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2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2019-2020 学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)在等差数列an中,若 a24,a42,则 a6( ) A1 B0 C1 D6 2 (5 分)设命题 p:nN,n22n,则p 为( ) AnN,n22n BnN,n22n CnN,n22n DnN,n22n 3(5 分) 设 P 是椭圆1 上的动点, 则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 ( )  A2 B2 C2 D4

2、4 (5 分) (2,2m3,1) , (4,2,3n2) 若 则实数 mn 的值是( )  A2 B C2 D0 5(5分) 以椭圆+1的对称中心为顶点, 椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程为 ( )  Ay24x By24x 或 y24x  Cx24y Dy24x 或 x24y 6 (5 分)已知椭圆+1(ab0)的离心率为,则( ) A3a24b2 Ba22b2 Ca2b D3a4b 7 (5 分)设等差数列an前 n 项和为 Sn,若 S24S39,则 S5的值是( ) A15 B30 C13 D25 8 (5 分)已知等差数列an的公差为 d,前 n 项和为

3、 Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 (5 分)下列叙述中正确的是( ) A若 a,b,cR,则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”  B若 a,b,cR,则“ab2cb2”的充要条件是“ac”  C命题“对任意 xR有 x20”的否定是“存在 xR,有 x20”  第 2 页(共 21 页) D “a1,b1”是“ab1”的充分条件 10 (5 分)已知在四面体 ABCD 中,点 M 是棱 BC 点,且 BM3MC,点 N 是棱 AD 的中 点

4、,若x+y+z其中 x,y,z 为实数,则 x+y+z 的值是( ) A B C2 D2 11 (5 分)已知椭圆与双曲线 C2:y21(n0)的焦点重 合,e1,e2分别为 C1,C2的离心率,则( ) Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21  Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21 12 (5 分)首项为 a1,公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+150则 d 的取值范围( ) Ad2或 d2 B2d2  Cd0 Dd0 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 1

5、3 (5 分)若xR,x2+2x+1+a0 恒成立,则实数 a 的取值范围为   14 (5 分)设 Sn为等比数列an的前 n 项和,8a2a50,则   15 (5 分)已知四棱柱 ABCDA1BC1D1的底面 ABCD 是矩形,AB5,AD3,AA14, BAA1DAA160,则 AC1   第 3 页(共 21 页) 16 (5 分) 双曲线 C 的方程为1 (a0, b0) , l1, l2为其渐近线, F 为右焦点 过 F 作 ll2且 l 交双曲线 C 于 R,交 l1于 M若,且 (,)则双曲线的离 心率的取值范围为   三、解答题:本大

6、题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)在等差数列an中,S540,a410 (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn,求数列bn的前 n 项和 Sn 18 (12 分)如图,在正方体 ABCDA1BC1D1中,点 E 是 CD 的中点 (1)求 D1E 与 AC1所成的角的余弦值; (2)求 EB1与平面 AD1E 所成的角正弦值 19 (12 分)若椭圆 C1:1 与双曲线 C2:x21 有相同的焦点,且椭圆 C1 与双曲线 C2交于点 P(,y) (1)求 m,b 的

7、值; (2)过椭圆 C1的右焦点 F 且斜率为的直线 l 与椭圆 C1交于 A,B 两点,求 AB 的长 度 第 4 页(共 21 页) 20(12 分) 如图, 四棱锥 PABCD 中, PA平面 ABCD, ADBC, ABAD, BC AB 1,BDPA2 (1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值; (2) 在边 BC 是否存在一点 Q 使二面角 APDQ 的余弦值为, 若存在请确定点 Q 的位置,不存在,请说明理由 21 (12 分)椭圆 C:+1 (a0,b0)的左,右焦应分别是 F1, F2,离心率为, 过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 (1)求

8、椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l1:x+2y20 与椭圆 C 切于点 T(,) ,直线 l2平行于 OT, 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且与直线 l1交于点 M证明:存在常数 ,使得|MT|2 |MA|MB|,并求 的值; (3)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1,PF2,设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围 22 (12 分)设 Sn数列an的前 n 项和,对任意 nN*,都有 Sn(an+b) (a1+an)+c(a, b,c 为常数) (1)当 a0,b,c时,求 Sn; (2)当 a,b0,c0 时,

9、()求证:数列an是等差数列; ()若数列an为递增数列且 a4+a59,a2a714,设 lgbn,试问是否存在正整 数 p,q(其中 1pq) ,使 b1,p,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组 第 5 页(共 21 页) (p,q) ;若不存在,说明理由 第 6 页(共 21 页) 2019-2020 学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选

