp，bq成 等比
37、数列 【解答】 （1）解：a0，b，c时，Sn， n2 时， 由得，即 an4an1， n1 时，a110，an10， （常数，n2） ，an以 1 为首项，4 为公比的等比数列 ； 第 21 页（共 21 页） （2） （）证明：当 a，b0，c0 时， 当 n2 时， 得： （n2）an（n1）an1a1， （n1）an+1nana1， 得： （n1）an+1+（n1）an12（n1）an n2，an+1+an12an，即 an+1ananan1， an是等差数列 （）解an为递增等差数列，a4+a5a2+a79，又 a2a714， 得或者（舍） ，ann 假设存在正整数数组（p，q） ，使 b1，bp，bq成成等比数列，则 lgb1，lgbp，lgbq成等差 数列， 于是， （） 易知（p，q）（2，3）为方程（）的一组解 当 p3，且 pN*时，0，故数列（p3）为递减数列， 于是0，此时方程（）无正整数解 综上，存在唯一正整数数对（p，q）（2，3） ，使 b1，bp，bq成等比数列 【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的前 n 项和，考查逻辑思维能力与推理运 算能力，属难题