10、项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)在等差数列an中,若 a24,a42,则 a6( ) A1 B0 C1 D6 【分析】直接利用等差中项求解即可 【解答】解:在等差数列an中,若 a24,a42,则 a4 (a2+a6)2,  解得 a60 故选:B 【点评】本题考查等差数列的性质,等差中项个数的应用,考查计算能力 2 (5 分)设命题 p:nN,n22n,则p 为( ) AnN,n22n BnN,n22n CnN,n22n DnN,n22n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 【解答】解:命题的否定是:nN,n22n, 故选:C 【

11、点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础 3(5 分) 设 P 是椭圆1 上的动点, 则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 ( )  A2 B2 C2 D4 【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出 a,接利用椭圆的定义,转化求解即 可 【解答】解:椭圆1 的焦点坐标在 x 轴,a, P 是椭圆1 上的动点,由椭圆的定义可知:则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之 和为 2a2 故选:C 第 7 页(共 21 页) 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查 4 (5 分) (2,2m3,1) , (4,2,3n2) 若 则实数 mn 的值是

12、( )  A2 B C2 D0 【分析】根据空间向量平行公式,列方程,解方程即可求出结论 【解答】解:因为 (2,2m3,1) , (4,2,3n2) 且 根据空间向量平行的坐标表示公式可得:; 解得:m1,n0; 实数 mn 的值是 0 故选:D 【点评】本题考查空间向量平行的坐标公式应用,及解方程的能力 5(5分) 以椭圆+1的对称中心为顶点, 椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程为 ( )  Ay24x By24x 或 y24x  Cx24y Dy24x 或 x24y 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标,可得抛物线焦点坐标,然后分类求解得答案 【解答】解:由椭圆+1,

13、得 a24,b23,则, 椭圆的焦点为(1,0) , (1,0) 若取焦点(1,0) ,则可设抛物线方程为 y22px(p0) ,且,p2, 则抛物线方程为 y24x; 若取焦点(1,0) ,则可设抛物线方程为 y22px(p0) ,且,p2, 则抛物线方程为 y24x 抛物线的方程为 y24x 或 y24x 故选:B 【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质,考查抛物线方程的求法,体现了分类讨论 的数学思想方法,是基础题 6 (5 分)已知椭圆+1(ab0)的离心率为,则( ) 第 8 页(共 21 页) A3a24b2 Ba22b2 Ca2b D3a4b 【分析】利用椭圆的离心率,推出,a、

14、b 关系即可 【解答】解:椭圆+1(ab0)的离心率为, 可得,即,解得 a22b2 故选:B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题 7 (5 分)设等差数列an前 n 项和为 Sn,若 S24S39,则 S5的值是( ) A15 B30 C13 D25 【分析】根据题意,分析可得 a3S3S25,又由 S55a3,即可得答 案 【解答】解:根据题意,等差数列an中 S24S39, 则 a3S3S2945, 则 S55a325; 故选:D 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和公式,涉及等差数列的性质,属于基础题 8 (5 分)已知等差数列an的公差为 d,前 n 项

15、和为 Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S62S5,可以得到 d0,根据充分必要条件的 定义即可判断 【解答】解:S4+S62S5, 4a1+6d+6a1+15d2(5a1+10d) , 21d20d, d0, 故“d0”是“S4+S62S5”充分必要条件, 故选:C 第 9 页(共 21 页) 【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题 9 (5 分)下列叙述中正确的是( ) A若 a,b,cR,则“ax2+bx+c0”的充分条

16、件是“b24ac0”  B若 a,b,cR,则“ab2cb2”的充要条件是“ac”  C命题“对任意 xR有 x20”的否定是“存在 xR,有 x20”  D “a1,b1”是“ab1”的充分条件 【分析】直接利用简易逻辑的应用和四个条件和命题的否定的应用求出结果 【解答】解:对于选项 A:若 a,b,cR,则一元二次不等式“ax2+bx+c0”当 a0 时,不等式成立的充分条件是“b24ac0”故 A 错误 对于选项 B:若 a,b,cR,则“ab2cb2”是“ac”的充分不必要条件条件,故错误  对于选项 C:命题“对任意 xR有 x20”的否定是“

17、存在 xR,有 x20”故错误 对于选项 D: “a1,b1”是“ab1”的充分条件,正确 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:简易逻辑的应用,四个条件和命题的否定的应用,主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 10 (5 分)已知在四面体 ABCD 中,点 M 是棱 BC 点,且 BM3MC,点 N 是棱 AD 的中 点,若x+y+z其中 x,y,z 为实数,则 x+y+z 的值是( ) A B C2 D2 【分析】 根据空间向量的加法、 减法运算, 共线向量定理, 数形结合, 先用向量 , 表示出向量 ,再对比已知条件x+y+z,分别求出 x,y,z 的值,然后 就可

18、以得到 x+y+z 的值 【解答】解:因为 BM3MC,点 N 是棱 AD 的中点; ,; 第 10 页(共 21 页) +()+; x+y+z; x,y,z; x+y+z 故选:B 【点评】本题考查了空间向量的加法、减法运算,共线向量定理,考查了推理能力与计 算能力、数形结合,属于基础题 11 (5 分)已知椭圆与双曲线 C2:y21(n0)的焦点重 合,e1,e2分别为 C1,C2的离心率,则( ) Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21  Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e21 【分析】由题意可得 m21n2+1,即 m2n2+2,由条件可得 mn,再由离心率公

19、式, 即可得到结论 【解答】解:由题意可得 m21n2+1,即 m2n2+2, 又 m1,n0,则 mn, 由 e12e22 1+1, 则 e1e21 故选:A 【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系,考查椭圆和双曲线的方程和性质,以 及转化思想和运算能力,属于中档题 12 (5 分)首项为 a1,公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+150则 d 的取值范围( ) Ad2或 d2 B2d2  第 11 页(共 21 页) Cd0 Dd0 【分析】结合等差数列的求和公式表示已知,有解,结合二次 方程的根的存在条件可求 【解答】解:足 S5S6+150,

20、 则(5a1+10d) (6a1+15d)+150, 整理可得,有解, 故81d28(1+10d2)0, 解可得,d或 d 故选:A 【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用,属于基础试题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)若xR,x2+2x+1+a0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 a0 【分析】运用判别式小于 0,解不等式可得所求范围 【解答】解:若xR,x2+2x+1+a0 恒成立, 可得44(1+a)0,解得 a0, 故答案为:a0 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用二次函数的图

21、象和性质,属于基础 题 14 (5 分)设 Sn为等比数列an的前 n 项和,8a2a50,则 【分析】根据题意,设等比数列an的公比为 q,由等比数列的通项公式可得 8a2a2q3 0,解可得 q 的值,结合结合等比数列的前 n 项和公式计算可得答案 【解答】解:根据题意,设等比数列an的公比为 q, 若 8a2a50,则有 8a2a2q30, 解可得 q2, 则; 第 12 页(共 21 页) 故答案为: 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和,涉及等比数列的性质,属于基础题 15 (5 分)已知四棱柱 ABCDA1BC1D1的底面 ABCD 是矩形,AB5,AD3,AA14, BAA1D

22、AA160,则 AC1 【分析】由已知结合向量的加减法运算及数量积运算求解 【解答】解:,   25+9+16+82 故答案为: 【点评】本题考查线段长度的求法,考查向量知识的运用,是基础题 16 (5 分) 双曲线 C 的方程为1 (a0, b0) , l1, l2为其渐近线, F 为右焦点 过 F 作 ll2且 l 交双曲线 C 于 R,交 l1于 M若,且 (,)则双曲线的离 心率的取值范围为 (,2) 【分析】根据双曲线的离心率方程,联立方程组分别求得 R 与 M 点坐标,根据向量的坐 标运算,求得 e 的表达式,根据 的取值范围,求得 e 的取值范围 【解答】解:由题意设直

23、线 l1:yx,直线 l2:yx,l:y(xc) , 第 13 页(共 21 页) 由l交双曲线C于R, 联立方程组, 解此方程组得R (,) ,  由 l 交 l1于 M,联立方程组解此方程组得 M(,) 故有(,) ,(,) 由,即(,)(,) 所以,整理得 a2(1)c2,即 e2, 又 (,) , 所以 e2(2,4) ,即 e(,2) 故答案为(,2) 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,考查双曲线的渐近线方程的应用,解题的关 键是联立方程解出两交点的坐标,得到关于 e 的方程,本题计算量大,极易出错,但解 题思维难度低,这是圆锥曲线问题的特点,做题时要严谨,避免计算失误

24、造成解题无法 进行,考查计算能力,属于中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)在等差数列an中,S540,a410 (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn,求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则数列an的 通项公式可求; (2)把数列an的通项公式代入 bn,再由裂项相消法求数列bn的前 n 项和 Sn  【解答】解: (1)设等差数列an的公差为 d, S540,a410,

25、 ,解得 an4+2(n1)2n+2; 第 14 页(共 21 页) (2)由(1)由 bn, 得 【点评】 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和, 训练了利用裂项相消法求数列的前 n 项和,是中档题 18 (12 分)如图,在正方体 ABCDA1BC1D1中,点 E 是 CD 的中点 (1)求 D1E 与 AC1所成的角的余弦值; (2)求 EB1与平面 AD1E 所成的角正弦值 【分析】 (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体棱长为 2,推导出 D1E 与 AC1所成的角的余弦值 (2)推导出平面 AD1E 的一个法向

26、量,利用向量法能求出 EB1与平面 AD1E 所成的角的 正弦值 【解答】解: (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐 标系,设正方体棱长为 2, 则 A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,E(0,1,0) ,B1(2,2,2) ,C1(0,2,2) ,D1(0, 0,2) (0,1,2) ,(2,2,2) ,设 D1E 与 AC1所成的角为 , 则 cos|cos| D1E 与 AC1所成的角的余弦值为 (2)(2,0,2) ,(2,1,0) ,(2,1,2) , 设平面 AD1E 的一个法向量为 (x,y,z) 第 15 页(共 21

27、页) 由,取 x1,则 (1,2,1) , 设 EB1与平面 AD1E 所成的角为 , 则 sin|cos, | EB1与平面 AD1E 所成的角的正弦值为 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查线面角的正弦值的求法,考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算南求解能力,是中档题 19 (12 分)若椭圆 C1:1 与双曲线 C2:x21 有相同的焦点,且椭圆 C1 与双曲线 C2交于点 P(,y) (1)求 m,b 的值; (2)过椭圆 C1的右焦点 F 且斜率为的直线 l 与椭圆 C1交于 A,B 两点,求 AB 的长 度 【分析】本题第(1)题根据椭圆 C1

28、与双曲线 C2有相同焦点可得 10m1+b,然后将 点 P(,y)代入椭圆 C1与双曲线 C2的方程,解关于 m 和 b 的方程组即可得到 m, b 的值;第(2)题先根据第(1)题写出椭圆 C1方程即右焦点 F 的坐标,即可得到直线 l 的方程,然后联立直线 l 与椭圆 C1的方程,消去整理得到一元二次方程,根据韦达定 理有 x1+x25,x1x2然后根据弦长公式|AB|可 计算出 AB 的长度 【解答】解: (1)由题意,椭圆 C1与双曲线 C2有相同焦点,且两曲线交于点 P(, 第 16 页(共 21 页) y) , 整理,得,即 解得 m1,b8 (2)由(1) ,可知:椭圆 C1方程

29、为+y21,则其右焦点为 F(3,0) 直线 l 的方程为 y(x3) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立, 消去由,整理得 6x230x+350 则 x1+x25,x1x2 |AB| AB 的长度为 【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的基础知识,及直线与椭圆的综合问题,考查了方 程思想的应用,弦长公式的应用,考查了逻辑思维能力和数学运算能力,本题属中档题  第 17 页(共 21 页) 20(12 分) 如图, 四棱锥 PABCD 中, PA平面 ABCD, ADBC, ABAD, BC AB 1,BDPA2 (1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值; (2) 在

30、边 BC 是否存在一点 Q 使二面角 APDQ 的余弦值为, 若存在请确定点 Q 的位置,不存在,请说明理由 【分析】 (1)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 由此能求出 BD 与 PC 所成角的余弦值 (2)求出平面 PAD 的一个法向量和平面 PDQ 的一个法向量,利用向量法能求出当 Q 满 足 BQ时,能使二面角 APDQ 的余弦值 【解答】解: (1)四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,ADBC,ABAD,BC AB1,BDPA2 以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,

31、 BD2AB2+AD2,AB1,BD2,AD, B(1,0,0) ,D(0,0) ,P(0,0,2) ,C(1,0) , (1,0) ,(1,2) ,设 BD 与 PC 所成角为 , 则 cos|cos| BD 与 PC 所成角的余弦值为 (2)设 Q(1,a,0) , (0a) ,(1,a,0) ,(0,2) ,  平面 PAD 的一个法向量为 (1,0,0) , 第 18 页(共 21 页) 设平面 PDQ 的一个法向量为 (x,y,z) , 由,取 y2,则 (2) , 设二面角 APDQ 的平面角为 , 则 cos|cos|, 整理,得3,解得 a,或 a,又 0,a 当 Q

32、 满足 BQ时,能使二面角 APDQ 的余弦值为 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查二面角的求法与应用,考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算南求解能力,是中档题 21 (12 分)椭圆 C:+1 (a0,b0)的左,右焦应分别是 F1, F2,离心率为, 过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l1:x+2y20 与椭圆 C 切于点 T(,) ,直线 l2平行于 OT, 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且与直线 l1交于点 M证明:存在常数 ,使得|MT|2 |MA|MB|,并求 的值

33、; (3)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1,PF2,设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围 【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和通径长,结合 a,b,c 的关系解方程可得 a,b, 进而得到所求椭圆方程; 第 19 页(共 21 页) (2)求得 OT 的斜率,设 l2的方程为 yx+m,联立椭圆方程,运用韦达定理和弦长公 式,化简整理可判断存在性; (3)运用角平分线的定义和向量数量积的定义,化简整理可得所求范围 【解答】解: (1)由 e,1,a2b2+c2,解得 a2,b1,c, 所以椭圆 C 的方程为+y21; (

34、2)证明:T(,) ,kOT,又 l2OT,设 l2的方程为 yx+m, 由可得 x2+2mx+2m220, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则4m24(2m22)0,x1+x22m,x1x22m22,  由可得 xMm, 1, |MT|2|MA|MB|,即存在 1 满足条件; (3)由题意可知:, 设 P(x0,y0)其中 x024,F1(,0) ,F2(,0) ,(x0,y0) , (x0,y0) ,(mx0,y0) , 将向量坐标代入并化简得: m(4x0216)3x0212x0,因为 x024,所以 mx0, 而 x0(2,2) ,所以 m(,) 【点评】本题考查

35、椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆的方程联立,运用韦达定理, 以及向量的数量积的坐标表示,考查化简运算能力,属于中档题 22 (12 分)设 Sn数列an的前 n 项和,对任意 nN*,都有 Sn(an+b) (a1+an)+c(a, 第 20 页(共 21 页) b,c 为常数) (1)当 a0,b,c时,求 Sn; (2)当 a,b0,c0 时, ()求证:数列an是等差数列; ()若数列an为递增数列且 a4+a59,a2a714,设 lgbn,试问是否存在正整 数 p,q(其中 1pq) ,使 b1,p,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组 (p,q) ;若不存在,说明理由

36、 【分析】 (1)a0,b,c时,Sn,则 n2 时, ,联立两式可得an以 1 为首项,4 为公比的等比数列,则 Sn 可求; ( 2 ) ( ) 当 a , b 0 , c 0 时 , 当 n 2 时 , ,联立两式可得(n2)an(n1)an1a1,进一步得到(n 1)an+1nana1,由此可知 an+1ananan1,得an是等差数列; ()由an为递增等差数列,结合已知求得 ann,假设存在正整数数组(p,q) ,使 b1,bp,bq成成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,于是,得到 ,由此可得存在唯一正整数数对(p,q)(2,3) ,使 b1,bp,bq成 等比

37、数列 【解答】 (1)解:a0,b,c时,Sn, n2 时, 由得,即 an4an1, n1 时,a110,an10, (常数,n2) ,an以 1 为首项,4 为公比的等比数列 ; 第 21 页(共 21 页) (2) ()证明:当 a,b0,c0 时, 当 n2 时, 得: (n2)an(n1)an1a1, (n1)an+1nana1, 得: (n1)an+1+(n1)an12(n1)an n2,an+1+an12an,即 an+1ananan1, an是等差数列 ()解an为递增等差数列,a4+a5a2+a79,又 a2a714, 得或者(舍) ,ann 假设存在正整数数组(p,q) ,使 b1,bp,bq成成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq成等差 数列, 于是, () 易知(p,q)(2,3)为方程()的一组解 当 p3,且 pN*时,0,故数列(p3)为递减数列, 于是0,此时方程()无正整数解 综上,存在唯一正整数数对(p,q)(2,3) ,使 b1,bp,bq成等比数列 【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的前 n 项和,考查逻辑思维能力与推理运 算能力,属难题